Un’automobile viaggia verso est per 50 km, poi verso nord per 30 km e
infine in direzione di 30° a est rispetto al nord per 25 km.
Si disegni il diagramma dei vettori e si determini lo spostamento totale
dell’auto dal punto di partenza.
Applicaz
ione
• Un quadretto uguale 10km.
a = 50kmu x
b = 30kmu y
c = 25kmsin30°u x + 25km cos30°u y = 12, 5kmu x + 21, 6kmu y
y
d = a + b + c = (50km +12, 5km)u x + (30km + 21, 6km)u y = 62, 5kmu x + 51, 6kmu y
x
G.M. - Edile-Architettura 2004/05
Sono date le componenti di 4 vettori a,b,c,d. Determinare per ciascuno
di essi l’angolo formato con l’asse delle x:
y
1)
ax=3
ay=3
(1)
2)
bx=-3 by=-3
(3)
3)
cx=-3 cy=3
4)
dx=3
dy=-3
Applicaz
ione
x
(2)
(1) q = arctan
(2) q = arctan
(3) q = arctan
(4)
ax
3
= arctan = 45°
ax
3
bx
-3
= arctan = 45° ma bx < 0 Þ q = 45° +180° = 225°
bx
-3
cx
3
= arctan = -45° ma bx < 0 Þ q = -45° +180° = 135°
cx
-3
(4) q = arctan
ax
-3
= arctan = -45°
ax
3
G.M. - Edile-Architettura 2004/05
Il vettore b sommato al vettore a da per risultato 6.0ux+1.0uy. Se si
sottrae b da a il risultato è -4.0ux+7.0uy. Quant’è il modulo il modulo di
a.
Applicaz
ione
a + b = (ax + bx )u x + (ay + by )u y = 6, 0u x +1.0u y
a - b = (ax - bx )u x + (ay - by )u y = -4, 0u x + 7.0u y
ax + bx = 6, 0
ax - bx = -4, 0
ay + by = 1, 0
ay - by = 7, 0
Þ
Þ
2ax = 2, 0
ax = 1, 0
2bx = 10, 0 bx = 5, 0
2ay = 8, 0
a = ax2 + ay2 = 1+16 = 17 = 4,1
ay = 4, 0
2by = -6, 0 by = -3, 0
G.M. - Edile-Architettura 2004/05
La lancetta dei minuti di un orologio misura 12.0 cm dal suo perno all’estremità
libera. Qual è lo spostamento della sua estremità
A)
da 15 a 30 minuti
B)
nella successiva mezzora
C)
nella successiva ora
D)
calcolare la velocità angolare media ed istantanea
E)
calcolare la velocità media nel caso A
F)
il modulo della velocità istantanea e dell’accelerazione.
r1 = u x
r3 = u y
r2 = - u y
Dr2 = r3 - r2 = u y - (- u y ) = 2 u y
wm =
Dr1 = r2 - r1 = - u y - u x
mod ulo = 2
D r3 = r3 - r3 = 0
modulo = 0
mod ulo = 2
p
Applic
azione
2
15 ´ 60
w = wm
= 1.74 ´ 10 -3
rad
s
m
s
-2
-8 m
=1.74 2 ´ 10-6 rad
´12
´
10
m
=
36.33
´
10
s
s2
v = w = 1.74 ´10 -3
rad
s
Dr1 - u y - u x
a = w2
v1 =
=
Dt
Dt
2 1.41´12 ´10-2
m
modulo =
=
= 0.0188 ´10-2
Dt
15´ 60
s
´ 12 ´10 -2 m = 20.88 ´ 10 -5
G.M. - Edile-Architettura 2004/05
Un cannone lancia un proiettile con una velocità iniziale vo=60m/s ad un angolo di
60° rispetto all’orizzontale. Determinare, trascurando la resistenza dell’aria,
la distanza dal punto di partenza del punto di atterraggio del proiettile (gittata).
la velocità di impatto al suolo
la durata del moto
l’altezza massima raggiunta dal proiettile.
il tempo impiegato per raggiungerla.
il valore dell’angolo per il quale la gittata è massima ed il valore della gittata.
