Le parole
“difficili”
in geometria
Spunti per insegnare ad
affrontare e risolvere
problemi matematici
Primo e secondo incontro
Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese ottobre dicembre 2014
1
PROGRAMMA
Gli incontri di quest’anno metteranno in evidenza, in geometria,
l’importanza del significato delle parole che si usano.
Argomenti principali:
•il problema degli isoperimetri;
•il problema della equiestensione nel piano e nello spazio;
•problemi relativi agli argomenti trattati.
1° Incontro: martedì 14 OTTOBRE 2014
2° Incontro: martedì 28 OTTOBRE 2014
3° Incontro: martedì 11 NOVEMBRE 2014
4° Incontro: martedì 25 NOVEMBRE 2014
5° Incontro: martedì
2 DICEMBRE 2014
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2
FARE DELL’ETIMOLOGIA UN GIOCO
(da Bollettino dei docenti di matematica n°68- centro didattico cantonale Bellinzona Svizzera)
Se si conoscono i significati di un certo numero di termini base, … si possono
da un lato scoprire i significati di parole sconosciute o inventarne di nuove.
Diceva Don Milani: «Finché ci sarà uno che conosce 2000 parole e uno che ne
conosce 200, questi sarà oppresso dal primo. La parola ci fa uguali.»
curiosità
Poveri noi maestri (magis di più)
che dobbiamo stare agli ordini dei
ministri (minus di meno)
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3
Osservazione
Durante un corso di geometria un maestro osservò che i
suoi allievi, come tutti i loro coetanei, nei primi anni di
scuola sono inondati, o investiti, da una grande quantità
di parole nuove e difficili come «parallelo»,
«perpendicolare», «diagonale», «isoscele»,… Capita
quindi con una certa frequenza che pur avendo la
risposta giusta, la sbagliano perché confondono le
parole: «le diagonali di un quadrato sono parallele».
In realtà sanno benissimo come sono, ma la confusioni
con perpendicolari li ha traditi.
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Due parole spesso confuse
PERIMETRO
AREA
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CERCHIAMO IL LORO SIGNIFICATO
• Perimetro (Da Wikipedia, l'enciclopedia libera)
In geometria, il perimetro è la misura della lunghezza del contorno
di una figura piana. È diffusa la convenzione di indicarlo con la
sigla 2p (oppure "P"), da intendersi come due volte p, dove p è
quindi la metà del perimetro o semiperimetro.
La parola deriva dal greco perímetros, composto di perí, intorno,
e métron, misura.
• Perimetro (DaTreccani.it)
In geometria, e con riferimento a un poligono, la somma dei suoi lati,
o anche, più spesso, la somma delle loro misure: il p. di un
triangolo, di un pentagono; calcolare il p. della base di una piramide
esagonale. Più in generale, il contorno (detto più
precisamente bordo) di una qualsiasi superficie, piana o no, e la
misura di tale contorno: il p. della base di una torre, di un castello;
quindi, spesso, limite, confine:segnare, misurare il p. di un campo; le
mura corrono lungo tutto il p. della città. Più genericam., con
riferimento allo spazio compreso entro tale limite o confine:dentro il
p. della città; fuori del p. dell’abitato.
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• Area (Da Wikipedia, l'enciclopedia libera)
L'area è la misura dell'estensione di una regione bidimensionale di uno
spazio, ovvero la misura dell'estensione di una superficie. Come per le
altre misure di natura geometrica, per la precisione si dovrebbe
distinguere fra la regione bidimensionale (insieme di punti) e la sua
area (valore numerico associato alla precedente). Spesso però, nel
parlare comune ma anche in esposizioni scientifiche, il termine area e
il termine superficie vengono usati intercambiabilmente. Ciò è un
errore perché esistono molte differenze, anche sostanziali.
• Area (DaTreccani.it) [dal lat. area]. –
Superficie circoscritta di terreno: nell’area prospiciente alla villa. In
partic., a.fabbricabile, spazio di terreno utilizzabile per la costruzione di
edifici; a. pubblica, ogni strada, piazza o altra superficie destinata ad
uso pubblico; a. di servizio, sulle autostrade o strade di grande
comunicazione, spiazzo con impianti di rifornimento di carburante e
spesso anche altre attrezzature utili agli automobilisti (bar, servizî
igienici, officine, ecc.); a. di parcheggio (v. parcheggio).
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Ricerca
Chiediamo agli alunni dove si usa il prefisso
peri nella vita quotidiana.
Es.: PERIFERIA
PERIGEO (intorno alla Terra)
PERIFRASI
PERICARDIO
PERIPLO
Chiediamo agli alunni se esistono delle parole con il
prefisso peri nella vita quotidiana, ma con un
significato diverso.
Es.:
PERICOLO
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Ricerca
Chiediamo agli alunni dove si usa la parola
AREA nella vita quotidiana.
Es.: AREA DI SOSTA
AREA A TRAFFICO LIMITATO
AREA 51
AREA riservata ai camper
AREA ARCHEOLOGICA
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Approfondiamo …
il concetto di perimetro
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Il perimetro
(da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di
C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 55 a pg. 60)
Al termine perimetro vengono attribuiti diversi significati:
a) contorno di un poligono, quindi è sinonimo di poligonale, ossia di spezzata
chiusa e semplice;
b) lunghezza del contorno di un poligono, per cui designa una grandezza;
c) misura della lunghezza del contorno di un poligono, pertanto è un numero
reale non negativo.
L’accezione con cui viene utilizzato la parola perimetro condiziona la
correttezza o meno di espressioni ad esso relative.
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Il perimetro
(da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di
C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 55 a pg. 60)
Al termine perimetro vengono attribuiti diversi significati:
a) contorno di un poligono, quindi è sinonimo di poligonale, ossia di spezzata
chiusa e semplice;
“un poligono di perimetro ABCD” presuppone il significato a), in quanto ABCD
è la denominazione della poligonale
b) lunghezza del contorno di un poligono, per cui designa una grandezza;
“il perimetro di un poligono è di 13cm” è coerente solo con l’accezione b),
dato che 13cm è una lunghezza;
c) misura della lunghezza del contorno di un poligono, pertanto è un numero
reale non negativo.
in centimetri, il perimetro di un poligono è 13” comporta l’assunzione
dell’accezione c), poiché il perimetro viene identificato con un numero,
ossia una misura.
