*. 6corza 'ragoni (Ed.)
7oSologia
Lectures given at the
Centro Internazionale Matematico Estivo (C.I.M.E.),
held in Varenna (Como), Italy,
$ugust 6eStemEer , C.I.M.E. Foundation
c/o Dipartimento di Matematica “U. Dini”
Viale Morgagni n. 67/a
50134 Firenze
Italy
[email protected]
ISBN 978-3-642-10897-6
e-ISBN: 978-3-642-10898-3
DOI:10.1007/978-3-642-10898-3
Springer Heidelberg Dordrecht London New York
©Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011
st
Reprint of the 1 ed. C.I.M.E., Florence, 1955
With kind permission of C.I.M.E.
Printed on acid-free paper
Springer.com
CENTRO INTERNATIONALE MATEMATICO ESTIVO
(C.I.M.E)
3° Ciclo - Varenna, Villa Monastero – 26 agosto – 3 sett. 1955
TOPOLOGIA
K. Kuratowski:
Théorie de la dimension .................................................
1
G. Scorza – Dragoni:
Traslazioni piane generalizzate....................................... 17
E. Sperner:
1.
Generalizzazioni del teorema di Brouwer
sul punto unito ......................................................... 41
2.
Il problema dei colori sulle superficie chiuse .......... 75
G. Darbo:
Grado topologico e punti uniti in trasformazioni
plurivalenti ...................................................................... 93
M. Dolcher:
Alcuni risultati della geometria delle
trasformazioni continue .................................................. 99
M. Vaccaro:
Sulle rappresentazioni localmente biunivoche
delle varietà topologiche sopra i poliedri ....................... 105
Roma - Istituto Matematico dell’ Università
ROlllli-Istituto Matenul.;icc dell'U.liversitEt,1955
1
C. RuratoE'sld
- 1 -
T~ORIE DE LA DII.IENSION
I. Introduction. Espaves metriques.
Definition de l'espace metrique: EspacG dont lequol uno fonc-
\X-Y!1
tion non-negative de deux variables
nommae distance, est
Ie terme primitif, assujetti aux axiomes suivants:
~x-Yl
(i)
=o}:: (x=y),
(iii)
\x-Y \ +
Exemple~
;![-Y\
\x-z \.
(ii) \
Iy-z \ ?:
d t espaces mcariquGs: 11 cspeca euclidien
an
dimen-
sions En; cube de Hilbert, clest-a.-dire lr~space H de suites
infinies x:=(x 1 ,x2 ",,), o~J xn \~ 1
Ix-y \
L
= )"
-
"t
Oil
\IXn-yn ).
2n
Tous sous-~nsemble dl~iespace metrique est metrique.
Notions fondamentales.
6 (A)
=
~am8tre
sup
dlun ensemble A:
lx-xl \ ou x,x' f
A.
Ensemble borne = ensemble dont le diametre est fini.
Limite d'une suite de points diun espace matrique:
(p = lim Pn) __ (lim \Pn-p\ =0).
n= ([)
Espace compact
= espace
n=([)
dans lequel toute suite infinie de
points contient une suite partielle convergente (exemples: llintervalle 0
~
t
~ 1;
Espace complet
cube H de Hilbert).
= espace
dans lequel toute suite satisfaisant
a la condition de Cauchy est convergente (ane suite P1 112'"
fait
a.
la condition de Cauchy, 10rsqu I a. tout
E >'
sati.§.
0 co rrespond
un k tel que pour n :::. k ou a \Pn-Pk\<t).
~ (ouverte) de centre 9:. et de rayon ,t:: 11 ensel;lble de
points dont la distance de a est i:lferieure
E \ x-a
x
I <:
3
r.
a ,t:, c I est-a.-dire
O.Ku.ratowaki
',ermljl'\!y.re de A = 1 I enijemble A de taus le" points p de la
$,:r.rme
p '" Hm
~ A (autrement dit; QUi a P € K lorsque
I:i.=oo pn , ou III"'n Ii;:
~ule de centre p admet des points comm~s avec A).
t~u~e
Enaell).ble
X~
(~
~
,;j
ensemble!:. saUsfaisani
a.
Ie. condition
A. Etteemble ~ = complementaite d'un e~semble ferme
••sem~le qui, avec tout point, cont1ent une boule ayant ee
.o~n'
La
pour centre).
d'ense.blem fermes est
~ (l'union) dlun nombre find
'im Eii1$emble ferme. LEi :grodlli~ (1 I :j,.:p:b8rsectiQD.) d 'un nom'bIoe :Uni
il'e.nlIelnb~es
ouver-i;s elilt un
~nsemble
ou"tert. Le produit ('Pun
mombre arbitraire d'ensemblEis fermes est
ferm~
at Ia somme &'en-
sembles ouverta est un ensemble ouvert.
lnterieur et frontHre d!un enaemble A situe dans liespaee
x!
lnt (A)
lam ~ (p,F)
=l
= x-I;[,
in.f \ p-lti
= A·~.
Fr(A)
ou x €F (pour F =0 ,on pose
~ ("F}lI:'t).
lintoyage: [A est un entoilrage de ~~[ P" Int· (A)] (clesta...dire qu'il existe una boule. de centre- p oon:tenue dana A).
