Fisica IV
Parte 2°
Richiami sul campo magnetico
Proprietà magnetiche della materia:
diamagnetismo, paramagnetismo e ferromagnetismo
1
Campo magnetico B
Generazione di un campo magnetico
Un campo magnetico può essere ottenuto facendo passare corrente in un filo conduttore
( Oersted, 1819).
Più in generale:
Un campo magnetico viene generato ogniqualvolta c'è una
carica elettrica in moto
Come vedremo in dettaglio più avanti un campo magnetico può essere prodotto anche da un
magnete permanente ( per esempio una comune calamita). In questo caso non c'è passaggio di
una corrente elettrica "convenzionale". Ci sono però i moti di cariche elementari all'interno
del materiale .
Forza esercitata dal campo magnetico
Il campo magnetico esercita una forza sui conduttori percorsi da corrente (Forza di Laplace) e
sulle cariche elettriche in movimento (Forza di Lorenz).
Più in generale:
Un campo magnetico agisce sulle cariche elettriche in moto
2
Legge di Biot Savart
Legge di Gauss
Il campo magnetico dB prodotto da un elemento di
corrente dl in un punto P a è dato da:
 0 I dl  r
dB 
4 r 3
Q
r
E
40 r 3
I
dl
E
P
r
r
dB
0410-7 Henry/m
Q
r è la distanza tra dl e il punto P
I è la corrente che fluisce nel conduttore
dl è un elemento della spira orientato nel verso della corrente.
Il campo magnetico B generato dall’intera spira nel punto P si ottiene sommando i contributi di
tutti gli elementi che compongono la spira
0 I dl  r
B   dB  
4 r 3
Il campo magnetico si misura in Tesla [T]
3
Forza di Lorenz
F  qE
In presenza di un campo magnetico B una carica q che si muove
con velocità v è soggetta ad una forza F in direzione ortogonale sia a

v che a B data da:
q
F  qv  B
E
B
v
F
q
F
Poiché tale forza agisce perpendicolarmente alla direzione di v (direzione in cui si muove la carica),
tale forza non compie lavoro.
dL  F  ds  (qv  B)  ds  0
Forza di Laplace
I
B dl
S
F
La forza agente su un elemento di spira di sezione S e lungo dl
percorsa da una corrente I può essere calcolata come la forza
risultante agente su tutte le cariche in moto contenute nell’elemento
di spira:
F  N (qv  B)  n dl S (qv  B)  I (dl  B)
Dove la corrente I è data da: I=JS
e J è la densità di corrente data da: J=nqv
dl è orientato nella direzione e nel verso della corrente
4
Calcolo del momento torcente esercitato dal campo B su una spira
Sia data una spira rettangolare di lati L1, L2, L3 e L4, 1 e 3 di lunghezza a e 2 e 4 di lunghezza b. La spira è
immersa in un campo magnetico B che forma un angolo q con la normale alla superficie della spira come
mostrato in figura.
La forza applicata alla spira sarà la forza risultante applicata ai quattro lati
4
4
i 1
i 1
3
F   Fi   I (Li  B)
Le forze F2 e F4 sono uguali in modulo |F2|=|F4|=IbBcosq e agiscono
sullo stesso asse. Non hanno quindi nessun effetto. Le forze F1 e F3
sono uguali in modulo |F1|=|F3|=IaB ma non agiscono sullo stesso asse.
Tendono a far ruotare la spira con un momento dato da:
b
2
τ  IA  B
b
2
dove
4
1
  sin q F1  sin q F3  b sin qIaB  Iab sin qB
A  abnˆ
I versore n è orientato normalmente alla superficie e diretto in
base alla direzione della corrente secondo la regola della
mano destra
La forza di Laplace tende a orientare la
spira in modo che la sua normale sia
parallela al campo magnetico.
5
Campo generato ad un filo conduttore rettilineo infinito percorso da una corrente I
B   dB  
q
0 I dl  r
4 r 3
dl
Il campo in un punto P a distanza a dal filo, generato da un
elemento di filo dl, ha direzione e verso uscente dal foglio e
modulo:
dB 
l  atga

u
r
P
a
a
0 I dl  r 0 I dl sin q

3
4 r
4
r2
dl  a
da
cos 2 a
;
r
a
cos a
;
q a  / 2
I
0 I da cos a
4
a
0 I  / 2
0 I
0 I
 /2
B
cos
a
d
a

sin
a


- / 2
4a - / 2
4a
2a
dB 
0 I
B
ˆ
2a
6
Esempi di linee di forza del campo B
FILO RETTILINEO
PERCORSO DA CORRENTE
SPIRA CIRCOLARE PERCORSA DA
CORRENTE
SOLENOIDE PERCORSO DA CORRENTE
7
LINEE DI FORZA DEL CAMPO E GENERATODA
DUE DISCHI CARICHI DI SEGNO OPPOSTO
LINEE DI FORZA DEL CAMPO B GENERATODA UN
CILINDRO DI MATERIALE MAGNETIZZATO
Una ulteriore importante analogia che deve
essere messa in evidenza è quella tra i campi
generati un cilindro di materiale magnetizzato
e da due dischi carichi di segno opposto.
Questo aveva suggerito l’esistenza di cariche
magnetiche di segno opposto localizzate agli
estremi del cilindro. L’esistenza di cariche
magnetiche non è mai stata provata,
viceversa mostreremo come un cilindro
magnetizzato possa essere assimilato ad un
solenoide alimentato da una corrente che
fluisce sulla superficie esterna del cilindro.
8
Analogia tra i materiali magnetici e i dielettrici
9
BARRA MAGNETIZZATA
In tutti gli esempi mostrati, le linee del campo sono chiuse. Né nascono, né muoiono in
corrispondenza di “cariche magnetiche”. Il caso della barra magnetizzata sembrerebbe
diverso, ma verrà mostrato in seguito che anche in questo caso le linee di B sono
chiuse (l’immagine non mostra le linee di forza all’interno del materiale). In realtà si
può dimostrare che per qualunque superficie chiusa vale che:
 ( B)   B  dS  0
LE LINEE DEL
CAMPO B SONO
CHIUSE
10
Circuitazione del campo B
 B  dl  ?
Le linee di forza del campo di B in prossimità di un filo percorso dalla corrente I sono cerchi concentrici al filo.
Se si esegue la circuitazione di B lungo una di tali circonferenze si trova che:
0 I
0 I
0 I
ˆ
ˆ
B

