Cinematica e Dinamica della Trottola
(...e non solo)
Alessio Squarcini
15/05/08
Sommario
In questa breve dispensa vengono esposti i principi basilari della cinematica del corpo rigido, soffermandoci sulla parametrizzazione dei moti rigidi tramite gli angoli di
Eulero. Successivamente viene affrontato lo studio della dinamica della trottola di
Lagrange. Per la quale ne viene fornita, in primis una analisi qualitativa del moto
di precessione e di nutazione. In seguito in approssimazione di trottola veloce viene
derivata l’ampiezza della nutazione, la frequenza di nutazione e di precessione.
Nella restante parte della dispensa viene esposta una breve panoramica degli argomenti inerenti la dinamica rigida. Lo scopo di questo excursus è quello di rendere
una visione di insieme di quella che è la dinamica del corpo rigido; quali le equazioni
di Eulero, la loro risoluzione per una trottola asimmetrica in moto per inerzia ed
infine i moti di Poinsot.
Molti problemi in meccanica sono integrabili per quadrature ed inversioni, e spesso
gli integrali che si devono invertire non sono trigonometrici, ma ellittici. Per questo
in appendice è riportata una breve esposizione delle funzioni ellittiche e delle loro
principali proprietà. Lo scopo dell’appendice è quello di fornire un semplice strumento di calcolo, per uno studio sistematico di queste ultime si rimanda ai testi di
analisi o ai manuali sulle funzioni speciali.
Lo studio di questi sistemi fisici è assai standard, qualsiasi libro di meccanica tratta in modo più o meno diffuso questi temi. Tuttavia, per esperienza personale
ho preferito incentrare la quasi totalità di queste note sul lavoro monumentale di
Goldstein ([1]), dalla quale sono tratte quasi letteralmente. Per chi preferisce un
approccio formale e geometrico ai moti rigidi può consultare il classico libro di Arnold ([4]). Ovviamente la dinamica rigida è affrontata con grande stile ed eleganza
anche da Landau ([2]). Ulteriori approfondimenti di carattere fisico-matematico sia
sulla cinematica rigida che sulla dinamica possono trovarsi in Fasano-Marmi ([3]).
[email protected]
1
Indice
1 Cinematica rigida
1.1 Rotazioni infinitesime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Gli angoli di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 La trottola di Lagrange
2.1 La trottola veloce . . .
2.2 Una tecnica alternativa
2.3 La precessione regolare
2.4 Trottola verticale . . .
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3
3
4
5
. 9
. 11
. 12
. 13
3 Le equazioni di Eulero
14
4 La trottola asimmetrica
15
5 Il moto alla Poinsot
17
A Gli integrali ellittici e le funzioni ellittiche
19
A.1 Gli integrali ellittici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
A.2 Le funzioni ellittiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Bibliografia
22
2
1
Cinematica rigida
In questo paragrafo passiamo in rassegna due concetti molto semplici di cinematica del
corpo rigido, le rotazioni infinitesime e gli angoli di Eulero. Le prime saranno utili per derivare le equazioni di Eulero del corpo rigido, brevemente discusse nel penultimo paragrafo,
mentre invece gli angoli di Eulero sono indispensabili per la trattazione del problema della
trottola.
1.1
Rotazioni infinitesime
Come è ben noto, una rotazione è una trasformazione ortogonale. Una rotazione infinitesima altro non è che una rotazione, in cui a suo seguito le componenti di un vettore
cambiano di quantità infinitesime. Sotto una trasformazione infinitesima, rappresentata
da una matrice A, un vettore si trasforma come x0 = Ax. Se la trasformazione è infinitesima, essa sarà una piccola variazione dalla matrice identità, quindi indicando con una
matrice di rotazione i cui elementi siano infinitesimi
A=1+
Sempre al primo ordine, la matrice inversa vale A−1 = 1 − , essendo la matrice trasposta
uguale all’inversa abbiamo
˜ = −
Ossia, la matrice è antisimmetrica. Una matrice antisimmetrica di dimensione n è individuata da n(n − 1)/2 parametri, in particolare, gli elementi diagonali sono identicamente
nulli, senza perdere generalità possiamo assumere questa matrice della forma


