Dispense del Corso di
SCIENZA DELLE COSTRUZIONI
Prof. Daniele Zaccaria
Dipartimento di Ingegneria Civile e Architettura
Università di Trieste
Piazzale Europa 1, Trieste
Sollecitazioni semplici
Corsi di Laurea in
Ingegneria Civile e Ambientale
Ingegneria Industriale
Ingegneria Navale
Dipartimento di Ingegneria Civile e Architettura
Trieste, 18 agosto 2011
4.1.2 Condizioni di snervamento . . . . . . . .
4.1.3 Esercizio su una trave IPE . . . . . . . . .
4.2 Sezioni composte di più materiali . . . . . . . .
4.2.1 Omogeneizzazione . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Sezione rettangolare in cemento armato
4.3 Cenni al calcolo a rottura . . . . . . . . . . . . . .
Indice
1 Tensioni nelle travi
1.1 Tensione normale . . . . . .
1.2 Tensione tangenziale . . . .
1.3 Criteri di snervamento . . .
1.3.1 Tensione normale . .
1.3.2 Tensione tangenziale
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2 Forza normale centrata
2.1 Sezioni omogenee . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Integrazione in un campo di spostamenti
2.1.2 Condizioni di snervamento . . . . . . . . .
2.2 Sezioni composte di più materiali . . . . . . . . .
2.3 Concentrazioni di sforzo . . . . . . . . . . . . . . .
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3 Aste compresse
3.1 Biforcazione dell’equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Verifica di sicurezza di profilati metallici compressi . . . . . . .
3.3 Calcolo dei carichi critici col metodo statico . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Asta di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Mensola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 Trave incastro-appoggio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.4 Trave incastrata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.5 Trave incastrata ad una estremità ed impedita di ruotare
all’altra estremità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.6 Schemi riassuntivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.7 Portali con traversi infinitamente rigidi . . . . . . . . . . .
3.4 Limiti di validità della formula di Eulero . . . . . . . . . . . . . .
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4 Flessione retta
4.1 Sezioni omogenee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Integrazione in un campo di spostamenti . . . . . . . . .
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SdC Sollecitazioni semplici — 18 agosto 2011
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6 Forza normale eccentrica
6.1 Asse neutro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Tensione normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Formule binomia e monomia . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.2 Formula trinomia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.3 Diagramma delle tensioni normali nel caso omogeneo
6.3 Antipolarità di inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.1 Equazione segmentaria dell’asse neutro . . . . . . . . .
6.3.2 antipolo e antipolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.3 Prime proprietà dell’antipolarità di inerzia . . . . . . .
6.3.4 Teorema di reciprocità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.5 Polarità di inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Esercizio: sezione composta di due rettangoli . . . . . . . . . .
6.5 Esercizio: sezione circolare composta di due materiali . . . .
6.6 Nocciolo centrale di inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6.1 Contorno del nocciolo quale luogo di punti . . . . . . .
6.6.2 Contorno del nocciolo quale inviluppo di rette . . . . .
6.6.3 Corrispondenza tra vertici e segmenti . . . . . . . . . .
6.6.4 Sezione rettangolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6.5 Convessità del nocciolo centrale di inerzia . . . . . . . .
6.6.6 Sezione non reagente a trazione . . . . . . . . . . . . . .
6.7 Sistema di masse-momenti statici . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5 Flessione deviata
5.1 Relazioni nel sistema principale (formula binomia)
5.2 Relazioni nel sistema coniugato (formula monomia)
Proprietà del coniugio . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Sezioni omogenee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Proprietà dell’ellisse centrale di inerzia . . . . . . . .
Proprietà delle tangenti . . . . . . . . . . . . .
Proprietà dei semidiametri . . . . . . . . . . .
5.5 Esercizio (sezione rettangolare con un intaglio) . . .
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iv Indice
SdC Sollecitazioni semplici — 18 agosto 2011
6.7.1 Sezione rettangolare in cemento armato a doppia
armatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.8 Pressoflessione nelle travi snelle (teoria del secondo ordine) . .