dl




rd


d


2  0 I

 2r
 2
2
dl  ̂ rd
dl
r
Se si compiono N giri intorno al filo percorso da corrente I si trova:
 B  ds  
0 I
 I
d  0 N 2  N0 I
2
2
Se si esegue la circuitazione lungo una linea che non racchiude (non concatenata) il filo si trova che:
dl 1  r1dˆ
2
0 I
 I
r1d   0 r2 d 
1 2r1
 2 2r2
 B  dl   B  dl 1   B  dl 2  
l1
l2
dl1
1
2
2
2
0 I
 I
 
d -  0 d  0
1 2
1 2
r2
dl2
dl 2  -r2 dˆ
1
r1
11
Legge di Ampere
I casi che abbiamo considerato sono molto semplici (campo generato da un filo rettilineo, cammini lungo
circonferenze concentriche al filo), ma si dimostra che la circuitazione di B lungo una qualunque linea chiusa è
uguale alla somma delle correnti concatenate moltiplicate per 0
 B  ds  0  I conc
12
Legge di Ampere
 B  ds  0  I conc  0 (i1 - i2 )
13
Equazioni di Maxwell dei campi E e B in
condizioni stazionarie
 ( E )   E  dS 
Q
0
 E  dl  0
 ( B)   B  dS  0
 B  dl  0 I
 Il campo E è generato da cariche
elettriche
 Il campo B non è generato da
cariche magnetiche
 Il campo E è conservativo
 Il campo B è generato da correnti
 Il campo B non è conservativo
14
Esempi di applicazione delle equazioni di Maxwell: campo generato
esternamente e internamente a un filo rettilineo di raggio R percorso da corrente I.
Per simmetria le componenti di B possono essere: tangenziale (B), radiale (Br), o longitudinale (Bz)
 ( B)   B  dS  0
Br 2rL  0  Br  0
h
Br
dl
a1
a2
Bz (a1 )  Bz (a2 )  const
B
dl
r
B
r
Non ci può essere una componente
radiale perché “nascerebbe” dal filo
(le linee di campo non sarebbero
chiuse).
2)
La componente longitudinale deve
essere costante anche a distanza
molto grande dall’origine. Perciò la
costante deve essereb zero (Bz=0).
3)
Solo la componente tangenziale è
diversa da zero
 B  dl  0
L Bz (a1 ) L - Bz (a1 ) L  0
Bz
R
1)
rR
 B  dl  0 I

 Bz  0
B 2r  0 I
B
0 I
ˆ
2r
rR
r 2
 B  dl   0 I ( r )   0 I 2
R
B 2r   0 I r 2 R 2
B
0 I
rˆ
2R 2
15
Campo generato da un solenoide infinito di raggio R composto di n
spire per unità di lunghezza percorse da una corrente I.
I
Per simmetria le componenti di B possono essere: tangenziale (B), radiale (Br), o
longitudinale (Bz)
R
I
l1
Come nel caso precedente non ci può essere
una componente radiale perché il flusso di B
è diverso da zero (Br=0)
2)
La componente tangenziale deve essere
zero perché circonferenze che giacciono su
piani perpendicolari all’asse del solenoide
non concatenano nessun flusso (B=0).
3)
Solo la componente longitudinale è diversa
da zero (Bz0)
B
dl1
r
dl2
l2
 B dl1   B dl2  0
l1
1)
 B  0
l2
 Campo all’esterno del solenoide:
Bz
r2
r1
l1
l1 B  dl 1  0
Bz  const
dl1
l2
Bz (r1 )h - Bz (r2 )h  0

B=0
Bz  0
 Campo all’esterno del solenoide:
l2 B  dl 2  0 NI  0 nhI
n  N/L numero di spire per unità di lunghezza
b
c
d
a
b
a
b
c
d
a
 B  dl2   B  dl2   B  dl2   B  dl2   B  dl2  Bz h
Bz  0 nI
16
Solenoide di raggio R lungo L composto da N spire
Nel caso di un solenoide finito il risultato trovato è solo approssimativamente vero. All’interno
del solenoide in posizione equidistante dai due estremi vale ancora:
B  Bzˆ 
0 NI
L
zˆ
se
R/L  1
L
Avvicinandosi agli estremi il campo diminuisce e comincia a deviare dalla direzione
longitudinale. All’esterno il campo non è nullo anche se molto minore che all’interno e le linee
che escono da un estremo si richiudono entrando dall’altro estremo.
LINEE DI FORZA IN UN SOLENOIDE FINITO
Il solenoide infinito si realizza richiudendo un solenoide su se stesso in forma di toro
Esercizio 1:
Calcolare il campo all’interno di un toro di raggio medio r=(R1+R2)/2
Esercizio 2:
Calcolare il campo all’interno di un solenoide di lunghezza L=20 cm, raggio R=2
cm, su cui sono avvolte N=10000 spire attraverso cui passa una corrente I=10 A.
Calcolare la potenza dissipata se il filo è di rame (r=1.510-6 Wcm) e ha una
sezione S=1 mm2.
Calcolare il peso dell’avvolgimento (d=9 gr/cm3).
Calcolare la pressione di Laplace che agisce sulle spire
17
Campo generato sull’asse di una spira percorsa da corrente
Sommando i contributi di elementi della spira opposti al
centro C, rimane solo la componente Bz data da:
 I ds  r
dB  2 0
4 r 3
z
a
r 2  (R2  z 2 )
r
0 I ds
cos a
4 r 2
dBz  2dB cos a  2
dBz
r
z
;
cosa 
R
R
 2
r ( R  z 2 )1 / 2
; ds  Rd 