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Il perimetro
(da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di
C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson) pag. 55
RIFLETTIAMO
“il perimetro di un poligono misura 13cm”
ERRATA
È errata per ogni accezione di perimetro, poiché l’incongruenza è
nella parte “misura 13cm”: 13cm è una lunghezza e non una misura.
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Il perimetro
(da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di
C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson) pag. 55
NOSTRA SCELTA
Con il termine perimetro intendiamo la lunghezza del contorno di una
figura piana.
Il perimetro essendo una lunghezza è, quindi, una grandezza.
In base a ciò, non solo si parla di perimetro di un poligono, ma anche di
perimetro di un cerchio, inteso come la lunghezza della circonferenza che
delimita il cerchio, di perimetro di una figura piana delimitata da una linea
mista chiusa, …
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I concetti di lunghezza…
(da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di
C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson)da pag. 55 a pag.59)
• La lunghezza di una linea limitata
In modo intuitivo, per linea limitata si intende una linea nella quale è
possibile individuare un primo punto e un ultimo punto tra cui sono
compresi tutti gli altri punti della linea.
Sono esempi di linee limitate i segmenti, le circonferenze, le ellissi,
ognuna delle linee rappresentate nel disegno:
Non sono, invece, linee limitate le rette, le semirette, le parabole, le iperboli…
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I concetti di lunghezza…
(da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di
C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson)da pag. 55 a pag.60)
Il concetto di lunghezza di una linea limitata viene definito a partire dalla
lunghezza di un segmento.
Nella costruzione del concetto di lunghezza di un segmento si considera
come primitivo, ossia privo di definizione esplicita, quello di movimento
rigido (si veda Nel mondo della geometria, volume 4).
Nell’insieme dei segmenti del piano, più in generale dello spazio, si
stabilisce la seguente relazione, detta congruenza:
un segmento x è congruente ad un segmento y se x è sovrapponibile a y
mediante un movimento rigido;
si scrive x  y
Uno strumento con il quale è possibile realizzare il trasposto rigido di un
segmento è il compasso.
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I concetti di lunghezza…
(da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di
C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson) da pag. 55 a pg. 60)
Si dimostra che la congruenza tra segmenti è una relazione di equivalenza,
in quanto gode della
- proprietà riflessiva: ogni segmento x è congruente a se stesso
xx
- proprietà simmetrica: se un segmento x è congruente ad un segmento y,
allora y è congruente a x
xyyx
- proprietà transitiva : se un segmento x è congruente ad un segmento y e
il segmento y è congruente ad un segmento x, allora x è congruente a y
x  y e y  z  x  z.
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I concetti di lunghezza…
(da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di
C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson) da pag. 55 a pg. 50)
Se si considera il sottoinsieme S = {a, b, c, d, e, f, g, h di segmenti del
piano
a
d
S
b
h
e
g
c
f
si hanno le congruenze: a  e  g, b  c, d  h.
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I concetti di lunghezza…
(da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di
C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson) da pag. 55 a pg. 60)
Essendo la congruenza una relazione di equivalenza, essa consente
di ripartire l’insieme dei segmenti in classi di equivalenza, ciascuna
delle quali ha per elementi segmenti tra loro congruenti. Con
riferimento all’esempio, si hanno le seguenti classi
a ..
a
b
b ..
cc ..
e
e ..
g
g ..
ff ..
d
d ..
hh . .
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I concetti di lunghezza…
(da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di
C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 55 a pg. 60)
Segmenti che appartengono alla stessa classe di equivalenza sono, dunque,
congruenti, ossia sono
uguali rispetto alla sovrapponibilità mediante movimento rigido.
Essi hanno “qualcosa in comune” e questo “qualcosa”, la proprietà astratta
che essi definiscono collettivamente, viene chiamata lunghezza.
ℓ1
a .
ℓ2
b .
c.
e .
g .
f .
d.
ℓ3
h .
ℓ4
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Concetti geometrici di riferimento:
Consideriamo le figure piane formate dai punti che appartengono ad una linea
chiusa e semplice e dai punti della regione di piano interna a tale linea.
Se la linea è una spezzata:
Se la linea non è una spezzata
(linea curva o linea mista):
figura piana poligonale
figura piana non poligonale
POLIGONO
(esempio: cerchio)
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ad ogni figura piana sono associate
 una linea che costituisce il contorno della figura
intendiamo con perimetro la lunghezza del contorno cioè la proprietà
astratta che accomuna segmenti equiestesi
 una parte limitata di piano
intendiamo con area la “proprietà” astratta che accomuna
figure equiestese
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Perimetro e area sono due
grandezze
possono essere qualificate e quantificate, ossia misurate
diverse tra loro
ciascuna ha un proprio sistema di misura
associate sia ai poligoni sia ai non poligoni
la loro costruzione concettuale non può identificarsi con
l’uso delle formule
la diversità concettuale può essere evidenziata osservando che
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“può essere un recinto eguale a un altro, e la piazza contenuta da questo
assai maggiore della piazza di quello”
esistono figure che hanno uguale perimetro (isoperimetriche), ma diversa area
esistono figure che hanno uguale area (equiestese), ma diverso perimetro
Esiste una relazione tra le due grandezze?
In particolare:
 come cambia l’area di figure piane che hanno uguale perimetro, ossia sono
isoperimetriche?
 come cambia il perimetro di figure piane che hanno uguale area, ossia sono
equiestese?
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Dal Dialogo “Intorno a due nuove scienze” di Galileo Galilei:
“Il chè accade non solamente fra le superficie irregolari, ma fra le regolari,
delle quali quelle di più lati sono sempre più capaci di quelle di manco lati,
sì che in ultimo il cerchio […] è capacissimo sopra tutti gli altri poligoni di
egual circuito”
(citazione tratta da E. Castelnuovo, “Pentole, ombre, formichine” In viaggio con la
matematica, La Nuova Italia,1998, p. 39)
Nelle parole di Galileo vi è la chiave interpretativa dei versi di Virgilio dedicati
alla fondazione di Cartagine da parte di Didone
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“per l’astuta merce
che, per fondarla, fêr di tanto sito
quanto cerchiar di bue potesse un tergo.”
(Libro I, versi 360-365 dell’Eneide, di Virgilio, trad. di A. Caro, ed. D’Anna, 1978)
L’astuzia di Didone consiste nell’applicare la proprietà secondo cui
tra figure piane isoperimetriche, il cerchio è quella di area maggiore.
