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5. LE RAPPRESENTAZIONI CARTOGRAFICHE
vers 100609
sostituscono le pagg. 50-58 (fino alle eq. 5.28)
Come già visto è stato scelto l'ellissoide come riferimento planimetrico sul quale proiettare tutti i
punti della superficie terrestre, il problema è ora come rappresentare le figure descritte da questi
punti su una più comoda superficie piana. Il problema della rappresentazione grafica e metrica su un
supporto piano di una figura posta su una superficie ellissoidica, senza con ciò produrre
deformazioni inaccettabili, è stato oggetto storicamente di lunghi e complessi studi.
Le superfici a doppia curvatura come la sfera o l'ellissoide non sono infatti sviluppabili sul piano
senza deformazioni. Storicamente si scelse la soluzione di proiettare i punti dell'ellissoide su piani,
cilindri o coni, superfici sviluppabili, limitando inoltre le deformazioni dovute a queste proiezioni in
un intorno ragionevole della nazione o della regione da rappresentare cartograficamente. Molti stati
utilizzano, anche oggi, una carta ottenuta da queste proiezioni, per la generalità del discorso sia
queste carte che le altre che studieremo verranno chiamate rappresentazioni o semplicemente carte.
Definiamo una carta una rappresentazione dell'ellissoide su un piano; da quanto premesso consegue
che qualunque carta deforma una figura descritta sull'ellissoide.
Dal punto di vista matematico una rappresentazione (o proiezione) è definita da una funzione
biunivoca che fa corrispondere a qualunque punto dell'insieme E{φ, λ} (ellissoide) un solo punto
dell'insieme carta C{x , y}.
Dunque qualunque punto dell'insieme Ε ha un corrispondente nel piano C є R e viceversa (fig. 5.1).
Fig. 5.1: Rappresentazioni come funzioni biunivoche.
Esistono infinite funzioni f di questo tipo: nel momento in cui si sceglie, si sceglie f, si sceglie
anche il tipo di deformazione connesso, che comunque è variabile da punto a punto. .
In generale se se è una curva tracciata sull’ellissoide ed sc è quella che la rappresenta sulla carta, si
dice che sc è la trasformata di se. Di particolare interesse sono le trasformate dei meridiani e dei
paralleli, che costituiscono il canovaccio o reticolato geografico della carta, perché danno una
visione immediata e sintetica delle deformazioni, specie quando sono rappresentate insieme alle
ellissi di Tissot di cui si parlerà a breve.
Il prodotto della rappresentazione è in generale una rappresentazione grafica, piana e deformata,
degli elementi fisici del paesaggio terrestre; le deformazioni vengono studiate secondo la tipologia,
introducendo opportuni parametri quantitativi (fig. 5.2):
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a
b
Fig. 5.2 – Ellissoide (a) e sua rappresentazione (b).
- lineare:
ad un arco di lunghezza infinitesima dse sull'ellissoide corrisponde un arco, pure
infinitesimo, dsc sulla carta. Il modulo di deformazione lineare è definito come il rapporto:
5.1
m = dsc / dse
- areale:
ad una superficie infinitesima di area dσe sull'ellissoide, corrisponde una superficie di area
infinitesima dσc sulla carta. Il modulo di deformazione areale è definito come il rapporto:
mA = dσc / dσe
5.2
- angolare:
detti α l’azimut dell'elemento dse di geodetica uscente da P (cioè l’angolo che esso forma
col meridiano passante per P) ed α' l'angolo che la trasformata dsc di dse forma con la
trasformata del meridiano (fig. 5.2), la deformazione angolare nel punto P è definita come la
differenza:
δ = α' – α
5.3
Per caratterizzare una rappresentazione vengono utilizzate:
- le formule dirette, che consentono di calcolare le coordinate x, y del punto della carta che
rappresenta il punto di coordinate φ, λ sull’ellissoide:
f: x = x (φ, λ),
y = y (φ, λ)
5.4a
ed inverse, che consentono di calcolare le coordinate coordinate φ, λ del punto dell’ellissoide che
è rappresentato dal punto di coordinate x, y sulla carta:
f –1: φ = φ(x, y),
λ = λ(x, y)
5.4b
con la condizione
(∂x /∂φ) (∂y / ∂λ) – (∂x / ∂λ) (∂y / ∂φ) > 0
5.5
(positività del determinante jacobiano) che ne garantisce la biunivocità e la conservazione
dell’orientamento.