0 I R 2 d 0 I R 2
Bz   dBz  

3
2

2 r 3
r
0
0
IR 2
B
zˆ
2 ( R 2  z 2 )3 / 2
a
R
Se il campo viene valutato in un punto sull’asse z, molto lontano dalla spira si ottiene:
0 IR 2
B
zˆ
2 z 3
per
z  R
Se definiamo il momento magnetico della spira come m = I A dove A è la superficie
della spira R2 orientata normalmente alla spira con verso definito in base alla direzione
della corrente dalla regola della mano destra, il campo B sull’asse diventa:
B
0 m
2 z 3
per
L’unità di misura del momento magnetico è:
m=IA
z  R
m  Amperem 2   J /T 
18
La relazione vale per una spira di qualunque forma pur di essere sul suo asse e
a grande distanza. Tale relazione va confrontata con quella del campo elettrico
generato da un dipolo elettrico lungo l’asse del dipolo a grande distanza:
 m
B 0 3
2 z
E
1
p
20 z 3
m = IA
I
A
campo magnetico generato da un momento magnetico m sul suo asse
I
campo eletrico generato da un momento di dipolo p sul suo asse
Momento torcente generato dal campo B su una spira
Abbiamo già calcolato il momento torcente generato dal campo B su una spira
(vedi pag.6):
τ  IA  B
Introducendo il momento di dipolo della spira m=IA si trova che:
τ mB
τ pE
in analogia con
Energia di una spira in presenza di un campo B
In analogia a quanto fatto per il dipolo elettrico si calcola il lavoro necessario per ruotare il dipolo magnetico m
immerso nel campo B di un angolo q.
q
q
0
0
L0q  -  τdq  -  mB sin qdq  mB(cos q - 1)
Da cui:
U (q )  -mB cos q  -m  B
in analogia con
U( q )  -p  E
19
Anche l’analogia tra i campi E e B
generati da un momento di dipolo p
o m, rispettivamente, non si ferma al
campo generato lungo l’asse. Se si
esclude la zona di spazio “vicina” al
dipolo dove le linee di forza di E e di
B sono profondamente diverse, a
grande distanza le linee di forza
sono identiche. Le relazioni che
descrivono i campi di dipolo elettrico
e magnetico a grande distanza sono
infatti date da:
1  3(p  r )r p 
- 3
5

40  r
r 
  3(m  r )r m 
B 0 
- 3
4  r 5
r 
Linee di forza di
E generato da un dipolo elettrico p
E
Linee di forza di
B generato da un dipolo magnetico m
20
Momento magnetico atomico
MOMENTO MAGNETICO
ELETTRONICO
m  IA
e
v
dove I   e
e
T
2r
e
m  vrnˆ
2
m
e
vrnˆ
2
MOMENTO ANGOLARE
ORBITALE ELETTRONICO
L  me v  r
L  -me vrnˆ
A  r 2
m-
e
L
2me
Il momento magnetico di un elettrone che orbita intorno al nucleo è
proporzionale al momento angolare orbitale. La costante di proporzionalità
è data de e/me dove me è la massa dell’elettrone. Tale costante è quindi
una costante universale.
n̂
Nella teoria quantistica dell’atomo il momento angolare orbitale è quantizzato e vale:
L = l
l=1,2, .. =h/2 6.62/2  10-34 J s costante di Planck
da cui
m -
e
l  -  Bl
2me
 B  9.27  10- 24 Am 2
magnetone di Bohr
Tutti gli atomi hanno quindi un momento magnetico pari a l volte B. l è il
numero quantico che determina il momento angolare orbitale. In realtà anche
il momento angolare di spin da contributo al momento magnetico, in21
questo
caso il numero quantico viene indicato con s e può essere semi-intero.
Comportamento dei materiali in presenza di un campo magnetico
L’energia di un momento magnetico m immerso in un campo B è data da U=-mB. In una regione di spazio in cui
B non è costante il momento magnetico sarà quindi anche soggetto ad una forza. Supponendo che il campo sia
diretto in direzione z e vari al variare di z ( campo all’estremità di un solenoide), e che il momento m sia orientato
in direzione del campo, la forza sarà data da:
dU d (mBz )
dB
Bilancia di Faraday
F 
m z
dz
dz
dz
Se si realizza un dispositivo tipo quello mostrato in figura si può misurare la forza
magnetica a cui è sottoposto un materiale e valutarne quindi il momento magnetico.
In tabella sono riportate le forze agenti su 1 gr di campione se il campo all’estremità
del solenoide vale Bz=1.8 T e dBz/dz=17 T/m.
Sostanza
F (N)
-2.210-4
-2.610-5
-3.710-4
-1.510-4
-1.610-4
-1.610-4
-1.610-4
-1.110-3
-1.10-4 (78 K)
+2.010-4
+1.710-4
+2.810-3
+8.310-3
+7.510-2 (90 K)
+4
+1.2
Superconduttore
YBCO
> - 10-2 (< 77
K)
A seconda del materiale la forza può essere:
 di piccola intensità (circa 100 volte minore della forza peso)
e di segno positivo (paramagnete) o negativo (diamagnete).
 di grande intensità (molto superiore alla forza peso) e
positiva (ferromagnete)
 di intensità superiore alla forza peso e negativa
(superconduttore)
22
Esercizi
1. Calcolare il momento magnetico di una spira quadrata di lato 2 cm e percorso da
una corrente di 1 A
2. Calcolare il campo magnetico generato da un solenoide di raggio R=1 cm, lungo 5
cm composto da 5000 spire percorse da una corrente di 100 A.
3. Calcolare il momento magnetico associato al solenoide.
4. Calcolare il momento magnetico dell’atomo di boro (5B conf. el (2s)2(2p)).
MOMENTI MAGNETICI DI ALCUNI SISTEMI
m (Am2)
23
Esercizi
 Momento magnetico di una spira quadrata di lato L=1 cm e percorso da una corrente di I=1 A
mspira = IL2 = 10-4 Am2
 Momento magnetico associato ad un solenoide di raggio R=0.5 cm, lungo 10 cm composto da
N=5000 spire percorse da una corrente I=100 A.
msolenoide = NIR2 = 39 Am2
 Calcolare il momento magnetico di un volume V=10 cm3 di solido composto da atomi dotati di
un momento magnetico m=B la cui densità è data da n=1029 m-3.
msolido = BnV = 9.3 Am2
 Nel caso precedente calcolare il momento magnetico di una massa M=1 gr se la densità è d= 5
gr/cm3. Calcolare la forza misurata dalla bilancia di Faraday descritta a pag. 23 (B=1.8 T,
dB/dz=17 T/m) . Che tipo di sostanza èquella che abbiamo considerato ?
msolido = BnM/d = 0.19 Am2
F= msolido dB/dz= 3.2 N
Calcolare il momento magnetico di una massa M=1 gr se la forza misurata dalla bilancia di
Faraday descritta a pag. 23 (B=1.8 T, dB/dz=17 T/m) è F=3.410-4N
msolido = F/dB/dz = 210-5 Am2
24
In un atomo costituito da N elettroni il momento angolare è la somma del momento angolare orbitale Li e di spin
Si di ogni singolo elettrone.
N
J tot   (Li  Si )
i 1
Siccome la somma è vettoriale alcuni atomi possono avere momento angolare totale nullo. Gli atomi (o gli ioni)
che hanno momento angolare nullo hanno anche momento magnetico nullo
Jtot=0