6.8.1 Esempio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.8.2 Esempio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 Torsione
7.1 La sezione circolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 La sezione circolare cava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.1 Esempio (mensola di sezione circolare cava) . . . . . .
7.3 La torsione nelle travi di sezione sottile chiusa . . . . . . . .
7.3.1 Esempio (sezione scatolare di forma rettangolare) . .
7.3.2 Fattore torsionale di rigidezza . . . . . . . . . . . . . .
7.3.3 La torsione nelle sezioni sottili chiuse pluriconnesse
7.4 La torsione nelle travi di sezione sottile aperta . . . . . . . .
7.4.1 La sezione rettangolare sottile . . . . . . . . . . . . . .
7.4.2 La sezione sottile generica . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.3 Semicirconferenza sottile . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.4 La sezione a C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.4.1 Funzione di ingobbamento . . . . . . . . . . .
7.4.4.2 Centro di taglio . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.4.3 Esempio numerico . . . . . . . . . . . . . . . .
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8 Taglio
8.1 Centro di taglio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Formula di Jourawski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.1 Formula di Jourawski binomia . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.2 Formula di Jourawski monomia . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.3 Esercizio: sezione a doppio T . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Il taglio nelle travi di sezione compatta simmetrica . . . . . . .
8.3.1 Sezione rettangolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.2 Sezione circolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.3 Esercizio: sezione triangolare equilatera . . . . . . . . . .
8.4 Il taglio nelle travi di sezione sottile aperta . . . . . . . . . . . .
8.4.1 Fattori di taglio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.2 Andamento qualitativo del diagramma delle tensioni
tangenziali su tratti rettilinei a spessore costante . . . .
8.4.3 Equilibrio in un nodo triplo . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.4 La sezione a doppio T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Prof.Daniele Zaccaria
8.4.5 La sezione a L a lati uguali . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.6 La sezione a C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.6.1 Taglio Ty passante per il centro di taglio
8.4.6.2 Centro di taglio . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.6.3 Taglio Tx passante per il centro di taglio
8.4.7 Sezione a Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5 Il taglio nelle travi di sezione sottile chiusa simmetrica .
8.5.1 Esempio (sezione scatolare di forma rettangolare)
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Capitolo 1
1.1 Tensione normale
Tensioni nelle travi
Sollecitazioni semplici — 18 agosto 2011
1
2 Capitolo 1. Tensioni nelle travi
Sollecitazioni semplici — 18 agosto 2011
1.2 Tensione tangenziale
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Sollecitazioni semplici — 18 agosto 2011
Capitolo 1. Tensioni nelle travi
3
4 Capitolo 1. Tensioni nelle travi
Sollecitazioni semplici — 18 agosto 2011
1.3.1 Tensione normale
1.3 Criteri di snervamento
Prof.Daniele Zaccaria
Prof.Daniele Zaccaria
1.3.2 Tensione tangenziale
Sollecitazioni semplici — 18 agosto 2011
Capitolo 1. Tensioni nelle travi
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6 Capitolo 1. Tensioni nelle travi
Sollecitazioni semplici — 18 agosto 2011
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2.1 Sezioni omogenee
Capitolo 2
Forza normale centrata
2.1.1 Integrazione in un campo di spostamenti
Sollecitazioni semplici — 18 agosto 2011
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8 Capitolo 2. Forza normale centrata
Sollecitazioni semplici — 18 agosto 2011
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Sollecitazioni semplici — 18 agosto 2011
Capitolo 2. Forza normale centrata
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10 Capitolo 2. Forza normale centrata
2.1.2 Condizioni di snervamento
Sollecitazioni semplici — 18 agosto 2011
Prof.Daniele Zaccaria
2.2 Sezioni composte di più materiali
Prof.Daniele Zaccaria
Sollecitazioni semplici — 18 agosto 2011
Capitolo 2. Forza normale centrata
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12 Capitolo 2. Forza normale centrata
2.3 Concentrazioni di sforzo
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Sollecitazioni semplici — 18 agosto 2011
Capitolo 2. Forza normale centrata
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14 Capitolo 2. Forza normale centrata
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Capitolo 3
3.1 Biforcazione dell’equilibrio
Aste compresse
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16 Capitolo 3. Aste compresse
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Sollecitazioni semplici — 18 agosto 2011
Capitolo 3. Aste compresse
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3.2 Verifica di sicurezza di profilati metallici