0
−Ω3 Ω2
0
−Ω1 
=  Ω3
−Ω2 Ω1
0
Da cui notiamo subito che l’incremento dr = r di un vettore è esprimibile come un
prodotto vettoriale, in quanto dr = r × dΩ. Questa relazione ci permette di derivare
una utilissima formula per esprimere la derivata di un vettore solidale ad un corpo rigido
rotante rispetto ad un riferimento fisso (e viceversa). Consideriamo un vettore arbitrario
G. La i-esima componente di G nel riferimento fisso, Gi è legata alle altre componenti
nel riferiemnto solidale da una matrice di rotazione, quindi
Gi = ãij G0j = aji G0j
dove le componenti primate si riferiscono al sistema mobile. Consideriamo la variazione
di Gi , differenziando abbiamo
dGi = aji dG0j + daji dG0j
Se all’inizio i due riferimenti coincidono, le componenti del vettore espresse nei due riferimenti saranno eguali Gi = G0i , mentre in generale non potremmo dire lo stesso sui differenziali. Infatti se la rotazione è infinitesima, la matrice di trasformazione si allontanerà
poco dalla matrice identità, segue quindi per il differenziale della matrice
daji = ˜ij = −ji
3
Gli elementi della matrice possono essere scritti in termini del tensore di Levi-Civita,
ij = ijk dΩk , ottenendo
dGi = dG0 + ijk dΩk Gj
Come già visto in precedenza, questa relazione è possibile scriverla in forma di prodotto
vettoriale, in definitiva derivando rispetto al tempo e sfruttando l’arbitrarietà del vettore
utilizzato otteniamo la formula
d
d
=
+ ω×
(1)
dt f
dt s
Dove è stato posto ω ≡
1.2
dΩ
.
dt
Gli angoli di Eulero
In generale, la cinematica della rotazione di un corpo rigido tratta lo studio delle leggi di
trasformazione di un sistema di coordinate mobili rispetto ad un sistema di coordinate
fisso. Dato che siamo interessati ai moti puramente rotatori, la trattazione che faremo
non perde generalità se ipotizziamo che i due sistemi di coordinate abbiamo in comune le
due origini. Nello spazio tridimensionale, una rotazione è parametrizzata da tre variabili.
Nel più comune dei casi questi sono gli angoli che gli assi del nuovo sistema di coordinate formano rispetto agli stessi assi del sistema fisso. Questo modo di parametrizzare
le rotazioni non ci sarà di aiuto, per questo utilizzeremo i cosı̀ detti angoli di Eulero.
Formalizziamo tutto questo: definiamo un sistema di coordinate cartesiane Oxyz ed il
sistema Ωξηζ, inizialmente i due sistemi coincidono. Gli angoli di Eulero possono essere
definiti da tre rotazioni, (eseguite nell’ordine preciso) del sistema Ωξηζ rispetto al sistema
Oxyz. Iniziamo: facciamo compiere al sistema Ωξηζ una rotazione antioraria dell’angolo
ϕ attorno all’asse z, questa rotazione definisce l’angolo ϕ. Adesso ruotiamo in senso antiorario rispetto all’asse ξ dell’angolo θ il sistema appena ottenuto, questa rotazione specifica
l’angolo θ. Il piano mobile ξη taglia sul piano xy una retta coincidente con l’asse ξ, tale
retta viene chiamata linea dei nodi. Adesso compiamo una rotazione antioraria dell’angolo ψ attorno all’asse ζ appena ottenuto. Queste tre rotazioni specificano gli angoli di
Eulero θ, ϕ, ψ (in figura 1 è riportata la costruzione geometrica appena discussa). Queste
sono le tre coordinate che individuano la rotazione, pertanto saranno le nostre coordinate
generalizzate. Adesso che abbiamo definito gli angoli di Eulero, vogliamo capire come
esprimere la velocità angolare del corpo rigido nel riferimento mobile in termini delle velocità angolari θ̇, ϕ̇, ψ̇ e degli angoli di Eulero. Possiamo procedere in due modi, uno di
questi consiste nel ricavare le matrici di rotazione delle trasformazioni che determinano
gli angoli di Eulero, che è il metodo generale, seguito da Goldstein in [1]. Questo è un
esercizio abbastanza calcoloso, cosı̀ viene lasciato al lettore. Senza entrare troppo nei
dettagli, possiamo seguire la strada di Landau in [2], quindi il vettore velocità angolare
ω del corpo rigido espresso nel riferimento mobile in termini degli angoli di Eulero vale
ω1 = ϕ̇ sin θ sin ψ + θ̇ cos ψ
ω2 = ϕ̇ sin θ cos ψ − θ̇ sin ψ
ω3 = ϕ̇ cos θ + ψ̇
La dimostrazione di queste relazioni è ovvia, basta semplicemente osservare che θ̇ è diretto
lungo la linea dei nodi, ϕ̇ lungo l’asse verticale z e ψ̇ lungo l’asse ζ del corpo rigido.
Proiettando le componenti di questi vettori lungo gli assi ξηζ si dimostra l’asserto.
4
Figura 1: Gli angoli di Eulero
2
La trottola di Lagrange
Con trottola di Lagrange intendiamo un oggetto di forma simmetrica soggetto ad un campo gravitazionale uniforme, in cui un punto del suo asse di simmetria è fisso nel riferimento
solidale al laboratorio. Per il fatto di essere immerso in un campo gravitazionale, questo
sistema viene spesso indicato con trottola pesante.
La trottola che stiamo descrivendo è un corpo dotato di simmetria, quindi due autovalori
del momento di inerzia coincidono, in generale soddisfano la relazione
J1 = J2 6= J3
L’energia cinetica di questo sistema è ovviamente1
T =
I3
I1 2
I3
I1
(ω1 + ω22 ) + ω32 = (θ̇2 + ϕ̇2 sin2 θ) + (ψ̇ + ϕ̇ cos θ)2
2
2
2
2
dove è stato posto I1 = I2 = J1 + M l2 , I3 ≡ J3 . Sappiamo che per un corpo rigido di
massa M , l’azione della gravità la possiamo vedere come l’azione di una forza M g agente
sul centro di massa, indicando con l la distanza del centro di massa (il quale sarà situato
sull’asse di simmetria) dal punto di contatto, l’energia potenziale è V (θ) = M gl cos θ. A
questo punto è immediato trovare la Lagrangiana, infatti essa vale
L(ψ, ϕ, θ, ψ̇, ϕ̇, θ̇) = T − V
L(ψ, ϕ, θ, ψ̇, ϕ̇, θ̇) =
I1 2
I3
(θ̇ + ϕ̇2 sin2 θ) + (ψ̇ + ϕ̇ cos θ)2 − M gl cos θ
2
2
si nota subito che L(ψ, ϕ, θ, ψ̇, ϕ̇, θ̇) = L(θ, ψ̇, ϕ̇, θ̇), ossia le coordinate generalizzate ψ e
ϕ sono cicliche, pertanto dalle equazioni di Eulero-Lagrange si ha subito la conservazione
1
Ad essere precisi al posto di I1 si deve sostituire I1 + M l2 , in quanto la rotazione avviene per una
asse passante per il punto di contatto.
5
dei momenti canonici ad esse coniugati pψ e pϕ . Inoltre l’Hamiltoniana corrispondente
non dipende esplicitamente dal tempo di conseguenza abbiamo invarianza per traslazioni
temporali, ossia la conservazione dell’energia meccanica totale E = T + V .
Gli integrali del moto sono

∂L


= I3 (ψ̇ + ϕ̇ cos θ)
(2a)
pψ =



∂ ψ̇






∂L
pϕ =
= (I1 sin2 θ + I3 cos2 θ)ϕ̇ + I3 ψ̇ cos θ
(2b)

∂
ϕ̇







2


 E = I1 (θ̇2 + ϕ̇2 sin2 θ) + I3 ω3 + M gl cos θ
(2c)
2
2
Per comodità algebriche introduciamo due costanti a e b definite in modo che
pψ ≡ I1 a
e
pϕ ≡ I1 b
Esplicitando ψ̇ dalla relazione 2a e sostituendo nella 2b si trova una espressione per ϕ̇
indipendente da ψ
b − a cos θ
ϕ̇ =
(3)
sin2 θ
Sostituendo questo risultato nella 2b si ottiene una equazione analoga per ψ̇ in funzione
del solo angolo θ
b − a cos θ
I1
ψ̇ = a −
cos θ
(4)
I3
sin2 θ
Queste ultime due relazioni sostituite nella 2c permettono di ottenere una equazione di
moto nella sola variabile θ, ottenendo
E−
I3 2 I1 θ̇2 I1 (b − a cos θ)2
ω =
+
+ M gl cos θ
2 3
2
2
sin2 θ
Quindi il problema tridimensionale della trottola è ridotto ad un problema di moto unidimensionale. Precisamente, la rotazione di un corpo di momento di inerzia I1 in un
potenziale efficace
I1 (b − a cos θ)2
+ M gl cos θ
(5)
U (θ) =
2
sin2 θ
Quindi l’equazione del moto è
θ̈ +
2M gl
(b − a cos θ)2
sin θ = −∂θ
I1
sin2 θ
Altro non è che l’equazione del moto di un pendolo fisico forzato.
La soluzione dell’equazione del moto per θ(t) potrebbe essere sostituita nelle espressioni
3 e 4 ed ottenere per diretta integrazione di due equazioni differenziali del primo ordine le
funzioni ϕ(t) e ψ(t). Si osserva che il moto della trottola è definito da quattro parametri,
tre dei quali sono gli integrali del moto pψ , pϕ e E, fissati dalle condizioni iniziali. L’altro
parametro è M gl. Risulterà molto conveniente ridurre questi parametri in quattro costanti
6
normalizzate