m=0
Tra gli atomi che hanno momento angolare nullo ci sono I gas nobili. Tra gli ioni ci sono quelli dei metalli alcalini.
In questi casi la configurazione elettronica è tale da mostrare shell chiuse in cui un numero pari di elettroni sono
accoppiati a due a due e con spin diretto in direzione opposta.
Alcuni atomi (o ioni) hanno momento angolare non nullo e hanno anche momento magnetico m0.
Jtot0

m = pB
p è detto numero di magnetoni di Bohr efficace.
25
Come si comporta la materia in presenza di un campo B
MAGNETIZZAZIONE PER ORIENTAMENTO
 SOSTANZE PARAMAGNETICHE
I composti i cui atomi sono dotati di
momento di magnetico proprio in
presenza di un campo magnetico
tendono a orientarsi
parallelamente al campo stesso
B= 0
B
<m> = 0
<m>  0
 SOSTANZE DIAMAGNETICHE Le sostanze i cui atomi hanno momento
angolare nullo (sia orbitale che di spin) hanno anche momento magnetico
nullo. In presenza di campo magnetico si genera un momento magnetico
antiparallelo a B.
Come dipende m da B ?
26
DIAMAGNETISMO
In un semplice modello atomico, si suppone che all’equilibrio un elettrone,
sottoposto alla forza di attrazione FE da parte del nucleo di carica Ze, orbiti
su una circonferenza di raggio r con una velocità v0 tali che:
v0
Ze 2
FE 

m
e
r
40 r 2
2
Forza di Gauss = me  accelerazione centripeta
In presenza di un campo magnetico l’elettrone sarà soggetto anche alla Forza di Lorenz FL e le condizioni di
equilibrio cambiano. Assumendo che non vari la distanza r, che la velocità subisca una piccola variazione
(v=v0±Dv, con Dv << v0), e che il campo sia applicato in direzione normale all’orbita, l’equazione di moto diventa:
(v0  Dv) 2
v02
2v Dv
FE  FL  me
 me
 me 0
r
r
r
2v Dv
eBr
da cui FL  ev0 B  me 0
 Dv 
r
2me
B=0
Il segno di Dv dipende dalla
direzione reciproca di B e di v0.
Per B=1 T , r~0.5 Å
Dv~4.4 m/s
B0
+Ze
Da confrontarsi con la velocità
dell’elettrone legato al nucleo che
può essere calcolata come:
+Ze
FE
-e
v0
FE
-e
FL
v0-Dv
L=mev0r=
v0~/mer ~106 m/s
Dv << v0
27
Momento magnetico dell’atomo indotto dal campo
m0 
qv0 r
2
Dm 
qDvr
2
n
In un atomo con due elettroni che ruotano in direzione opposta il momento magnetico complessivo è zero.
In seguito all’applicazione del campo la velocità dei due elettroni varia di una quantità ±Dv a seconda della
direzione di rotazione.
Complessivamente l’atomo acquista un momento magnetico indotto dal campo:
(v0 - Dv) 
q 2r 2
 (v0  Dv)
m  q
r -q
r nˆ  qDvrnˆ  B
2
2
2
m


e
2 2
q r
m  a DB
;
aD  2me
In un atomo l’applicazione di un campo magnetico modifica il moto degli elettroni che tendono a ridurre il flusso
28
generato dal campo stesso in accordo con la legge di Faraday-Neumann-Lenz. Il momento magnetico indotto è
Infatti diretto in verso opposto rispetto a B.
Per un atomo costituito da Z elettroni in presenza di un campo B applicato ogni elettrone contribuisce al momento
magnetico indotto. Tale momento magnetico diretto come B e con verso opposto è dato da:
m  a DB
;
Z
e 2 ri2
i 1
6me
a D  -
Un modo pratico per valutare il contributo diamagnetico è di considerare solo gli elettroni nella shell esterna
(Zeff ) e di assumere che tutti gli elettroni abbiano lo stesso raggio medio equivalente al raggio ionico. Per cui si ha:
Z
e 2 ri2
i 1
6me
a D  -
-
Z eff e 2 r 2
6me
In figura sono mostrate le suscettività
diamagnetiche molari di vari ioni. Nonostante la
relazione approssimata lo scaling con Zeffr2
appare molto buono.
cm è stata valutata misurando le suscettività di
una serie di sali ionici: NaF, NaCl, NaBr, KCl, KBr,
….. Nei sali ionici i due elementi sono ionizzati e
assumono la configurazione del gas nobile
adiacente. Hanno quindi comportamento
diamagnetico puro, non mascherato dal contributo
paramagnetico che compete all’atomo non
ionizzato.
29
Risposta diamagnetica relativamente grande si osserva nelle molecole con elettroni  delocalizzati come
naftalene e grafite.
Il naftalene consiste di due molecole di benzene unite assieme lungo un lato. Gli elettroni  sono molto mobili e
inducono correnti che ruotano intorno agli anelli. Il diametro dell’anello è parecchie volte maggiore del diametro
atomico. Tutto questo contribuisce a determinare una grande risposta diamagnetica che è massima quando il
campo magnetico è applicato perpendicolarmente al piano degli anelli.
Questo è vero anche per la grafite che consiste di piani di C a simmetria esagonale con forti legami covalenti ,
debolmente legati l’uno all’altro.
30
PARAMAGNETISMO: magnetizzazione per orientamento
B=0
z
m
Temperatura
T
y
B
m
q
<m> = 0
<mx> = <my> = <mz> = 0
x
<m>  0
<mx> = <my> = 0 <mz> =m<cosq> 0
Come nel caso della magnetizzazione per orientamento, gli atomi dotati di momento magnetico proprio, in
presenza di un campo magnetico B, tenderanno ad orientarsi parallelamente ad esso per minimizzare l’energia
magnetica U=-mB=-mBcosq . Anche in questo caso tale tendenza è contrastata dall’agitazione termica, per cui
la probabilità che un momento m formi un angolo q con il campo B è data da:
P(q )  Ae
-
U
k BT
 Ae
m Bcosq
k BT
 mB cosq
 A1 k BT