In modo duale:
tra figure piane equieste, il cerchio è quella di perimetro minore.
Probabile applicazione nella costruzione delle città medioevali:
a parità di area, cinta muraria circolare per ridurne la lunghezza e facilitare
la costruzione, la sorveglianza e per ridurre i costi.
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Il problema degli isoperimetri
Problemi formulati nella geometria dell’antica Grecia:
1) tra tutti i poligoni piani convessi di n lati e di perimetro dato 2p, quale ha area
massima?
2) tra tutte le figure piane di perimetro dato 2p, quale ha area massima?
3) tra tutte le figure solide con superficie data S, quale ha volume massimo?
Metodi elaborati e risposte formulate costituiscono la
Teoria degli isoperimetri
elaborata nel corso dei secoli da Zenodoro (II sec. a.C.) sino a Carthéodory e
Study (1910) e Chisini (1927).
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Alcuni risultati:
1) tra tutti i poligoni piani convessi di n lati e di perimetro dato 2p, quello
regolare (equilatero e equiangolo) ha area massima
 tra tutti i triangoli di perimetro dato 2p, il triangolo equilatero è quello di area
massima
 tra tutti i quadrilateri di perimetro dato 2p, il quadrato è quello di area
massima
2) tra tutte le figure piane di perimetro dato 2p, il cerchio è quella di area
massima
3) tra tutte le figure solide di data superficie S, la sfera è quella di volume
massimo
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Perché affrontare il problema a scuola?
Alcune risposte:
 permette di operare con i concetti di perimetro e area, senza ricorrere
necessariamente ai numeri o alle formule
 può essere affrontato con
 diversi livelli di approfondimento
 uso di diversi mediatori: attivi, analogici, iconici, simbolici
 può essere
 argomento di un laboratorio di matematica
 oggetto di un insegnamento a spirale
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Itinerario didattico
(di Clara Colombo Bozzolo)
Classe terza
• Si inizia il confronto di aree per mezzo della bilancia
nel modo che segue.
• Facciamo ritagliare in uno stesso cartone le due figure
da confrontare e mettiamole sui piatti di una bilancia a
due bracci: se si fanno equilibrio i pesi sono uguali e, a
parità di tipo di cartone le due figure sono sicuramente
equiestese, perciò hanno la stessa area.
• Se le due figure non si fanno equilibrio possiamo
identificare la più pesante e quindi la figura con area
maggiore.
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Itinerario didattico
(di Clara Colombo Bozzolo)
Classe terza
Si devono fare molti esempi e contro-esempi:
• figure congruenti ritagliate nello stesso cartone hanno lo
stesso peso
• figure congruenti ritagliate in cartoni di tipo diverso hanno
pesi diversi
• figure non congruenti ritagliate in cartoni di tipo diverso
hanno lo stesso peso, ecc.
E' un'attività che è piaciuta molto ai ragazzi e che abbiamo ripreso
in quinta per confrontare le aree di figure irregolari non
riconducibili a forme poligonali.
L’attività sopra indicata potrebbe anche essere ripresa alla scuola
media nell'ambito dell'argomento “massa specifica ”.
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Itinerario didattico
(di Clara Colombo Bozzolo)
• L'uso della bilancia permette ai ragazzi
di dare una prima risposta al problema
degli isoperimetri, senza conoscere le
formule per il calcolo delle aree.
• Inoltre la trattazione di questo
problema mette chiaramente in
evidenza agli allievi che avere ugual
perimetro non comporta
necessariamente avere ugual area.
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Itinerario didattico
(di Clara Colombo Bozzolo)
Il primo problema che abbiamo presentato agli
allievi è stato :
• Tra tutti i poligoni con lo stesso numero di
lati e aventi lo stesso perimetro qual è quello
di area maggiore?
• I ragazzi, che già sapevano confrontare aree
con la bilancia, hanno subito capito che il
primo problema pratico da risolvere era il
seguente :
come costruire poligoni con ugual numero di
lati e isoperimetrici?
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Itinerario didattico
(di Clara Colombo Bozzolo)
Metodo suggerito dall’insegnante:
 Prendere una tavoletta di legno, come in figura, fissare due chiodi senza
capocchia ad una distanza che sia uguale alla metà della misura scelta per il
perimetro.
 tendere una corda tra i due chiodi e chiuderla ad anello.
Ad esempio, fissare i due chiodi a 12cm se vogliamo che il perimetro sia di 24cm .
Ogni anello è stato usato per tracciare il contorno di un poligono nel modo che
indichiamo nel seguito.
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Itinerario didattico
(di Clara Colombo Bozzolo)
Triangoli.
• Mediante tre grossi spilli (o chiodini) i ragazzi
tendono la corda e la fissano su un cartone
formando un triangolo.
• Si tolgono i chiodini, si disegna il triangolo
collegando con la matita e il righello i tre
buchini lasciati dagli spilli e si ritaglia.
Poiché con questo metodo non si ottiene
quasi mai il triangolo equilatero si è dato
loro un cartone da noi reticolato in triangoli
equilateri di lato 1cm .
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Itinerario didattico
(di Clara Colombo Bozzolo)
Dopo aver confrontato i triangoli con la bilancia si è notato che:
• il triangolo equilatero era il più pesante di tutti e quindi era
il triangolo di area massima.
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Itinerario didattico
(di Clara Colombo Bozzolo)
Quadrilateri
• Si è ripetuta l’esperienza con i quadrilateri, dando anche un
cartone da noi centimetrato in modo che gli allievi potessero
disegnare anche il quadrato di perimetro 24cm .
• Dopo aver confrontato con la bilancia i quadrilateri ritagliati
(ve ne erano anche di concavi ) si è notato che:
 il quadrato era il più pesante di tutti e quindi era il
quadrilatero di area massima.
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37
Itinerario didattico
(di Clara Colombo Bozzolo)
•
•
•
•
Classe quarta
In quarta classe abbiamo esaminato in particolare i
quadrilateri di dato perimetro per scoprire che il quadrato
aveva l'area massima.
In questa classe l'attenzione è stata poi rivolta in particolare
ai rettangoli isoperimetrici , poiché di tali figure gli allievi
sapevano calcolare la misura dell'area con la formula.