2E − I3 ω32


α≡


I1




2M
gl

β ≡
I1

p
ψ


a≡


I1



p

b ≡ ϕ
I1
(6a)
(6b)
(6c)
(6d)
È immediato verificare che i primi due parametri hanno le dimensioni di una frequenza
angolare al quadrato, mentre i restanti due hanno le dimensioni di una frequenza angolare.
In queste nuove variabili l’equazione di conservazione dell’energia assume la forma più
semplice
(b − a cos θ)2
+ β cos θ
(7)
α = θ̇2 +
sin2 θ
A questo punto conviene eliminare le funzioni trigonometriche mediante un cambio di
variabili, introducendo la variabile u = cos θ, la relazione 7 diviene
u̇2 = (1 − u2 )(α − βu) − (b − au)2
L’equazione è diventata del tipo u̇2 = f (u), ma essendo f (u) un polinomio completo del
terzo grado, la soluzione generale è esprimibile per quadrature per mezzo degli integrali
ellittici; similmente al problema del corpo rigido in rotazione libera.
Inevitabilmente a questo livello la trattazione si complica. Risolvere per quadrature ed
inversioni tramite gli integrali ellittici è solo una laboriosa complicazione che insegna
pochissima fisica.
In questa trattazione ci accontentiamo di fornire una analisi più qualitativa, nel seguito
in certe approssimazioni riusciremo a portare avanti i calcoli con una analisi quantitativa.
Analisi del moto
Per capire il moto della trottola occorre studiare le proprietà del polinomio
f (u) = (1 − u2 )(α − βu) − (b − au)2 = (α − b2 ) + (2ab − β)u − (α + a2 )u2 + βu3
Come prima osservazione notiamo che per una trottola2 , il centro di massa non concide
con il punto fisso, ossia l > 0, da cui segue che β > 0, pertanto il polinomio f (u) è cubico.
Per trarre delle conclusioni sul sistema dinamico unidimensionale
p
(8)
u̇ = f (u)
È indispensabile trovare le radici del polinomio f (u), al variare dei parametri α, β, a, b.
Questo perché le regioni fisicamente ammissibili per il moto sono quelle in cui f (u) > 0;
saranno proprio le radici del polinomio a confinare il moto.
La casistica completa include tre casi, una radice reale e due complesse coniugate, tre
soluzioni reali di cui due coincidenti ed infine tre radici reali distinte. Naturalmente le
radici ui del polinomio sono sottoposte al vincolo fisico che |ui | ≤ 1 affinché u sia il coseno
di un angolo, inoltre se la trottola è appoggiata sul piano cos θ = u > 0.
2
Nel caso di un giroscopio β = 0 per cui il polinomio è quadratico.
7
Ovviamente si ha limu→±∞ f (u) = ±∞ e f (±1) = −(b ∓ a)2 . Questi fatti uniti alla
continuità del polinomio su tutto R bastano a garantire (per il teorema degli zeri) che
esiste almeno una radice nell’intervallo [1, +∞). Quindi esiste una radice reale u3 > 1
fisicamente non accettabile (eccetto il caso u3 = 1).
Nel caso rappresentato in figura abbiamo u3 > 1 e le restanti
due radici comprese tra
p
zero ed uno. Nell’intervallo u1 < cos θ < u2 la funzione f (u) esiste ed è ben definita,
quindi la trottola si muove in modo che θ sia sempre compreso tra due angoli limite,
θ2 = arccos u2 e θ1 = arccos u1 .
Un modo molto semplice per rappresentare il moto, è quello di tracciare la curva di
intersezione tra l’asse della trottola con una sfera unitaria centrata nel punto fisso. La
curva che si ottiene viene chiamata luogo geometrico dell’asse di figura. Tale curva risulta
parametrizzata dai due angoli di Eulero θ, ϕ. Come abbiamo appena visto il luogo geometrico è compreso tra le due circonferenze di colatitudine θ1 e θ2 .
Per uno studio qualitativo è sufficiente notare che il luogo geometrico dell’asse è fortemente influenzato dal segno di ϕ̇. Riscrivendo la relazione 3 in termini della variabile u
si ha
b − au
(9)
ϕ̇ =
1 − u2
Il valore critico che discrimina il segno di ϕ̇ è la radice u0 del polinomio b − au, essa vale
b
a
Il luogo geometrico dell’asse descrive curve qualitativamente molto diverse al variare del
parametro b/a. In particolare possono presentarsi tre tipi di moti:
u0 =
• Caso a)
Sia u0 > u2 , in questo caso il segno di ϕ̇ resta costante durante il moto. Questo
significa che l’angolo ϕ cresce indefinitamente, perciò l’asse della trottola compie
un moto di precessione attorno alla verticale. Ovviamente le velocità di precessione
non è costante, ma dipende dalla inclinazione istantanea θ. In aggiunta a questo,
l’asse della trottola oscilla verticalmente tra le due circonferenze limite, quindi la
precessione è accompagnata da una nutazione. In questo caso il luogo geometrico
descrive una curva regolare oscillante (qualitativamente) simile ad una sinusiode,
come riportato in Fig.2
• Caso b)
Se u0 ∈ (u1 , u2 ) il segno di ϕ̇ cambia nel tempo, e con esso la direzione di precessione.
Si vede subito che in corrispondenza della circonferenza inferiore θ1 = arccos u1 la
velocità di precessione è positiva, mentre sulla circonferenza superiore θ2 = arccos u2
la velocità di precessione ha il segno opposto. Geometricamente il luogo geometrico
presenterà degli anelli, simili a fiocchi, come riportato in Fig.2. Ovviamente nei
“punti di fiocco” , (i punti a X) la velocità di precessione è nulla, questo avviene
alla colatitudine θ̃ = arccos(b/a).
• Caso c)
Se u0 coincide con una delle radici del polinomio f (u), dalle equazioni 8 e 9 si nota
che sia θ̇ che ϕ̇ si annullano, come si vede in Fig.2 il luogo geometrico presenterà
delle cuspidi.
8
Figura 2: Tipologie del luogo geometrico al variare di b/a.
Osservazioni
Il terzo caso può sembrare di difficile realizzazione pratica. In realtà basta scegliere delle
opportune condizioni iniziali per instaurare tale moto. Ad esempio consideriamo una
trottola tale che al tempo t = 0 è in rotazione attorno al suo asse, inizialmente mantenuto
fisso con inclinazione θ0 rispetto alla verticale, evidentemente si ha θ̇ = ϕ̇ = 0. Definendo
u0 = cos θ0 , con queste condizioni dalla equazione 3 si ha
u0 = u0 =
2.1
b
a
(10)
La trottola veloce
L’approssimazione di trottola veloce permette di trarre conclusioni di carattere quantitativo sul moto della trottola senza integrare l’equazione 8. L’energia di rotazione della
I ω2
