un sistema rigido di punti
materiali
un sistema rigido di punti materiali
Un sistema rigido di punti materiali è capace di ruotare mantenendo tutte
le distanze tra una coppia qualsiasi di due particelle reciprocamente
invariate fra di loro,e quindi mantenendo la sua forma.
Un sistema composto da molte particelle è rigido soltanto quando le
distanze tra le particelle non cambiano sotto l’azione di una forza o di un
momento meccanico
se Pi e Pj sono due punti qualsiasi del sistema, la condizione di rigidità è:
Pi Pj  cos t
osservazione
• cercheremo subito di definire alcune
variabili che tengono conto delle
proprietà del sistema rigido di punti
materiali nel suo insieme
• tali variabili permettono di semplificare
molto le equazioni che descrivono la
dinamica e la statica di questi insiemi
• queste considerazioni sono applicabili
anche ad un corpo rigido, continuo
Energia cinetica rotazionale di un corpo
rigido e momento di inerzia
UN ESEMPIO
La lama di una sega circolare che gira ad alta velocità ha una
energia cinetica rotazionale. Come calcolarla?
Considereremo la lama un insieme di punti materiali ognuno
dotato della sua velocità, e calcoleremo la sua energia cinetica
nel solito modo:
1
1
2
K  K1  K 2  K 3  ........  m1v1  m2 v22  ......
2
2
1 2 1
1
2
K   mi vi   mi ri  
2
2
2
 m r 
2
i i
2
1 2
K  I
2
sistema rigido di punti materiali,
velocità , masse, posizioni etc diverse
ri , mi , vi , ai ,.....
i=1,2,...17
ma ogni punto iesimo ha una stessa velocità angolare
z
o
ri
momento di inerzia di
un sistema di punti
materiali
i
y

1 2
K  I
2
L’energia
energia cinetica rotazionale di tutto il sistema è
necessaria per
uguale alla somma delle energie cinetiche singoli punti ruotare un corpo
rigido dipende
1
1
1
K   mi vi2   mi (ri ) 2   2  mi ri 2
anche dalla
2
2
2
distribuzione della
sua massa attorno
2
2
I  kg.m
all’asse di
I  mi ri  I i
rotazione
x





il centro di massa di un sistema
di punti materiali
z
o

rri
cm
mi
M   mi
y
x

1
rcm 
M

 ri mi
1
xcm 
xi mi

M
1
ycm 
yi mi ;

M
1
zcm 
zi mi

M
sistema di punti materiali
Centro di Massa CM

1
rcm 
M

 ri mi
M   mi
Momento di Inerzia I
I   mi ri   I i
2
momento di inerzia rispetto ad un asse
il momento di inerzia di un insieme di
punti materiali calcolato rispetto ad
un asse fisso è dato dalla somma dei
singoli momenti di inerzia di ogni
punto materiale, dove ri è la distanza
del punto i dalla retta di rotazione
che,scritto in forma compatta, diventa
 z
u k
ri
mii
x
y
I  I1  I 2  ......
 m1r12  m2 r22  .....
I   mi ri
2
se l’asse di rotazione è
coincidente con l’asse z

I   mi x  y
2
i
2
i

raggio giratore
• Il raggio giratore del corpo
Rg è dato dalla relazione
• Rg è la distanza dall’asse di
rotazione di un punto
materiale ideale nel quale è
concentrata tutta la massa M
del sistema, avente il momento
di inerzia I del sistema rigido
• Il raggio girtore è spesso
indicato con la lettera K
Rg 
I
; I  MRg2
M
I
Rg  K 
; I  MK 2
M
Alcuni esempi
• la molecola di bromuro di potassio KBr
• un sistema di punti materiali
moto del CM un sistema
rigido di punti materiali
forza esterna netta e quantità di moto totale per un insieme di
punti materiali