la gittata quando l’angolo è di 30°.
il raggio di curvatura alla massima altezza. y
•
Introdurre il sistema di riferimento
–
–
–
–
•
Applic
azione
Asse x orizzontale
Asse y verticale
vo contenuta nel piano xy
Origine nel punto di lancio
vo
60°
Il corpo sarà soggetto all’accelerazione di
gravità
ax = 0
a=g
ay = -g
az = 0
Condizioni iniziali
x
xo = 0
yo = 0
v xo = vo cosq
v yo = vo sen q
zo = 0
vzo = 0
G.M. - Edile-Architettura 2004/05
2
d x
2 = 0
dt
d2y
2 = -g
dt
d 2z
=0
2
dt
•
•
xo = 0
yo = 0
v xo = vo cosq
v yo = vo sen q
zo = 0
vzo = 0
Applic
ìx(t) = ( vo cosqo ) t
í
azione
v
=
v
cosq
î x
o
o
ìy(t) = ( vo sen qo )t - 12 gt 2
í
îvy = v osinqo - gt
ìz(t) = 0
í
îvz = 0
moto uniforme
moto uniformemente accelerato
moto uniforme
y
Il moto avviene nel piano xy
Le equazioni parametriche della traiettoria:
vo
x(t) = (v o cosq o )t
y(t) = (v o senq o )t - 12 gt
60°
2
Per ottenere l’equazione
della traiettoria y(x)
bisogna eliminare il tempo
x
x
t=
vo cosqo
2
x
x
y(t) = (v o senq o )
- 12 g 2
2
v o cosq o
v o cos qo
G.M. - Edile-Architettura 2004/05
y(t) = x tan q o - x 2
g
2v2 o cos2 qo
del tipo
y(t) = ax + bx 2
Applic
azione
una parabola passante per l' origine!
G.M. - Edile-Architettura 2004/05
la distanza dal punto di partenza del punto di atterraggio del proiettile (gittata).
æ
ö
1
x
0 = xç tan q o - g 2
÷
2
2 v o cos qo ø
è
2v2o sen qo cosqo
G = x2 - x1 =
g
x1 = 0
tan q o 2v2o cos 2 q o 2v2o cos2 q o senq o
x2 =
=
g
g
cosq o
Þ
Applic
azione
2
2v senq o cosq o
= o
g
y(t) = x tan q o - x 2
g
2
2
2v o cos qo
v2o sen 2q o
G=
= 317.8m
g
G è massima quando
sen2qo è massimo:
2qo=90°
qo=45°
y=0
G.M. - Edile-Architettura 2004/05
La durata del moto
Troviamo gli istanti di tempo in cui il proiettile è al suolo y=0
1
æ
y = 0 Þ 0 = t è v osinqo - gt öø
2
Applic
azione
t1 = 0
Þ t = 2v osinqo
2
g
2vo sen qo
D = t 2 - t1 =
g
D = 10.59s
La velocità all’impatto t=t2
y(t) = v osinq ot -
v x = vo cosqo
v y = vosinq o - g
vz = 0
x(t) = v o cosq ot
2vosinq o
= -v osinq o
g
La componente y della
velocità ha cambiato di segno
Il modulo della velocità di
impatto è vo
z(t) = 0
1 2
gt
2
vx = v o cosq o
vy = v osinqo - gt
vz = 0
y=0
G.M. - Edile-Architettura 2004/05
l’altezza massima raggiunta dal proiettile ed il tempo necessario per raggiungerla.