Dopo aver costruito di nuovo quadrilateri isoperimetrici, di
perimetro 24cm, con le “cordette” si è passati a determinare,
usando solo numeri naturali, le possibili quaterne di numeri
aventi per somma 24 e che potessero essere misure dei lati di
un qualsiasi quadrilatero.
Gli allievi, attraverso esperienze con asticciole e cannucce,
erano consapevoli del fatto che “perché un quadrilatero
chiudesse” il lato maggiore doveva essere minore della
somma degli altri tre.
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Itinerario didattico
(di Clara Colombo Bozzolo)
• Consideriamo ora la quaterna: 10, 7, 4, 3 e
proponiamo di disegnare un corrispondente
quadrilatero. Dopo aver verificato che 10 < 7+4+3,
prima di eseguire il disegno la maggior parte degli
allievi, nonostante le molte esperienze fatte sulla
costruzione di quadrilateri con le asticciole
articolate, pensava che
– esistesse un solo quadrilatero avente per misura dei lati la
quaterna assegnata e che tale quadrilatero fosse sempre lo
stesso anche se si cambiava l’ordine con cui si
consideravano i numeri della quaterna
– che fosse molto facile disegnare tale quadrilatero.
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39
Itinerario didattico
(di Clara Colombo Bozzolo)
Alcuni tentativi fatti dagli allievi, sia fruttuosi che
infruttuosi, per stimolare i colleghi a proporre la
situazione che è veramente un problema.
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40
Itinerario didattico
(di Clara Colombo Bozzolo)
Alcuni allievi hanno voluto lavorare ancora con le
asticciole e tutti si sono convinti che per poter
disegnare un solo quadrilatero convesso
(indipendentemente dalla sua posizione nel
piano):
• si doveva assegnare l’ordine con cui si
prendevano le lunghezze dei lati
• si doveva dare l’ampiezza di un angolo.
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41
Costruzione con cabri
POLIGONO CONVESSO
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42
Costruzione con cabri
POLIGONO CONCAVO
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43
Costruzione con cabri
POLIGONO con le circonferenze tangenti
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44
Itinerario didattico
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Parallelogrammi isoperimetrici
• Prima di affrontare questo argomento, partendo dal rettangolo,
abbiamo fatto scoprire la formula che permette di calcolare la
misura dell’area di ogni parallelogramma, date le misure di un lato e
della relativa altezza.
• Siamo quindi passati a considerare un insieme di parallelogrammi di
perimetro 24cm , sempre con la clausola che le misure dei lati
fossero numeri naturali.
Siamo partiti dai rettangoli e abbiamo scritto le possibili quaterne (di
numeri naturali) ordinate:
11,1,11,1
10,2,10,2
9,3,9,3
8,4,8,4
7,5,7,5
6,6,6,6
e gli allievi hanno poi costruito con le asticciole ogni rettangolo.
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Itinerario didattico
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Lavorando con le asticciole siamo passati:
• da ogni rettangolo ai romboidi (con i lati di ugual lunghezza)
• al quadrato ai rombi (con il lato di ugual lunghezza)
Abbiamo rappresentato graficamente la situazione:
•
•
Da questa rappresentazione risulta chiaramente che ogni rettangolo,
a parità di lato fisso, ha altezza maggiore di tutti i romboidi e il
quadrato ha altezza maggiore di tutti i rombi così costruibili.
L’area di ogni rettangolo è pertanto maggiore di quella di ogni
romboide e l’area del quadrato è maggiore di quella di ogni rombo.
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Itinerario didattico
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•
•
Quindi per decidere qual è, in questo insieme di quadrilateri, il
parallelogramma di area maggiore dovevamo confrontare solo l’area
di ogni rettangolo con quella del quadrato.
Si è compilata una tabella come quella che segue:
Rettangoli di perimetro 24cm
Misura della
Lunghezza
di due lati
consecutivi in cm
Misura dell’area in cm2
Differenza, in cm, tra le misure
di due lati consecutivi
11
1
11
11 - 1 = 10
10
2
20
10 - 2 = 8
9
3
27
9 -3 = 6
8
4
32
8- 4 = 4
7
5
35
7- 5
6
6
36
6 - 6 = 0
= 2
Al diminuire della differenza tra le misure di due lati consecutivi l’area aumentava
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47
Itinerario didattico
(di Clara Colombo Bozzolo)
Alla fine della classe quarta abbiamo disegnato i quadrilateri che hanno
i lati lunghi come quelli dei rettangoli considerati, ordinando
diversamente le quaterne di numeri
11,11,1,1
10,10,2,2
9,9,3,3
8,8,4,4
7,7,5,5
6,6,6,6
Abbiamo così disegnato “aquiloni” e “ punte di freccia” (deltoidi convessi e
concavi) e abbiamo avviato lo studio dei quadrilateri con le diagonali
perpendicolari.
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48
Itinerario didattico
(di Clara Colombo Bozzolo)
CLASSE QUINTA
Quando gli allievi conoscevano la formula per il calcolo della misura
dell'area del triangolo
• sono ripetute le esperienze di costruzione di triangoli con la corda
• ogni allievo ha disegnato uno di tali triangoli
• ha scelto a piacere il lato-base ( di solito le misure delle lunghezze
dei lati sono numeri decimali per cui sono state approssimate al
millimetro)
• ha tracciato la relativa altezza e l’ha misurata
• ha calcolato la misura dell’area
Abbiamo raccolto in una tabella le misure dell’area ottenute dagli
allievi e abbiamo proseguito il lavoro ponendo il problema di:
determinare le terne di numeri naturali che hanno per somma
24 e che possono essere misure dei lati di un triangolo.
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49
Itinerario didattico
Si sono trascritti in
una tabella i risultati
ottenuti (si sono
segnate in grassetto le
misure dei lati dei
triangoli isosceli):
In tutti i triangoli in
cui il lato base è
lungo 11cm, l’altezza
aumenta al diminuire
della differenza tra le
lunghezze degli altri
due lati; lo stesso
accade quando si
tiene fisso il lato
lungo 10cm o quello
lungo 9 cm ; di
conseguenza
aumenta l’area.