Ensembl.e~:
[A
est dense dans
1 eapaee
I
E§pau se.i!arabie: eapaes qui con'Gient un
~!;
[(A=X>].
8ous~ensemble
dense
Qen@mbra~le (examples. esp~e euclidien. En, cuie de Hilbert Hj
tQut eRssmble fini. tout
B&~ense.ble diun
eSface me.trique se.-
l>are b)' e ) •
Tout elllpace metrique separable contient une base, c'est-a.-dire
1l1le
suite R1 ,R 2 ,... d I ensembles ouverta tels qu' a tout point
:p at tout
E>
0 oorrespond Un k tel qu.e p is Rk et
Ensemble frontiere
= ensemble
J
(Rk )
< E.
dont Ie compleaentaire est
dense.
Ensemble de pre~ere categorie
= sous-enaembio
dlun ensem-
ble F1+F 2+••• +F +.•• , au Fest frontiere et forme.
'l\
n
The-Oreme de Baire: QaJ:lS. un espace oomplot tottt ensemble de·
4
- 3 -
premiere categorie est illl ensemble :i:'rontHro.
Transformation continue: f est continue lorsque
~
.~::)(]~[~
~lJ("f\, )=~(J()].
"1\._ Q:)
'1'\..:;:
V,)
Transformation homeOmorptle: la transformation fest illle
homeomorphie lorsqu1elle cst continue, biunivoque et la trans formation inverse est conti,iue:
Propriete topologigue.o; propriete invariante relativement
aux transformations homeomorphes.
Theoreme d'Urysohn: tout EJspace me"trique separable 1) est
homeomorphe
a un
soue-ensemble du cube H de Hilbert.
Espace fonctionnel
i"-:
eScJ[lce de toutes les tr[tnsformations
continues de I' espace X (sUPPOS(3 CO],lpact) on sous-ensembles de
l' espace Y , la distance dans I' cspac€<
formule:
!f-
Si Y est complet,
g[
=:
yx
6tant defini e par la
ou x E
sup !f(x)-g(x)!
Yl l'est
X.
egalement.
Bj. bliograpp,ie. Trai tes sur 1a
tlH~Ori(~
de la dir;,ension:
1. W. Hurewicz-H. Wa11mann, Dime,1sion Theory, :2rincetol1 1948.
2. K.IVIenger, Dimensionstileorie, Teubner, 1928,
3. P. Urysohn, Fund.l!lath. 7-8 (1925-26).
4. J.Favard,Espace et dirJ.ension, Paris (i:ichel) 1950.
1) Dans la suite tout espace sera suppose fll.etrique separable. La
theorie de la dimension des espaces non separables est bien plus
compliquee. Voir, par exemple, IJ:. Ka~etov. Cechoslov, mat. Zurn.
2(77).
5
C.Kuratowski
- 4 -
5. K.Kuratowski, Topologie vol.
r,§ §20-23,
§ 40,
et vol. II,
Warszaw.a, Monogr. lIat. 1952 (nouv. edition). 1)
Voir aussi pour les proprietes de la dimension liees a. la
topologie algebrique.
6. P.Alexandroff, Dimensionstheorie, I\lath.AI"..n. 106 (1932).
II. Defini tion
d~J_a
ciimension. ProprHtes fOlldamelltales.
Definition (inductive) de dim X (dimension de
et de
1
di~I
~!espace
X)
(dime,'lsion de X au point p):
°:
dim 0 ... - 1,
(dimpX $ n) = a. tout
2°:
l >
0 correspond un ensemble
ouvert G tel que
pEG,
3°
dim X =
P
(dim X <- n)
-
00, S
d(G)
=dim
-
p
X
<C
~
etdimFr(G)~ n-1,
n quel que soi t p E
til n t existe 3,UC11n I.:! satisfaisant
X,
a 2°.
Historigue. L'idee de cette definition, qui remonte
H.Poincare (1912), a ete precisee par L,E.J.Brouwer en
theorie de la dimension a eM cree
a
~
13. La
independamment par K.Menger
et P. Urysohn (vers 1922).
Exemples. L I intervalle 0 ~ t ~ 1 a la dimension 1; de m~me
2
la circonference d'un cercle. On en conclut que le plan E a la
dimension
~2i at ~
n~)
par induction - que dim En,
L'espace des nombres irrationals est de dimension O. 11 en
est de
m~me
de l'ensemble C de
ble des nombres de
t
~anto"~
t
12m
(c'est-a.-dire de l'ensem-
latfor~e
=3+
9 + •••
+ ~ + •••
ou
tm
=0
pu 2.
1) On y trouvera la majorite des notions et des theoremes consideres ici.
2) La demollitration de l' inegali te inverse: dim En:;, nest omise
iCi, elle a ete presenten clans les conferences de
6
]lIf.
Sperner.
C.Ku:tJatowski
- 5 -
Remarque. La dimension est un'", pl"Opri8te topologique.
Theoremes.1. 8i A CB, on
pour pEA.
~
dim A ~dim B et dimp A ~ dimpB
== a tout E ~
2. (dimpE ~ n)
G tel que
° correspond un ensemble ouvert
J (G) <t(
et dim \":S'Fr(G)] 5: n-1.
