Scomposizione di trinomi di II grado
- Trinomio caratteristico Carlo Alberini
19 dicembre 2010
Cerchiamo di introdurre e spiegare in queste poche pagine le due strategie di
fattorizzazione di particolari trinomi di II grado: i trinomi caratteristici.
Questi trinomi devono la loro “caratteristica” al fatto che si riscontrano particolari
legami numerici tra i loro coefficienti, in particolare legami di somma e prodotto. Mi
spiego: siano dati, per esempio, i seguenti trinomi (caratteristici):
x2 − 5x + 6
e
2x2 + x − 3.
In cosa consiste la loro “caratteristica”? Ad una prima rapida occhiata non sembrerebbe
esserci nulla di interessante. E invece non è così! Chi si è già accorto del legame che sto
per spiegare?
È molto semplice.
Iniziamo con l’esaminare il trinomio (caratteristico) x2 − 5x + 6. Ci accorgiamo che
esistono due numeri tali che, se sommati fra loro, producono il coefficiente del termine
di primo grado (−5), e, se moltiplicati sempre fra loro, ci restituiscono il termine noto
(+6). Questi numeri sono, ovviamente, −2 e −3. Infatti: −2 − 3 = −5 e −2 · (−3) = +6.
A questo punto, con un po’ di magia, posso dirvi che il trinomio caratteristico di sopra si
scompone nei seguenti due polinomi: (x − 2)(x − 3).
Infatti
(x − 2)(x − 3) = x2 − 3x − 2x + 6 = x2 − 5x + 6.
Anche il secondo polinomio preso in considerazione, 2x2 + x − 3, gode di questa
caratteristica, solo che stavolta il legame riguarda anche il coefficiente del termine di
secondo grado (2). Avremo allora l’esistenza di due numeri che sommati tra di loro danno
−6 (ovvero: −2 · (+3)) e sommati +1 (ovvero: −2 + 3 = +1). Anche in questo caso,
sempre con un po’ di magia, posso dirvi che il trinomio caratteristico di sopra si scompone
nei seguenti due polinomi: (2x + 3)(x − 1).
Infatti
(2x + 3)(x − 1) = 2x2 − 2x + 3x − 3 = 2x2 + x − 3.
1
Bene. Ora facciamo i seri!
1. Sia dato un trinomio di secondo grado tale che:
x2 + (p + q)x + pq
p, q ∈ Q.
Le sue caratteristiche sono fondamentalmente due:
(a) coefficiente del termine di secondo grado pari a 1;
(b) legame tra il coefficiente di primo grado e il termine noto espresso dai numeri p e
q, ovvero dall’esistenza di due numeri (p e q) che se sommati tra loro producono
il coefficiente del termine di primo grado e se moltiplicati tra loro restituiscono
il termine noto.
Svolgendo i calcoli,otteniamo allora:
x2 + (p + q)x + pq = x2 + px + qx + pq.
Applicando una fattorizzazione parziale alla prima e seconda coppia del polinomio
ottenuto si ha che:
x(x + p) + q(x + p) = (x + p)(x + q).
Siamo riusciti a fattorizzare il polinomio di partenza basandoci unicamente sul legame
precedentemente enucleato dei vari coefficienti dello stesso.
Ciò significa che - trovandosi di fronte ad un trinomio di secondo grado con le
suddette caratteristiche - lo possiamo sempre fattorizzare nel modo seguente:
x2 + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q).
Negli esercizi che risolveremo, infine, sarà, ad esempio:
x2 − 5x + 6,
dove −5 = (p + q) e 6 = pq, allora p = −2 e q = −3, da cui la fattorizzazione
immediata: (x − 3)(x − 2). . . . ecco svelato il primo trucco . . .
2. Sia dato un trinomio di secondo grado tale che:
px2 + (p + q)x + q
p, q ∈ Q, p 6= 1.
Le sue caratteristiche sono fondamentalmente due:
2
(a) coefficiente del termine di secondo grado diverso da 1;
(b) legame tra i coefficienti di secondo grado, primo grado e il termine noto espresso
dai numeri p e q, ovvero dall’esistenza di due numeri (p e q) che se sommati tra
loro producono il coefficiente del termine di primo grado e se moltiplicati tra
loro danno il prodotto tra il coefficiente di secondo grado con il corrispondente
termine noto1 .
Svolgendo i calcoli,otteniamo allora:
px2 + (p + q)x + q = px2 + px + qx + q.
Applicando una fattorizzazione parziale alla prima e seconda coppia del polinomio
ottenuto si ha che:
px(x + 1) + q(x + 1) = (px + q)(x + 1).
Siamo riusciti a fattorizzare il polinomio di partenza basandoci unicamente sul legame
precedentemente enucleato dei vari coefficienti dello stesso.
Ciò significa che - trovandosi di fronte ad un trinomio di secondo grado con le
suddette caratteristiche - lo possiamo sempre fattorizzare nel modo seguente:
px2 + (p + q)x + q = (px + q)(x + 1).
Negli esercizi che risolveremo, infine, sarà, ad esempio:
2x2 + x − 3,
dove +1 = (p + q) e −6 = pq, allora p = +3 e q = −2, da cui:
2x2 + x − 3 = 2x2 − 2x + 3x − 3 = 2x(x − 1) + 3(x − 1) = (2x + 3)(x − 1).
. . . ecco svelato anche il secondo trucco . . .
Infine ricordo che - anche in queste formule di fattorizzazione - i vari coefficienti vanno
considerati sempre accompagnati dai loro segni algebrici ; ecco spiegate anche le discrepanze
di segno tra gli esempi forniti e le formule dimostrate.
Prof. Carlo Alberini
1
Con le due generalizzazioni prodotte, siamo in grado di coprire tutti i casi di trinomio caratteristico
con coefficiente di secondo grado pari o diverso da 1.
3