compressi
18 Capitolo 3. Aste compresse
Sollecitazioni semplici — 18 agosto 2011
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3.3 Calcolo dei carichi critici col metodo
statico
3.3.1 Asta di Eulero
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Capitolo 3. Aste compresse
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20 Capitolo 3. Aste compresse
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Sollecitazioni semplici — 18 agosto 2011
Capitolo 3. Aste compresse
21
22 Capitolo 3. Aste compresse
Sollecitazioni semplici — 18 agosto 2011
3.3.2 Mensola
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Sollecitazioni semplici — 18 agosto 2011
Capitolo 3. Aste compresse
3.3.3 Trave incastro-appoggio
23
24 Capitolo 3. Aste compresse
Sollecitazioni semplici — 18 agosto 2011
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Sollecitazioni semplici — 18 agosto 2011
Capitolo 3. Aste compresse
25
26 Capitolo 3. Aste compresse
Sollecitazioni semplici — 18 agosto 2011
3.3.4 Trave incastrata
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Sollecitazioni semplici — 18 agosto 2011
Capitolo 3. Aste compresse
27
3.3.5 Trave incastrata ad una estremità ed impedita di
ruotare all’altra estremità
28 Capitolo 3. Aste compresse
Sollecitazioni semplici — 18 agosto 2011
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3.3.6 Schemi riassuntivi
3.3.7 Portali con traversi infinitamente rigidi
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Capitolo 3. Aste compresse
3.4 Limiti di validità della formula di Eulero
29
30 Capitolo 3. Aste compresse
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Capitolo 4
Flessione retta
4.1 Sezioni omogenee
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32 Capitolo 4. Flessione retta
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4.1.1 Integrazione in un campo di spostamenti
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Capitolo 4. Flessione retta
33
34 Capitolo 4. Flessione retta
Sollecitazioni semplici — 18 agosto 2011
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Sollecitazioni semplici — 18 agosto 2011
Capitolo 4. Flessione retta
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36 Capitolo 4. Flessione retta
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Sollecitazioni semplici — 18 agosto 2011
Capitolo 4. Flessione retta
4.1.2 Condizioni di snervamento
37
38 Capitolo 4. Flessione retta
4.1.3 Esercizio su una trave IPE
Sollecitazioni semplici — 18 agosto 2011
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Sollecitazioni semplici — 18 agosto 2011
Capitolo 4. Flessione retta
4.2 Sezioni composte di più materiali
4.2.1 Omogeneizzazione
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40 Capitolo 4. Flessione retta
Sollecitazioni semplici — 18 agosto 2011
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4.2.2 Sezione rettangolare in cemento armato
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Sollecitazioni semplici — 18 agosto 2011
Capitolo 4. Flessione retta
41
42 Capitolo 4. Flessione retta
Sollecitazioni semplici — 18 agosto 2011
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Sollecitazioni semplici — 18 agosto 2011
Capitolo 4. Flessione retta
4.3 Cenni al calcolo a rottura
43
44 Capitolo 4. Flessione retta
Sollecitazioni semplici — 18 agosto 2011
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Sollecitazioni semplici — 18 agosto 2011
Capitolo 4. Flessione retta
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46 Capitolo 4. Flessione retta
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Capitolo 5
Flessione deviata
5.1 Relazioni nel sistema principale (formula
binomia)
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48 Capitolo 5. Flessione deviata
Sollecitazioni semplici — 18 agosto 2011
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5.2 Relazioni nel sistema coniugato
(formula monomia)
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Sollecitazioni semplici — 18 agosto 2011
Capitolo 5. Flessione deviata
49
50 Capitolo 5. Flessione deviata
Sollecitazioni semplici — 18 agosto 2011
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Prof.Daniele Zaccaria
5.3 Sezioni omogenee
Sollecitazioni semplici — 18 agosto 2011
Capitolo 5. Flessione deviata
51
52 Capitolo 5. Flessione deviata
Sollecitazioni semplici — 18 agosto 2011
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5.4 Proprietà dell’ellisse centrale di inerzia
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Sollecitazioni semplici — 18 agosto 2011
Capitolo 5. Flessione deviata
53
54 Capitolo 5. Flessione deviata
Sollecitazioni semplici — 18 agosto 2011
5.5 Esercizio (sezione rettangolare con un
intaglio)
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Sollecitazioni semplici — 18 agosto 2011
Capitolo 5. Flessione deviata
55
56 Capitolo 5. Flessione deviata
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Sollecitazioni semplici — 18 agosto 2011
Capitolo 5. Flessione deviata
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58 Capitolo 5. Flessione deviata
Sollecitazioni semplici — 18 agosto 2011
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Capitolo 6
