Germana Englaro, Susi Cazzaniga
Servizio Disturbi dell’Apprendimento
Università degli Studi di Padova
ABILITÀ COGNITIVE
e
SOLUZIONE DEI PROBLEMI MATEMATICI
Torino
20-21-22 marzo 2006
COS’È UN PROBLEMA?
Un PROBLEMA sorge quando un essere vivente
ha una meta, ma non sa come raggiungerla
(Dunker, 1935)
Ci sono due corde attaccate al soffitto, ad
una certa distanza. Le devo unire ma la
distanza è tale che non ci riesco. Nella
stanza ci sono anche vari oggetti: una
tenaglia,
una
sedia,
della
colla.
Come faccio a unire le due corde?
Quali sono gli OSTACOLI che rendono
difficoltosa la soluzione dei problemi?
FISSITÀ FUNZIONALE
= fissare l’attenzione su una
funzione abituale e stereotipata
di un elemento del problema
AUTOPORSI DEI LIMITI
non necessari e non
richiesti dal problema
mantenere contemporaneamente presenti
TUTTE LE INFORMAZIONI
che il problema fornisce
EFFETTI DELL’ABITUDINE
spesso si ripetono procedimenti
tentati in precedenza, senza ricercare
procedure alternative più efficaci
Caratteristiche dei problemi:

Spesso la soluzione dipende da
un’intuizione cruciale
 C’è una sensazione di “tensione cognitiva”
e di coinvolgimento emotivo che ci guida
nella soluzione
 C’è un insight cognitivo in cui avviene una
ristrutturazione delle conoscenze pregresse
alla luce degli elementi del problema
Differenze fra “problema” e
“esercizio”

Gli esercizi richiedono un tipo di pensiero
riproduttivo (problemi di tipo routinario che
vengono solitamente proposti a scuola, nei quali è
richiesto di applicare procedure già apprese). Sono
quindi legati a conoscenze pregresse
 I problemi richiedono un pensiero produttivo
(Wertheimer, 1920), condizionato dalla situazione,
dal contesto e dal vissuto del soggetto
Stimolare un pensiero di tipo produttivo
ABILITÀ COGNITIVE
implicate nella soluzione dei problemi matematici
COMPRENSIONE
RAPPRESENTAZIONE
CATEGORIZZAZIONE
PIANIFICAZIONE
SOLUZIONE
AUTOVALUTAZIONE
Queste componenti sono viste all’interno
di un FLUSSO.
Il flusso parte dalla comprensione, unica
componente sovraordinata (senza la
comprensione matematica il flusso non
parte), le altre componenti sono
parallele.
COMPRENSIONE
Capacità di cogliere le informazioni
rilevanti e di comprenderne le relazioni
quantitative.
La comprensione del testo del problema
NON può essere una comprensione
verbale
ma
deve
essere
una
comprensione matematica!
Marco ha 3 biglie più di Andrea e 7 meno
di Giulio che ne ha 11.
Che cos’è? E’ un problema?
NO! Questa è una storiella, ma noi siamo
abituati ad approcciare con il verbale e
cominciamo ad attivare tutte le nostre
conoscenze pregresse su questo tipo di
esercizio.
Manca l’elemento distintivo che dà la
grammatica al problema matematico:
la DOMANDA
Comprendere il problema significa capire
la grammatica (ovvero la logica) imposta
dalla domanda
Se comprendo la grammatica del
problema e non il verbale del testo sarò in
grado di far partire il flusso di soluzione
del problema
RAPPRESENTAZIONE
Capacità di raffigurarsi il problema
mediante uno schema in grado di
strutturare e integrare le informazioni.
Da una rappresentazione figurativa
(immagino i tre bambini) ad una
rappresentazione
più
schematica
(schema che meglio rappresenta il
problema)
Attenzione!
Non promuovere la rappresentazione verbale del
problema (disegna le biglie) ma la
rappresentazione produttiva del problema
guidata dall’insight (i bambini disegnerebbero i
tre bimbi che giocano)
Guidare i bambini nella ricerca delle informazioni
rilevanti = informazioni necessarie alla
soluzione del problema = dati
Non
necessariamente
numerici!
CATEGORIZZAZIONE
Capacità di raggruppare i problemi che
hanno medesime soluzioni sulla base
della struttura profonda del testo (cerco
di riconoscere una categoria generale
alla quale il problema può appartenere).
PIANIFICAZIONE
Abilità di costruzione del piano di
soluzione: cerco la strada che mi può
condurre alla soluzione.
Come? Cercando la corretta sequenza di
operazioni di calcolo capace di
rispondere
al
mio
schema
(rappresentazione)
AUTOVALUTAZIONE
Capacità di monitorare il proprio operato.
Ha lo scopo di ricontrollare il flusso non
tanto per verificare se la soluzione è
giusta o sbagliata, quanto per esercitare
e stabilizzare in memoria il processo di
soluzione, perché non si tratta di abilità
innate, ma vanno apprese!
Può accadere che solo alcune componenti
siano deficitarie. Che fare:
Identificare la componente più debole
 Esercitare la componente deficitaria non
come aspetto a sé stante ma come
all’interno del FLUSSO (allenare la
componente debole dentro al flusso)
 In fase di insegnamento forzare il flusso,
senza automatizzarlo perché è una
componente dinamica, non meccanica