trottola attorno al suo asse è 32 3 mentre la massima energia potenziale vale M gl. Se l’energia cinetica di rotazione è molto più grande dell’energia potenziale si parla di trottola
veloce, in questa approssimazione:
I3 ω32
M gl
2
Anche in questo caso consideriamo le condizioni iniziali viste nel paragrafo precedente.
Dalla legge di conservazione dell’energia 2c si ha
E−
Moltiplicando questa equazione per
I3 ω32
= M gl cos θ0
2
2
I1
si ottiene la relazione non banale
α = βu0
Questa ultima relazione unita alla 10 consente di fattorizzare il polinomio f (u), trovando
f (u) = (u0 − u)[β(1 − u2 ) − a2 (u0 − u)]
(11)
In questa forma si vede subito che le radici di f (u) diverse da u0 sono radici della
espressione nelle parentesi quadre, in particolare sappiamo che u1 ne è soluzione, quindi
ponendo
a2
p≡
− 2 cos θ0
e
q ≡ sin2 θ0
β
9
e definendo le ampiezze u − u0 ≡ x e u − u1 ≡ x1 si ha l’equazione quadratica
x21 + px1 − q = 0
la cui soluzione fisicamente accettabile è
p
p2 + 4q − p
x1 =
2
Da notare che il rapporto
I3 I3 ω32
a2
=
β
I1 2M gl
è direttamente connesso al rapporto tra l’energia cinetica di rotazione e l’energia potenziale. Fatta eccezione delle trottole con I3 I1 , corrispondenti alla insolita forma di
sigaro, la condizione di trottola veloce implica
a2
1
β
In questa approssimazione possiamo sviluppare in serie di potenze la soluzione per x1
ottenendo
2
q
q
x1 = + O
p
p3
Trascurando i termini di ordine superiore in q/p abbiamo con ottima approssimazione
x1 =
a2
β
β
I1 2M gl 2
sin2 θ0
≈ 2 sin2 θ0 =
sin θ0
a
I3 I3 ω32
− 2 cos θ0
Questa espressione è l’ampiezza3 della nutazione, si osserva subito che tanto più grande è
la velocità angolare della trottola, tanto più è piccola l’ampiezza della nutazione.
L’espressione 9 può essere leggermente semplificata, tenendo presente che l’ampiezza di
nutazione è piccola, quindi 1 − u2 ' sin2 θ0 , per cui otteniamo il sistema dinamico
ẋ2 = a2 x(x1 − x)
Effettuando una traslazione della coordinata x ponendo ζ = x −
x1
2
si trova
ζ̈ + a2 ζ = 0
(12)
da cui abbiamo la frequenza di nutazione
a=
I3
ω3
I1
L’equazione 12 è l’equazione di un oscillatore armonico con posizione di equilibrio il punto
ζ = 0, pertanto con le condizioni iniziali scelte la soluzione è
x(t) =
3
x1
(1 − cos at)
2
Si ricorda che la vera ampiezza è un angolo, mentre x1 è la differenza fra due coseni.
10
(13)
che sostituita nella equazione 3 fornisce
b − au
b − au0
a(u − u0 )
x
ϕ̇ =
≈
=
≈
2
2
2
sin θ
sin θ0
sin θ0
sin2 θ0
Infine si ha la velocità di precessione
β
ϕ̇ = (1 − cos at)
(14)
2a
Come già anticipato essa non è uniforme, ma oscilla nel tempo. Quello che possiamo dire
è che la velocità di precessione media della trottola è non nulla, in quanto
M gl
h ϕ̇ i =
I3 ω3
Commenti
Il caso da noi risolto, in cui l’asse della trottola è inizialmente in quiete ci permette di trarre
delle conclusioni sul moto globale. Appena l’asse è libero di muoversi, esso cade per azione
della gravità. Il momento delle forze relativo all’asse genera una velocità di precessione
direttamente proporzionale alla ampiezza dell’angolo di caduta. L’asse inizierà a muoversi
in una regione compresa tra due calotte sferiche. Il moto di caduta nella gravità diventa
una nutazione accompagnata da una precessione.
Un aspetto molto importante riguarda l’entità dei due effetti. Dalla relazione 13 si vede
subito che l’ampiezza di nutazione decresce con il quadrato della velocità angolare ω3 ,
mentre la frequenza di precessione è uguale alla frequenza di nutazione, come si vede
dalla 13 e 14. Inoltre dalla 13 si vede che la frequenza di nutazione cresce linearmente con
la velocità angolare. Perciò in approssimazione di trottola veloce, il moto di nutazione è
senz’altro una piccola perturbazione del moto di precessione.
Quindi per una trottola sufficientemente veloce, il moto di nutazione è quasi inesistente4 ,
per questo sembra essere una precessione uniforme attorno all’asse verticale. Questa
uniformità è vera solo in apparenza, in questo caso si parla di precessione pseudoregolare.
2.2
Una tecnica alternativa
Esiste un secondo approccio al problema della trottola veloce, ampiamente trattato da
Arnol’d in [4]. Grazie alle leggi di scala sappiamo che all’aumentare di N volte la velocità
angolare è esattamente equivalente a diminuire il peso di N 2 volte. Formalizziamo meglio:
Teorema (di Arnold). Se conservando la posizione iniziale della trottola, si aumenta di
N volte la velocità angolare, la traiettoria della trottola sarà esattamente la stessa, che se
l’accelerazione di gravità g fosse diminuita di N 2 volte, mentre la velocità angolare rimane
la stessa. Inoltre, nel caso di una maggiore velocità angolare la traiettoria, naturalmente,
viene percorsa N volte più velocemente. Se Ξg (t, ξ) è la posizione della trottola all’istante
t con condizioni iniziali ξ sottoposta alla gravità g, il teorema afferma che
Ξg (t, N ξ) = ΞN −2 g (N t, ξ)
Grazie a questo teorema, anziché prendere in esame l’approssimazione
I3 ω32
M gl
2
ci basta studiare il caso g → 0. Per ulteriori dettagli sull’uso di questa tecnica si rimanda
al libro di Arnold, più volte citato.
4
Anche perché gli attriti con il perno contribuiscono in modo notevole al suo smorzamento.
11
2.3
La precessione regolare
Come abbiamo appena visto, in generale la velocità di precessione oscilla nel tempo. Quello che ci chiediamo è: sotto quali condizioni il moto della trottola è una pura precessione?
Ovviamente per una precessione regolare, due radici del polinomio collassano in una sola,
θ1 = θ2 = θ0
Quindi l’angolo θ rimane fissato durante tutto il moto, il luogo geometrico è semplicemente
una circonferenza e la nutazione è del tutto rimossa. Tradotto in termini matematici, il
polinomio f (u) deve avere una radice a molteplicità doppia. Per cui dobbiamo ricercare
le condizioni in cui
df u̇2 = f (u0 ) = 0
e
=0
du u0
Imponendo che u0 sia radice del polinomio f (u) e della sua derivata, sfruttando l’equazione
per ϕ̇ troviamo
β
= aϕ̇ − ϕ̇2 cos θ0
2
È comodo riscrivere questa ultima relazione eliminando a in favore di ω3 , ricordando che