3. Si Fk=Fk et dim Fk=n pour k=1,2, ••• , on a dim(F 1+F 2+••• )=n
4. Tout espace an dinensions con-Gient une base R1 ,R2 , •••
P {; G,
telle que dim Fr(R k )
~
n-1,
En particulier, tout espace de dimension
° contient une base
formee d 'ensembles ferme:l-l?Uverts,
5. Si dim X=n,
ou
on a X=A+B
dim A ~n-1 et dim B=O.
6. Si dim X=n, on a X'"Ao+" --tAn O"lt dim Aj"'0 pour j=O, ... ,no
7. Si X=A+B ou dim A=n-l et dim B-O, on a dim X
~
n.
8. Si X=A +•.• +Ah , ou dim A.=O pour j=O, ••• ,n, on a dimX
o
J
~
n.
9. Tout espace de dimE;nsion 0 pst homeomorphe a un sous-ensemble de l'ensemble C de Cantor.
III. Theoremes de reduction et de decomposi tioll.
Theoreme de reduction. Etant donnee une decomposition d 'un
espace X de dimension n en une suite (firrie ou infinie) d'ensembles ouverts:
i1 existe une decomposition en ensembles ouverts:
X = Ho
+
H1
+ ..•
1;e11e que
10
2°
rents.
Hi
C.
Gi ,
H.•.•• H.
=0 'Pout tout sys"teme de n+2 indices diffe~O
In+1
En particulier," si n=(l, les ensembles F'i sont disjoints et
fermes.
A ce dernier
CdS
on peut
ram~mer
7
la demonstration du theore-
C. Ku:l1ato wski
- 6 -
me de reduction, en appliquant 10 th60reme II,6.
En appliquant le theoreme de Borel-Lebesgue, on en deduit
1e theoreme sui vant :
Theoreme de decomposition. X etant un espace compact de
dimension n,
a tout t
7
0 corr6spord une decomposition de cet
espace en un nombre fini d'ensembles ouverts:
X = Ho + ••• + Hm
tela que
5(H. ) <: £
~
et que la condition 2 0 soit satisfaite.
Le theoreme restevrai en remplagant le teme "ouvert ll par
"ferme".
Corollaire. Atout systeme d'ensembles fermes F , ••• ,F
tel que X= F +••. +F
o
m
et
a tout
£~
o
correspond un systeme
0
m
d 'ensembles ferm.es satisfaisant aux condi tiona 10 et 2 0 en remplacant Gi par l' ensemble des points p tels que ~ (p,F i) .:::. £.
Exemple. La figure ci-dessous represente une interpretation du theoreme de decomposition pour le carre (cas de decomposition en ensembles fermes).
IV. Representation parametricue d'un espace compact
sur l' ensembl~C de Cantor.
Une fonction fest dite d'ordre
systeme de k points differents
Theoreme.
X
etant
,m
~
k, s'il a'existe aucun
.. "xk tel que f(X 1 )= ••• =f(~).
espCl.ce compact ct parfait (c I est-a.X1 '
dire ne contenant aucun point iso16; de dimension n, i l elltiste
une transformation f de
~'ensemble
Plus encore: en designant par
8
C en X d'ordre
cp
~n+1.
le soua-ensemble de
C.Kuratowski
- 7 -
l'espace XC compose des fonctions f tel1es que f{C)=X, l'ensemble
~
des fonctions d'ordre
> n+1
est de premiere categorie dans
q:,.
Idee de Is demonstra tio~.
f de
tp
pour lesquelles i l existe
%0,x1 ' ••• ,
U11
des fonctionJ
systeme de n+2 points
xn+1 tels que
f{x o )=f(x1 )= ••• =f{xn+ 1) et
I l vient
l' ensemble
'f\( I' ensemble
Soi t
'V = "V
Vk
1+ 1'"2+"'+ 'tk+'" On montre que
est ferme et frontiEre (en s' appuyant sur le
tMoreme de decomposition, Cfr.Chap.III, corollaire).
La
premi~e
partie du theoreme en resulte en appliquant
le theoreme de Baire et le theor~me de Hausdorff d'apree 1equel
CP 10.
Exemple. SoH X l'intervalle 0
~x
~
1. La fonction f
(de Cantor-Lebesgue), qui fait correspondre au point
t1
t =--3-- +
t2
g- + •.• (t i
= 0 ou 2)
de l'ensemble de Cantor le point
f(t) =
~ (~+
t2 +••• )
de l'intervalle X1 est d'ordre 2.
4
En s'appuyant sur Ie theoreme precedent, on. prouve l'enonc'
suivant:
Theoreme de decomposition generalise. X etant un espaee
compact de dimension n, Q, tout
C">
0 correspond une decomposition
de cet espace en un nombre fini d'ensembles fermee: X+F +•••-IF
tels que
d (F . ) < E
~
et que dim (F .• : •• F. )
~o
systeme de r+1 indices differents (ou r
Theoreme reciproque.
~
~r
o
~n-r
n+1).
Si fest une transformation de
l'ensemble C, d'ordre n+.1, on a dim fCC) .::;; n.
9
m
pour tout
C.Kuratowski
- 8 -
V. Simplexes. Polytopes.
Soit dans l'espace euclidien En un systeme de n+1 points
po ,P1""'Pn
• Le simplexe
(ouvert) n
p ,P1"'P c'est l'ensemble
o
des points p de la forme
p =
( 1)
A0P0 + ... +
i\p,
nn
ou
) +... +
1\.0
A n=1
et
:1..>0.