Forza normale eccentrica
6.1 Asse neutro
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60 Capitolo 6. Forza normale eccentrica
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Sollecitazioni semplici — 18 agosto 2011
Capitolo 6. Forza normale eccentrica
6.2 Tensione normale
6.2.1 Formule binomia e monomia
6.2.2 Formula trinomia
61
62 Capitolo 6. Forza normale eccentrica
Sollecitazioni semplici — 18 agosto 2011
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6.2.3 Diagramma delle tensioni normali nel caso
omogeneo
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Sollecitazioni semplici — 18 agosto 2011
Capitolo 6. Forza normale eccentrica
6.3 Antipolarità di inerzia
6.3.1 Equazione segmentaria dell’asse neutro
63
64 Capitolo 6. Forza normale eccentrica
Sollecitazioni semplici — 18 agosto 2011
6.3.2 antipolo e antipolare
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Sollecitazioni semplici — 18 agosto 2011
Capitolo 6. Forza normale eccentrica
6.3.3 Prime proprietà dell’antipolarità di inerzia
6.3.4 Teorema di reciprocità
65
66 Capitolo 6. Forza normale eccentrica
Sollecitazioni semplici — 18 agosto 2011
6.3.5 Polarità di inerzia
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Sollecitazioni semplici — 18 agosto 2011
Capitolo 6. Forza normale eccentrica
6.4 Esercizio: sezione composta di due
rettangoli
67
68 Capitolo 6. Forza normale eccentrica
Sollecitazioni semplici — 18 agosto 2011
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Sollecitazioni semplici — 18 agosto 2011
Capitolo 6. Forza normale eccentrica
69
70 Capitolo 6. Forza normale eccentrica
Sollecitazioni semplici — 18 agosto 2011
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Prof.Daniele Zaccaria
Sollecitazioni semplici — 18 agosto 2011
6.5 Esercizio: sezione circolare composta di
due materiali
Capitolo 6. Forza normale eccentrica
71
72 Capitolo 6. Forza normale eccentrica
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74 Capitolo 6. Forza normale eccentrica
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6.6 Nocciolo centrale di inerzia
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6.6.1 Contorno del nocciolo quale luogo di punti
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76 Capitolo 6. Forza normale eccentrica
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6.6.2 Contorno del nocciolo quale inviluppo di rette
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6.6.3 Corrispondenza tra vertici e segmenti
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78 Capitolo 6. Forza normale eccentrica
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6.6.4 Sezione rettangolare
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80 Capitolo 6. Forza normale eccentrica
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6.6.5 Convessità del nocciolo centrale di inerzia
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Capitolo 6. Forza normale eccentrica
6.6.6 Sezione non reagente a trazione
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82 Capitolo 6. Forza normale eccentrica
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6.7 Sistema di masse-momenti statici
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84 Capitolo 6. Forza normale eccentrica
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86 Capitolo 6. Forza normale eccentrica
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6.7.1 Sezione rettangolare in cemento armato a doppia
armatura
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88 Capitolo 6. Forza normale eccentrica
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6.8 Pressoflessione nelle travi snelle (teoria
del secondo ordine)
6.8.1 Esempio 1
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90 Capitolo 6. Forza normale eccentrica
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6.8.2 Esempio 2
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92 Capitolo 6. Forza normale eccentrica
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Capitolo 7
7.1 La sezione circolare
Torsione
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94 Capitolo 7. Torsione
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7.2 La sezione circolare cava
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Capitolo 7. Torsione
7.2.1 Esempio (mensola di sezione circolare cava)
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96 Capitolo 7. Torsione
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7.3 La torsione nelle travi di sezione sottile
chiusa
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Capitolo 7. Torsione
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98 Capitolo 7. Torsione
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7.3.1 Esempio (sezione scatolare di forma
rettangolare)
Capitolo 7. Torsione
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100 Capitolo 7. Torsione
7.3.2 Fattore torsionale di rigidezza
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Capitolo 7. Torsione
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102 Capitolo 7. Torsione
7.3.3 La torsione nelle sezioni sottili chiuse
pluriconnesse