a = II13 ω3 , si ottiene
M gl = ϕ̇(I3 ω3 − I1 ϕ̇ cos θ0 )
(15)
Affinché si abbia una precessione regolare, i quattro parametri iniziali non possono essere
del tutto arbitrari. La natura quadratica della relazione 15 impone il vincolo che ϕ̇ sia
reale; condizione affinché questo avvenga è che il determinante della equazione 15 sia non
negativo, perciò
I32 ω32 > 4M glI1 cos θ0
Abbiamo dimostrato che la precessione regolare avviene solo se la velocità di rotazione ω3
è superiore ad un certo valore critico Ω3
Ω3 =
2p
M glI1 cos θ0
I3
(16)
È interessante notare che l’equazione 15 ammette due soluzioni (fisicamente accettabili se
ω3 > Ω3 ), quindi il regime di precessione regolare può instaurarsi oltre il limite critico, e
può avvenire su due velocità diverse. Per capire meglio questo fenomeno basta osservare
che nel limite
I3
ϕ̇ ω3
I1
il termine quadratico si trascura e si ha
ϕ̇lenta ≈
M gl
I3 ω3
Questa è la velocità di precessione regolare lenta, da notare che è la stessa velocità media
ricavata nel caso di precessione pseudoregolare. Nel limite in cui si trascura il termine
M gl rispetto ai termini del membro a destra della equazione 15 si trova la velocità di
precessione veloce
I3 ω3
ϕ̇veloce ≈
I1 cos θ0
12
Ovviamente queste due soluzioni si possono ottenere anche dalla soluzione generale della
equazione 15
q
I3
2
2
ϕ̇ =
ω3 ± ω3 − Ω3
2I1 cos θ0
Nel limite di alta velocità di rotazione ω3 Ω3 sviluppando all’ordine più piccolo in
Banalmente si trova
4
Ω3
I3 ω3
Ω23
ϕ̇lenta/veloce =
1∓1± 2 +O
2I1 cos θ0
ω3
ω34
Ω3
.
ω3
Da notare che la velocità di precessione veloce è tanto più veloce di quella lenta, quanto
più la velocità angolare ω3 è maggiore della velocità angolare critica, infatti
p
ω3 + ω32 − Ω23
ϕ̇veloce
ω32
p
=
4
=
+ O(1)
ϕ̇lenta
Ω23
ω3 − ω32 − Ω23
2.4
Trottola verticale
Nel primo paragrafo abbiamo visto come il moto di nutazione della trottola sia confinato
tra due angoli limite. Poi abbiamo visto che se i due angoli coincidono, il moto di nutazione viene rimosso e il luogo geometrico diviene una circonferenza sottesa all’angolo
θ0 . L’ultimo caso da trattare è quello che accade se la trottola viene messa in rotazione
verticale, ossia se l’angolo θ0 = 0. Sotto quali condizioni si può verificare un moto di
rotazione puramente verticale? In tal caso, abbiamo stabilità del moto?
La singolarità di questo caso risiede nel fatto che l’asse di figura coincide con l’asse verticale, pertanto, solo in questo caso pψ = I1 a = I1 b = pϕ , quindi a = b. Per questa
configurazione dalla equazione dell’energia abbiamo E − I23 ω32 = M gl, quindi α = β.
Quindi il polinomio f (u) si semplifica e diventa
u̇2 = β(1 − u2 )(1 − u) − a2 (1 − u)2 = (1 − u)2 [β(1 + u) − a2 ]
Le radici di questo polinomio sono, ovviamente u = 1 a molteplicità doppia e
u3 =
a2
−1
β
Notiamo che se a2 /β > 2 (sicuramente valida per una trottola veloce) abbiamo u3 > 1,
quindi l’unico moto possibile è quello tale per cui u = 1. In questo caso una trottola
inizialmente verticale resta tale. Se invece a2 /β < 2 abbiamo u3 < 1, quindi la trottola
compie un moto di nutazione fra θ = 0 e θ = θ3 = arccos u3 . Concludiamo subito che
tra il primo ed il secondo caso deve esistere una velocità angolare di soglia, oltre la quale
è possibile un moto con asse puramente verticale. Per verificare questa condizione basta
far sı̀ che il polinomio abbia come radice u = 1 con triplice molteplicità, ossia
2=
a2
I3 I3 Ω2
=
β
I1 2M gl
quindi
Ω2 =
4M glI1
I32
13
(17)
Da notare che questa espressione appena ricavata per la velocità critica si sarebbe potuta
ottenere ponendo θ = 0 nella 16. Da notare che questo valore di soglia si può ottenere5
semplicemente osservando che il potenziale efficace 5 può essere approssimato, per piccoli
scostamenti dalla verticale6 , con
2 2
I3 ω3 M gl
−
θ2 + O(θ4 )
U (θ) = U0 +
8I1
2
La condizione di stabilità si traduce nella positività del termine tra parentesi, da cui si
ottiene la 17.
Commenti
Il significato di quanto ricavato è il seguente: se la trottola è messa in moto attorno al
suo asse verticale con velocità angolare ω3 > Ω, essa continuerà a ruotare attorno alla
verticale. In questo caso si parla di trottola dormiente. In un caso realistico, gli effetti
di attrito dovuti principalmente al perno di rotazione, portano la velocità di rotazione al
di sotto del valore critico; la trottola si “sveglierà”, iniziando ad oscillare sempre più fino
alla totale destabilizzazione del moto e all’arresto.
3
Le equazioni di Eulero
L’approccio allo studio della dinamica del corpo rigido secondo Newton, conduce alle
cosı̀ dette equazioni di Eulero. Queste equazioni descrivono l’evoluzione temporale del
momento angolare del corpo rigido in un riferimento fisso. Applicando l’equazione 1
vediamo che la variazione nel tempo del momento angolare è
dL
dL
=
+ω×L
dt f
dt s
dove i pedici f e s stanno ad indicare che le derivate sono calcolate nel riferimento fisso
e solidale al corpo rispettivamente. Ma dalla seconda equazione cardinale della dinamica
sappiamo che la variazione temporale del momento angolare è dovuta al momento delle
forze τ (scegliamo il polo fisso), quindi
dL
=τ
dt f
Tralasciando l’indice f abbiamo le equazioni di Eulero in forma vettoriale
dL
+ω×L=τ
(18)
dt
Per un corpo rigido, esiste una relazione ben precisa tra momento angolare e velocità
angolare L = I · ω, dove I è il tensore di inerzia. Questa relazione tensoriale si semplifica
ulteriormente se riferiamo gli assi del corpo con gli assi principali di inerzia, cioè diagonalizzando il tensore, ed ottenendo per la i-esima componente Li = Ii ωi . Scritte in questo
particolare riferimento, le equazioni di Eulero assumono la forma7
Ii
dωi
+ ijk ωj ωk Ik = τi
dt
5
i = 1, 2, 3
Vedi ad esempio [2] oppure [4].
Affinché lo sviluppo in serie di potenze abbia senso deve sussistere a = b.
7
Da notare che i non è un indice di somma, mentre j e k lo sono.
6
14
Questa forma indiciale riassume le tre equazioni 18, che proiettate sono

