Reticolo di Diffrazione. Spettrometro a reticolo
Di nuovo l'esperimento di Young delle due fenditure
Onda piana incidente
Se la larghezza d delle fenditure tende a zero:
4I0
I
−λ 0 λ λ
2 a 2a a
2λ
a
sin θ
z
Diffrazione di Fraunhofer o diffrazione “di campo lontano”
(
U (P)=C∬A exp −ik
x x' + y y '
z
) dx ' dy '
=C∬A exp [ −i k (α x ' +β y ' )] dx ' dy '
con: α=
x
z
β=
y
z
L'integrale di Fraunhofer si divide nei contributi delle due fenditure:
β=sin θ
U (P )=C ∫ exp [ −i k (β y ' ) ] dy ' =
=C ∫ exp { −i k [  y ' 1] } d C ∫ exp { −i k [  y ' 2] } d 
=C [ exp  −i k  y ' 1  exp  −i k  y ' 2  ]
Interferenza tra le due fenditure
[ ∫ exp  −i k  
d ]
Diffrazione da ogni fenditura
−i k  y ' 1
U  P=C e
[ 1exp  −i k   y ' 2− y ' 1  ] [ ∫ exp  −i k  
d ]
kd
sin
d /2
2
∫−d /2 exp −i k   d =2 d k  d
2
La diffrazione dalle fenditure (supposte uguali) forma un inviluppo di larghezza λ/d della figura di interferenza
−i k  y ' 1
U  P=C e
[ 1exp −i k  a  ] [ ∫ exp −i k   
k a
∣U  P∣ ∝ 4 cos
2
2
2
Interferenza ~ λ / a tra due
onde ricavata
precedentemente
 
k d
2
kd
2
sin
d ]
2
Inviluppo ~λ /d dovuto alla
diffrazione dalle fenditure
(in precedenza avevamo
fatto l'approssimazione d =0)
Frange di interferenza
a = 10 d
−λ/d
distanziate λ/a
Figura di diffrazione
+λ/d
β
Reticolo di diffrazione
Supponiamo ora di avere N fenditure (identiche ) distanziate di a l'una dall'altra. Consideriamo la loro interferenza estendendo le formule valide per N=2
U  P=C
N −1
∑0
exp −i k  ma 
[∫ exp  −i k   
d ]
Direzione di massima interferenza

 m =sin =m
a
Direzione di incidenza
Reticolo
Reticolo di diffrazione
N −1
∑0
U  P=C
exp −i k  ma 
[∫ exp  −i k   
d ]
Tralasciamo l'integrale di diffrazione, per adesso,
N −1
∑0
−ik  N a /2
1−e−ik  N a
exp  −i k  m a  =
=
−ik  a
1−e
ik  N a/ 2
−ik  N a /2
−ik  N a / 2
e
e
−e
e
sin k  N a / 2
= −ik  a / 2
−ik  a / 2
ik  a/ 2
−ik  a / 2
sin k  a/ 2
e
e
−e
e

sin k  N a/ 2
∣U  P∣ ∝
sin k  a/ 2
2

2

sin k  N a /2
f  =
sin k  a /2
Minimi (si annulla k  N a
=m
il numeratore):
2
Massimi principali (quando si annulla numeratore e denominatore):