- la definizione di reticolato geografico (o canovaccio), cioè le trasformate di meridiani e paralleli
e l'angolo γ che la trasformata ad un meridiano forma con la direzione dell'asse y (da non
confondere con la convergenza del meridiano).
- la deformazione di un arco finito di geodetica sulla rappresentazione; in particolare:
● la lunghezza l' dell'arco di trasformata della geodetica passante per P e Q sull'ellissoide e per
P' e Q' sulla carta;
● gli angoli εP ed εQ, detti riduzioni alla corda, che sono gli angoli tra la trasformata l’ dell’arco
di geodetica PQ ed il segmento rettilineo P'Q' nei due punti estremi P’ e Q’ (fig. 5.3).
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Fig. 5.3: Riduzioni alla corda.
5.1 CLASSIFICAZIONE DELLE RAPPRESENTAZIONI
In base al tipo di deformazione si distinguono carte:
– isogone o conformi: sono quelle che nella rappresentazione conservano gli angoli e quindi, per
dimensioni infinitesime, la similitudine tra le figure sull’ellissoide e le loro rappresentazioni sulla
carta. Segue da questa definizione che il modulo di deformazione lineare m, pur variando da punto
a punto, non varia in funzione dell'azimut α. cioè la deformazione angolare è nulla in qualunque
punto. Queste carte sono adatte fra l'altro alla navigazione (per individuare correttamente la rotta),
ma sono le più usate anche per scopi topografici;
– equivalenti: sono le carte che conservano costante il rapporto fra le aree di quadrilateri
infinitesimi: mA = cost = 1. Queste carte sono più adatte per scopi catastali ove è necessario che si
mantenga invariata la superficie che è possibile ricavare da misure cartografiche;
– afilattiche: sono le rappresentazioni appartengono alle altre due categoria. È bene ribadire che non
esistono carte conformi ed assieme equivalenti, in questo caso non esisterebbe deformazione,
tuttavia particolari carte afilattiche rendono accettabili, in zone limitate, entrambi i tipi di
deformazione. È possibile tuttavia cercare tra tutte le carte conformi quella di minor deformazione
areale o, fra le equivalenti, quella di minor deformazione angolare.
Fig. 5.4: Arco dse sull’ellissoide e sua rappresentazione dsc sulla carta
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5.2 ELLISSE INDICATRICE DEL MODULO DI DEFORMAZIONE LINEARE O DI TISSOT
Si consideri un trapezoide infinitesimo della superficie dell'ellissoide delimitato da due archi di
meridiano e da due archi di parallelo, di area dse, che si trasforma sulla carta nel quadrilatero di area
dsc; dalla figura 5.4 sull’ellissoide si ha:
dse2 = r2dλ2+ ρ2dφ2
e, sulla carta:
dsc2 = dx2 + dy2
5.6
Prima di procedere conviene introdurre la variabile u definita dalla relazione du = ρ dφ/ r, da cui
segue che è
u = [ ∫( ρ dφ/ r) ]0r
e quindi
u = 0. 5 ln { (1+sin φ)[(1- sin φ )/(1+ sin φ )] e/2 / (1- sin φ ) } =
= ln [ (1- sin φ )/(1+ sin φ )] e/2 ] / tang (φ/2 + π/4)
Il sistema di coordinate (λ, u) si dice isometrico perché utilizzando r du /ρ al posto di dφ la prima
uguaglianza scritta sopra può essere messa nella forma
dse2 = r2 (dλ2+ du2)
in cui i differenziali dλ e du hanno lo stesso coefficiente.