:1.
Lea points P , ••• ,p sont nommes les sommets du simplexe
o n ·
S=p ... p , les simplexes p. • .. p. - sont ses faees (k=O, 1, ... n).
o
n
10
1k
Le simp1exe S est dit simple si ses sommets s@nt lin~aiEement independants. Les faces d'un simp1exe simple sdnt disjointea
deux a deux.
En outre, Ie simplexe "ferme"
S est,
lEi somme de
toutes les faces de S. Pour qu'un point p appartienne a
f~ut
S,
i1
et i1 suffit qu'il satisfasse aux conditions (1) ou lline-
gali te
Ai -:> 0 est remplacee par
Ai? O.
Par polytope nous entendons une somma finie de simplexes
fermes •
Transfommijtion )G. Soient X un espace metrique separable,
Go, ••• ,Gm un aysteme d1ensembles ouverts tels que X=Go+ ••• +Gm
et p , •.• ,p un systeme de points de l'espace euclidien Er. On
o
m
appelle transformation Xi correspondante aces system6il Ie.
transformation suivante:
ou
Done )G(x) est Ie point du simplexe ferme ~
coordonnees barycentriques
si G. , ••• ,G.
10
1k
'A o (x), ••• , ,:t m(x).
o
est Ie systeme de tous les ensembles
contiennent x, on a
m
aux
Plus precisement:
~;., qui
(x) G Pi ••• p .•
o
1k
En appliquant Ie theoreme de decomposition du Chap. III et
"lC>
10
C.kuratowski
- 9 -
~transfGrmation
dans
~, on montre le theoreme suivant:
~h9ore~. SoH X un ensemble compact a n dimensions si tue
l'espace euclidien Er. A tout E > 0 correspond une transfor-
mation continue f de X en un polytope P de dimension n telle
que
I< £
\f(x)-x
3i, en particulier, r
a la
tope P
~
2n+1, on peut assujettir Ie
~oly­
condition supplementaire, que les simplexes (ouverts)
qui le constituent soient disjoints deux
a deux.
Dans un ordre d I illees analogue ~ on ales theoremes suivan.s
(d I Alexandroff) :
L Pour qu'un.espace compact X soit de dimension ~n, i1
'£ > 0
faut et i l suffi t qu I a tout
ciOJrresponde une trasnforma-
tion continue de X en un polytope de dimension!S n, dont toutes
les tranches (clest-a.-dire les ensembles f-i(y)) sont de diametre <.
S.
;:. L'inegaillite dim X
>
n est) dans le domaine des el/paces
compacts, un invariant des transformations
c I est-a.-dire gu I i l existe un
S> 0
"a
petites tranches";
tel que, pour toute transfor-
mation continue f de X ayant les tranchos de diametre <£, on a
dim f(X)
>
D.
T.1l.eoreme du plongement (de Menger-Nilbeling). Tout espace
X de dimension nest homeomorphe
a un
sous-ensemble du cube
.
)
r 2n+1 ('a 2n+ 1 d'lmenSlons.
Plus precisement, si r
~ 2n+i~
les transformations de X
qui ne sont pas des homeomorphies constHuent dans l' espace
"
(r r)x un ensemble de premiere
categorie.
La demonstration est basee sur Ie Lemme suivant.
~,~,
Soie:::tt A et B deux sOlis-ensembles disjoints et
fermes de l'espace X a. n dimensions.
ou r
~
a tout £: > 0
'iJA!.)6('B! = 0
2n+1, et
telle que
A toute
fonction ft (rr)x,
correspond une transformation )c
et
11
I
')C. -
f
I~ s .
- 10 -
Le nombre 2n+1 ne peut pas 3tre remplace par
Remarqueso
un
C.Kuratowski
inferieur. En effet, le polytope somme des faces de
n~bre
dimensions #!. n du simplexe a 2n+2 dimensions n I est pas "topologiquement co~enu" dans le cube I2n.
Le probleme de trouver les conditions dans les<!uelles un
polytope
I
k
a~
pour k
~
dimensions est topologiquement contenu dans le cube
2n, n! est pas resolu pour n '> 1 (11 a ete trai te
recemment par Wu
Wen-ts~r).
Dans Ie cas n=1. on a le theoreme
euivant: pour qujun polygone ne se 1aisse pas plonger, topologiquement dans Ie plan, i l faut. et i l suffit qu'il contienne
topologiquement l'un des deux polygones ci-dessoua:
VI. Problemes de dimension concernant les soua-ensembles de l'espace euclidien.
1. Tous sous-ensemble ouvert non vide de En est de dimension n.
2. Tout sous-ensemble frontiere de En est de dimension <~
3. La fronti2.re d iun ensemble ouvert G tel que GtEn eat
de dimension n-1.
Plus genera1ement:
4. Theoreme de Mazurkiewicz. Soit R une region de En. Si
dim
A~
n-2, tout couple de points de R-A se 1aisse unir par un
aous-continu de R-A.
5. Theoreme de Alexandroff. Soit F un aous-ensemble compact
de En. Pour que F soit de dimension ~ r, i l faut et i l suffit
12
C.Kuratowski
- 11 -
qutaucun cycle de dimensionn-r-2 ne soit enlace avec F dans
aucune boule a n dimensions~)
En particulier, un sous-ensemble 1-dimenaionnel ferme de
E3 ne coupe l'espace localement entre aucun couple de pOints; i1
est cependant enlace localement avec un cycle a 1 dimension.