per
mB
 1
k BT
Il momento magnetico medio nell’ipotesi mB<<kBT può essere calcolato come (vedi pag.39 Parte 1°):
 m  m  cos q  m   P(q ) cos q dW  m
m2 B
 m 
 aO B
3k BT
dove
m2
aO 
3k BT
mB
3k BT
31
Nel caso in cui non è vero che mB<<kBT l’approssimazione ex ~ (1+x) non può essere fatta. Allora si ha che:
 m  m  cosq  m   P (q ) cosq dW  m  L( x)
L( x)  ctnh( x) L(x) 
x
3
per
1
x
dove x 
funzionedi Langevin
mB
e
k BT
1.5
L(x)
x  1
l( x)
x/3
1
x
3
S=7/2 Gd3+
S=5/2 Fe3+
0
0
0
5
10
x
0
S=3/2 Cr3+
Per
15
x
15
x  1
m2 B
m 
 ao B
3k BT
Per
x  1
m m
1
2
B/T (T/K)
3
4
32
Una atomo dotato di momento magnetico proprio m in presenza di un campo elettrico B
presenterà un momento di dipolo medio <m> dato da:
 m  aB
a  aO  a D 
2
m
3k BT
Ze 2 r 2
 proporzionale al campo applicato B
 orientato nella direzione di B
6me
Esercizi:
Un atomo ha un momento di dipolo proprio pari a 1 magnetone di Bohr. Se il suo raggio atomico
medio è dato da r=1 Å e Z=3, calcolare alla temperatura di 4.2 K il contributo paramagnetico e
diamagnetico al suo momento di dipolo indotto. A tale temperatura il sistema è diamagnetico o
paramagnetico. E alla temperatura di 300 K ?
a D  -1.4 10 -28 Am2 / T
a o (4.2 K )  4.9 10 -25 Am2 / T
a o (300 K )  6.9 10 -27 Am2 / T
In un atomo (ione) avente momento magnetico proprio il contributo paramagnetico domina su quello
diamagnetico.
In una sostanza oltre al contributo reticolare c’è da considerare il contributo aggiuntivo degli elettroni di
conduzione. Gli elettroni di conduzione possono dar luogo sia ad un contributo paramagnetico che diamagnetico.
33
Definizione del vettore magnetizzazione M
abbastanza grande da contenere molti momenti magnetici m
DV 
 sufficientemente piccolo in modo che B non vari troppo al suo
interno
mi

M
DV
A/m
DV
Vettore
Magnetizzazione
M
mi
Suscettività magnetica
Se abbiamo un sistema contenente molte momenti di dipolo m in presenza di un campo
magnetico B il vettore magnetizzazione M sarà dato da:
m
M i
N m
B

 n  m  naB  c m
 cmH
DV
DV
0
c m  na0
N numero di molecole contenute nel volume DV
nN/DV densità delle molecole per unità di volume
suscettibilità magnetica del materiale
cm   0 M   0 A / m  1
B 0 A / m
34
La suscettività magnetica è adimensionale per cui M e B/0 hanno le stesse dimensioni [A]/[m]
Suscettività magnetica di una mole di una sostanza:
N
c m ( N A )  N Aa0  c m A unità di misura
n
1 mol   m mol 
m 
-1
-3
3
-1
Suscettività magnetica di un chilogrammo di una sostanza:
N
N
c m (1Kg )  A a0  c m A unità di misura
M
Mn
1 mol   m Kg 
Kg  mol m 
-1
-1
-3
3
-1
ESERCIZI
 Calcolare la suscettività magnetica a T = 300 K di una mole e di un Kg di atomi di Li
a=6.810-27 Am2/T ; cm(NA)=5.110-9 m3mol-1 ; cm(1Kg)=710-7 m3Kg-1
 Calcolare la suscettività magnetica a T = 300 K di una mole e di un Kg di ioni Li +
a=-1.610-28 Am2/T ; cm(NA)=-1.310-10 m3mol-1 ; cm(1Kg)=-1.910-8 m3Kg-1
Proprietà atomiche del Li
Peso molare 6,941 gr mol-1
Raggio atomico1.45 Å
Raggio covalente1.34 Å
Raggio di van der Waals 1.82 Å
Configurazione elettronica He2s1
Struttura cristallina Cubica
35
36
Magnetizzazione di un materiale paramagnetico
m2
 m  aB 
B
3k BT
m2
mB
Mn
B  M sat
3k BT
3k BT
B
M sat  nm
legge di Curie
magnetizzazione di saturazione
Per piccoli campi magnetici o alte temperature la magnetizzazione di un materiale paramagnetico cresce
linearmente in funzione del rapporto B/T ( legge di Curie). All’aumentare del valore di B/T la legge di Curie non
vale più e la magnetizzazione tende a saturare al suo valore di saturazione Msat=nm che corrisponde alla
situazione in cui tutti i momenti magnetici che costituiscono il materiale sono orientati parallelamente
sostanza
p
m=pB
(A m2)
Msat
(A/m)
Fe
2.22
20.610-24
13.8105
Co
1.72
16.010-24
11.4105
Ni
0.6
5.610-24
4.1105
Gd
7.1
66.010-24
15.9105
Dy
10
92.710-24
MnBi
3.5
32.510-24
23.2105
37
5.4105
Campo magnetico generato da una sostanza magnetizzata
Una sostanza magnetica che contiene un grande numero
di momenti magnetici m uniformemente distribuiti ed
egualmente orientati nel suo volume, si dice
uniformemente magnetizzata. Per comodità indichiamo
con z la direzione di magnetizzazione.
Si consideri una lastra di materiale magnetizzato di
spessore piccolo dz, tagliata perpendicolarmente alla
direzione di magnetizzazione ( figura 1a), suddividiamo la
lastra in piccole piastrelle di area da ( figura b). Le
piastrelle sono molto piccole, ma devono comunque
essere tanto grandi che la magnetizzazione non cambi in
maniera apprezzabile passando da una piastrella all'altra ;
possiamo quindi immaginare che siano piastrelle
microscopiche ma contenenti già un buon numero di atomi
o molecole.
Ogni piastrella conterrà un momento di dipolo totale pari a
m=Mdadz . Si può costruire un dipolo di questa intensità
piegando una striscia di materiale conduttore, largo dz , in
modo che assuma la stessa forma della piastrella e
facendo passare una corrente di intensità I nella striscia,
tale che m=IM da=Mdadz da cui IM=Mdz sono le correnti
di magnetizzazione ( figura c).
Sostituiamo a ogni piastrella della lastra una di queste
spire. Poiché la corrente è la stessa in tutte le spire, le
correnti sui lati adiacenti si elideranno ( figura d). Rimarrà
quindi una corrente IM che passa sul profilo esterno della
lastra (figura e) .
38
h
IM=Mh
Impilando lastre come quelle appena considerate possiamo
ricostruire un blocco di materiale uniformemente magnetizzato
Possiamo quindi ragionare in termini di equivalenza tra il
campo generato dal blocco magnetizzato e quello generato
da larga fascia di altezza h sulla quale scorre una corrente
superficiale IM =Mh. Quindi il campo magnetico B in un
qualsiasi punto esterno al blocco di materiale è uguale al
campo B' che si ha nel punto corrispondente in prossimità
della guaina di corrente. Si dimostra che anche il campo
all'interno del materiale si può schematizzare come il campo
dovuto all'equivalente corrente superficiale.
Quindi se abbiamo un cilindro sottile, lungo L uniformemente
magnetizzato, il campo equivale a quello generato da un
solenoide sulla cui superficie scorre una corrente IM =ML. Il
campo all’interno è quindi dato da:
I
ML
B'  0 M  0
 0 M
L
L
B
M
B’
B’
L
IM39=ML
Esercizio
Un cilindro di ferro magnetizzato la cui magnetizzazione è uguale a M=1.2105 A/m ha il raggio R=1 cm e l’altezza
di h=0.3 cm.
Calcolare il momento magnetico associato al cilindro di ferro
Calcolare il campo magnetico al centro del disco(punto A) e sull’asse a distanza di 10 cm (punto C).
Calcolare le correnti superficiali di magnetizzazione.
m  M  V  1.2  105  0.3    10 -6  0.11 Am 2
0
m
campo sull' asse della spira
2 ( R 2  z 2 )3 / 2
 m
B(z  0)  0 3  2.2  10 - 2 T
2 R