Quando il punto si trova nel punto più alto della traiettoria vy=0
v y = vosinq o - gt
vy = 0
x max
y max
Þ
0 = vosinq o - gt
Þ t3 =
Applic
azione
v osinqo
g
v2o sen qo cosqo
=
= 158.9 m
g
1 v2o sen2 qo
=
= 137.6 m
2
g
La gittata massima
v2o sen 2q o
G=
g
2
v
G max = o = 366.9 m
g
x(t) = v o cosq ot
y(t) = v osinq ot z(t) = 0
1 2
gt
2
vx = v o cosq o
vy = v osinqo - gt
vz = 0
vy = 0
La gittata per qo=30°
v2o sen 2q o v2o sen 60°
G=
=
= 317.8
g
g
G.M. - Edile-Architettura 2004/05
Moto del proiettile
Applic
azione
G.M. - Edile-Architettura 2004/05
Determinazione del raggio di curvatura
In ogni punto della traiettoria l’accelerazione è g. In generale essa ha una
Componente tangente ed una normale alla traiettoria. Nel punto di massima
Altezza ha solo la componente normale. Pertanto:
Applic
azione
v 2 v o cosqo
g= =
r
r
da cui
2
r=
v o2 cosq2o
g
g
2
60 2 * 0, 52
=
= 91, 7m
9,81
g
G.M. - Edile-Architettura 2004/05
Un corpo percorre un tratto orizzontale AB: in A ha velocità v1 ed in B ha velocità
v2 minore di v1 in quanto tra A e B l’accelerazione vale –kv, con k=2.3 s-1. Dopo B
il punto prosegue nel vuoto e tocca il suolo in D. Si ha AB=b=2.14 m, BC=h=1.5
m, CD=d=1.35 m. calcolare il valore di v1.
x = v2t
Calcoliamo il tempo di caduta imponendo
y=0 (si osservi che solo la soluzione positiva
è quella valida)
t =±
La velocità v2 può essere ottenuta studiando
il moto lungo l’asse x e sapendo che in
questo tempo il punto materiale ha
raggiunto il punto D:
Nel tratto AB il moto è rettilineo smorzato:
se scriviamo la velocità come funzione della
posizione:
v2
v1
Il moto dopo B sarà quello del proiettile,
introducendo un sistema di riferimento con
origine in C, asse x lungo CD e asse y lungo
CB, tenendo conto delle condizioni iniziali
(xo=0, yo=h,vox=v2, voy=0), si avrà:
A
1
y = h - gt 2
2
d = v2
Applic
azione
B
C
D
2h
g
2h
d
Þ v2 =
g
2h
g
dv
= -kv
dt
dvdx
= -kvdx
dt
vdv = -kvdx
moltiplico ambo i membri
per dx, lo spostamento in dt
G.M. - Edile-Architettura 2004/05
Un corpo percorre un tratto orizzontale AB: in A ha velocità v1 ed in B ha velocità
v2 minore di v1 in quanto tra A e B l’accelerazione vale –kv, con k=2.3 s-1. Dopo B
il punto prosegue nel vuoto e tocca il suolo in D. Si ha AB=b=2.14 m, BC=h=1.5
m, CD=d=1.35 m. calcolare il valore di v1.
Semplificando v da ambo i membri
dv = -kdx
Sommando membro a membro su tutti gli
intervalli dt
v2
v1
A
t
t
0
0
ò dv = ò -k dx
Applic
azione
B
C
D
All’istante iniziale il punto materiale si
t
t
v ] 0 = -k [ x ] o Þ v2 - v1 = -k(x B - x A )
[
trova in A ed ha velocità v1, all’istante finale t
il punto materiale si trova in B con velocità
v2 - v1 = -kb
v2
d
v1 = v2 + kb =
+ kb
2h
g
v1 =
d
+ kb =
2h
g
1, 35
1, 35
+ 2, 3* 2,14 =
+ 4, 99 = 7, 44 m
s
0.55
2 *1, 5
9,81
G.M. - Edile-Architettura 2004/05
Disponendo di un cannone che riesce a scagliare i proiettili con una velocità di
82m/s, a quale “alzo” (angolo rispetto all’orizzontale) si deve puntare il cannone
per colpire la sommità di un campanile distante 500 m dal cannone e alto 30 m?