F etant un sous-ensembl.e ferme 2-dimensionnel de ]3, il
existe une boule R telle que l'ensemble R-F est non-connexe.
Cependant, comme l'a demontre recemment X.S1tnikov 2 ), il
existe un ensemble (non-ferme) ACR 3 a 2 dimensions et tel que,
quel que soit la region R, tout couple de points de R-A se laisse
unir par un soue-continue de R-A.
VII.
~rolongement
des fonctions
continues~
D'apres Ie theo,reme dE! Tietze, toute fonction continue a
valeurfl reellee definie sur un emus-ensemble ferme d'un espaee
metrique X se laisse etendre sur l'eepace X tout entier. En
symbole: la condition f E ]l ou F=F eX, ilnplique I' existence
dtune fonction f'JCE. EX telle que f c f!
X et Y etant deux espaces metriques, nous ecrivons l ~ Y
1orsqu'a tout ensemble F=F C X et a toute fonction f~ ~ corr6spcnd une fonction £*6 yX telle que f C f; nous ecrivons X--tv
y lorsqu'a ~ fonction f corr~spond un ensemble ouvert G contenent F et une fonction f4(e. yG telle que f C.
t:
8i la condition X --r:: Y a lieu pour tout espace metrique separable, Y est dit un retracte absolu; s'il en est ainsi de Is
condition X ~ v y, Y est dit un retracte de vOisinage.
1)Cf. P. Alexandroff,
OPe
cit. p.166.
2) Voir Doklady Akad. Nauk 94 (1954), p. 1007.
13
C.Kuratowski
- 12 -
Ainsi la droite E, l'intervalle I et - plus generalement l'eepace euclidien En et le cube In - sont aee retractes absolus.
D'apres un theoreme de Borsuk, tout polytope est un retracte de
voieinage; cependant un polytope peut ne pas @tre un retraote
absolu; ainsi par exemple, en designant par Qn+1 1a boule
x~ + x~ +••• + X!+1 ~ 1 et par Sn sa frontiere, 18 relation
Qn+1 ~ ::in est en defaut (puisque 1a fonction f(p)=p pour p ~ Sn
ne se laisse pas etendre sur Q 1 suns qu' elle qui tte :I'a sphere
n+
Theoreme d'Alexandroff.
Les conditions dim X ~n et
I ~ S
eont equivalentes.
n
Ce theoreme donne lieu
a la
generalisation des nombreux
theoremes de la theorie de 1a dimension par
18 relation
1i 1).
l'intermed~aire
de
Ainsi, en particulier, on demontre que
(at.lee theoremes II, 3 et V, 1):
1.
Fk;::FkVY,
Y etant un retracte de voisinage, les relatione
ou
k=1,2, ••• , impliquent (F 1+F Z+"')"C Y.
2. Y etant un rdtracte de voisinage, la relation X non-~Y
8st--- dane me domaine des espaces compacts
des transformations
a petites
~
un invariant
tranches.
Cependant les problemes suivants restent ouverte:
(A ex
(H
1:f
Y)::::;' (A
"t- Y)~ (Y
't y)
?
est un retracte absolu)?
(X 't Y et dim X=n):~ (In
't
Y) ?
1) Voir ma note de Colloquium lIiathemuticum 2{1951}, p.186 ...191.
14
c. Kurato ws.k:i
- 13 -
Ajoutons que Ie. condition In't' Y (ou I d6signe 1 'interval1e 0 ~ t ~ 1) caracterise les eapaces Y localement et integra-
lement connexes en toute dimension
Lefschetz.
15
<: n
dans 1e sens d'Alexander-
TEASLAZIONI
PlANE
GENERALIZZATE
(Lezioni raccol te
da R. Conti)
Roma-lsti tuto 11atemr.tico dell'Universi ta, 1955
17
G.Scorza Dragoni
- 1 -
Ti~SLAZIONI
PIANE GENERALIZZATE
1. I'reliminari.
Ri teniarao noti i concetti di trasformazione topologiea, di
curva sempliee,ch::'usa
0
aperta, di bicella, nonche Ie propxieta.
e1ementari conneS8e a questi concetti. In proposito si potra consultare ad es. i1 vol.I delle "Lezioni di Analisi" di F.Severi
(Complementi al Cap. V).
e i1
L'ambiente in cui operiamo
piano (reale) euclideo.
Una traslazione, t, nel piano, in senso ordinario, gode
delle seguenti proprieta: 1) t e un automeomorfismo del piano,
cioe un omeomorflsmo del piano in se; 2) t(p);lP, qualunque sia
i1 punta P, ossie t non ha gunti uniti;
3) t conserva
i1 senso
delle rotazioni,
Queste tre proprieta.
~
earatterizzano tuttavia le trasla-
zioni piane ordinarie, e neppure la class6 degli automeomorgismi
del piano topolog:Lcamente equivalenti 1) ad una traslazione
piana ordinaria (8i vedano i suee. nn.8 e 12).
Pertanto diremo che ogni Jrasformazione che goda delle
proprieta. 1), 2), 3) e una traslazione piana generalizzata (abbreviato in
~.P.g.).