m
B(z  10cm )  0 2
 2.2  10 - 5 T
2
3
/
2
2 ( R  z )
B
I  Mh  4.0 102 A
I=4.0102 A
M=1.2105 A /m
B=2.2102 T
B=2.2105 T
40
Campo magnetico nella materia
Il campo magnetico all’interno di un materiale magnetizzato ha le stesse
linee di flusso di M e vale BM=0M dove con BM indichiamo il fatto che è
generato dal materiale magnetizzato
All’esterno del materiale M=0, mentre le linee di forza di B proseguono e
il campo risulta essere quello generato dalle correnti di magnetizzazione
che scorrono alla superficie del materiale.
BM=0M
Si consideri ora il caso di un materiale immerso in un campo magnetico esterno che indichiamo con B0 . Il campo
applicato “magnetizza” il materiale che presenterà una magnetizzazione data da:
M  cm
B0
0
 cmH
dove H 
B0
0
campo nel vuoto
Il campo magnetico in ogni punto sarà quindi quello dato dal campo applicato dall’esterno, più quello generato
dalla materia magnetizzata. In generale si avrà quindi: B=B0+BM. Le sorgenti del campo sono infatti sia le
correnti “vere” (I ) che scorrono nei conduttori, sia le correnti di magnetizzazione (IM )che scorrono sulle superfici
dei materiali magnetizzate. La legge di Ampere può quindi essere generalizzata nel modo seguente:
 B  dl   B0  dl   B M  dl  0 ( I  I M ) dove  H  dl  I
indica che il campo nel vuoto H è generato dalle sole correnti vere I.
Se in particolare si considera il campo magnetico totale all’interno dalla materia magnetizzata si avrà
B  B 0  B M  B 0  0M  B 0  c m B 0  (1  c M )B 0   r 0 H
r  1  c m
permeabili tà magnetica relativa
Il campo magnetico nella materia sarà quindi proporzionale a quello applicato. La permeabilità magnetica relativa
41
r può essere maggiore o minore di 1 a seconda del segno della suscettività magnetica cm . Il campo magnetico
all’interno di una materiale sarà maggiore (minore) di quello applicato nei materiali paramagnetici (diamagnetici).
Permeabilità magnetica relativa di alcune
sostanze
IM  M  cm H  (r-1) I
Dove si è considerato il fatto che il campo esterno H è proporzionale
alle correnti I che lo generano
Tali correnti di magnetizzazione inducono esse stesse campi
magnetici trascurabili. Questo è molto diverso da ciò che accade nei
materiali in presenza di un campo elettrico: il campo elettrico infatti
induce spostamenti di carica nei materiali sia conduttori che
dielettrici, i quali a loro volta contribuiscono significativamente al
campo elettrico complessivo,
SOSTANZE
PARAMAGNETICHE
Anche le correnti di magnetizzazione che si generano alla superficie
di tali sostanze sono molto piccole in confronto a quelle che hanno
generato il campo esterno:
SOSTANZE
DIAMAGNETICHE
B   r B 0   r 0 H  0 H
SOST.
FERROMAGN
La permeabilità magnetica relativa delle sostanze diamagnetiche e
paramagnetiche è prossima a 1 il che equivale a dire che il campo
magnetico all’interno di tali sostanze è praticamente uguale al campo
che si avrebbe nel vuoto.
cm r -1
GdO3
1.210-2
CuCl2
3.510-4
Cromo
3.310-4
Tungsteno
6.810-5
Alluminio
2.210-5
Magnesio
1.210-5
Mercurio
-3.210-5
Argento
-2.610-5
Bismuto
-1.710-5
Etanolo
-1.310-5
Rame
-9.710-6
Ferro dolce
250
Si-Fe
2000-1000
Mu-metal
3104
Tutto questo è vero fino a quando non si considerano i materiali ferromagnetici. In questi ultimi non è più vero
che il campo interno al materiale è uguale al campo generato dall’esterno. In molti di tali materiali (magneti
permanenti) il campo interno è diverso da zero, e anche molto intenso anche in assenza di campo esterno
applicato e le correnti di magnetizzazione sono estremamente intense. La permeabilità magnetica di tali materiali
42
è estremamente elevata, e dipende fortemente dal campo applicato
Linee di campo in una barra magnetica permanente uniformemente magnetizzata
Campo nel
punto p
Campo nel
punto q
Nel caso di un cilindro di ferro magnetizzato in modo permanente di altezza L la cui magnetizzazione è
uguale alla magnetizzazione di saturazione (M=Ms=1.4106 A/m) il campo interno al materiale vale: B~0M
=1.8 T. Le correnti di magnetizzazione che scorrono sulla superficie sono date da IM =ML per cui se il
cilindro è alto 10 cm le correnti superficiali saranno date da IM = 1.4105 A !!!
