Il trasformatore
Principio di funzionamento
Il trasformatore è una macchina elettrica statica reversibile, che funziona sul principio della mutua
induzione. È formato da un nucleo in lamierino ferromagnetico al quale sono concatenati due
avvolgimenti distinti (fig.1):
— l'avvolgimento primario, con N1 spire, che viene alimentato da una sorgente esterna di tensione;
— l'avvolgimento secondario, con N2 spire, al quale viene collegato il carico.
La legge generale di induzione elettromagnetica fornisce una fem per spira data, in valore
istantaneo, da:
Ammesso che il nucleo sia sede di un flusso magnetico alternato sinusoidale:
Fig.1 Schema di principio di un trasformatore.
ed effettuando la derivata, rispetto al tempo, si ha:
Si ottiene quindi una fem di valore massimo Emax = ω Φmax sfasata in ritardo sul flusso di 90°.
Se indichiamo con A la sezione del nucleo magnetico e con Bmax il valore massimo dell'induzione, si
ha Φmax = Bmax A. Sostituendo questa relazione in quella precedente, il valore efficace della fem
indotta in una spira, E = Emax / √2, assume l'espressione:
B
(1)
Tenendo conto del numero di spire, la fem indotta in ciascun avvolgimento sarà data, in valore
efficace, da:
(2)
Il trasformatore è una macchina che lavora generalmente ad altissimo rendimento, anche oltre il
98%; in prima approssimazione perciò si può ritenere ideale. Trascurando quindi i parametri passivi
degli avvolgimenti, l'equazione alla maglia d'ingresso dovrà stabilire che la somma fra la tensione
v1, applicata dal generatore esterno, e la fem indotta e1, prodotta dall'avvolgimento N1 deve dare
come risultante zero:
Ciò dimostra che la tensione applicata al primario è uguale alla fem, ma opposta di fase.
Per il secondario si avrà semplicemente: v2 = e2
I valori efficaci delle tensioni saranno perciò, in modulo:
(3)
e vettorialmente (fig. 2):
(4)
Dalle relazioni (fig. 3), dividendo membro a membro, si ricava la proporzione:
(5)
K viene indicato come rapporto di trasformazione o rapporto spire. Dalla (5) si deduce che: in un
trasformatore il valore della tensione è direttamente proporzionale al numero di spire.
Per il caso ideale, che qui esaminiamo, possiamo affermare che la potenza erogata al secondario è
uguale alla potenza assorbita al primario.
Posto quindi Vl Il = V2I2 deriva It / I2 = V2 / V1 cioè:
(6)
In un trasformatore il valore della corrente è inversamente proporzionale al numero di spire.
Fig. 2 Diagramma vettoriale delle tensioni di un trasformatore ideale.
Fig. 3 Diagramma vettoriale di un trasformatore a vuoto.
Esercizio 1
Un trasformatore monofase da 20 kVA, rapporto tensioni 220/24 (V), frequenza 50 Hz, è avvolto su
nucleo ferromagnetico di sezione A = 3 cm2 e lavora all'induzione Bmax= 1,2 Wb/m2. Determinare:
Nl e N2.
Funzionamento a vuoto
Alimentando il trasformatore con i morsetti secondari aperti non si ha nel secondario alcuna
corrente. L'avvolgimento primario invece, collegato alla rete di alimentazione, assorbirà una
corrente Io, sfasata di φ0 sulla tensione. Tale corrente è la risultante di:
— una componente attiva, Ia = I0 cos φ0, che serve ad alimentare le perdite nel ferro, per isteresi e
correnti parassite;
— una componente reattiva, Iμ = I0 sen φ0, detta magnetizzante, che serve a produrre il flusso
magnetico.
La corrente a vuoto I0 è generalmente molto piccola, circa 5 % al 10% di quella nominale,
e fortemente sfasata (fig. 3).
Data l'esiguità di questa corrente, gli effetti passivi dell'avvolgimento primario sono irrilevanti.
Per tener conto della presenza della corrente I0 , che è esclusivamente passiva e non contribuisce
Fig. 4 Schema equivalente di un trasformatore a vuoto.
al trasferimento di energia dal primario al secondario, si sviluppa uno schema rappresentativo del
funzionamento a vuoto del trasformatore come tracciato in fig. 4. In esso è evidenziato il gruppo R0,
X0, sede delle correnti Ia e Iμ ; tale circuito va inteso come equivalente al nucleo magnetico.
