Una circonferenza e una retta
Una retta e una circonferenza possono avere in comune
non più di due punti.
Osserviamo le loro posizioni reciproche.
• secante se hanno
due punti in comune;
• tangente se hanno
un solo punto in comune;
• esterna quando non
hanno alcun punto
in comune.
Una retta esterna
Retta esterna alla circonferenza:
La retta a non ha alcun
punto in comune con
la circonferenza ,
con raggio di misura r.
In questo caso la distanza
OH tra la retta a e il centro O
della circonferenza è maggiore
del raggio.
Una retta tangente
Retta tangente alla circonferenza:
La retta a ha un solo punto in
comune con la circonferenza
di raggio di misura r.
Il punto H, in comune, è detto
punto di tangenza.
La distanza OH tra la retta a
e il centro O della circonferenza
è congruente al raggio.
Il raggio OH è perpendicolare
alla retta a nel punto
di tangenza H.
Una retta secante
Retta secante alla circonferenza:
La retta a ha due punti in
comune con la circonferenza
di raggio di misura r.
In questo caso la distanza OH
tra la retta a e il centro O
della circonferenza è
minore del raggio.
Tangenti a una circonferenza
Tracciamo due tangenti alla circonferenza da un punto P
esterno alla circonferenza stessa.
Raggio OA
s
Gli angoli PAˆ O e PBˆ O sono retti e i
triangoli OBP e OPA sono rettangoli.
Gli angoli
sono tra loro
congruenti.
BP = PA
Raggio OB
t
e
I segmenti PB e PA
detti segmenti di
tangenza sono
congruenti.
Alcuni esempi
La circonferenza qui a fianco ha
raggio lungo 5 cm.
Dal punto P, esterno a essa,
tracciamo la tangente nel punto A.
Il segmento di tangenza PA è lungo
12 cm, calcola la misura della
distanza di P dal centro O.
Applica il teorema di Pitagora al triangolo OPA retto in A
e trova la lunghezza dell’ipotenusa PO:
Prova tu
Osserva il disegno qui a fianco.
Il raggio della circonferenza è
lungo 10 cm e il segmento di
tangenza dal punto P alla
circonferenza è lungo 24 cm.
Quanto misura la distanza di P
dal centro O della circonferenza?
OA = …….. cm
10
AP = …….. cm
24
OP =……..………………………………………………………26 cm
Due circonferenze nello stesso piano
Due circonferenze contenute in uno stesso piano possono
avere in comune non più di 2 punti. Esaminiamo le possibili
posizioni reciproche di due circonferenze.
Le circonferenze nel disegno sono esterne l’una all’altra.
Due circonferenze sono
esterne l’una all’altra se:
• non hanno alcun punto
in comune:
• la distanza tra i centri è
maggiore della somma
dei raggi:
Circonferenze tangenti esternamente
Le circonferenze nel disegno sono tangenti esternamente.
Due circonferenze sono tangenti
esternamente se:
• hanno un solo punto in comune,
detto punto di tangenza:
• la distanza tra i centri è
congruente alla somma dei
raggi:
Circonferenze tangenti internamente
Le circonferenze nel disegno sono tangenti internamente.
Due circonferenze sono
tangenti internamente se:
• hanno un solo punto in
comune, detto punto di
tangenza:
• la distanza tra i centri è
congruente alla differenza
dei raggi:
Due circonferenze si incontrano
Le circonferenze nel disegno sono secanti.
Due circonferenze sono secanti
se:
• hanno due punti in comune:
• la distanza tra i centri è minore
della somma dei raggi e
maggiore della loro differenza:
Una dentro l’altra
Le circonferenze nel disegno sono una
interna all’altra.
Due circonferenze sono una interna
all’altra se:
• non hanno alcun punto in comune:
• la distanza tra i centri è minore della
differenza dei raggi:
In particolare se i due centri coincidono,
, le due circonferenze si dicono
concentriche.
Esercitati
• Completa le scritture con la lettera che indica la retta opportuna
a
e stabilisci se è esterna, secante o tangente.
P
d
d
esterna
a
a
tangente
b
b
secante
A
b
B
• Traccia tre rette a, b, c in modo che la retta a incontri la circonferenza in
un solo punto T, la retta b la incontri in due punti M e N, e la retta c in
nessun punto.
N
•
c
Quale tra esse è esterna? ...........
c
Quale è tangente? ..........
a
b •
M
Quale è secante? ..........
b
T
•
a
d
Esercitati
• Completa le seguenti scritture con >, =, <
e stabilisci se la retta è esterna, secante
o tangente.
tangente; =
esterna; >
secante; <
• Osserva la figura e barra la casella opportuna.
x
x
x
Esercitati
• Osserva le seguenti figure e riconosci le circonferenze secanti, esterne,
tangenti, concentriche.
esterne
concentriche
tangenti internamente
secanti