Tali correnti sono dovute al fatto che i momenti orbitali e quindi i momenti magnetici di tutti gli atomi che
costituiscono il materiale sono orientati parallelamente così che la magnetizzazione è uguale al suo valore di
saturazione. Il moto coerente di tutti gli elettroni dà luogo ad una corrente netta nulla all’interno del materiale
perché i contributi da atomi vicini si elidono, mentre sulla superficie del materiale la compensazione non
avviene e la corrente è massima. Tale corrente a cui contribuiscono tutti gli atomi alla superficie del materiale
scorre attraverso uno spessore infinitesimo d, dell’ordine di uno strato atomico. La densità di tale corrente è
quindi estremamente elevata
M
I
I
106
J M  M  M  sat  -10  1016 A / m2
S
Ld
d
10
In generale si parla quindi di densità di corrente superficiale definita come:
I
J Ms  M  M sat  106 A / m
L
43
Ferromagnetismo
I materiali che si comportano come magneti permanenti sono detti ferromagneti. I concetti introdotti per descrivere
il paramagnetismo, pur utili, non sono sufficienti a descrivere il ferromagnetismo. In un materiale ferromagnetico
gli atomi hanno un momento magnetico non nullo, ma a differenza dei sistemi paramagnetici, non è il campo
esterno applicato a orientarli. Esiste invece una interazione tra gli atomi primi vicini che tende a orientare i
momenti parallelamente gli uni agli altri (o antiparallelamente nei materiali antiferromagneti). Tale interazione non
è di tipo magnetico, ma agisce come se ci fosse un campo interno al materiale stesso molto intenso che tende ad
allineare i momenti. Quindi il materiale risulta magnetizzato anche in assenza di un campo esterno. Tale
interazione è così intensa che l’agitazione termica non è in grado di disallineare i momenti magnetici. Tale
fenomeno dipende comunque dalla temperatura. Infatti al di sopra di una temperatura detta temperatura di
Curie, avviene una transizione di fase tra lo stato ferromagnetico e lo stato paramagnetico.
È come se l’agitazione termica prevalesse, il ferromagnetismo scompare e all’ulteriore aumento della
temperature il materiale si comporta come un paramagnete.
La temperatura di Curie dipende dal tipo di materiale. Per molti ferromagneti tale temperatura è molto al di sopra
di temperatura
ambiente, così che il ferromagnetismo è stato osservato da sempre.
.
44
Circuiti magnetici ed elettromagneti
Il più semplice circuito magnetico è rappresentato da un anello di materiale ferromagnetico ( anello di Rowland).
Concatenato con l'anello è un avvolgimento di N spire di filo conduttore percorso da corrente I stazionaria.
Applichiamo a questo sistema le equazioni fondamentali
1. legge di Gauss per il campo B
S B  dA = 0
dove S è una superficie chiusa.
2.
teorema di Ampere per la circuitazione di H
-
dove L è una linea chiusa
L H  dl = NI
1.
La legge di Gauss applicata alla superficie chiusa indicata in figura, tenendo conto che
il flusso disperso attraverso la superficie laterale è trascurabile dà il seguente risultato
0 = S B  dA =
S1 B  dA + S2 B  dA = -B1S1 + B2S2
BS = costante = 
2.
(1)
Applichiamo la legge di Ampere ad una linea interna all'anello lungo la linea mediana:
L H  dl = L
( B/)  dl = NI
poiché il vettore B è parallelo a dl e  è costante lungo tutta la linea di integrazione[1]
NI = L (B S/S) dl = 
L dl/S
(2)
Dalle equazioni (1) e (2) è possibile ricavare il campo magnetico generato da un elettromagnete. In particolare per
un anello di sezione costante si ha che se la lunghezza dell’anello è L:
B
NI
NI
 0 r
L
L
45
[1] Abbiamo usato anche la relazione B =  H , con permeabilità costante Nel caso di materiali ferromagnetici la relazione va usata con cautela … ( isteresi
Elettromagneti
Un elettromagnete è un circuito magnetico dotato di un traferro. Il traferro è un taglio eseguito lungo la sezione
normale del circuito e di spessore d << √S. questo garantisce che il flusso disperso si mantenga trascurabile
anche in corrispondenza del traferro e che i cosiddetti effetti di bordo siano ragionevolmente trascurabili. Il traferro
è la regione in cui viene posizionato il campione a cui vogliamo applicare il campo magnetico
B
L
cost