SOLUTORI:
ABILI
NON ABILI
PERCHE’?
Altre abilità cognitive coinvolte:

Memoria (memoria di lavoro)
 Metacognizione

i solutori non abili non riescono a discriminare
le informazioni rilevanti da quelle irrilevanti
 ricordano
maggiormente le informazioni
irrilevanti del testo del problema e hanno
difficoltà a mantenere e controllare le
informazioni in memoria
Non ci sono disturbi specifici
del problem solving, ma le
difficoltà di soluzione dei
problemi sono in relazione a
problemi a carico delle abilità
cognitive
implicate
nel
processo
Cosa fare quindi per aiutare i bambini nella
soluzione dei problemi?

Promuovere una didattica metacognitiva
 Favorire la comprensione matematica del
problema, senza sovraccaricare di informazioni
verbali che affaticano l’esecutivo centrale
(componente della ML deputata alla selezione
delle informazioni rilevanti e all’inibizione di quelle
irrilevanti)
 Promuovere la soluzione dei problemi dentro al
FLUSSO!
STRUTTURA DELLA BATTERIA
SOGGETTI:
strumento rivolto all’analisi delle difficoltà di soluzione di problemi
matematici in soggetti dalla 3a elementare alla 3a media
PROVE: batteria composta da
3 problemi per la 3a elementare
4 problemi dalla 3a elem. alla 3a media
SOMMINISTRAZIONE:
- in uscita alla classe indicata o in entrata alla successiva
es. prova di 5a:
fine 5a (da maggio)
inizio 1a media (entro ottobre)
- individuale o collettiva
- non è una prova a tempo
(consigliabile l’interruzione dopo un’ora e mezzo)
DESCRIZIONE DELLE PROVE
 Ogni problema è scomposto nelle seguenti 5 componenti:
1.
COMPRENSIONE
2.
RAPPRESENTAZIONE
3.
CATEGORIZZAZIONE
4.
PIANIFICAZIONE
SVOLGIMENTO
5.
AUTOVALUTAZIONE
PROCEDURA: al soggetto si richiede di
a)
leggere attentamente il problema
b)
segnare la risposta corretta per le prime tre componenti
c)
ordinare le fasi di soluzione
d)
svolgere il problema
e)
autovalutare la propria esecuzione
IL PROBLEMA
ha 7 nipoti in meno della nonna di Luisa.
La nonna di Carolina ha 1/3 del numero dei nipoti
della nonna di Gina.
Quanti nipoti hanno in tutto le 3 nonne?
5a
Classe
La nonna di Luisa ha 19 nipoti. La nonna di Gina
elementare
PROBLEMA 5.4
1. COMPRENSIONE
capacità di cogliere le informazioni rilevanti
e di comprenderne le relazioni quantitative
COMPRENSIONE
P
C
I
La nonna di Carolina ha 1/3 del numero dei nipoti
della nonna di Luisa.
La nonna di Gina ha 7 nipoti in meno della nonna
di Luisa.
5a
La nonna di Carolina ha 1/3 del numero dei nipoti
della nonna di Gina, che a sua volta ha 7 nipoti in
meno della nonna di Luisa.
Luisa, Gina e Carolina hanno una nonna.
Classe
E
elementare
Scegli la frase con le informazioni più importanti
per la soluzione del problema:
2. RAPPRESENTAZIONE
capacità di rappresentarsi le relazioni
tra dati mediante uno schema/figura
RAPPRESENTAZIONE
Scegli, tra le vignette, quale rappresenta esattamente il problema:
elementare
C
5a
Classe
P
E
I
3. CATEGORIZZAZIONE
capacità di riconoscere la struttura profonda
