ESEMPIO 1
Calcolare il perimetro del triangolo ABC sapendo che A(-1,3) B(5;3) C(2,5)
SVOLGIMENTO
PABC = AB + BC + AC
AB e' parallelo all'asse x (i due punti hanno la stessa ordinata) quindi
AB=| xA - xB| = |-1-5|=6
BC e' in posizione generica , cosi' come AC quindi si avra'
PABC=AB+BC+AC= 6+2
ESEMPIO 2
Dati i punti A(-1,2) B( k ; 3k), determinare k in modo che la distanza di B da A sia il triplo della
distanza di A dall'origine del sistema di riferimento
SVOLGIMENTO
Il problema chiede di trovare k in modo che
BA = 3 * AO
Calcolo la lunghezza del segmento AO
AO=
calcolo la lunghezza del segmento BA (naturalmente il risultato dipendera' da k)
2
2
2
2
2
2
BA= (x A  xB )  ( y A  y B )  (1  k )  ( 2  3k )  k  1  2k  4  9k  12k
scrivo l'equazione in k che risolve il problema andando a sostituire in BA = 3*AO i valori appena
calcolati relativi alla lunghezza dei segmenti BA ed AO
B2
elevo al quadrato entrambi i membri
10k2 - 10 k + 5 = 45
10 k2 -10 k - 40 = 0 divido per 10 tutti i termini
k2 - k - 4 = 0
k=
vi sono due punti B nella condizione
voluta le cui coordinate sono
B1(
) circa (-1.5 ; -4,5 )
B2(
) circa ( 2,5 ; 7,5 )
ESEMPIO 3
Dati i punti A(-3;-1) B( 1;5) C ( k-1;3) determinare k in modo che ABC sia un triangolo isoscele
sulla base AB
SVOLGIMENTO
La condizione richiesta dal problema e' che il triangolo sia isoscele sulla base AB, quindi i due
lati AC ed BC devono essere uguali
AC=BC
calcolo AC ( il risultato dipendera' da k)
AC=
calcolo BC (il risultato dipendera' da k)
BC=
sostituisco nella relazione AC=BC i valori
appena calcolati ed elevo al quadrato entrambi i
membri in modo da eliminare le radici quadrate
k2 +4k + 20 = k2 -4k + 8
risolvo l'equazione
8k = -12
k= - 3/2 quindi C ( -5/2 ; 3 )
ESEMPIO 4
Verificare che i punti A( -5 ; 5) , B( 3 ; 3) , C( 5 ; -5), D (-3 ; -3) sono vertici di un rombo e
calcolarne l'area.
SVOLGIMENTO
Se i quattro lati sono uguali allora si tratta di un rombo, quindi calcolo i quattro lati
AB=
BC= DC = AD =
Quindi la figura e' un rombo.
L'area si calcola moltiplicando tra loro le
due diagonali e dividendo per due
A= 1/2 * AC * BD
AC=
BD=
Area(ABCD) =
ESEMPIO 5
Dati A( 1;-1) B ( -5;-5) determinare C appartenente all'asse x ed D appartenente all'asse y in
modo che siano equidistanti da A ed B .Verificare che il quadrilatero ABCD e' un quadrato,
calcolare la area del quadrato e il raggio della circonferenza circoscritta al quadrato.
SVOLGIMENTO
Se C appartiene all'asse x le sue coordinate sono C( c ; 0 ) mentre D appartenente all'asse y ha
coordinate D ( 0; d),
poiche' C ed D devono essere equidistanti da A ed B dovrà essere AC = CB ed anche AD =
DB
Calcolo AC, CB,AD,BD
AC=
CB=
AD =
BD =
Imposto le due equazioni seguenti:
AC = CB
c2 - 2c + 2 = c2 +10c +50
c=-4
AD = DB
d2 + 2d +2 = d2 + 10d + 50
d= -6
C ( -4 ; 0 )
D ( 0 ; -6)
Per essere certi che si tratta di un quadrato bisogna verificare che i quattro lati sono uguali e
che le due diagonali sono uguali
AC=
AD=
CB=
BD=
le due diagonali misurano......... e sono uguali quindi si tratta di un quadrato
AREA = 26
Il raggio della circonferenza circoscritta ad un quadrato e la meta' della diagonale del quadrato ,
R = BD/2
R=
SIMMETRIA CENTRALE
ESERCIZIO 1
Consideriamo la simmetria centrale di centro T (0;2).ABC è un triangolo di vertici A(1 ; 0),
B(3 ; 0), C(1 ; 2) .
Determinare le coordinate del triangolo A’B’C’simmetrico di ABC rispetto al centro T.
SVOLGIMENTO
Le formule della simmetria di centro T sono xA’ = 2xT-xA ed yA’ = 2yT-yA .
Calcolo le coordinate di A’ (2xT-xA ; 2yT-yA ) = (2*0-1 ; 2*2-0)= ( -1; 4).
Calcolo le coordinate di B’ (2xT-xB ; 2yT-yB ) = (2*0-3 ; 2*2-0)= (-3 ; 4).
Calcolo le coordinate di C’ (2xT-xC ; 2yT-yC ) = (2*0-1 ; 2*2-2)= (-1 ; 2)
Soluzione: A'( -1; 4). B'(-3 ; 4). C'( -1; 2).
x