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Capitolo 7. Torsione
103
104 Capitolo 7. Torsione
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7.4 La torsione nelle travi di sezione sottile
aperta
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Capitolo 7. Torsione
7.4.1 La sezione rettangolare sottile
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106 Capitolo 7. Torsione
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Capitolo 7. Torsione
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108 Capitolo 7. Torsione
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7.4.2 La sezione sottile generica
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Capitolo 7. Torsione
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110 Capitolo 7. Torsione
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Capitolo 7. Torsione
111
112 Capitolo 7. Torsione
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7.4.3 Semicirconferenza sottile
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Capitolo 7. Torsione
113
114 Capitolo 7. Torsione
7.4.4 La sezione a C
7.4.4.1 Funzione di ingobbamento
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7.4.4.2 Centro di taglio
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Capitolo 7. Torsione
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116 Capitolo 7. Torsione
7.4.4.3 Esempio numerico
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Capitolo 8
Taglio
8.1 Centro di taglio
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118 Capitolo 8. Taglio
8.2 Formula di Jourawski
8.2.1 Formula di Jourawski binomia
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Capitolo 8. Taglio
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120 Capitolo 8. Taglio
8.2.2 Formula di Jourawski monomia
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Capitolo 8. Taglio
8.2.3 Esercizio: sezione a doppio T
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122 Capitolo 8. Taglio
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8.3 Il taglio nelle travi di sezione compatta
simmetrica
Capitolo 8. Taglio
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124 Capitolo 8. Taglio
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8.3.1 Sezione rettangolare
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Capitolo 8. Taglio
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126 Capitolo 8. Taglio
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8.3.2 Sezione circolare
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128 Capitolo 8. Taglio
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Capitolo 8. Taglio
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130 Capitolo 8. Taglio
8.3.3 Esercizio: sezione triangolare equilatera
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132 Capitolo 8. Taglio
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8.4 Il taglio nelle travi di sezione sottile
aperta
Capitolo 8. Taglio
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134 Capitolo 8. Taglio
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Capitolo 8. Taglio
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136 Capitolo 8. Taglio
8.4.1 Fattori di taglio
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8.4.2 Andamento qualitativo del diagramma delle
tensioni tangenziali su tratti rettilinei a spessore
costante
Capitolo 8. Taglio
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138 Capitolo 8. Taglio
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8.4.3 Equilibrio in un nodo triplo
Capitolo 8. Taglio
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140 Capitolo 8. Taglio
8.4.4 La sezione a doppio T
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Capitolo 8. Taglio
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142 Capitolo 8. Taglio
8.4.5 La sezione a L a lati uguali
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8.4.6 La sezione a C
Capitolo 8. Taglio
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144 Capitolo 8. Taglio
8.4.6.1 Taglio Ty passante per il centro di taglio
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Capitolo 8. Taglio
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146 Capitolo 8. Taglio
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8.4.6.2 Centro di taglio
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Capitolo 8. Taglio
8.4.6.3 Taglio Tx passante per il centro di taglio
147
148 Capitolo 8. Taglio
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8.4.7 Sezione a Z
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Capitolo 8. Taglio
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150 Capitolo 8. Taglio
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152 Capitolo 8. Taglio
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8.5 Il taglio nelle travi di sezione sottile
chiusa simmetrica
Capitolo 8. Taglio
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154 Capitolo 8. Taglio
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8.5.1 Esempio (sezione scatolare di forma
rettangolare)
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156 Capitolo 8. Taglio
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