Le 5.4 e 5.5, sostituendovi u a φ, diventano:
f: x = x (u, λ),
f –1: u = φ(x, y),
y = y (u, λ)
λ = λ(x, y)
5.4a’
5.4b’
(∂x /∂u) (∂y / ∂λ) – (∂x / ∂λ) (∂y / ∂u) > 0
5.5’
Posto per semplicità
xu = ∂x /∂u;
xλ = ∂x / ∂λ;
yu = ∂y / ∂u;
yλ = ∂y / ∂λ,
in base alle 5.4 si può scrivere:
dx = xu du + xλ dλ
dy = yu du + yλ dλ
per cui dalla 5.6 segue che è:
dsc2 = (xu2 + yu2 ) du2 + 2 (xu xλ + yu yλ ) du dλ + (xλ2 + yλ2) dλ2
5.7
Se per brevità si indicano con e, f, g i fattori in parentesi, si può scrivere:
dsc 2 = e du2 + 2 f du dλ + g dλ2
5.8
tg α = r dλ / ρ dφ = dλ / du
5.9
Dalla figura 5.4a risulta che è:
nonché
ρ dφ = dse cos α;
r dλ = dse sin α
per cui
dφ = dse cos α / ρ;
dλ = dse sin α / r
o anche:
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du = (ρ / r) dφ = (ρ / r) dse cos α / ρ = dse cos α / r
dλ = dse sin α / r
e quindi la 5.8 diventa
dsc 2= e (dse cosα / r)2 + 2f (dse cosα / r ) (dse sinα /r) + g (dse sinα / r )2 =
= dse2 [e cos2α + 2 f sin α cos α + g sin2α] / r2
Per il quadrato del modulo di deformazione m si può allora scrivere:
m2 = dsc2 / dse2 = (e cos2α + 2 f sin α cos α + g sin2α) / r2
5.10
o anche:
m2 = E cos2α + 2F sinα cosα + G sin2α
con:
y
O
E = e / r2
F = f / r2
5.11
G = g / r2
Si indichi con O il punto iniziale dell’arco dse e sul piano π tangente
all’ellissoide in O si tracci la retta tangente al meridiano per O assumendola
come asse y di un sistema di riferimento cartesiano ortogonale OXY
sull’ellissoide. Scelto sulla retta t tangente a dse in O il punto A tale che OA =
1/m, le sue coordinate risultano essere
X = OA sen α= sen α / m
Y = OA cos α= cos α / m
Sostituendo nella 5.11, si ottiene:
E X2 + 2 F X Y + G Y2 = 1
5.12
È noto dalla geometria analitica che un’equazione del tipo
h x2 + 2 j xy + k y2 + 2 p x + 2 q y +s = 0
5.13
rappresenta una sezione conica, cioè l’intersezione di un piano con una superficie conica. A parte i
casi particolari in cui tale curva si riduce a due rette, ad una retta o anche ad un singolo punto, tale
curva è un’iperbole se j2 > hk; una parabola se j2 = hk; un’ellisse se j2 < hk. In questo terzo caso,
l’ellisse ha il centro nell’origine degli assi se è p = q = 0.
Ricordando le definizioni di E, F e G, risulta:
E G – F2 = xu2 xλ2 + xu2 yλ2 + yu2 xλ2 + yu2 yλ2 - xu2 xλ2 -2 xu xλ yu yλ - yu2 yλ2 =
= xu2 yλ2 + yu2 xλ2 - 2 xu xλ yu yλ = (xu yλ - yu xλ)2 ≥ 0
La quantità E G – F2, che risulta essere il quadrato del determinante jacobiano, è sempre non
negativo, ma, ricordando la condizione 5.5’, è anche sempre E G – F2 > 0, cioè E G > F2.
