Esame di Stato Liceo Scientifico
Prova di Matematica - Corso di Ordinamento - 20 giugno 2013
Soluzione del QUESTIONARIO (a cura di S. De Stefani)
QUESITO 4
1° METODO (con il calcolo integrale):
Si consideri la piramide retta di altezza h + k e si prenda una qualsiasi sezione parallela alla base
della piramide, ottenuta sezionando il tronco con un piano ortogonale all’asse delle ascisse e posto
a distanza x dal vertice (k ≤ x ≤ h + k):
Le aree delle sezioni sono proporzionali ai quadrati delle rispettive distanze dal vertice (sia α la
a2
⇒
costante di proporzionalità)
(h + k )
2
=
b2
=α ,
k2
da cui ab = α k ⋅ ( h + k ) .
2
Si ha dunque: Areabase minore = S ( k ) = α k 2 = b 2 ,
Areabase maggiore = S ( h + k ) = α ( h + k ) = a 2 ,
2
in generale, S ( x ) = α x .
Il volume richiesto è dato dalla risoluzione del seguente integrale definito:
h+k
V =
∫
k
h+k
 x3 
α x dx = α ⋅ 
3 k

2
=
α 
3
⋅ (h + k ) − k3 
3 

Scomponendo la differenza di cubi:
V =
α
h
2
2
⋅ ( h + k − k ) ⋅ ( h + k ) + k 2 + k ⋅ ( h + k )  = ⋅ α ( h + k ) + α k 2 + α k ⋅ ( h + k )  ,




3
3
da cui:
V =
h
⋅  a 2 + b 2 + ab 
3
1
Il volume di un tronco di piramide è uguale al prodotto di un terzo della sua altezza per la somma delle
superfici delle due basi con la radice quadrata del loro prodotto.
2° METODO (via geometrica):
Sia:
V = volume del tronco di piramide
h = altezza del tronco di piramide
2
2
a = superficie della base maggiore
b = superficie della base minore
x = distanza del vertice della piramide dalla base minore
Nota dalla geometria solida la formula per calcolare il volume di una piramide di superficie di base
1


A ed altezza h  Volume = A ⋅ h  , il volume V del tronco di piramide è dato dalla differenza tra il
3


volume V’ della piramide “grande” e il volume v della piramide “piccola”:
1
1
V = V '− v = a 2 ⋅ ( h + x ) − b 2 ⋅ x
3
3
Raccogliendo:
V =
1
⋅  a 2 h + ( a 2 − b 2 ) x 
3 
(1)
Essendo la piramide piccola simile alla piramide grande, si ha:
proprietà
dello
scomporre
a : b = (h + x) : x
(a − b) : b = h : x
⇔
→ x=
(a − b) : b = (h + x − x) : x
→
b⋅h
a−b
Andando a sostituire nella (1), si ha:
V =
1  2
b⋅h  1
⋅  a h + ( a 2 − b2 )
= h ⋅  a 2 + ( a + b ) ⋅ b  , quindi:

3 
a − b 3
V=
h
⋅ ( a 2 + b 2 + ab )
3
2
Giudizio
Livello di difficoltà:
Basso
Medio
Alto
È in programma nel liceo
scientifico di ordinamento?
Si’
No
Non si sa
Normalmente viene svolto?
Si’
No
Non sempre
È un argomento presente
nei libri di testo?
Mai
Non sempre
Sempre
Formulazione:
Scorretta
Controlla conoscenze/abilità/
competenze fondamentali?
Ambigua
No
Poco chiara
Corretta
Molto
chiara
Si’
3