Il trasformatore a vuoto assorbe:
— una potenza attiva P0 = V1 /0 cos φ0, corrispondente alle perdite nel ferro, P0 = Pf;
— una potenza reattiva Q0= V1 Ia sen φ0, che è la potenza magnetizzante.
Esercizio 2
Un trasformatore monofase da 2 kVA, alimentato alla tensione di 220 V, assorbe a vuoto una
corrente di 0,25 A ed una potenza attiva P0 = 20 W. Determinare: cos φ0, Ia, Iμ.
Funzionamento a carico
Collegando il carico, l'avvolgimento secondario è chiamato ad erogare una corrente I2 la quale, per
effetto di mutua induzione, richiama al primario una corrispondente corrente I1’. Questa, nel rispetto
della (6), sta nel rapporto inverso del numero di spire e, per effetto di retroazione, è sfasata di 180°
su I2 (fig. 5). La corrente complessiva primaria, risultante fra I1’ e I0 , sarà:
Come abbiamo detto, l'incidenza di I0 è esigua per cui I1 ≈ I1’Gli avvolgimenti del trasformatore presentano parametri passivi, che occorre considerare. Essi sono
(fig. 6):
— le resistenze dei conduttori, R1 e R2;
— le reattanze di dispersione X1 eX2, che tengono conto di quella parte di flusso disperso, che non
riesce ad accoppiarsi con entrambi gli avvolgimenti.
Fig. 5 Diagramma vettoriale delle correnti di un trasformatore.
Fig.6 Schema equivalente di un trasformatore.
Questi parametri possono essere più semplicemente trasferiti tutti al primario oppure al secondario
(fig. 7), rispettivamente mediante le formule:
Fig. 7 Schemi equivalenti semplificati di un trasformatore: a) primario; b) secondario.
Dimostrazione
Si supponga di voler valutare il valore di resistenza R2’ da collocare al primario, tale che sia equivalente alla resistenza secondaria effettiva R2. Entrambe le resistenze dovranno sviluppare la medesima potenza, dovrà cioè essere:
e, con la (6):
Con lo stesso procedimento si può dimostrare la reattanza equivalente.
Esercizio 3
Un trasformatore monofase avente rapporto spire K = 2,5 possiede i seguenti parametri: R1 = 35 Ω,
Xl = 40 Ω, R2 = 5 Ω, X2 = 7Ω.
Determinare resistenze e reattanze equivalenti primarie e secondarie.
Le resistenze e reattanze di dispersione determinano cadute di tensione, le quali provocano una
variazione della tensione al carico al variare della corrente erogata.
Fig. 8 Diagramma vettoriale dello schema di fig.7b.
Con riferimento allo schema equivalente secondario (fig. 7b) e al diagramma vettoriale
corrispondente (fig. 8), la legge di funzionamento è:
La variazione di tensione ∆V=E2 - V2 è legata ai parametri interni globali e all'angolo di fase φ del
carico dalla formula:
Dimostrazione
Con riferimento al diagramma vettoriale di fig. 9 si proietti OC in OE. Data l'esiguità delle cadute di
tensione si può ritenere: OE ≈ OC = E2 La variazione di tensione quindi è data da:
Fig. 9 Diagramma vettoriale del circuito equivalente secondario.
Da essa deriva la famiglia di caratteristiche esterne data in fig. 10. Si osserva che per i casi di carico
ohmico e ohmico-induttivo la tensione tende a diminuire con l'aumentare della corrente. Nel caso di
carico ohmico-capacitivo invece si rileva una minor diminuzione e, per forti sfasamenti, addirittura
un aumento della tensione.
Fig. 10 Caratteristiche esterne di un trasformatore ai vari carichi: a) RL, b) R, e) RC,d) C.
Rendimento
Le resistenze, percorse da corrente, sviluppano perdite nel rame date globalmente da:
Esse sono un inconveniente perché contribuiscono a diminuire il rendimento del trasformatore, ma
soprattutto perché ne aumentano la temperatura in funzionamento. Il rendimento di un trasformatore
si può valutare mediante la relazione generale:
in cui:
Data l'assenza di parti in movimento, il rendimento di un trasformatore è sempre molto elevato,
superiore al 90%. Solo nei trasformatori di piccola potenza può scendere a valori inferiori.
Esercizio 4
Un trasformatore monofase da 2 kVA, rapporto tensioni 220/160 V, presenta perdite nel ferro
Pfe=80W e perdite nel rame Pcu = 120 W. Determinare il rendimento a cos φ = 1 e cos φ = 0,8.