(di Clara Colombo Bozzolo)
Triangoli con il perimetro di 24cm
Misura, in cm,
dell’altezza
relativa al lato
maggiore
Misura, in cm, della
lunghezza di ciascun lato
Misura dell’area
di ogni triangolo
in cm2
1,9
11 11 2
10,45
2,7
11 10 3
14,85
3
11 9
4
16,50
3,2
11 8
5
17,60
3,5
11 7
6
19,25
3,9
10 10 4
19,50
4,5
10 9
5
22,50
4,8
10 8
6
24
4,9
10 7
7
24,50
5,6
9
9
6
25,20
6
9
8
7
27
6,9
8
8
8
27,60
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50
Itinerario didattico
(di Clara Colombo Bozzolo)
Poi il 10, poi il 9 e infine l’8
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51
Itinerario didattico
(di Clara Colombo Bozzolo)
Poi il 9 e infine l’8
8
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52
Itinerario didattico
(di Clara Colombo Bozzolo)
Che cosa accadrà per gli altri poligoni regolari con il perimetro di 24cm ?
I ragazzi hanno notato che:
– per ogni tipo di poligono, quello regolare aveva sempre area massima.
– a parità di perimetro, l'area cresceva all'aumentare del numero dei lati.
POLIGONI REGOLARI
misura del perimetro in cm: 24
triangolo
quadrilatero
pentagono
esagono
ottagono
decagono
dodecagono
misura dell’area in cm2
27,71
36
39,63
41,56
43,45
44,32
44,78
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53
Itinerario didattico
(di Clara Colombo Bozzolo)
Dai poligoni al cerchio.
• Abbiamo concluso l'esperienza proponendo di calcolare la misura
dell'area del cerchio avente la circonferenza lunga 24cm . Si è
notato che l'area del cerchio era maggiore delle aree di tutti i
poligoni regolari considerati.
AREA DEL CERCHIO in cm2
(24 : 2π)2 x π = 45,85
• Abbiamo allora detto agli allievi che i matematici avevano dimostrato
che : tra tutte le figure piane di ugual perimetro il cerchio era la
figura che aveva area maggiore.
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54
Itinerario didattico
(di Clara Colombo Bozzolo)
A questo punto abbiamo proposto agli allievi
più capaci il problema di Didone.
• Nell'Eneide si racconta che Didone, per la
costruzione di Cartagine, ottenne di “avere
tanto terreno quanto ne poteva stare nella
pelle di un montone”.
• Didone ricavò dalla pelle del montone una
lunga striscia, con la quale limitare il confine
di Cartagine . Quale forma scegliere per
questo confine, affinché l'area da esso
racchiusa fosse massima?
I ragazzi risposero subito: circolare.
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55
Itinerario didattico
(di Clara Colombo Bozzolo)
Un lato del terreno avrebbe potuto essere il mare . Allora?
• Il problema poteva essere così formulato :
• E' maggiore l'area di un cerchio la cui circonferenza è
lunga 24cm o quella di un semicerchio la cui
semicirconferenza è lunga 24cm?
• Fatti i calcoli gli allievi scoprirono che l'area del secondo
cerchio era il quadruplo dell'area del primo cerchio e
quindi il semicerchio aveva area doppia di quella del
primo cerchio.
Didone scelse, per intuizione, proprio la soluzione più
conveniente .
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56
Itinerario didattico
(di Clara Colombo Bozzolo)
CLASSE QUINTA: Verso un altro problema
• Tra tutti i triangoli di cui è assegnata la misura di un lato e la misura
del perimetro qual è quello di area massima?
• Abbiamo scelto come lato fisso quello di 11cm , come perimetro
ancora 24cm e come lunghezze dei lati numeri naturali.
• In questo caso i triangoli sono stati costruiti con riga e compasso
tutti sullo stesso lato base di 11cm . Inoltre ogni triangolo doveva
essere disegnato in tutte le posizioni possibili. Le posizioni
possibili, per ogni triangolo, sono quattro:
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57
Lavoriamo con Cabri
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58
Itinerario didattico
(di Clara Colombo Bozzolo)
• Al variare delle misure dei due lati
liberi risultava sempre che l'isoscele
aveva area massima.
• I ragazzi hanno concluso che era
molto, molto probabile che il triangolo
isoscele, nelle ipotesi fatte, fosse
quello di area massima.
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59
Itinerario didattico
(di Clara Colombo Bozzolo)
Un nuovo problema
•
•
•
Se togliamo il vincolo che le misure dei lati siano numeri naturali il
vertice libero del triangolo che linea descrive?
Siamo ritornati all’anello di corda , abbiamo fissato con due spilli gli
estremi del lato lungo 11cm e abbiamo usato la punta di una matita
che tendeva la corda, per segnare il terzo vertice del triangolo:
Abbiamo disegnato vari ellissi, facendo variare la lunghezza del lato
fisso, e abbiamo precisato che gli estremi fissi del lato del triangolo
sono i fuochi dell’ellisse.
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60
Un esempio alla scuola primaria
Fissate un’unità di misura di lunghezza e la derivata unità di misura di area,
determinare tutti i rettangoli aventi un dato perimetro, con la condizione che i lati
dei rettangoli abbiano lunghezze espresse da numeri naturali.
Individuare le relazioni che sussistono tra tali rettangoli.
 classi coinvolte: classi quinte
 periodo: ottobre
 organizzazione:
 lavori in gruppi eterogenei (3-4 alunni) per la fase di manipolazione e
di rappresentazione
 discussione collettiva per il confronto, la rilevazione di analogie,
regolarità, relazioni, la formulazione di ipotesi
 lavoro individuale per il consolidamento e il momento metacognitivo
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61
 contesto didattico:
 già affrontato il concetto di perimetro e il problema della sua
determinazione
 esperienze di equiestensione (tangram) e di quantificazione dell’area per
conteggio (no conoscenza di formule)
 in alcune classi già affrontata la classificazione dei parallelogrammi
 consuetudine con lavori di gruppo in matematica e la manipolazione di
materiali
 lavoro aritmetico sulle coppie additive e quelle moltiplicative di un numero
naturale
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62
Prima fase di lavoro
In gruppo
 mediante accostamento di tessere quadrate in cartoncino, costruire tutti i
rettangoli, non congruenti tra loro, aventi un perimetro dato, espresso in un
numero intero di lati quadretto
 riportare su carta opportunamente quadrettata i rettangoli individuati
 per ognuno dei rettangoli registrare in tabella le misure, in lati quadretto, di due
lati consecutivi, la loro differenza e la misura, in quadretti, dell’area
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63
Le strategie
 individuazione del primo rettangolo (in genere quello costituito da due righe di
quadretti) per tentativi
 nella maggior parte dei gruppi successiva individuazione di una strategia
 manipolatoria:
“ci conviene togliere o aggiungere i quadratini sul lato più corto,
perché così cambiamo poco alla volta il perimetro”;
costruzione della sola “cornice” del rettangolo
 grafica:
anticipazione della rappresentazione grafica su carta quadrettata
rispetto alla costruzione del modello con le tessere quadrate, perché
nella fase grafica il rettangolo viene immediatamente individuato con
il relativo contorno, seguendo i lati della quadrettatura
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64
 numerica:
ricorso al semiperimetro e alla sua scomposizione additiva

anticipazione della compilazione della tabella rispetto al modello
materiale con le tessere
procedimento “ordinato”
 strategie di calcolo del numero del quadrati senza ricorre al conteggio uno a
uno

visualizzazione dello schieramento di quadretti e ricorso alla
moltiplicazione
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65
Alcuni conflitti cognitivi
 identificazione tra lato-quadretto e quadretto, ossia tra unità di misura di
lunghezza e unità di misura di area:
perimetro in lati-quadretto assunto come numero di tessere quadrate
a disposizione per
 la costruzione dei rettangoli
 la costruzione del bordo, inteso come cornice, dei rettangoli
Quali possono essere le cause di questa erronea identificazione?
