
Conseguenze T.Bloch
Operatore momento:
p  i 
*
 pnk    n,k
(r)(i ) n,k (r)d 3 r
 nk (r)  un,k (r)e ikr
 pnk 

u
*
n,k
u
*
n,k
(r)eikr (i )un,k (r)e ikr d 3 r
(r)( k  i )un,k (r)d 3 r
 pnk  k 
u
*
n,k
(r)(i )un,k (r)d 3 r
No particella libera
 pn,k  k
k  Momento_ cristallo
Dispositivi a semiconduttore
1
Dispersione bande
En (k  q)  En (k)  q   k En (k)  ......
p2
1
H
 V (r) 
(hk  ih)2  V (r)
2m
2m
1
H kq 
(h(k  q)  ih)2  V (r)
2m
h2
h2 q 2
H kq  H k 
q  (k  i) 
2m
2m
E n,k q
Trascurabile per q piccolo
i 2
 E n,k    (r)q  (
) n,k d 3 r
m
*
n,k
Ma
E n,k q  E n,k  q   k E k
segue

 k E k 
m
 p
 pn,k  segue
1
v

v   k E k
m
Dispositivi a semiconduttore
2
Conseguenze T.Bloch
Dispersione bande
•Velocità elettrone dipende da gradiente
banda
•Stato di Bloch: v=costante
•Stati di Bloch=autostati H
•Assenza di scattering per elettroni
Bloch: un potenziale periodico non
produce scattering su questi stati
Dispositivi a semiconduttore
3
Teorema accelerazione
NO Transizioni interbanda: n non cambia: validità per campi che non
provocano tali transizioni
E=campo agente su elettrone
dEn (k)
dt
dt
1
dEn (k)
dk
segue

 eE  k Ek dt 
dt   k Ek
h
dt
dt
eE dk


h
dt
dL  eE  vdt 
dk
eE  Fe  h
dt
Analogia particella libera_________momento del cristallo
Dispositivi a semiconduttore
4
F=costante
K cresce indefinitamente ? NO
Riflessione a bordo zona
2 h
TB 
F a
kmax

TB
  hF
a
2
F  eE
E  10 4 V / cm
a  10Å
F  1.6 10 19 10 6 N
2 10 34
12
TB 

10
s
13
9
1.6 10 10
Oscillazioni di Bloch
Dispositivi a semiconduttore
5
Moto in presenza di una forza esterna
F
E
1
2
3
4
5
6
7
k
T=0
T=3
T=4
T=5
T=6
T=1
T=2
Dispositivi a semiconduttore
6
Moto in presenza di una forza esterna
Oscillazioni di Bloch: lo stato cambia in modo periodico
F
E
1
2
3
4
5
6
7
k
Dispositivi a semiconduttore
7
Cosa succede al moto reale dell’elettrone
F
E(k)
v(k)=ħ-1dE/dk
k
Dispositivi a semiconduttore
8
Moto dell’elettrone
v(t)= periodica
F
v(k)=ħ-1dE/dk
k
Dispositivi a semiconduttore
9
Velocity
La velocità è una funzione periodica del tempo
0
5
10
15
20
25
30
35
Time
La posizione è una funzione periodica del tempo
Oscillazioni di Bloch: tensione continua, corrente oscillante
Dispositivi a semiconduttore
NON SI
OSSERVANO
10
Meccanismo di damping
collisione
F
v(k)=ħ-1dE/dk
k
Tempi tipici collisione: 10-13s
Dispositivi a semiconduttore
11
Sperimentalmente è stato visto in super reticoli
spontaneous current oscillations
aSL
aSL=10 nm: TB=.1 ps ≤ c
Dispositivi a semiconduttore
12
Tensore massa effettiva
1
v   k Ek
h
dv
dk 1
 kv 
 2  k ( k En (k))  F
dt
dt h
dv
 1 
   *  F
 m   ,
dt

1
1  2 En (k)
 2
*
m ,  h k k
Dispositivi a semiconduttore
13
1/M*ij: Matrice simmetrica puo’ essere diagonalizzata
 k x  k x0 
2




1
E (k )  E0 k x  k x 0 , k y  k y 0 , k z  k z 0 M  k y  k y 0 
2
k k 
z0 
 z
 m11

1
M 


m2
1



1 
m3 
Elettroni in GaAs m1=m2=m3
Dispositivi a semiconduttore
14
BC in GaAs
 1 2
E ( k )  k
2
Dispositivi a semiconduttore
15
BC in Silicio
2
 1 