Poiché nella 5.12 i coefficienti E, F, G corrispondono ad h, j, k della 5.13, si può affermare allora
che tale equazione rappresenta un’ellisse il cui centro coincide con l’origine degli assi, cioè col
punto O, in quanto sono nulli i coefficienti dei termini in X ed Y.
I suoi punti vengono descritti al variare dell’azimut α per cui il suo grafico rappresenta, mediante la
distanza dei suoi punti dal centro, l’andamento del modulo di deformazione lineare al variare
dell’azimut intorno ad O. Per questo motivo essa viene detta ellisse indicatrice del modulo di
deformazione lineare o, più brevemente, ellisse indicatrice o ellisse di Tissot. Ovviamente, per le
carte conformi l’ellisse di Tissot si riduce ad una circonferenza.
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5.3 EQUAZIONI GENERALI DELLE CARTE CONFORMI
Dalla 5.11 segue subito che m2(0°) = E e che m2(90°) = G. Per una carta conforme, come già
osservato, m (e quindi m2) non varia al variare di α: dalla condizione m2(0°) = m2(90°) segue quindi
che per le carte conformi è E = G, mentre la 5.11 diventa
E cos2α + 2 F sinα cosα + E sin2α = m2
L’ellisse di Tissot per una carta conforme si riduce ad una circonferenza dovendo i suoi punti
essere equidistanti dal centro, per cui la 5.12 deve assumere la forma:
X2 + Y2 = m2/E
Per una carta conforme deve anche essere F = 0 e, corrispondentemente deve anche essere f = 0,
oltre che e = g;. Ricordando la definizione di f , dalla relazione f = 0 segue
xu xλ = - yu yλ
e quindi
x λ / yλ = - yu / xu
oltre che
5.14
yu = - xu xλ/ yλ.
Ricordando anche quest’ultima, allo stesso modo la relazione e = g fornisce a sua volta
xu2 + yu2 = yλ2 + y2
da cui segue:
xu2+(-xu xλ / yλ)2 - yλ2 [1+(yu / yλ)2] = xu2[1 +(xλ / yλ)2 ] -yλ2 [1+(yu / yλ)2] =
= (xu2 - yλ2) [1+(yu / yλ)2] =0
Dalla relazione (xu2 - yλ2) [1+(yu / yλ)2] =0, essendo sempre 1+(yu / yλ)2 ≥1, segue che deve anche
essere (xu2 - yλ2) = 0 e quindi xu2 - yλ2= 0, cioè xu = ± yλ.
Esistono motivi per scartare in quest’ultima la soluzione col segno negativo, per cui in definitiva si
può scrivere
xu = yλ
5.15
Le relazioni 5.14 e 5.15 possono essere interpretate dicendo che per avere una rappresentazione
conforme le equazioni della carta devono soddisfare il sistema di equazioni differenziali
(∂x /∂u) (∂x / ∂λ) = - (∂y / ∂u) (∂y / ∂λ)
(∂x /∂u) = ∂y / ∂λ
5.16
che vengono perciò dette equazioni generali delle carte conformi, oltre ad altre condizioni
particolari.
È bene osservare che per la 5.11, risulta m = √e / r: il modulo di deformazione lineare non varia con
l’azimut, ma varia comunque da punto a punto.