 complessità dei concetti di perimetro e di area
 uso abituale nel linguaggio quotidiano del termine “quadretto” per
indicare sia una lunghezza sia un’area
Capita solo nel linguaggio quotidiano?
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66
 incertezze nel considerare il rettangolo
formato da una sola riga o una sola colonna
di tessere, perché questa viene considerata
come “segmento”
 incertezze nell’accettare il quadrato tra i rettangoli soluzione del problema
Giustificazione addotta al considerare anche il quadrato:
rettangolo significa angoli retti,
quindi anche il quadrato è un rettangolo perché ha gli angoli retti
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67
Collettivamente
 confronto tra gruppi per verificare la correttezza e la completezza delle
soluzioni
 riordino dei dati numerici raccolti nelle tabella
 rilevazione di regolarità, relazioni, analogie, differenze, … a partire
dall’osservazione delle tabelle
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68
In gruppo
 ritagliare i rettangoli isoperimetrici disegnati e incollarli, in tutti i diversi modi
possibili, mantenendo un vertice nell’origine O di un riferimento e altri due vertici
su ciascuno dei due semiassi
 rilevare la posizione del quarto vertice dei rettangoli isoperimetrici
Alcune strategie
 tentativi di ricoprire il piano del riferimento
 “resistenza” a sovrapporre i rettangoli, perché “non si vedono più”
 intuizione della formazione di una “scaletta”

modo ordinato di procedere: basta diminuire di 1 l’altezza e aumentare di 1 la
larghezza
caso critico del quadrato: “quanti ne incolliamo?”
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69
Seconda fase di lavoro
In gruppo
 su un geopiano, mediante elastici, costruire tutti i rettangoli aventi un perimetro dato,
espresso in un numero intero di lati-quadretto; i rettangoli devono avere un angolo retto in
comune
 riportare i rettangoli individuati su carta che riproduce i punti del geopiano
 per ognuno dei rettangoli registrare in tabella le misure, in lati quadretto, di due lati
consecutivi, la loro differenza e la misura, in quadretti, dell’area
Collettivamente
 confronto tra le soluzioni e le osservazioni
 conferma dell’allineamento del quarto vertice
dei rettangoli isoperimetrici
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70
Alcune strategie
 ricorso all’immagine della scaletta
o sin dalla fase iniziale
oppure per controllare di avere individuato tutti i rettangoli
Alcuni conflitti cognitivi
 misura del perimetro in lati-quadretto assunta come numero di chiodini lungo il
bordo del rettangolo
geopiano richiede una maggiore astrazione rispetto alle tessere e alla carta
quadrettata, perché il lato-quadretto “non si vede”
 identificazione tra lato-quadretto e diagonale-quadretto
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71
Terza fase di lavoro
In gruppo
 riflessione scritta
“Ripensando al lavoro che hai svolto con le tessere quadrate, con il disegno e
con il geopiano, cosa hai scoperto riguardo ai rettangoli che hanno uguale
perimetro?”
Individualmente
 assegnato un perimetro in lati quadretto, ipotizzare il numero di rettangoli,
l’esistenza o meno del quadrato, il valore dell’area massima
 verificare le risposte con la costruzione grafica e la compilazione della
tabella
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72
Quarta fase di lavoro
Mediante accostamento di tessere quadrate in cartoncino, costruire tutti i
rettangoli, non congruenti tra loro, aventi un’area data, espressa in un numero
intero di quadretti
In gruppo
 riportare su carta opportunamente quadrettata i rettangoli individuati
 per ognuno dei rettangoli registrare in tabella le misure, in lati quadretto, di due
lati consecutivi, la loro differenza e la misura, in lati quadretti, del perimetro
Le strategie
 individuazione come primo rettangolo di quello costituito da una riga di quadretti
 constatazione dell’inefficacia della strategia del “+1, -1”
 ricorso alle tabelline
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73
In gruppo
 ritagliare i rettangoli equiestesi disegnati e incollarli, mantenendo un vertice
nell’origine O e altri due vertici su ciascuno dei due semiassi
 rilevare la posizione del quarto vertice.
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74
Perché affrontare il problema a scuola?
Altre risposte:
 è un vero e proprio problema
 le conoscenze pregresse sono necessarie, ma non sono sufficienti
 mobilita la ricerca di strategie
 richiede la formulazione di ipotesi, la loro verifica, il controllo del
significato dei risultati
 richiede il transfer di conoscenze costruite o collocate in altri contesti
geometrici (differenza tra lato quadretto, diagonale quadretto e
quadretto, quadrato come rettangolo speciale, ...)