Noi esamineremo ap)unto le principali proprieta delle'
t.p. g.
2. ID1 teorema
~~~wer
sUll'esistenza di punti uniti.
Sia G una bi.cella, t(G)=
r
la sua immagine in un omeomor-
1) Un autOllleomorfis!Jlo t del piano e topologieamente equivalente
ad una traslazione ordinaria se
""t'"\ ()
,can "t' autoomeomorfiamo
conveniente, e una traslazione ordinaria.
19
G.Soorza Dragoni
- 2 -
fismo t.
Brouwer [1]
~~..L..
ha provato i l
Esi_sJI3 almmio un punto unito P 9 (Ci06 esiste almeno
un punta Po tale che t(Po)=P o) se 6 soddisfatta la condizione
(B)
t(G) ~ G
Limiteremo qui la dimostrazione al caso in cui G sia un cerchio.
Procediamo per assurdo (cfr.ad es. Hurewicz e Wallman, Dimension
Thepry, p. 40) •
Se per ogni P € G
eP I
t(p) possiamo proiettare P da t(p)
in un punta R del contorno g di G. Segue che G
e mutato
nel suo
contorno da una trasformazione continua, che lascia fermi i singoli punti del contorno.
L'assurdo 6 raggiunto se proviamo il
Teorema II. Non
esiston~
contorno~ le~~_i
trasformazioni continue di G nel suo
subordin1no su questo l(identita.
Data la natura della questione possiamo ora supporre G
ridotto ad un triangolo di vertici A,B,e.
Procediamo ancora per assurdo (cfr.
[2~, ~ 1) supponendo
l'esistenza di una trasformazione continua t di G nel contorno che
subordini su questo l'identita.
Effettuiamo una divisione di G in triangOli~K (k=1,2, ••• ,p2)
per mezzo di paral1ele ai 1ati oondotte per i punti di una divisione in p parti uguali di ciascuno dei lati AB,BC,CA. Associamo
ai vertici A,B.e i numeri 1,2,.3 ne11 l ordine e diciamo P,Q,R i
punti di mezzo di AB,BC,CA rispettivamente.
Sia V un vert ice di 1:'1( , di guisa che t (V) appartiene al
contorno di ABC. Associamo a V i l nUJllero
.......
.--
11 numero 2 se t(V)f; P B + B Q
,n
I-'
I-:
se t (V) € R A + A P,
H
numero 3 se t(v)E Q C +
.J"-:
IJ
R.
Bastera oru provare, e 1m;, faremo nel n.3, che esiste almeno
un
~k
cui 6 associata la terna, non ordinata, (1,2,3), perIag-
giungere l'assurdo.
20
a.Scorza Dragoni
- 3-
Infatti, se un tale triangolo, ~K' esiste, la sua immagine t(
1-1
P B
11 )
t-
dovra avere un vertice su g~ + ~P, uno su
K
t-1
I-
+ B Q ed uno su Q C + C R , quindi dovra avere un diametro
che non scende aldisotto di un certo d> O.
E cia contrasta col fatto che ess-.do t continua il diametro di ogni t ( 1i'",) si puo rendere arbi trariamente piccolo pur
di supporre p abba stanza grande.
Rasta dunque da provare l'esistenza del ~(associato alla
terna (1,2,3).
3. 11 lemma di Sporner.
L' esistenza di 1:;'1<
Sperner"
[4]
e assicurata
dal cosi detto "lemma di
; nel cas~ unidimensionale
e una
proposizione ov-
via che ha il seguente enunciato:
Lemma 1. Nato un
sew~ento
parti. si associ il numero
AB ed una sua qualungue divisione in
al punto A. i1 numero 2 al punto
B (0 viceversa) ed uno dei due
nv~eri
1.2. a ciascun punto della
divisione.
Allora il numero delle patti cui
non ordinata, (1,2)
e dispari.
e associata
la coppia,
Vale a dire essiste rumeno una tale parle.
Hel caso bidimensionale, che
e quello
che a hoi serve,
il lemma di Sperner si enuncia:
Lemma 2. Dato un triangolo kBC dividi~olo in triangoli ~1come
(-si
e f~tto
nel n.2 e numeriamo i vertici V dei
~K
afisociando ad
Ail numero 1, a B il numero 2L a C il numero 3, ed associando
a V i l numero 1
0
2 se V i= A.1h....1d..!!u.mero 2 se VEB-C.il numerc>
~ VG.. C-A. Ai vertici V interni al triangolo ABC associamo,
indlfferenUDente,uno dei ire numeri 1.2.3.
Allora 11
n2~0
d,,,i
~K
cui
e dispari.
li
e
e _associata
la terna (1,2,3)
Sia infatti mk i l nur;lGro dei lati appartenenti a 't'1( ai quaassociata la coppia (1,2). Sia poi g il numero dei ~ assoi(
21
G.Scorza Dragoni
- 4 -
ciati alla terna (1,2,1)
(1,2,2) ed
0
t quello dei
alla terna (1,2,3). Avromo
I"~
2..1Yrt
':t
2,
\(
~
'L assoeiati
It
O-r€·
Sia infine f i l nULlGrO dei 1ati avent! punt! interni ad
ABC ed associati alla coppia (1,2) cd h il numero dei lati appartenenti ad AB ed associati alln st.:Jssa coppia (1,2). Avromo
I'l
L
1
e quind!
f'rIV
I<
£=
Ma per il lcmma 1 h
= 2 1P t--fv,
.