BS=B0S0
B0
Se d << √S
S0 ~ S
B0 ~ B
Il calcolo di B ed H si può sviluppare applicando le equazioni (1) e (2) ( legge di Hopkinson,) considerando il
traferro come uno degli elementi del circuito magnetico. Il vettore induzione magnetica nel traferro B0 avrà lo
stesso valore B che ha internamente al materiale. Al contrario, il vettore H subisce invece una discontinuità:
H0 = B0/ 0
;
H = B/ r 0
L’equazione (2) diventa quindi:

1
1 
NI  
dl  
dl  B  
dl  
dl 






 ferro r 0
ferro r 0
traferro 0
traferro 0 

B
B0
B
 0  r NI  0 NI

L  r d
d
Calcolare B nel traferro di un elettromagnete in cui N=2000, I=5 A, L~50 cm, d~5 mm e r~1000
Indipendente
dal valore di r
46
Ciclo di isteresi nei ferromagneti
Bsat
BR
B  0  r H  0  r
NI
L
Il campo magnetico all’interno del materiale
ferromagnetico è proporzionale a r . Misurando il
campo B al variare della corrente applicata I, o del
campo nel vuoto H=NI/L si ottiene una curva come
quella in figura chiamata ciclo di isteresi.
Le caratteristiche di un ciclo di isteresi sono le seguenti:
-HC
Prima magnetizzazione. L'applicazione di un campo H ad un materiale non magnetizzato produce un aumento
del campo magnetico B (linea tratteggiata)
Magnetizzazione di saturazione. B tende a raggiungere un valore di saturazione Bsat= 0 Msat . Questa
condizione corrisponde ad una situazione microscopica in cui tutti i dipoli magnetici all'interno del materiale si
sono allineati nella direzione di H
Rimanenza. Quando il campo H viene ridotto a zero si osserva un campo rimanente BR ( e di conseguenza una
magnetizzazione rimanente , BR = 0 MR )
Coercitività Il campo B all’interno del materiale può essere riportato a zero con l'applicazione di un campo Hc
( coercitività ) in direzione opposta. Il valore della coercitività è fortemente dipendente dalle condizioni del
campione ed è influenzato da vari fattori, come trattamenti termici pregressi o deformazioni
Permeabilità differenziale. La permeabilità non è un parametro particolarmente utile per la caratterizzazione
dei ferromagneti. Infatti, dipende fortemente dal valore del campo applicato e dalla memoria delle precedenti
magnetizzazioni. Si preferisce allora usare la permeabilità differenziale
΄ = dB/dH
Nelle applicazioni si rivelano particolarmente utili i valori della permeabilità differenziale iniziale ΄in ( la derivata
47
della curva di prima magnetizzazione all'origine) e la permeabilità differenziale massima ΄max che si ha in
generale in condizioni di coercitività.
B,T
Permalloy (Ni-Fe)
1.5
1
Dare una stima della permeabilità magnetica
0.5
r = B/0H
e della permeabilità magnetica differenziale
r’ = dB/d0H
0
-0.5
Nei punti contrassegnati
-1
-1.5
48
H, Oe
Misure di magnetizzazione : Suscettività ac
B(t)=0H(t)=H0sint
Sc
S
1
1
DV(t) = - d/dt
2
2
  1   2
DV (t )  -
1  N Sc (0 H  0 M )  (S - Sc )0 H 

 2  - NS0 H
d M (t )
d
 - Sc N 0
dt
dt
M (t )  M 0 sin t
cm 
DV (t )  - NSc 0 M 0 cos t
M0
DV (t )

H 0 S N dH (t )
c
0
dt
dH (t )
 H 0 cos t
dt
49
50
Domini di Weiss
In un materiale ferromagnetico smagnetizzato, l’interazione tra atomi vicini
che tende ad allineare i dipoli magnetici continua a sussistere. Si creano
quindi domini, di dimensioni micrometriche, all’interno dei quali i momenti
magnetici sono perfettamente allineati. Ogni dominio ha momento magnetico
proprio e la somma vettoriale di tali momenti dà la magnetizzazione
complessiva del materiale. In un campione non magnetizzato la
magnetizzazione è mediamente nulla.
Ci sono molti fattori che determinano la formazione dei domini, la loro dimensione e la condizione di
magnetizzazione del materiale. Si può facilmente comprendere che un materiale smagnetizzato non genera
campo magnetico e questo permette di minimizzare l’energia magnetica. D’altra parte ogni “muro” ( domain walls
o Bloch walls ) che separa due domini adiacenti porta ad un aumento di energia dovuto al fatto che in
corrispondenza del muro momenti magnetici vicini non hanno la stessa orientazione.
51
Quando viene applicato un campo esterno i muri si spostano e quei dominii la cui direzione di magnetizzazione
sia parallela ( o comunque posta ad un angolo piccolo) rispetto alla direzione del campo crescono in dimensione a
spese di quelli con direzione di magnetizzazione antiparallela.
Nei primi stadi della curva di magnetizzazione in un ciclo di isteresi la magnetizzazione della sostanza procede
attraverso piccoli ( e reversibili) spostamenti dei muri di dominio,
La magnetizzazione di saturazione viene raggiunta
quando per effetto di un intenso campo H applicato
tutti i domini risultano essere orientati nella stessa
direzione
52
Tipi di materiali ferromagnetici in rapporto alle applicazioni
Materiali duri ( hard) e dolci ( soft)
Si può operare una prima classificazione dei materiali ferromagnetici in base alla coercitività
-materiali duri: coercitività > 10 kA/m ( o 125 oersted)
-materiali dolci: coercitività < 1 kA/m ( o 12.5 oersted)
53
Materiali dolci: elettromagneti, traformatori
Per quanto riguarda gli elettromagneti i materiali dolci sono preferiti quanto più presentano un'alta permeabilità (
che consente di avere una grande induzione con campi applicati relativamente piccoli) e una coercitività bassa,
così da ribaltare facilmente l'induzione. Negli elettromagneti si usa quasi esclusivamente il ferro dolce . Gli
elettromagneti sono usati in laboratorio per generare alti campi magnetici.
Un elettromagnete da laboratorio può generare induzioni fino a 2.5 tesla. Per campi più intensi si usano, ad
esempio, magneti superconduttori.
Anche per i trasformatori è necessaria un'alta permeabilità ma, lavorando in alternata, è anche necessario ridurre
le perdite per correnti parassite. A questo scopo si usano principalmente leghe ferro-silicio, opportunamente
lavorate. Il silicio , con componente in peso del 3-4%, serve a ridurre la conducibilità .
54
Materiali duri: magneti permanenti
I magneti permanenti devono poter generare campi stabili senza una spesa continua di energia elettrica. Trovano
applicazioni nei motori elettrici, generatori, altoparlanti, strumenti a bobina mobile, dispositivi di controllo per fasci
elettronici TV …
Sono importanti: alta corcitività, alta magnetizzazione di saturazione e alta rimanenza
Tipici materiali utilizzati per fabbricare magneti permanenti sono leghe samario-cobalto ( coercitività dell'ordine di
0.7 106 A/m ( 9 kOersted) ) e materiali composti da neodimio-ferro-boro ( coercitività dell'ordine di 1.1 106 A/m ( 14
kOersted) ). Questi ultimi presentano l'inconveniente di avere una temperatura di Curie relativamente bassa
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