Fondamenti di Automatica 1 Lezione 4: Stabilità • Definizione • Stabilità BIBO • Criterio di stabilità • Criterio di Routh-Hurwitz A.A. 2004/05 Fondamenti di Automatica 2 Stabilità - 2 u ✲ b(s) G(s) = a(s) y ✲ Per il sistema in figura, se a(s) = (s − p1 )n1 (s − p2 )n2 · · · (s − pr )nr , risposta libera e risposta impulsiva sono della forma y(t) = c δ(t) + ni r αij tj−1 epi t i=1 j=1 quindi il sistema è stabile se e solo se tutti i poli di G(s) hanno parte reale negativa, cioè Re(pi ) < 0 i = 1, 2, . . . , r A.A. 2004/05 Fondamenti di Automatica 3 Stabilità - 3 u ✲ b(s) G(s) = a(s) y ✲ Osservazione: Un segnale y(t) è limitato se e solo se la sua trasformata di Laplace Y (s) ha poli con parte reale negativa ed eventualmente poli semplici con parte reale nulla. p(s) , se il sistema è Corollario: Poichè Y (s) = G(s)U (s) + a(s) stabile, ad un ingresso limitato corrisponde sempre un’uscita limitata, cioè il sistema non può mai “esplodere” per effetto di un ingresso limitato. A.A. 2004/05 Fondamenti di Automatica 4 Stabilità - 4 u b(s) ✲ G(s) = a(s) y ✲ • Sistema di ordine 1: a(s) = s + a1 , stabile se e solo se a1 > 0. • Sistema di ordine 2: a(s) = s2 + a1 s + a2 , stabile se e solo se a1 > 0 e a2 > 0. • Sistema di ordine n : a(s) = sn + a1 sn−1 + · · · + an−1 s + an , stabile solo se a1 > 0, a2 > 0, . . . , an > 0; cioè se almeno uno dei coefficienti ai ≤ 0 allora il sistema è instabile, viceversa se tutti i coefficienti ai > 0 non si può dire che il sistema è stabile; occorre determinare le radici di a(s). A.A. 2004/05 Fondamenti di Automatica 5 Stabilità - 5 u b(s) ✲ G(s) = a(s) y ✲ Per sistemi di ordine n > 2: Metodo 1 - Richiede l’uso del calcolatore: si determinano le radici di a(s) con MATLAB a = [1, a1 , a2 , . . . , an ]; roots(a) Metodo 2 - Richiede solo carta e matita: Metodo di Routh-Hurwitz. A.A. 2004/05 Fondamenti di Automatica 6 Stabilità - 6 u b(s) ✲ G(s) = a(s) y ✲ Esempio: a(s) = s5 + 2s4 + s3 + s2 + s + 1 Verifica con MATLAB a = [1 2 1 1 1 1] roots(a) −1.67 0.44 + j0.75 0.44 − j0.75 − 0.61 + j0.63 − 0.61 − j0.63 sistema instabile (2 poli con parte reale positiva) sistema oscillatorio: 2 coppie di poli complessi coniugati A.A. 2004/05 Fondamenti di Automatica 7 Stabilità - 7 Tabella di Routh-Hurwitz a(s) = a0 sn + a1 sn−1 + · · · + an−1 s + an sn a0 a2 a4 ··· sn−1 a1 a3 a5 ··· sn−2 b0 b1 ··· sn−3 .. . c0 .. . c1 ··· s0 x0 b0 = a1 a2 − a0 a3 a1 a4 − a0 a5 b0 a3 − a1 b1 , b1 = , . . . , c0 = , ... a1 a1 b0 A.A. 2004/05 Fondamenti di Automatica 8 Stabilità - 8 Metodo di Routh-Hurwitz sn a0 a2 a4 ··· sn−1 a1 a3 a5 ··· sn−2 b0 b1 ··· sn−3 .. . c0 .. . c1 ··· s0 x0 • Si esamina la prima colonna della tabella: ad ogni permanenza di segno corrisponde una radice di a(s) con parte reale negativa; ad ogni variazione una radice con parte reale positiva. • Il sistema è stabile se e solo se tutti i coefficienti della prima colonna sono concordi. A.A. 2004/05 Fondamenti di Automatica 9 Stabilità - 9 Esempio: a(s) = s5 + 2s4 + s3 + s2 + s + 1 s5 1 1 1 s4 2 1 1 s3 1/2 1/2 0 s2 -1 1 s 1 1 1 Ci sono due variazioni di segno nella prima colonna (radici con parte reale positiva) =⇒ il sistema è instabile. A.A. 2004/05 Fondamenti di Automatica 10 Stabilità - 10 Il metodo di Routh-Hurwitz è utile per l’analisi di stabilità del sistema al variare di uno o più parametri. Ad esempio si consideri il sistema in figura: r✲+ e✲ K ✻ u✲ G(s) = b(s) y ✲ a(s) • Si vuole studiare la stabilità del sistema al variare del guadagno K. Kb(s) • La f.d.t. da r a y è: Gry (s) = a(s) + Kb(s) • Quindi si può applicare il metodo di Routh al polinomio α(s, K) = a(s) + Kb(s) dipendente dal parametro K ∈ R. A.A. 2004/05 Fondamenti di Automatica 11 Stabilità - 11 Esempio: G(s) = s+4 s3 + 2s2 − 3s − 20 α(s, K) = s3 + 2s2 + (K − 3)s + 4(K − 5) s3 1 K −3 s2 2 4(K − 5) s 7−K 1 4(K − 5) sistema stabile per 5<K<7 A.A. 2004/05
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