e aritmetici (coppie di numeri amici nell’addizione o nella
moltiplicazione, classi particolari di numeri – pari/dispari, primi,
quadrati, composti – multipli, divisori, …)
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75
 può generare conflitti cognitivi, ossia si presta ad essere esperienza critica atta
 ad esplicitare convinzioni errate, misconcetti, …
 a sollecitare un apprendimento significativo, realmente interangente con
la matrice cognitiva del soggetto
 a favorire un apprendimento consapevole e la metacognizione
 è un contesto ricco sia dal punto di vista matematico sia dal punto di vista
didattico
 permette la personalizzazione, intesa
non come differenziazione, individualizzazione, semplificazione della
proposta didattica
ma come opportunità per ogni allievo di effettuare, di fronte alla stessa
proposta, un proprio personale percorso diverso per competenze messe in
atto, strumenti utilizzati, acquisizioni cognitive, grado di astrazione,
generalità e consapevolezza raggiunti, …
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76
 la sua risoluzione può essere effettuata ricorrendo a metodi matematici diversi
per complessità e strumenti
continuità tra i diversi ordini scolastici dalla scuola dell’infanzia alla scuola
secondaria di secondo grado
Esame di Stato 2004/2005 - Prova di matematica per il Liceo Scientifico
Quesito n° 4 – Si dimostri che tra tutti i rettangoli di dato perimetro, quello di area
massima è un quadrato.
 la relazione di isoperimetria e quella di equiestensione possono riguardare
figure non usuali nella pratica didattica, come le figure dal contorno non connesso.
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77
Un esempio alla scuola secondaria di I grado
Da un poligono … (di prossima pubblicazione in Nel mondo della matematica
vol. 2 – Ed Erickson)
 Classi coinvolte: prima
 Periodo: ottobre
 Organizzazione:
 lavoro individuale
 discussione collettiva dei risultati
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78
Da un poligono tante figure
domande
risposte
corrette
Quanti lati ha il
poligono?
95 %
Il suo nome è…
50 %
Quanti angoli?
85 %
40 %
Quanti angoli
sono retti?
Gli altri due
angoli sono
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25 %
79
domande
risposte corrette
Quale delle due figure è la più estesa?
85 %
Il contorno della prima figura da quanti
lq è formata?
50 %
E quello della seconda figura?
25 %
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80
domande risposte
corrette
Questa figura è
più estesa o
meno estesa
delle
precedenti?
Costruzione errata per
errori di ritaglio 25 %
30 %
Espressione
per il calcolo
dell’area in q
25 %
Espressione
per la misura
del perimetro
10 %
Un’altra
proprietà in
comune
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0%
81
Costruzione nuova
figura 12 %
Costruzione scatola
senza coperchio 100 %
Poligono da
aggiungere come
coperchio 100 %
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82
Disegni della scatola con coperchio corretti 90 %
40 %
45 %
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83
Disegno diverso
dagli altri 5 %
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84
Costruzione “parziale”, ma corretta, del modello di un rettangolo di perimetro
24Lq
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85
Da alcune tabelle di gruppo
Gruppo n° 2
Gruppo n° 4
Rettangoli di perimetro 20Lq
Misura in lati
quadretto della
lunghezza di due lati
consecutivi
2
3
4
1
5
8
7
6
9
5
Differenz
a tra le
misure
Misura in
quadretti
dell’area
6
4
2
8
0
16
21
24
9
25
Gruppo n° 6
10
11
9
8
4
6
2
1
3
4
8
6
Differenz
a tra le
misure
Misura in lati
quadretto della
lunghezza di due lati
consecutivi
1 da 2
1 da 3
1 da 4
1 da 5
1 da 1
1 da 8
1 da 7
1 da 6
1 da 5
1 da 9
Differenz
a tra le
misure
Misura in
quadretti
dell’area
6
4
2
0
8
16
21
24
25
9
Gruppo azzurro
Rettangoli di perimetro 24Lq
Misura in lati
quadretto della
lunghezza di due lati
consecutivi
Rettangoli di perimetro 20Lq
Misura in
quadretti
dell’area
Rettangoli di perimetro 20Lq
Misura in lati
quadretto della
lunghezza di due lati
consecutivi
3
7
8
20
2
8
10
22
9
1
6
18
5
5
4
16
6 Del Torchio
4
4 Colombo
16Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella
Clara
0
12
Mathesis
Varese ottobre dicembre 2014
Differenz
a tra le
misure
4
6
8
0
2
Misura in
quadretti
dell’area
21
16
9
25
2486
Utilizzo di 22 tessere quadrate
per costruire un rettangolo avente
perimetro di 22Lq
Costruzione di uno schieramento
di 8 righe di 3 tessere quadrate
per realizzare (con 24 quadretti)
un rettangolo avente perimetro
di 24Lq
Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese ottobre dicembre 2014
87
Rappresentazione
di rettangoli in cui
il perimetro di
24Lq è stato
ottenuto formando
una “cornice”
composta da 24
tessere quadrate:
l’errore è presente
nel rettangolo a
sinistra e in quello
in basso a destra
Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese ottobre dicembre 2014
88
Da un
sussidiario di
classe quinta
Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese ottobre dicembre 2014
89
Anche quando “facciamo geometria” utilizziamo indifferentemente il quadretto
come figura piana e come linea.
I materiali con cui costruiamo modelli di segmenti, come strisce di cartoncino,
sono in realtà rettangoli, ma noi li usiamo ignorando una dimensione e
focalizzando l’attenzione solo sull’altra: siamo certi che gli alunni facciano la
nostra stessa astrazione?
I materiali, più o meno strutturati, rispetto al concetto di cui i materiali
vogliono essere un modello concreto hanno sempre
 limiti (per esempio la finitezza)
 eccessiva ricchezza di attributi (per esempio il colore)
Uso consapevole, non esclusivo, esplicito di un materiale in modo da evitare
che esso crei o rafforzi stereotipi, convinzioni errate, …
Clara Colombo Bozzolo - Patrizia Dova - Marinella Del Torchio
Mathesis Varese ottobre dicembre 2014
90
Rettangoli di perimetro 24Lq
Misura in lati
quadretto della
lunghezza di due lati
consecutivi
11
10
9
8
7
6
Differenz
a tra le
misure
Misura in
quadretti
dell’area
10
8
6
4
2
0
11
20
27
32
35
36
1
2
3
4
5
6
Rettangoli di perimetro 22Lq
Misura in lati
quadretto della
lunghezza di due lati
consecutivi
1
2
3
4
5
10
9
8
7
6
Differenz
a tra le
misure
Misura in
quadretti
dell’area
9
7
5
3
1
10
18
24
28
30
Rettangoli di perimetro 20Lq
Misura in lati
quadretto della
lunghezza di due lati
consecutivi
1
2
3
4
5
9
8
7
6
5
Differenz
a tra le
misure
Misura in
quadretti
dell’area
8
6
4
2
0
9
16
21
24
25
 presenza di alcune delle coppie additive del
numero che esprime la misura del semiperimetro:
mancanza delle coppie con 0 e coppie considerate
non ordinate
 presenza del quadrato in relazione alla divisibilità
per 4 del perimetro o per 2 del semiperimetro
 ulteriori regolarità numeriche
 al decrescere della differenza tra le misure dei lati
cresce la misura dell’area
 quadrato come rettangolo di area massima
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Alcune osservazioni
 i rettangoli formano
una scaletta
 i vertici che non
stanno sugli assi stanno
in diagonale, formano un
segmento obliquo
 i vertici stanno alla
stessa distanza, una
diagonale-quadretto
 intuizione della
continuità
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Alcune soluzioni
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Alcune risposte
“Con i poligoni rettangoli che abbiamo formato con il geopiano abbiamo notato
che mettendoli dal più lungo e stretto al più corto e largo i rettangoli non si sono
sovrapposti.