y
Utilizzando un sistema di riferimento con
origine nella posizione del cannone, asse x
orizzontale diretto verso il campanile e asse
y verticale, le coordinate del bersaglio sono:
Le equazioni parametriche del moto del
proiettile tenendo conto delle condizioni
iniziali sono:
L’equazione della traiettoria, eliminando il
tempo tra le due, sarà:
Che può essere messa in questa forma:
Applic
azione
q
xB = 500m
yB = 30m
x
x(t) = (v o cosq o )t
y(t) = (v o senq o )t - 12 gt
y = x tanq o - x 2
2
g
2vo2 cos2 q o
gx 2 1
gx 2 cos2 q o + sin 2 q o
y = x tanq o - 2
ovvero y = x tan q o - 2
2
2v o cos q o
2v o
cos2 q o
gx 2
gx 2
2
y = - 2 tan q o + x tanq o - 2
2v o
2v o
G.M. - Edile-Architettura 2004/05
Disponendo di un cannone che riesce a scagliare i proiettili con una velocità di
82m/s, a quale “alzo” (angolo rispetto all’orizzontale) si deve puntare il cannone
per colpire la sommità di un campanile distante 500 m dal cannone e alto 30 m?
Elaborando ulteriormente
Applic
azione
gx 2
gx 2
2
tan q o - x tanq o + 2 + y = 0
2
2v o
2v o
2v 2o
moltiplicando per 2 si ottiene
gx
æ 2v o2 y ö
2v o2
2
tan q o tan q o + ç1+ 2 ÷ = 0
gx
gx ø
è
Imponendo che il proiettile passi per il
bersaglio diventa:
Che è una equazione di secondo grado in
tanq, risolvendo:
æ 2vo2 yB ö
2vo2
tan q o tanq o + ç1+
=0
2 ÷
gxB
gxB ø
è
2
æbö
b
- ± ç ÷ - ac
è2ø
2
ax 2 + bxo + c = 0 Þ x1,2 =
a
2
G.M. - Edile-Architettura 2004/05
Disponendo di un cannone che riesce a scagliare i proiettili con una velocità di
82m/s, a quale “alzo” (angolo rispetto all’orizzontale) si deve puntare il cannone
per colpire la sommità di un campanile distante 500 m dal cannone e alto 30 m?
æ v o2 ö
v
2v o2 yB
tanq o =
± ç
=
÷ -12
gxB
gx B
è gxB ø
2
o
Elaborando ulteriormente
Applic
azione
2
v 2o
v o4
2v o2 yB
v o2
v o4 - g 2 x 2B - 2v o2 gyB
=
± 2 2 -1=
±
=
2
2 2
gxB
g xB
gxB
gxB
g xB
v o4 - g 2 x 2B - 2v o2 gyB
v 2o
=
±
gxB
gxB
Le eventuali soluzioni dipendono dalla
quantità sotto radice
vo4 - g2 x 2B - 2v2o gyB
v o4 - g 2 x 2B - 2v o2 gyB < 0 non ci sono soluzioni
v 2o
v - g x - 2v gyB = 0 Esiste una sola soluzione tanq =
gxB
4
o
2
2
B
2
o
v o4 - g 2 x 2B - 2v o2 gyB
v o2
v - g x - 2v gyB > 0 Esistono due soluzioni distinte tanq =
±
gxB
gxB
4
o
2
2
B
2
o
G.M. - Edile-Architettura 2004/05
Disponendo di un cannone che riesce a scagliare i proiettili con una velocità di
82m/s, a quale “alzo” (angolo rispetto all’orizzontale) si deve puntare il cannone
per colpire la sommità di un campanile distante 500 m dal cannone e alto 30 m?
Applic
azione
Nel nostro caso
vo4 - g2 x 2B - 2v2o gyB = 82 4 - 9,812 * 5002 - 2 *822 *9,81*30 =17195404,6>0
v o4 - g 2 x 2B - 2v o2 gyB 82 2 ± 17195404, 6
v o2
tanq =
±
=
=
gxB
gxB
9,81* 500
= 1,37 ± 0,84 =
2, 21 Þ q = arctan 2, 21 = 65, 6°
0, 53 Þ q = arctan 2, 21 = 27, 9°
G.M. - Edile-Architettura 2004/05
G.M. - Automazione-Informatica B 2004/05
G.M. - Automazione-Informatica B 2004/05
G.M. - Automazione-Informatica B 2004/05
Il treno veloce francese, TGV, compie viaggi ad una velocità media di 216 Km/h. Se
abborda una curva a questa velocità e la massima accelerazione centripeta accettabile
dai passeggeri è 0.050g, qual è il minimo raggio ammissibile per le curve dei binari.