2 
2
2 2
E (k )   L  k x 
   T k y  k z  
2  
a 

Dispositivi a semiconduttore
16
E(k)
v(k)=ħ-1dE/dk
m(k)=ħ2 (d2E/dk2)
/
Dispositivi a semiconduttore
FBZ
k
17
Caso isotropo
dv
dk
m
h
dt
dt
*
GaAs
Electrons:
For Γ-valley
mΓ = 0.063mo
In the L-valley the surfaces of equal energy are
ellipsoids
ml= 1.9mo
mt= 0.075mo
In the X-valley the surfaces of equal energy are
ellipsoids
ml= 1.9mo
mt= 0.19mo
Si:
Electrons:
The surfaces of equal energy are ellipsoids.
ml= 0.98mo ( direzioni equivalenti (100))
mt= 0.19mo ( piano perpendicolare dir.longitudinale)
Dispositivi a semiconduttore
18
Ancora sulla massa effettiva:
•Interessa in vicinanza di un estremo di una banda
•Positiva intorno di un minimo
•Negativa intorno di un massimo _ v opposta a F, rispetto al caso di
un elettrone libero
Dispositivi a semiconduttore
19
Un elettrone in una banda non piena trasporta corrente
E(k)
v(k)=ħ-1dE/dk
k
j=-ev(k)
Dispositivi a semiconduttore
20

Densità di corrente
J  e v(k)  
e
 E
k
k
Banda piena
k
k
E(k)  E (k) segue

v(k)  v(k)
segue

JTOT  0
La banda piena non produce J≠0
In presenza di un campo E:
dk
 eE
dt 
eE
dk  
dt
Un elettrone incrementa il k e lascia il posto ad
un altro elettrone
Dispositivi a semiconduttore
21
Cosa succede ad una banda piena cui manca un elettrone?
Intuitivamente trasporta corrente.
E
k
Dispositivi a semiconduttore
22
Gli elettroni di una banda vuota (piena) non trasportano corrente elettrica
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
j=k -ev(k)=0
Dispositivi a semiconduttore
23
La lacuna
BV: 1 elettrone mancate con k=ke
Stato con N-1 elettroni in banda con N stati
E
BV
k=ke
Dispositivi a semiconduttore
k
24
JTOT  e  v(k)  ev(ke )  0
k  ke
ev(ke )  JTOT  e  v(k)  J
1
k  ke
J h  ev(ke )
Carica positiva
Dispositivi a semiconduttore
25
e
J h  ev(k e )   k E e (k e )
Energia lacuna:
E h  E Banda  E e (ke )  E e (ke )  cos t
kh  ke
Dispositivi a semiconduttore
26
Lacuna: stato a N-1 elettroni all’interno di una banda con N stati
Qual’è l’energia dello stato di lacuna?
E
Eh 
ke
k
 E (k )
k  ke
Eh   E (k )  E (ke )  Eo  E (ke )
k
Dispositivi a semiconduttore
Eh=-Ee
27
Lacuna: stato a N-1 elettroni all’interno di una banda con N stati
Qual’è il momento dello stato di lacuna?
E
 h    (k)
k  ke
k
ke
 h   uk e   uk  e   uk e
ikr
k  ke
 U ke e

ir 



ikr
k  ke

k  ke 


 U ke e
k  ke
ike
Dispositivi a semiconduttore
 ikr
k  ke

k  ke
kh=-ke
28
e
e
J h   ke E e (ke )   kh E h (k h )
1
v h   kh E h (kh )
 1 
dv h,a
  *  F ,
dt
 m k  , 
1
1 2Eh
 2
*
m ,
kk 
Dispositivi a semiconduttore
29
Lacuna: stato a N-1 elettroni all’interno di una banda con N stati
Qual’è la velocità dello stato di lacuna?
Ee
ke
k
Eh
kh


 E h ( k h )   Ee ( k e )


 k h  ke
k
Dispositivi a semiconduttore
30
Lacuna: stato a N-1 elettroni all’interno di una banda con N stati
Qual’è la velocità dello stato di lacuna?
Ee
ke
k
Eh
kh


 E h ( k h )   Ee ( k e )


 k h  ke
k
Dispositivi a semiconduttore
31
Lacuna: stato a N-1 elettroni all’interno di una banda con N stati
Qual’è la velocità dello stato di lacuna?
Ee
ke
k
kh
k
Eh


 E h ( k h )   Ee ( k e )


 k h  ke
Lacuna è una quasi particella
Dispositivi a semiconduttore
32
Lacuna: stato a N-1 elettroni all’interno di una banda con N stati
E
Qual’è la velocità dello stato di lacuna?
Eh
kh
ke
k
k