2

 N a=m


 =m
a

=m
Na
f  m =N
Direzione di massima interferenza

 m =sin =m
a
Direzione di incidenza
Reticolo
2
N=2
N=
100
N = 10
La scala orizzontale è la stessa
Il massimo aumenta come N 2
La larghezza delle frange diminuisce come 1/N
Monocromatore a reticolo
sin θ=m λ
a
m≠0
Luce policromatica
A parte per l'ordine zero la relazione di interferenza dipende dalla lunghezza d'onda
Il reticolo ha un effetto dispersivo con una risoluzione in lunghezza d'onda tanto maggiore quanto maggiore è N
http://courses.umass.edu/plecprep/modern/7b1010.html
Monocromatore a reticolo
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Czerny-turner.png
La dispersione spaziale aumenta all'aumentare della lunghezza focale degli specchi
Spettrometro
È mostrato l'ordine zero e il primo ordine
Lunghezza d'onda selezionata dal micrometro 587.6 nm
http://www.repairfaq.org/
sam/laserlia.htm
Possibile reticolo in riflessione
Reticolo “blazed”
γ
a
a
La figura di diffrazione ruota di 2 γ
mentre le frange di interferenza non variano la loro direzione
φ
φ
θ
θ
Così possiamo aumentare il segnale osservato agli ordini m>0
θ è considerato positivo se è dal lato opposto di φ rispetto alla normale
γ
a sin φ
a sin θ
φ
θ
a (sin φ − sin θ ) = m λ
http://assets.newport.com/webDocuments-EN/images/Monochromators_Spectrographs.PDF
La convenzione dei segni è invertita nel testo di Hecht
a (sin φ − sin θ ) = m λΧ
Il primo ordine di λ si sovrappone con il secondo di λ/2
(m+1) λ= m (λ+∆λ)
Free spectral range FSR
∆λ=λ/m
Risoluzione teorica del reticolo
Secondo il criterio di Rayleigh: λ1 e λ2 sono appena risolte se il massimo della prima frangia coincide con il minimo dell'altra
Δ (sin θ)=cos θ Δ θ= λ
Na
m λ=a(sin ϕ−sin θ)
∣m∣ Δ λ=a cos θ Δ θ=a λ
Na
Δ λ= λ
∣m∣ N
Potere risolutivo
λ = Na sin θ=∣m∣ N
Δλ λ
Risoluzione teorica del reticolo
Potere risolutivo
R= λ =∣m∣ N
Δλ
a (sin ϕ−sin θ)
m=
λ
Na∣(sin ϕ−sin θ)∣ W ∣(sin ϕ−sin θ)∣ 2W
λ
R=
=
=
≤
Δλ
λ
λ
λ
W è la larghezza della parte illuminata del reticolo
Con λ = 500 nm, 1/a=1200 linee/mm,
R=60000 (se m=1, W= 5 cm) Newport Oriel 77781
∆λ = 0.008 nm
in centimetri inversi:
1
1
Δ
= 2 Δ λ=0.3 cm−1
λ λ
( )
Dispersione angolare del reticolo
(consideriamo fisso langolo di incidenza)
m =a sin 
m d =a cos d 
dθ
m
=
d λ a cosθ
1/a si misura in “linee per millimetro”, tipicamente
da 600 a 2000
La dispersione spaziale aumenta all'aumentare della lunghezza focale degli specchi
dx
dθ
mf
=f
f=
dλ
dλ
a cos θ
Per sfruttare le prestazioni dello spettrometro al massimo, le fenditure di ingresso e uscita devono essere più strette possibile
Risoluzione effettiva dello spettrometro
Se le focali dei due specchi sono uguali l'ingrandimento è 1.
L'estensione dell'immagine della fenditura in uscita dà la risoluzione effettiva.
a cos θ
Δ λ=
Δx
mf
cos θ≈1,
m=1,
Newport Oriel 77781
dθ
mf
Δ x=f Δ θ=f
Δ λ=
Δλ
dλ
a cos θ
(presuppone che il pixel del CCD sia inferiore)
1
Δ x=25 μ m
=1200 l/mm
a
→Δ λ=0.08 nm
vicini ai 0.1 nm misurati (3.3 cm­1 a 500 nm)
occorre tener conto delle aberrazioni geometriche
f =25 cm
Illuminazione dello spettrometro
Apertura numerica
NA= n sin θ
f­number
f/# = f/D
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Numerical_aperture.svg
1
per angoli piccoli f /#≈
2 NA
1
Φ (W)∝
2
(f /#)
f/# = 3.9
Raman setup
(Mario Santoro,
LENS, Firenze)
Device
under test
CCD
Notch filter
Laser Kr CW 647 nm, 750 nm
Taratura dello spettrometro
Lampada al neon
Pin-hole
Taratura dello spettrometro
Nota, la larghezza di riga è strumentale non effettiva(1/100 nm),
qui interessa la posizione dei picchi