del problema inibendo le informazioni superficiali
P
E
I
C
Mario ha percorso 21 chilometri in bicicletta. Piero invece ne ha
percorso i 4/7. Quanti chilometri hanno percorso in tutto?
Stefano pesa 58 Kg. Mario pesava lo stesso, ma dopo che ha
smesso di mangiare cioccolatini è calato di 2/8 del peso che aveva.
Quanto pesa Mario?
la mia nonna ha 72 anni. La nonna di Giulio ne ha 68. Quanti anni
avrà la nonna del cugino di Giulio?
Maria ha 12 anni, sua sorella ne ha 6 di più. Antonella invece ha 2/3
degli anni della sorella di Maria. Quanti anni hanno in tutto le tre
bambine?
5a
Classe
Quale dei seguenti problemi risolveresti come quello che stai
eseguendo ora?
media
CATEGORIZZAZIONE
4. PIANIFICAZIONE
capacità di individuare la sequenza
di fasi che porta alla soluzione
2
—
1—
3
—
Calcolo quanti nipoti ha la nonna di Carolina.
Calcolo quanti nipoti ha la nonna di Gina
Calcolo quanti nipoti hanno in tutto le tre nonne
5a
Classe
Prova a dire come risolveresti il problema,
mettendo in ordine la sequenza, numerando le fasi
dall’1 al 3:
media
PIANO DI SOLUZIONE
5. AUTOVALUTAZIONE
capacità di monitorare quanto eseguito
 Sono certo di aver fatto giusto
 Probabilmente ho fatto giusto
 Probabilmente ho sbagliato
 Sono certo di aver sbagliato
5a
Classe
Indica quanto sei sicuro di aver eseguito
correttamente il tuo piano di soluzione:
media
AUTOVALUTAZIONE
ATTRIBUZIONE DEL PUNTEGGIO
Punti
• COMPRENSIONE
• RAPPRESENTAZIONE
• CATEGORIZZAZIONE
• PIANIFICAZIONE
1
risposta irrilevante o omissione (I)
2
risposta errata (E)
3
Risposta parzialmente corretta (P)
4
Risposta corretta (C)
da 0 a 3, 4, 5 o 6
n° di fasi correttamente ordinate
se sbaglia il primo passaggio: 0
(non si prosegue)
• SVOLGIMENTO
1
soluzione errata o problema non risolto
2
soluzione parzialmente corretta
3
procedura corretta con errore di calcolo
4
soluzione corretta
• AUTOVALUTAZIONE
Punteggio
svolgimento
Item valutazione
Punteggio
autovalutazione
1
Sicuro di aver sbagliato
3
2
Sicuro di aver sbagliato
3
3
Sicuro di aver fatto giusto
3
4
Sicuro di aver fatto giusto
3
1
Incerto giusto/sbagliato
2
2
Incerto giusto/sbagliato
2
3
Incerto giusto/sbagliato
2
4
Incerto giusto/sbagliato
2
1
Sicuro di aver fatto giusto
1
2
Sicuro di aver fatto giusto
1
3
Sicuro di aver sbagliato
1
4
Sicuro di aver sbagliato
1
Luca 13 anni
PROBLEMA 3.4
Calcola l’area della superficie totale di un cilindro sapendo
che la somma del raggio con l’altezza misura 18 dm e che
Scegli la risposta più importante per risolvere il problema:
P In un cilindro l’altezza è i 4/5 del raggio.
E
Il raggio misura 18 dm e l’altezza è 5/4 del raggio.
I Il cilindro è un solido con base circolare.
C Il raggio e l’altezza insieme di un cilindro misurano
18 dm e l’altezza è 5/4 del raggio.
3a
Classe
COMPRENSIONE
media
l’altezza è i 5/4 del raggio.
PROBLEMA 3.4
RAPPRESENTAZIONE
Scegli, tra gli schemi seguenti, quale rappresenta il problema:
Misura
della superficie
totale
media
I