 E h ( k h )   Ee ( k e )


 k h  ke

 
vh (kh )   kh Eh


 
 
vh (kh )   ke ( Ee )   ke Ee  ve (ke )
 
 
vh (kh )  ve (k33e )
Dispositivi a semiconduttore
Lacuna: stato a N-1 elettroni all’interno di una banda con N stati
E
Qual’è l’inerzia dello stato di lacuna?
k
ke
Eh
k
kh


 E h ( k h )   Ee ( k e )


 k h  ke
2



mh (kh )  
 kh   kh Eh


2
2






mh (kh )  
 
 me (ke )
 kh   kh EDispositivi



(

E
)
h

k

k
e
e
e
a semiconduttore
34




Lacuna: stato a N-1 elettroni all’interno di una banda con N stati
E
Qual’è la corrente trasportata dallo stato di lacuna?
Eh
kh
ke
k
k


 E h ( k h )   Ee ( k e )


 k h  ke
 
 
jh (k h )    eve (k )
k  ke

 
 
 
  
 
jh (k h )    eve (k )    eve (k )  ev (ke )   ev (ke )
k  ke
 ak semiconduttore

Dispositivi
35


Lacuna: stato a N-1 elettroni all’interno di una banda con N stati
E
Qual’è la corrente trasportata dallo stato di lacuna?
Eh
kh
ke
k


 E h ( k h )   Ee ( k e )


 k h  ke
k
 
 
jh (kh )  eve (ke )
 
 
 
jh (kh )  eve (ke )  evh (kh )
Dispositivi a semiconduttore
Qh  e36
F


dk
F 
dt
E
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
k
Dispositivi a semiconduttore
37
Linguaggio
Elettroni
Ee
Eh
F
Linguaggio
Lacune
kh
ke
kh
ke
kh


dk e
F 
dt

k

dk h
F  
dt
Dispositivi a semiconduttore
e
38
Linguaggio
Elettroni
Ee
F=-eE
Eh
Linguaggio
Lacune
kh
ke
kh
ke
kh


k



dk h 
dk e
 Fh
FeE
 eF
E
 Fe
dt
Dispositivi a semiconduttore
39
dt
e
Linguaggio
Elettroni
E
Ee

ve  0


ve  v1
Eh
Linguaggio
Lacune

vh  0
kh
ke


vh  v1
kh


ve  v2 k
  1 

 
1
1 

ah  ae ah  
Fe vh  k F
v2h
ae  
Fe
mh 
me
me


k
Fe
Fh
e
h
e
Dispositivi a semiconduttore
40
Lacuna
• Energia uguale e opposta all’energia
dell’elettrone mancante
•Momento uguale e opposto al momento
dell’elettrone mancante
• Velocità uguale alla velocità
dell’elettrone mancante
• Massa uguale e opposta alla massa
dell’elettrone mancante


k h  k e
 
 
vh (kh )  ve (ke )


mh (kh )  me (ke )
Qh  e


1


dk h a 
Fh
h
Fh  
mh 41
dt
Dispositivi a semiconduttore
• Carica uguale e opposta a quella
dell’elettrone mancante
• Teoremi accelerazione
Eh=-Ee
Densità degli stati:
3 catene 1D: Lx,Ly, Lz
2
ki 
ni
Li
i  x, y,z
n(k)d k  2 
3
Lx Ly Lz
(2 )
In energia dN  n(E)dE 
3
 n(k)d k 
3
 (E )

Spazio K
d 3k
Lx Ly Lz
4 3
Dispositivi a semiconduttore

d 3k
 (E )
42
BANDE ISOTROPE
2
S(E+dE)-S(E)=v(E)
S(E+dE
)
2
k
E
2m *
2
k
dE  * dk
m
 (E)  4 k 2 dk
S(E)
Caso 3D
 L 
n(E)dE  2    4 k 2 dk
2 
3
L 3
n(E)  4    (2m) 3 / 2 E
h 
Dispositivi a semiconduttore
 bc (E)  E  E c
 bv (E)  E v  E
43
DOS
Eg
Dispositivi a semiconduttore
44
D
O
S
d 3k  d 2S
dk
1
dE  d 2 S
dE
k E
V
d 2S
n(E) 

4  3 S(E )  k E

Dispositivi a semiconduttore
45
Come cambia la DOS
Dispositivi a semiconduttore
46
Come si misura la DOS?
Ad es. Misure ottiche:
Assorbimento
Dispositivi a semiconduttore
47
Dispositivi a semiconduttore
48
GaAs
Dispositivi a semiconduttore
49
Dispositivi a semiconduttore
50