2 (f - g) + h
e dis pari
0-
tale sara
t.
4. Estensioni del teorema.di Brouwer.
Del teorema di Brouwer oull'esistenza di punti uniti s1
conoscono nUL1erose estensioni in direzioni diverse: si cfr. as
es.
[3]+~].
,Qfl '
[9J,
Q~J teoreIDa IIi [1~ , ed anche: (12J
teorema I.
Per la nostra trattazione dolla tooria delle t.p.g. ei oe-
B4] , (15J
corre di eonsideraro il caso in cui, ih luogo della
e soddisfatta
(B)
t(G) ~G
180 pili debola condizionc
t(G).G ammette almeno un punta interno O.
L I esistenza di almeno un punto lIDi to
e assicurata
sotto
certe ipotesi agGiuntive che ora illustreremo: le affermC!.zioni
contonute in questa n,4 sono dimostrate in
Sia g i l contorno di G,
[9J •
'a qnello di f' = t(G).
~Ol\li
~
FIG,. :l.
22
L4 f'"
G.Scorza Dragoni
- 5-
I punti P che si possono
eongi~gere
con 0 mediante una curva
aemplice aperta PO aenza incontrare g ne
r costi tuiscono una bi-
cella J, il contorno j della quale ha punti comuni con g.
Prendendo per
0
gni punta !Ii j. g il :J.a.ssimo arco o.i g che
-Vi.' ...>~, •••
10 contiene si decompone j. g in una successione
di archi di g
(eventualmente fini ta).
Dei due archi ebe,
con
fo.i;
"i
individu~ su
r
uno, che indichiamo
,costituisce insieme a oj", i l eontorno di una bicella L1
non contenente 'il punta 0 e si dimostra che
r
= t(G)=J+L 1+L 2+•••
Le ipotesi aggiwltive annuncamte prima sono quelle espresse da
v. ) o
(0 insieme vuoto).
t ( ..,). ). (L. OJ
l-V
Vale aUora i l
Teorema III.
(cfr.~} ,teor.IV). Se valgono le ipotesi (B1)~
(B 2 ) la t ammette almeno un punto unite che appartiene a J.
Per la dimostrazione, che omettiamo, ci ai riconduce, introducendo opportune trasformazioni auailiarie di Li in v~ al
caao del teorema I di Brouwer.
Nel n.aeguente diremo come il teorema III permette di porre i j[ondamenti per ricostruire la teoria di Brouwer sulle
"traiettorie"delle t.p.g.
5. Archi di traslazione e traietterie di'una t.p.g.
Una curva semplice e aperta
la diremo un areo di trasla
~
zione in una data t. P.,g. t se l' immagine t (
A. )
(ehe e vvviamen-
te una eurva 'semplice e aperta) e i\ han..'1o in comune solo un
punto, estremo per entrambe.
Non essendoei punti uniti nella t, tale estremo sara l'immagine t (P) dell' al tro estremo P di
areo di traslazione (di il1llua.gine
e per t-n ( A ) (n=2,3, ••. ).
A. •
A )
23
Anche t -1 (
A)
e un
e 10 stesso sara per tn~). )
G•. Seor"a Dragoni
- 6 -
11 punta P si dira QFigine dell l areo di traslazione
A .
L'insieme Q eostituito da un area di traslazione A e
.
" ) , t 2 ( I,),
A
'\ ), •.• , vale a
dagll arch~. t ( I\.
•.. , t -1 ( "'" ), t -2 ("dire l' ins i eme
si dice una
trai~ttoria
della t.
Il primo teorema (Ii
Brol~
tel
Teorema 1. (cfr. [2J ,teorema1;
sulle traiettorie
[3J
e il
seguen-
,~1,n.2; [4J .,teorema 4;
per la dimostrazione del Gesto ved. [~) , ~ 5). Le traiettorie della t sono eurve
.
~empliei
e aperte •
Diamo un cenna dir.;ostrativo per illustrare l'ufficio che
in questa dimastrazione si pua far assumere al teorema di Brouwer
generalizzato del n.4 (teorema III).
ProeediarnD per assurdo e limitiamoci al caso della Fig.2,
nella qual e e supposto A t 2 ( A) ';'0, rinviando per 10 studio
lIllilnuto di tutti i casi a
[91 ' ~ 5:
ttl')
eon
F1'1 • .2
Sia Q la prili1a intersezlone, a partire da t 2 (P) dl t 2 (
A. ; t (Q) dovra apf"lrtenere sia a t 3 (A ) che a t ( it );
sia inoltre a
1'31'00
di estremi P,Q.
24
AJ
G.Scorzo. Dragoni
- 7 -
r
Diciamo G la bicella di contorno g = s + t( ~ ) + r, dove
t 2 (P}Q di t 2 (/I.),s l'arco Qt(p) di it ,
Se
e 10. bieella di eontorno =t(g)=t(s)+t 2 ( A )+t(r),
e l'arco
r
'0
avremo
Nel caso della Fig.2, nella quale si suppone ehe i punti
di a - Q siano tutti all' esterno di
r = t(G)
sono
r,
si vede subi to ehe G e
nelle eondizioni del teorema III, rispetto alla
t. Dovrebbe pereio esistere almena un p=t(p), contro la proprieta 2) delle t,p.g.