P   pi   mi vi




dvi
dmi vi
Fnet   mi ai   mi

dt
dt



dpi dP
Fnet  

dt
dt


dpi
Fnet  
dt
Newton: “ la
variazione della
quantita’ di moto
di una particella
e’ proporzionale
alla forza netta
che agisce su
quel punto ed ha
la stessa
direzione della
forza”
In un sistema isolato e
chiuso (F=0) la quantita’
di moto P si conserva.
conservazione della quantità di moto (o momento linerare) in
un sistema di punti materaili



dri
d  mi ri
P   pi   mi vi   mi

dt
dt

1
rcm 
M

 ri mi



dCM
Fnet  M
 Macm
dt
Per un sistema di punti materiali
od un corpo rigido di massa M la
quantita di moto del sistema e’
uguale alla massa del sistema per
la velocita del CM.
drCM
M
dt


P  Mcm

Fnet

dP

dt
Dal punto di vista delle forze
esterne,l’intero sistema si
comporta come se tutta la
massa fosse concentrata nel CM
realazione tra centro di massa e quantità di moto totale
Un esempio: esplosione di un razzo


Fnet  Macm

Fnet
Nell’esplosione di un razzo,
trascurando la resistenza dell’aria,
Fnet e’ la forza di gravita`. Le forze
dell’esplosione sono interne. Il CM si
muove in un campo di forza
gravitazionale g.
risultante
forze esterne
Energia di un sistema di punti
materiali
• l’energia di un sistema di punti
materiali è data dalla somma :
• della energia cinetica interna,
calcolata dalle velocità dei singoli
punti rispetto alla velocità del
centro di massa
+
• l’energia cinetica di traslazione del
1
CM
2
1 2
K   mii  MvCM
2
2
dinamica di rotazione
• Il centro di massa di un sistema segue la
traiettoria che dipende dalla Forza
Risultante Esterna Fnet
• Massa e centro di massa però non
caratterizzano completamente il moto di un
sistema di particelle.
• La dinamica di rotazione di un sistema di
particelle rigido deve tenere conto della
distribuzione delle masse: dovremo tener
conto del momento di inerzia
il momento meccanico di un
sistema di particelle
il momento meccanico di un sistema di particelle
II leggedi Newoton per il
moto rotatorio
il momento meccanico netto ( o risultante) di un sistema di
punti materiali è dato dalla somma vettoriale dei singoli
moment meccanici dei singoli punti materili

 net
 
  i   ri  Fi
n
i 1

n
i 1
 i  I i
 net    I i 
in un sistema rigido in moto
rotatorio tutti i punti hanno la
stessa velocità e la stessa
accelerazione angolare
I   Ii
Il momento netto delle forze è uguale
al momento di inerzia per la
accelerazione angolare del sistema
rigido di punti materiali
n.b.: angoli in radianti!
 net  I
II legge di Newton per
la rotazione
il ruolo del momento meccanico
• Il momento meccanico svolge nel moto
rotatorio un ruolo analogo a quello della
forza nel moto traslatorio
• Utilizzando questa grandezza, potremo
scrivere una equazione del moto (analoga a
quella di Newton per il moto traslatorio),
che fornisce una accelerazione angolare e
permette di calcolare le variazioni della
posizione angolare e della velocità angolare
un esercizio sul momento meccanico
di un sistema di punti materiali
momento angolare di un sistema di particelle
z
o

ri
momento angolare
iesima particella

i pi
j
y
momento meccanico
iesima particella
x
momento angolare
totale

d i
dL

dt
dt

 
i  ri  pi 

d i 
i
dt
  

L  1  2  .....   i


dL
  i
dt
la somma risultante net di tutti i vettori momento meccanico
i delle singole particelle è uguale alla variazione temporale
del momento angolare di tutto il sistema stesso

dL 
  net
dt
le equazioni cardinali del moto di un
sistema di punti materiali soggetto ad
una forza risultante esterna Fnet e ad un
momento meccanico net



dP
 MaCM  Fnet
dt

 
dL
 I   net
dt

Fnet  0

dP
0
dt

 net  0

dL
0
dt
leggi conservative
se il sistema di punti materiali
non è soggetto ad una forza
risultante esterna, la quantità di
moto si conserva
se il sistema di punti materiali
non è soggetto ad un momento
meccanico esterno, il momento
angolare si conserva
esercizi sulla composizione di
momenti angolari di sistemi di punti
materiali
• il momento angolare del bromuro di
potassio
• due particelle su un piano in moto
rettilineo uniforme
• il manubrio
• manubrio con asse di rotazione
inclinato
Una domanda teorica
le forze che originano i cicloni