Quesito 1
Siano dati un cono equilatero e la sfera in esso inscritta. Si scelga a caso un punto all’interno del
cono. Si determini la probabilità che tale punto risulti esterno alla sfera.
Lavoriamo sulla sezione del solido con un piano contenente l’altezza del cono, tale sezione è costituita da
un triangolo equilatero e dalla circonferenza in esso inscritta
Detto r il raggio della sfera si ha:
CH =3r e AH= 3r
La probabilità che il punto risulti interno al cono ma esterno alla sfera
è data da
VCONO − VSFERA
VCONO
4
3πr 3 − πr 3
3
=
= 55%
3πr 3
Quesito 2
Ricordando che il lato del decagono regolare inscritto in un cerchio è la sezione aurea del raggio, si provi
che sen
π
10
=
5 −1
.
4
La sezione aurea di un segmento di lunghezza r è la parte x di r tale che
r
x
. Dalla definizione si ricava x =
=
x r −x
5 −1
r . Quindi il lato AB del decagono regolare inscritto in un cerchio di raggio r (v. figura) è dato da:
2
5 −1
AB =
r.
2
Indicato con K il centro del cerchio, l’angolo AKB ha ampiezza AKˆB =
π
5
. Per il teorema della corda e le proprietà
⎛ AK̂B ⎞
⎟ = 2 r sen⎛⎜ π ⎞⎟ .
⎜ 2 ⎟
⎝ 10 ⎠
⎠
⎝
degli angoli alla circonferenza, si ha: AB = 2 r sen⎜
Uguagliando le due espressioni di AB si dimostra la tesi.
Quesito 3
Un solido ha per base un cerchio di raggio 1. Ogni sezione del solido ottenuta con un piano
perpendicolare ad un prefissato diametro è un triangolo equilatero. Si calcoli il volume del solido.
Consideriamo nel piano cartesiano la circonferenza di centro O e raggio 1, base del solido:
Posto OH = x, con 0 ≤ x ≤ 1, il lato del triangolo sezione è la corda AB = 2 1 − x 2 . L’area del triangolo equilatero
sezione è dunque
(
3 1− x
) e il volume richiesto è 2∫ 3 (1 − x )dx = 43
1
2
2
3.
0
Quesito 4
Si esponga la regola del marchese di De L’Hospital (1661 – 1704) e la si applichi per dimostrare che è:
x 2008
x → +∞ 2 x
lim
= 0.
Ponendo f(x) = x2800 e g(x) = 2x, si osserva che le funzioni f(x) e g(x) sono continue e derivabili in R e g’(x) ≠ 0. Si
lim
può quindi applicare il teorema di De Hospital al limite
x → +∞
f (x)
, che si presenta nella forma di indecisione
g( x )
⎡∞⎤
⎢∞⎥ .
⎣ ⎦
Dopo 2008 applicazioni successive del teorema, le cui ipotesi continuano ad essere verificate, si arriva al limite
immediato lim
x →+∞
2008!
(ln( 2))2008 2 x
= 0.
Quesito 5
Nel piano riferito a coordinate cartesiane (x, y) si dica qual è l’insieme dei punti per i quali risulta:
y2 – x3 > 0.
Da y2 – x3 > 0 segue: y2 > x3, cioè y < − x ٧ y >
Per x < 0 si ha y2 > x3 per ogni valore di x.
Per x = 0 si ha y2 > x3 per ogni y ≠ 0
3
Per x > 0 si ha
y < −x x
٧
x3
.
y < −x x
Quesito 6
I lati di un parallelepipedo rettangolo misurano 8, 9 e 12 cm., si calcoli in gradi e primi sessagesimali,
l’ampiezza che l’angolo della diagonale mandata da un vertice fa con ciascuno dei tre spigoli concorrenti
al vertice.
I tre triangoli da considerare sono rettangoli per la condizione di perpendicolarità fra una retta e un piano
cos (ABH ) =
12
, ABH = 45° 6’
17
8
, CBH = 61° 56’
cos (CBH ) =
17
9
, FBH = 58° 16’
cos (FBH ) =
17
Quesito 7
Perché è geometria “non” euclidea? Che cosa e come viene negato della geometria euclidea? Si illustri la
questione con gli esempi che si ritengono più adeguati.
Nella geometria euclidea si postula l’esistenza e l’unicità della parallela ad una retta data da un punto esterno ad
essa (V postulato di Euclide).
Nelle geometrie non euclidee si nega l’esistenza (geometria ellittica) o l’unicità (geometria iperbolica) di tale
parallela.
Per gli esempi si rimanda a qualunque libro di testo.
Quesito 8
π
Sia f la funzione definita da f(x) = π − x . Si precisi il dominio di f e si stabilisca il segno della sua
derivata, prima e seconda, nel punto x = π.
x
Data la funzione f(x)=
π x − xπ
derivata seconda f”(x)=
, il dominio è x>0 .Si determinano la derivata prima f’(x)= π
π x 2 ln π − π (π − 1) xπ −2 . Per cui
f' (π ) =
π π (ln π − 1) e
x
f" (π ) =
ln π − πxπ −1 e la
1
π π (ln 2 π − 1 + )
π
che sono entrambe positive.
Quesito 9
In una classe composta da 12 maschi e 8 femmine, viene scelto a caso un gruppo di 8 studenti. Qual è la
probabilità che, in tale gruppo, vi siano esattamente 4 studentesse?
⎛ 20 ⎞
Casi possibili: C 20,8 = ⎜⎜ ⎟⎟
⎝8 ⎠
⎛ 8 ⎞ ⎛12 ⎞
Casi favorevoli: C8,4 × C12,4 = ⎜⎜ ⎟⎟ × ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ 4⎠ ⎝ 4 ⎠
⎛ 8 ⎞ ⎛12 ⎞
⎜⎜ ⎟⎟ × ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ = 0,275 = 27,5 %
Probabilità =
⎛ 20 ⎞
⎜⎜ ⎟⎟
⎝8 ⎠
Quesito 10
Qual è l’equazione della curva simmetrica rispetto all’origine di y = e−2x? Quale quella della curva
simmetrica rispetto alla bisettrice del I e III quadrante?
⎧ x' = − x
la curva trasformata è quindi y = −e2x
=
−
y
'
y
⎩
Simmetria rispetto all’origine : ⎨
⎧ x' = y
1
la curva trasformata è quindi y = − ln( x )
2
⎩ y' = x
Simmetria rispetto alla bisettrice y = x: ⎨