I1 ω̇1 − ω2 ω3 (I2 − I3 ) = τ1





I2 ω̇2 − ω3 ω1 (I3 − I1 ) = τ2





I3 ω̇3 − ω1 ω1 (I1 − I2 ) = τ3
(19a)
(19b)
(19c)
La soluzione di queste equazioni è tutt’altro che banale, nell’ultimo paragrafo risolveremo
questo sistema, nel caso di assenza di momenti esterni. Per adesso notiamo che per un
giroscopio, ossia un corpo simmetrico con I1 = I2 6= I3 non soggetto a momenti esterni,
queste equazioni implicano la costanza di ω3 . Le altre due equazioni costituiscono un
sistema di equazioni differenziali del primo ordine accoppiato. La soluzione diviene banale
se si disaccoppia il sistema, trovando che le velocità angolari ω1 e ω2 descrivono un moto
armonico, ossia si ha una precessione. Si lascia per esercizio dimostrare che la frequenza
di precessione in esame è
I3 − I1
Ω=
ω3
I1
4
La trottola asimmetrica
Le equazioni di Eulero viste nel secondo paragrafo, non si prestano ad una semplice trattazione, anche perché per integrarle occorre far ricorso alle funzioni ellittiche8 . In questo
paragrafo, (letteralmente tratto dal §37 di [2]) affrontiamo il problema della rotazione
libera9 , ossia la rotazione di un corpo tridimensionale complesso non soggetto a forze
esterne e a momenti esterni. Per un corpo arbitrario i tre autovalori del tensore di inerzia
saranno in generale distinti; assumiamo che soddisfino
I1 < I2 < I3
Senza troppa difficoltà, osserviamo che esistono due integrali primi delle equazioni di
Eulero, essi sono l’energia E ed il modulo del momento angolare L. Essi valgono
I1 Ω21 + I2 Ω22 + I3 Ω23 = 2E
e
I12 Ω21 + I22 Ω22 + I32 Ω23 = L2
Esprimendo queste due equazioni in termini delle componenti del momento angolare Li =
Ii Ωi , abbiamo
L21 L22 L23
+
+
= 2E
I1
I2
I3
L21 + L22 + L23 = L2
Se riportiamo in un sistema di assi cartesiani le componenti del momento angolare, le due
equazioni appena viste descrivono due superfici
√ chiuse, in particolare, la conservazione
dell’energia descrive un ellissoide di semiassi 2EIi , mentre l’altra equazione descrive
una sfera di raggio L. Ovviamente il vettore L potrà assumere diversi orientamenti
rispetto agli assi principali. Le linee di intersezione10 tra queste due superfici sono le
curve tracciate dal vettore momento angolare. La figura riporta le linee di intersezione
8
Nella appendice è possibile trovare una breve esposizione sulle funzioni ellittiche.
Spesso parleremo di moto libero e moto per inerzia, riferendoci sempre ad un sistema in cui è nullo
sia il risultante delle forze esterne che dei momenti esterni.
√
√
10
L’intersezione è garantita per costruzione dalla disuguaglianza 2EI1 < L < 2EI3
9
15
Figura 3: Traiettorie delle equazioni di Eulero sulla superficie di livello di energia.
tra l’equazione di conservazione dell’energia e del momento√angolare. Le varie curve
riportate dipendono dall’entità della grandezza L. Per L & 2EI1 l’intersezione è data
da curve chiuse centrate attorno ai poli, in corrispondenza dell’asse x1 .√Mano a mano
che il valore di L aumenta, tali curve si allargano, fino a che per L = 2EI2 le curve
dell’emisfero superiore e dell’emisfero inferiore diventano ellissi, con punti in comune lungo
l’asse x2 . Per valori ancora più grandi,
√ le ellissi si separano formano delle curve chiuse
centrate attorno all’asse x3 ; per L . 2EI3 tali curve si restringono ai poli lungo l’asse
x3 .
La periodicità del moto è assicurata dal fatto che esistono orbite chiuse. Come si vede
dalla Fig.3, la stabilità del moto è garantita solo attorno agli assi in cui il momento di
inerzia assume valori estremi. Quindi la rotazione è stabile solo attorno agli assi x1 e x3 ,
mentre è instabile attorno all’asse x2 . Dalle equazioni di Eulero è possibile ricavare le
equazioni di evoluzione temporale per le velocità angolari. Ad esempio, possiamo trovare
Ω2 esprimendo Ω1 e Ω3 in termini di Ω2 , dei momenti di inerzia e delle costanti E, L. In
particolare otteniamo
q
1
dΩ2
= √
[(2EI3 − L2 ) − I2 (I3 − I2 )Ω22 ][(L2 − 2EI1 ) − I2 (I2 − I1 )Ω22 ]
dt
I2 I1 I3
introducendo le variabili ridotte11 s, τ ed il modulo κ
s
s
2
(I3 − I2 )(L − 2EI1 )
I2 (I3 − I2 )
τ=
, s = Ω2
I1 I2 I3
2EI3 − L2
s
, κ=
(I2 − I1 )(2EI3 − L2 )
(I3 − I2 )(M32 − 2EI1 )
Risolviamo l’equazione per t(Ω2 ) imponendo che al tempo iniziale Ω2 (0) = 0, ottenendo
un integrale ellittico di prima specie
Z s
ds
p
τ=
(1 − s2 )(1 − κ2 s2 )
0
11
Ovviamente si deve avere M 2 > 2EI1 per l’esistenza di τ .
16
È possibile invertire questo integrale tramite la funzione ellittica seno amplitudine s =
sn τ . Ripetendo il ragionamento è possibile dimostrare che le altre velocità valgono
s
s
s
2
2
2EI3 − L
2EI3 − L
L2 − 2EI1
Ω1 =
cn τ , Ω2 =
sn τ , Ω3 =
dn τ
I1 (I3 − I1 )
I2 (I3 − I2 )
I3 (I3 − I1 )
Le funzioni ellittiche sono periodiche, il loro periodo è dato dall’integrale ellittico completo
di prima specie, quindi il periodo del moto è T
s
I1 I2 I3
T = 4K(κ)
(I3 − I2 )(L2 − 2EI1 )
Da notare che per un rotore simmetrico I1 = I2 , quindi si ha κ = 0, cosı̀ le funzioni
ellittiche diventano funzioni circolari, riconducendoci alla precessione di un giroscopio,
vista nel precedente paragrafo.
Fissando le condizioni iniziali in modo che L sia diretto lungo l’asse z, dalle equazioni di