Se una curva ha un raggio di 1.00 km, a quale valore deve essere ridotta la velocità
per rispettare il limite di accelerazione consentito?
Applic
azione
km
10 3 m
m
216
= 216
= 60
h
3600s
s
v
v
(
)
£ 0.050g Þ R ³
=
= 7.4km
m
R
0.050g 0.050 ´ 9.81 2
2
m 2
60 s
2
s
v2
£ 0.050g Þ v2 £ 0.050gR = 0.050 ´ 9.81´ 1000 = 490( ms )
R
-3 km
3600-1 h
v £ 22.1 ms = 22.1 10
2
= 79.7 km
h
G.M. - Edile-Architettura 2004/05
Un punto materiale si muove con una velocità costante v=5m/s lungo una traiettoria
rettilinea parallela all’asse y posta a distanza di 50 cm da esso. Si supponga che
all’istante iniziale il punto materiale si trovi sull’asse x, ossia con y =0.
Man mano che il punto materiale si muove sulla traiettoria rettilinea cambia anche
l’angolo formato dal vettore posizione r(t) con l’asse delle x : determinare la velocità
angolare in funzione del tempo.
Determinare in funzione del tempo la componente radiale della velocità e quella
trasversa.
Considerando le condizioni iniziali, la legge oraria diventa:
y
y = vot
Ma la coordinata y è anche data da:
Applic
azione
v
y = atanq
r
q
La componente y della velocità, vo, sarà data da:
a
x
d(tan q )
d(tan q ) dq
dy d( atan q )
a
vo =
=
=a
=a
=
w
2
dt
dt
dt
dq dt cos q
Da cui possiamo ricavare la velocità angolare:
v o cos2 q
w=
a
G.M. - Edile-Architettura 2004/05
Un punto materiale si muove con una velocità costante v=5m/s lungo una traiettoria
rettilinea parallela all’asse y posta a distanza di 50 cm da esso. Si supponga che
all’istante iniziale il punto materiale si trovi sull’asse x, ossia con y =0.
Man mano che il punto materiale si muove sulla traiettoria rettilinea cambia anche
l’angolo formato dal vettore posizione r(t) con l’asse delle x : determinare la velocità
angolare in funzione del tempo.
Determinare in funzione del tempo la componente radiale della velocità e quella
trasversa.
y
Esprimendo il cosq in funzione di a e di y si ottiene:
a2
vo 2
2
v o cos q
a
a + v o2 t 2
w=
=
= vo 2
a
a
a + v o2 t 2
v
r
q
a
Il vettore posizione si può esprimere:
r = au x + votu y
Il suo versore vale:
ur =
a
a +v t
2
2 2
o
ux +
Applic
azione
vot
a +v t
2
2 2
o
x
uy
G.M. - Edile-Architettura 2004/05
Un punto materiale si muove con una velocità costante v=5m/s lungo una traiettoria
rettilinea parallela all’asse y posta a distanza di 50 cm da esso. Si supponga che
all’istante iniziale il punto materiale si trovi sull’asse x, ossia con y =0.
Man mano che il punto materiale si muove sulla traiettoria rettilinea cambia anche
l’angolo formato dal vettore posizione r(t) con l’asse delle x : determinare la velocità
angolare in funzione del tempo.
Determinare in funzione del tempo la componente radiale della velocità e quella
trasversa.
Mentre il versore trasverso, perpendicolare al versore del
vettore posizione, vale:
uq = -
vot
a +v t
2
2 2
o
ux +
a
a +v t
2
2 2
o
y
uy
scriviamo v=vo u y
Applic
azione
v
r
q
a
x
moltiplicando scalarmente per u r e uq si ottiene
vr = v × u r =
vr = v × uq =
v o2t
a 2 + vo2 t 2
voa
a 2 + vo2 t 2
G.M. - Edile-Architettura 2004/05
Un camion ed un’automobile percorrono una strada rettilinea a velocità
costante (va=80km/h, vc=60km/h). Come appare il moto dell’automobile
rispetto al camion?