Classe
3a
P

h = 5/4 di r
r
PROBLEMA 3.4
C

h = 5/4 di r
r
media
Raggio +
altezza =
18 dm
Classe
3a
E

h = 5/4 del
diametro
Diametro
PROBLEMA 3.4
CATEGORIZZAZIONE
I
E
In un solido regolare con entrambe le basi circolari se si sommano
altezza e raggio si ottengono 35 dm. Si calcoli l’area della figura
che si ottiene sviluppando il solido sapendo che il raggio è i 7/8
dell’altezza.
Il volume di un cilindro è di 345 cmc. Sapendo che l’altezza è maggiore del raggio, calcola l’area della superficie totale del cilindro.
Il volume di un cilindro è.pari a 572 dmc; sapendo che il raggio
misura 15 dm e l’alezza è i 7/5 del raggio si calcoli l’area della
superficie totale del cilindro.
P
 L’altezza
di un cilindro misura 23 cm e il raggio misura 12 cm.
Quale sarà l’area della superficie totale del cilindro?
3a
Classe
C
media
Quale dei seguenti problemi risolveresti come quello che stai
eseguendo ora?
PROBLEMA 3.4
PIANO DI SOLUZIONE
Prova a dire come risolveresti il problema, mettendo in
ordine la sequenza, numerando le fasi dall’1 al 5:
_
5
Trovo l’area della superficie totale del cilindro.
3-2
_
1
Trovo la circonferenza della base del cilindro.
4-3
_
4
Trovo l’area della superficie esterna senza basi.
1
_
2
Trovo la misura dell’altezza e del raggio.
Trovo l’area delle basi.
3a
SVOLGIMENTO
Esegui il problema.
Non esegue il problema
AUTOVALUTAZIONE
Indica quanto sei sicuro di aver eseguito correttamente il
tuo piano di soluzione:
 Sono certo di aver fatto giusto
 Probabilmente ho fatto giusto
 Probabilmente ho sbagliato


Sono certo di aver sbagliato
Classe
2-3-4 _
3
media
5
media
SPM / SOLUZIONE DEI PROBLEMI MATEMATICI
Luca
Cognome ________________ Nome ______________
13 anni
Sesso •
M •F Età ______

Data del test _________
3a media
Classe ______________
Scuola __________________
Problema 3.1
____
3
____
4
____
2
____
5
____
3
____
Problema 3.2
____
1
____
4
____
1
____
2
____
2
____
Problema 3.3
____
2
____
1
____
1
____
0
____
1
____
Problema 3.4
____
2
____
1
____
3
____
0
____
1
____
Somma
____
8
____
10
____
7
____
7
____
7
____
3
2
2
3
10
3a
Classe
PROTOCOLLO DI VALUTAZIONE
TABELLA DI VALUTAZIONE
10
20
30
PERCENTILI
40 50 60
2,7
10
11
13
13
14
15
15
16
16
14,0
2,2
10
12
13
14
15
15
16
16
16
Categorizzazione
12,0
2,7
9
10
11
11
12
13
14
15
16
Pianificazione
9,0
4,5
3
5
6
8
9
11
11
14
15
Svolgimento
9,0
3,4
4
5
7
8
9
10
11
12
13
Autovalutazione
8,2
3
4
6
7
8
8
8
10
10
12
COMPONENTE
MEDIA
DEV. ST.
Comprensione
13,5
Rappresentazione
70
80
90
 4 alternative di risposta
I = RISPOSTA IRRILEVANTE
riporta informazioni che, pur essendo
presenti nel testo del problema, non
servono per la soluzione
E = RISPOSTA ERRATA
riporta informazioni che, se utilizzate,
portano a un risultato non corretto
P = RISPOSTA PARZIALE
riporta dati corretti, ma non completi
per la soluzione
C = RISPOSTA CORRETTA
riporta tutti i dati utili per la soluzione