Per sapere l’area dei rettangoli non siamo stati lì a contare quadretto per
quadretto, ma abbiamo moltiplicato la lunghezza per la larghezza. […]
Per formare i rettangoli abbiamo fatto la metà dei nostri lati quadretto, cioè
sedici, e la metà è otto, es: 2 + 6 = 8 e 8 + 8 = 16; 3 + 5 = 8 e 8 + 8 = 16;
4 + 4 = 8 e 8 + 8 = 16; 1 + 7 = 8 e 8 + 8 = 16.
Abbiamo formato anche un quadrato facendo 4 + 4 = 8”
(Marco, Diego, Ilaria, Greta)
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“Abbiamo capito che i rettangoli isoperimetrici sono diversi di area, ma sono
uguali di perimetro e che il quarto vertice non coincide con O e si trova su una
linea retta.
Se si moltiplica il numero delle righe per il numero delle colonne il risultato è
l’area, e se si sommano questi numeri il risultato sarà la metà del perimetro.”
(Lucrezia, Alberto, Luca, Lucia)
“Non abbiamo mai trovato quadrati perché tutte e due le volte il semiperimetro
era dispari (11Lq la prima volta e 5Lq la seconda)”.
(Marina, Nicholas, Luciana, Samanta)
“Nella tabella dei rettangoli di perimetro 16 abbiamo messo la misura in lati
quadretto di due lati consecutivi in modo che la fila di sinistra è più uno e la
fila di destra è meno uno. Abbiamo osservato che la differenza tra le
misure, in lati quadretto, di due lati consecutivi procede con la tabellina del
due”.
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(Luigi, Sofia, Luca, Sara)
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“1) Notiamo che il lavoro [con il geopiano] è simile al precedente [con le
tessere].
[…] 4) Nel primo lavoro abbiamo costruito più rettangoli perché il perimetro era
maggiore; in questo lavoro abbiamo costruito 3 rettangoli diversi.
(Linda, Giulia, Alessandro, Marco)
Abbiamo imparato che anche un quadrilatero [quadrato] è un rettangolo perché
ha 4 angoli retti.
Abbiamo anche imparato a misurare l’area con la tabellina, facendo un lato per il
suo consecutivo.
(Luca, Cristian, Alberto)
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“Abbiamo scoperto che i rettangoli di uguale perimetro mettendoli a coppie
orizzontali e verticali formano dei vertici, che vanno in fuori. Passandogli sopra
con una retta si vede che sono punti allineati.
Abbiamo anche capito che figure con
- uguale perimetro
- uguale area
possono confondere perché sono in posizioni diverse. Sembrano altre figure ma
in geometria la posizione non conta.
Nella tabella i numeri dei lati moltiplicati insieme danno il numero dell’area”.
(Valentina, Gianluca, Marco)
“Per semplificare il lavoro bastava fare: in verticale aggiungere 1 e in
orizzontale togliere 1”.
(Sara, Catalin, Natasha)
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“- Il quadrato ha l’area maggiore tra i rettangoli dello stesso numero di lati
quadretto, cioè dello stesso perimetro.
-Il numero di lati quadretto nella differenza man mano si va avanti diminuisce,
invece l’area aumenta”.
(Hind, Giulia, Sara)
“- Almeno un vertice dei rettangoli è sempre libero e sono tutti allineati. […]
-In base al numero di lati quadretto si poteva capire se c’era il quadrato oppure
no.
- In base alla metà del numero di lati quadretto si formava la figura”.
(Giacomo, Roberta, Matteo)
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Alcune osservazioni
 difficoltà a procedere sulle immagini mentali e a generalizzare
 necessità di “supporti” numerici
 tabelle con applicazione della regola “+1, -1”
 disposizione dei numeri indicanti le misure delle lunghezze dei lati a
formare immaginari rettangoli
7
1
1
7
 uso di espressioni
(7  2) + (1  2) = 16
(6  2) + (2  2) = 16
…
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Per costruire i rettangoli (18 q)
abbiamo provato in quale tabellina
c’era il numero 18.
Es: 6  3 = 18
Per vedere se avevamo fatto tutti i
rettangoli abbiamo controllato i
numeri che avevamo registrato in
tabella che erano divisori di 18 e
non ne abbiamo trovati altri.
[…]
Rettangoli di area 18 q
Abbiamo osservato che nella
colonna delle differenze dei lati
consecutivi i numeri vanno in
ordine crescente.
Misura in lati
quadretto della
lunghezza di due lati
consecutivi
6
9
18
3
2
1
Differenz
a tra le
misure
Misura in lati
quadretto del
perimetro
3
7
17
18
22
38
(Sofia, Sara, Luigi, Luca)
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Abbiamo notato che si poteva ottenere solo
un quadrato e un rettangolo, perché l’area era
tanta [25 q] e perché pensando al lavoro
scorso abbiamo fatto la stessa cosa con i
quadratini, ma non è uscita la stessa cosa alla
fine perché 25 è multiplo di 5; 1 e di se stesso
(Davide, Antonello)
Abbiamo notato che trovando tutte le
aree possibili abbiamo anche trovato tutti
i divisori, in questo caso di 36. Quando
avevamo fatto i perimetro e non l’area
sapevamo che potevamo fare un tot di
rettangoli, mentre con l’area non
riuscivamo a sapere quanti ne dovevamo
fare
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(Ilaria, Greta,
Marco,
Diego)
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