Eulero è possibile ricavare la legge oraria. Le componenti del momento angolare lungo gli
assi mobili, espresse in termini degli angoli di Eulero, sono
L sin θ sin ψ = I1 Ω1
, L sin θ cos ψ = I2 Ω2
, L cos θ = I3 Ω3
Ad esempio, per θ troviamo
s
cos θ =
I3 (M 2 − 2EI1 )
dn τ
M 2 (I3 − I1 )
√
Da sottolineare che per L = 2EI3 , si ha Ω = (0, 0, Ω3 ), ossia una rotazione uniforme
attorno all’asse x3 ; similmente si ripete il ragionamento per l’asse x1 .
5
Il moto alla Poinsot
Come abbiamo visto, è assai laborioso risolvere le equazioni di Eulero per una rotazione
libera. Tuttavia esiste un altro approccio molto elegante, nel quale non si fa ricorso
alla soluzione analitica delle equazioni di Eulero, ma semplicemente ad una trattazione
geometrica del moto rigido. Questo è l’approccio di Poinsot. Nel caso del moto per
inerzia, il momento delle forze esterne è nullo, pertanto il vettore L è fisso nello spazio.
Si può dimostrare che l’ellissoide di inerzia rotola senza strisciare su
un piano fisso, la
√
2E
cui normale è parallela a L e la cui distanza dall’origine vale d = L . Inoltre è facile
dimostrare che sia nel riferimento fisso che in quello mobile l’asse di rotazione descrive un
cono; infine l’asse di rotazione è istante per istante la semiretta comune ai due coni, che
rotolano senza strisciare l’uno sull’altro. La dimostrazione di queste asserzioni è semplice,
definiamo il vettore
ω
ω
ρ= √ = √
ω I
2T
parallelo alla velocità angolare di rotazione, e la funzione
F (ρ) = ρ · I · ρ
Le superfici di livello di F sono ellissoidi, in particolare la superficie su cui F = 1 è proprio
l’ellissoide di inerzia. Quindi abbiamo un vettore che indica la direzione della velocità
17
angolare di rotazione, inoltre sappiamo che questo vettore ha una estremità sull’ellissoide
di inerzia. Per capire come è orientato l’ellissoide di inerzia (e quindi il corpo) rispetto al
momento angolare, basta osservare che
r
2
L
∇ρ F (ρ) =
T
ossia, la direzione normale all’ellissoide di inerzia in ρ è parallela al momento angolare.
Dimostrare la costanza della distanza dall’origine dell’ellissoide al punto di tangenza con
il piano invariante è banale:
√
2T
L
d=ρ· =
L
L
dove si è sfruttato il fatto che l’energia cinetica è T = ω·I2 ·ω , che si conserva. La costanza
di L e della distanza del piano tangente dall’origine, unita al fatto che la normale al piano
è parallela al momento angolare, fa sı̀ che anche il piano sia fisso, per questo è detto
piano invariante. Per provare che il moto è di puro rotolamento, basta osservare che il
punto di contatto è definito da ρ il quale appartiene all’asse istantaneo di rotazione. Il
vettore ρ descrive una curva sull’ellissoide di inerzia, detta Poloida, la corrispondente
curva tracciata sul piano invariante è detta Erpoloida. (Vedi Fig.4) Da notare che per
Figura 4: Poloida ed Erpoloida
Figura 5: Coni di Poinsot
un corpo simmetrico, quando l’ellissoide di inerzia è rotondo, poloida ed erpoloida sono
circonferenze. Da qui si capisce subito che per un osservatore solidale al corpo, ω traccia
un cono, detto cono del corpo; un osservatore nel riferimento fisso vedrebbe ω tracciare
un cono, detto cono dello spazio. Le intersezioni dei coni con l’ellissoide di inerzia sono
poloida ed erpoloida. Nella descrizione di Poinsot, il moto di un corpo simmetrico in
assenza di forze e momenti è descritto dal rotolamento dei due coni, l’uno sull’altro (vedi
Fig 5).
18
A
Gli integrali ellittici e le funzioni ellittiche
Come spesso accade in fisica-matematica ci si imbatte in equazioni differenziali la cui
soluzione non è esprimibile in termini di funzioni elementari, al punto che se ne definiscono
delle nuove, dette funzioni speciali. In tutta la enorme zoologia delle funzioni speciali
vi sono le funzioni ellittiche di Jacobi. Per poterle definire si introducono gli integrali
ellittici12 .
A.1
Gli integrali ellittici
I seguenti integrali, vengono definiti integrali ellittici di prima, seconda e terza specie
rispettivamente, i quali, in forma di Legendre, sono rispettivamente
Z φ
Z φp
dθ
p
1 − k 2 sin2 θ dθ
e
F (φ, k) =
,
E(φ, k) =
2
2
0
0
1 − k sin θ
Z φ
dφ
p
Π(φ, n, k) =
2
1 − k 2 sin2 φ
0 (1 + n sin φ)
dove il parametro k detto modulo è tale che k ∈ [0, 1], mentre φ è chiamata ampiezza.
Mediante il cambio di variabili t = sin θ, x = sin φ dalla forma di Legendre si ottiene la
forma di Jacobi
Z x
Z x √
1 − k 2 t2
dt
√
√
√
F (x, k) =
,
E(x, k) =
dt
e
1 − t2 1 − k 2 t2
1 − t2
0
0
Z x
dt
p
Π(x, n, k) =
2
(1 − nt )(1 − t2 )(1 − k 2 t2 )
0
Gli integrali ellittici appena definiti vengono detti incompleti. Vengono detti completi se
φ = π/2, se in forma di Legendre, se x = 1 se nella forma di Jacobi; essi vengono definiti
come
K(k) = F (π/2, k)
A.2
,
E(k) = E(π/2, k)
e
Π(n, k) = Π(π/2, n, k)
Le funzioni ellittiche
Evidentemente è possibile definire la funzione trigonometrica sin come un integrale circolare,
Z x
dt
√
u=
= sin−1 x
2
1−t
0
Questa definizione definisce u come funzione di x e viceversa invertendo, x = sin u. Nello
stesso modo, la funzione u = F (φ, k) definisce u come funzione di φ e viceversa definisce
φ come funzione di u, basta invertire l’integrale ellittico
Z x
dt
√
√
u=
≡ sn−1 x
2
2
2
1−t 1−k t
0
12