Se i punti di a - Q r'ossero interni a
invece un punta 1mi to per la t
-1
r
si troverebbe
•
6. Esistenza degli archi di traslazi?ne contenenti un punto
o.ssegnato.
Considerazioni dello stesso tipo di quelle svolte nel n.
precede (cfr.
[9J
Teorema 2. Se
A
,n,22) permettono di dimostrare i l
e una
c.urva semplic;c ..§...JllJ\!rta di
es~remi
P e
t(P) e se
It.. •t( It. ) CP +
i\. t ( A )oot (p),
~
t(P)+t 2 (P)
:'ti:-f&~ci che /I.
Vale a dire, ogni punyo P
e un
e origine
area di traslazione.
di quanti si vogliono
archi di traslo.zione; non solo, infatti vale il
Teorema
punto P
3.
(cfr. ~J ,teorcoa7;
e interno
a
9ua.Q~..L
[4J
,teorema
3; [5J
,pag.62) Ogni
si.J[Q;r,l:i,g}l.Q..._a..r.chi di traslazione.
Infatti, essendo p I t (p), un cerchio C ~ di cent.ro P e
raggio ~ non ineontra t (C~ se
e abbastanza
t(~ se ~
tale che
C~
cr /
~
\
piccolo, incontm
grandc • .2er continui ta esiste un
e la bicella
~'--""""
(
e aiJbastanza
\A
f~
"
FIG.3
25
G.Scorza Dragoni
- 8 -
t(C~)
hanno in comune solo pinti dei contmrni. Sia A uno di ta-
li punti. (Fig.3). Una qualunque curva sempliee e aperta
A
estremi t- 1(A),A, passante per P e interna, salvo gli estremi,
a C~
di
e un
area di traslazione, a norma del teor.ama 2.
Di qui e da;!. teorema 1 segue anche, subito, che:
P ~ tn(P)
(n=o,± 1 ,±2' , ... )
7. Il teorema fondamentale di Brouwer sulle traiettorie.
Vale i l seguente
Teorema 4 (cfr. [2J ,teorema
6; [9]
,~6). La curva sem'Olice e aper-
ta c incontra la propria immagine t(c) se l'arco staccato
~~
I,yremi di c su una conveniente traiettoria della t contiene
almeno un area di traslazione della t e costituisce
__qQn
insie~e
c una curva semplice e chiusa.
Rinviamo a
[9J ' ~ 6 per la
come quella del teorema
1
e baseta,
dimostrazione, che
sull'impiego del teorema di
Bro~~
generalizzato (teorema III).
8. Equivalenza topologiea fra traiettorie e rette.
a) il teorema seguente stabilisee che ogni traiet'Goria di
una t.p.g.
~
topologicamente equivalente ad una retta; vale a
dire esiate una trasformazione topologica che muta una traiettoria in una retta. 8i dira anche ehe una traiettoria
semplice aperta.
Teorema
5 (efr. (2J
traiettoria " ed s
teorema 2;
e un
[1g ,n.3)
e una
linea
Se J? appartiene ad una
sottoarco (fini to)
d'
che
fit
P nell' interno, allora la d1stanza di P da 6' -s
.e
cont:i,,~.M
P,? si tiva,
Altrimenti detto:
Deserivendo una traiettoria in uno dei due versi a part ire da un
suo punto P qualunque non 61 si pua avvicinare indefinitamonte
,U.
La dimostrazione si PUQ dedurre in modo semplice daL
26
G.Seorza Dragoni
- 9 -
teorema 4 (cfr. ad es.
B~ ,nI3)
~oJ ,li.5) i l
b) Dal teorema 5 si deduce (Cir.
Teorema 6. (efr. ~J ,t("orema 7; [4J ;teorema 3). Qualungue sia
-1
2
-2
11 punto P del..1!.iano la suce~_fLsione P,t(p),t (p), t (p},t (P}, ••
diverge.
I
.
P,t(p), t
punt~
-1
(p)" •• sono a
~ue
a due distinti (n.6),
pereio se la suecessione non fosse divergente ammetterebbe almeno
un punta di aecumulazione A.
Costruiamo) analogamente a quanta si
e fatto
nella
dimostr~
zione del teorema 3, un aerohio C di centro A, avente in comune
con t(C) sol tanto punti del eontorno e sia t(R) uno di questi
punti.
In C esiste almeno un tn(P). La spezzata Rtn(P)At(R)
e un
area di traslazione i1 quale genera una traiettoria e:t'!e contiene
tutte le immagini. di P nelle diverse potenze di t e ehe dIal trog
de passa per A, loro punto di aecumulazione. Cio contro i l teorema 5.
f
14. 4-
c) segue subito dal teorema 6 il
f? ]
Teorem?-......1 (
1
teorema 3; &J ' teorema 10) .§.£
dei due insiemi
A. e un
areo di
traslazioneuia~euno
"'"
Q""
e illimitato.
Ogni
= ••• +t
-2,
-1 '\
(" )+t (1\);
Ossis,
tra~.£~toria
~plic~rte (=
e divisa
tia ogni suo