• Consideriamo un sistema di riferimento legato alla strada con l’origine
O coincidente con l’ultimo incrocio e l’asse x lungo la strada rettilinea
orientato nel verso del moto dei due veicoli.
x a = vxat
• Le rispettive leggi orarie saranno:
x c = v xct'
• Per studiare il moto dell’automobile rispetto al camion, consideriamo un
secondo sistema di riferimento con l’origine O’ coincidente con il
camion e l’asse x’ diretto come l’asse x (vxO’=vc).
• Possiamo applicare le trasformazioni di Galilei
x = x' + vxO' t
y = y'
z = z'
v x = v' x' +v xO'
v y = v' y'
v z = v' z'
x' a = xa - vxO' t = va t - v ct = (va - vc )t
Si tratta di un moto che avviene lungo l’asse x’
(rettilineo) a velocità costante data da va- vc.
Alla stessa conclusione si arriva usando le
trasformazioni della velocità.
v' x' = v x - vxO'
Þ v' a = va - vc
Applica
zione
La neve sta cadendo verticalmente ad una velocità costante di 8 m/s. A
quale angolo rispetto alla verticale sembrano cadere i fiocchi di neve per
il guidatore di un auto che viaggia a 50 km/h?
•
•
•
Applicazi
one
Consideriamo il sistema di riferimento Oxyz fermo rispetto al suolo co n l’asse x
diretto lungo la strada e il sistema O’x’y’z’ fermo rispetto al guidatore.
il sistema O’x’y’z’ si muove con velocità costante rispetto al sistema Oxyz
Possiamo applicare le trasformazioni di Galilei:
v = v' +v O'
y
km
1000m
50
= 50
= 13,9m / s
h
3600s
y’
v
v O'
•
La velocità dei ficchi di neve rispetto alla macchina
(sistema O’x’y’z’ ) sarà:
v' = v - vO'
- vO'
v'
q
v
O
tan q =
O’
x’
x
v a 13.9
=
= 1.737
v
8.0
q = 60°
G.M. - Edile-Architettura 2004/05
Una persona ferma sul marciapiede della stazione spara un proiettile
perpendicolarmente ai binari mentre sta transitando un treno alla velocità
di 40km/h. La velocità di uscita del proiettile dalla canna della pistola è
di 100 m/s. Il proiettile entra ed esce dal treno lasciando due fori nei
finestrini posti sui lati opposti del treno senza diminuire
apprezzabilmente la sua velocità. Qual è la distanza del foro di uscita del
proiettile dal punto direttamente opposto al foro di ingresso se il treno è
largo 2 m?
sapendo che in generale v = v'+ vO'
v'p = v p - v t
tanq =
vt
=
vp
Applica
zione
1000m / km
1
h 3600s / h
=
9
100 m
s
40 km
v'p è la velocità, costante, del proiettile rispetto al treno
d = larghezza treno*tanq =
v p è la velocità del proiettile rispetto al sistema fisso
=2m* 1
v t è la velocità del treno
9
Un fiume largo 200 m ha una corrente che scende a velocità uniforme di
1.1 m/s verso est attraverso al giungla.
Un esploratore vuole lasciare la sua radura posta sulla sponda sud per
raggiungere la riva nord con la sua barca a motore capace di navigare a
velocità costante di 4.0 m/s rispetto all’acqua.
Sulla riva nord c’è un’altra radura situata a 82 m più a monte rispetto al
punto posto di fronte alla posizione iniziale dell’esploratore.
In quale direzione occorre puntare la barca per raggiungere la radura sulla
sponda opposta con una traversata in linea retta?
Quanto dura questa traversata?
Applicazi
one
y
v = v' +v O'
v' cosq' = v cosq
v' senq' = vsen q + vo'
cosq =
senq =
v
v O'
v'
200
= 0.925
2
2
200 + 82
82
= 0.379
2
2
200 + 82
v
v O'
x
O
tan q' =
vsenq + vo'
v cosq
v' = v + 2vv o' senq +
2
2
q' = 37°
2
vo'
v = 3.38 ms
G.M. - Edile-Architettura 2004
G.M. - Automazione-Informatica B 2004/05
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