Per ulteriori dettagli tecnici e per esercizi di carattere meccanico si rimanda a [3]. Una chiara
esposizione di queste funzioni, corredata da esercizi matematici e fisici si trova anche in [5].
19
Questa è la definizione della funzione ellittica sn. Da notare che x = sn u = sin φ poiché x = sin φ. Ricavare l’ampiezza φ dalla funzione u prende il nome di inversione
dell’integrale ellittico; tale funzione si indica con
φ = am u
Le altre funzioni ellittiche si possono definire a partire dalle operazioni trigonometriche
su φ; esse sono
sn u = sin am u = sin φ
cn u = cos am u = sin φ
Esse prendono rispettivamente il nome di seno amplitudine e di coseno amplitudine 13 .
Esistono altre funzioni ellittiche, tutte riconducibili alla seno amplitudine, esse sono
dn u =
dφ √
= 1 − k 2 sn2 u
du
e
tn u =
sn u
= tan φ
cn u
La funzione dn viene detta delta amplitudine. Le funzioni ellittiche di Jacobi sono definite
come le funzioni inverse degli integrali ellittici del primo tipo. Queste funzioni speciali
soddisfano delle identità molto simili a quelle delle funzioni trigonometriche
sn2 u + cn2 u = 1
dn2 u + k 2 sn2 u = 1
Pertanto le altre funzioni ellittiche, sono riconducibili alla funzione sn. Queste funzioni
hanno delle somiglianze intrinseche con le funzioni circolari, in particolare valgono delle
regole di derivazione analoghe
d
sn u = cn u dn u
du
,
d
cn u = −sn u dn u
du
,
d
dn u = −k 2 sn u cn u
du
Un’ altra proprietà importante è che nel limite k = 0 le funzioni ellittiche degenerano
nelle funzioni circolari trigonometriche
sn u = sin u
,
cn u = cos u
,
tn u = tan u
,
dn u = 1
Mentre nel limite opposto k = 1 le funzioni ellittiche degenerano in funzioni iperboliche,
perdendo la loro periodicità.
Esempio (©)
Risolviamo l’equazione del pendolo semplice (vedi [3])
θ̈ + ω 2 sin θ = 0
(20)
Moltiplicando per θ̇ l’equazione 20 si nota subito che il sistema ammette un integrale
primo, l’energia
1 2 2
ml θ̇ − mgl cos θ = E = costante
(21)
2
13
Per mettere in evidenza il fatto che il modulo è k, talvolta le funzioni ellittiche vengono scritte nella
forma
sn (x, k) ≡ sn (x)
Per non appesantire la notazione, scriveremo semplicemente sn sottintendendo che il modulo è k.
20
Quindi l’equazione 21 è integrabile per quadrature. Riscriviamo questa equazione definendo E/mgl ≡ e
θ̇2 = 2ω 2 (e + cos θ)
Introducendo la variabile y = sin 2θ e, si ottiene l’equazione differenziale
y2
2
2 2
2
ẏ = κ ω (1 − y ) 1 − 2
κ
(22)
dove si è posto κ2 ≡ (1 + e)/2. Poiché stiamo studiando le oscillazioni (e non le pure rotazioni), il parametro |e| < 1, quindi κ2 < 1. L’equazione 22 è integrabile per separazione
delle variabili, infatti ponendo y/κ = ξ
Z
y(t)/κ
y0 /κ
dξ
p
p
= ω(t − t0 )
2
(1 − y ) 1 − κ2 ξ 2
(23)
Nel caso in cui il pendolo inizi il suo moto dalla posizione θ(t0 ) = 0 si ha y0 = 0, pertanto
l’integrale 23 si esprime in termini della funzione seno amplitudine di Jacobi
sn−1
y(t)
= ω(t − t0 )
κ
(24)
da cui si ricava la legge oraria
θ(t) = 2 sin−1 [κ sn ω(t − t0 )]
È facile dimostrare che il periodo di oscillazione vale
T =
4K(κ)
ω
Da questa espressione, espandendo in serie di potenze l’integrale ellittico completo di
prima specie si trova
s 2
∞ X
l
(2j − 1)!!
2j
T = 2π
1+
k
g
(2j)!!
j=1
Abbiamo dimostrato che il pendolo semplice non è isocrono, e solo per k → 0 si ritrova la
legge di Galileo sull’isocronismo del pendolo. Anche i moti di pura rotazione si possono
descrivere in termini di funzioni ellittiche. Per una pura rotazione e > 1, quindi basta
ripetere quanto appena visto effettuando la sostituzione k 2 = κ−2 ottenendo
4k K(k)
ω(t − t0 )
−1
θ(t) = 2 sin
sn
e
T =
k
ω
Molto più interessante è il moto sulla separatrice, realizzabile ad esempio lanciando il
pendolo dalla posizione θ = 0 con energia cinetica pari all’energia potenziale relativa
alla sommità, perciò e = 1. In questo caso κ = 1, le funzioni ellittiche degenerano in
iperboliche e si ottiene
θ(t) = 2 sin−1 tanh[ω(t − t0 )]
da cui si vede immediatamente che per arrivare alla sommità il tempo impiegato è infinito.
21
Riferimenti bibliografici
[1] H. Goldstein, C. Poole e J. Safko, Meccanica Classica, Zanichelli (2005)
Semplicemente un capolavoro, descrive in maniera esaustiva il problema della trottola,
queste dispense sono perlopiù tratte letteralmente da questo libro.
[2] L. D. Landau e E. M. Lifšits, Meccanica, Editori Riuniti (2004)
L’opera omnia di Landau-Lifšits tratta il problema dei rotatori simmetrici, in uno stile
impeccabile. Ottima la trattazione del corpo rigido, in tutti i suoi aspetti.
[3] A. Fasano e S. Marmi, Meccanica Analitica, Bollati Boringhieri (2002)
Il testo di meccanica per eccellenza, elegante e formale. Molto interessante la
trattazione della cinematica del corpo rigido.
[4] V. I. Arnold, Metodi Matematici della Meccanica Classica, Editori Riuniti (2004)
Un classico, unisce gli aspetti geometrici a quelli meccanici. In modo semplice ed
elegante affronta il problema del corpo rigido e della trottola (con la stessa notazione
di Goldstein).
[5] M. L. Boas, Mathematical Methods in the Physical Sciences, Wiley (2006)
Il capitolo sulle funzioni speciali contiene una ampia esposizione delle funzioni ellittiche
corredando la teoria con esercizi pratici.
22