5.3 EQUAZIONI GENERALI DELLE CARTE EQUIVALENTI
Si consideri ancora sull’ellissoide un quadrilatero delimitato da due coppie di meridiani e paralleli
posti a distanza infinitesima l’uno dall’altro (fig. 5.5a). Poiché i suoi lati hanno lunghezza r dλ e ρ
dφ = r du, la sua area infinitesima vale
dσe = ρ dφ r.dλ = r2 du dλ
La sua diagonale dse è rappresentata sulla carta dall’arco dsc, mentre ai suoi lati corrispondono sulla
carta rispettivamente gli archi di lunghezza
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dsλ = (xu2 + yu2 )½ du = √e du
dsu = (xλ2 + yλ2 )½ dλ = √g dλ
Queste relazioni dovrebbero avere al
secondo membro tre addendi come la
5.7’, ma nella prima mancano i termini
Fig. 5.5a
Fig.5.5b
in dλ perché lungo un parallelo è dλ= 0,
Fig. 5.5: Moduli di deformazione di elementi
nella seconda mancano quelli in du
perché lungo un parallelo è du = 0. L’area dsc del quadrilatero sulla carta è data da
dsc = 2 [dsλ dsu (sin ω) /2)] = dsλ dsu sin ω = √e du√g dλ = √(e g) du dλ
Dunque il modulo di deformazione areale mA vale:
mA = dσc / dσe = √(e g) du dλ /( r2 du dλ) = √(e g) sin ω /r2 = √(E G) sin ω
Per il teorema di Carnot, risulta
dsc2 = dsλ2 + dsu2 + 2 dsλ dsu cos ω = e du2 + g dλ2 + 2 √(e g) du dλ cos ω
Dal confronto di questa espressione con la 5.8 segue che deve essere f = √(e g) cos ω e quindi cos ω
= f /√(e g) da cui segue anche che è
sin ω = √ (1 - cos2ω) = √[ 1 - (f2 / eg)] = √ [(eg – f2) / e g]
Sostituendovi sin ω con il suo valore appena trovato, la precedente espressione di mA diventa
mA = √ (E G) = (√ (eg) / r2) √[ (eg – f2) / e g] = (√ (eg – f2) )/ r2
5.19
Per definizione, per ogni carta equivalente deve essere mA = cost = 1. Con questa condizione, la 5.19
diventa:
(√ (eg – f2) ) = r2
che, ricordando le definizioni di e, f e g si può scrivere come:
√[(xu2 + yu2 ) (xλ2 + yλ2 ) - (xu xλ + yu yλ )2 ] = r2
Sviluppando il prodotto ed il quadrato sotto il segno di radice e riordinando si ottiene:
xλ yu - xu yλ = r2
Ancora ricordando le posizioni fatte in precedenza, da quest’ultima si ottiene:
(∂x/∂λ) (∂y/ ∂u) – (∂x / ∂u) (∂y /∂λ) = r2
(∂x /∂λ) (∂y/ ∂φ) (dφ/ du) - (∂x/ ∂φ) (dφ / du) (∂y/∂λ) = r2
tenendo infine conto della definizione della variabile u deriva che è dφ/ du = r / ρ, si può scrivere:
(∂x /∂λ) (∂y/ ∂φ) - (∂x/ ∂φ) (∂y/∂λ) = r ρ
che è l’equazione generale delle carte equivalenti.
5.4 LA DEFORMAZIONE ANGOLARE
Cerchiamo ora da queste espressioni di ricavare la deformazione angolare δ secondo la 5.3.
Dalla fig. 5.5.b risulta che per α', rappresentazione dell'angolo α sull'ellissoide, è:
tg α' = [ (√g dλ) / (√e dφ)]
tg α = [ (r dλ) / ( ρ dφ)]
5.20
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Da queste si ottiene immediatamente:
tg(α – α’) = tg δ = [(tg α’ – tg α) / (1 + tg α’ tg α)]
e, con qualche passaggio, si perviene alla relazione generale:
tg δ = { [ρ √ (g/e) / r -1] tg α} /{1 + [ρ tg2α √ (g/e) / r] }
nella quale è facile osservare che la deformazione angolare dipende in genere dall'azimut α.
Proiezione di Gauss
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Bonne
Goode omalografica
Cassini
Hammer
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Lambert conforme
Mercatore
M
Mollweide
Mollweide
Robinson
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Omalosina di Goode
Streografica polare
Sinusoidale