T1
B̂
B
M
Ĉ
Â
C
A
N
ω
T2
RETTIFICHE E SPOSTAMENTI
INDICE
 Concetti generali
RETTIFICHE
 Confine bilatero ABC con un confine rettilineo uscente dal vertice A
 Confine bilatero ABC con un confine rettilineo MN uscente da un punto M in posizione nota sul confine laterale
 Confine bilatero ABC con un confine rettilineo MN parallelo ad una data direzione r
 Confine poligonale con un confine rettilineo uscente dal vertice A
 Confine poligonale con un confine rettilineo MN uscente da un punto M in posizione nota sul confine laterale
 Confine poligonale con un confine rettilineo MN parallelo ad una data direzione r
SPOSTAMENTI
 Confine rettilineo AB con un confine MN uscente da un punto M in posizione nota sul confine laterale
 Confine rettilineo AB con un confine MN parallelo ad una data direzione r
Concetti generali
Rettificare un confine significa sostituire un confine
(bilatero, poligonale, curvilineo) con un confine rettilineo
Spostare un confine rettilineo consiste nel sostituirlo con un
altro confine rettilineo di direzione diversa
Sia le rettifiche che le sostituzioni si realizzano lasciando
inalterate
le
aree
dei
fondi
confinanti
(compenso),
cambiando solamente la loro configurazione geometrica
Negli esempi che seguono considereremo noti tutti gli
elementi misurati, lati e angoli, utili alla risoluzione del
problema
RETTIFICHE
CASO 1
ELEMENTI NOTI
Rettifica di un confine bilatero con un confine
distanze
rettilineo di compenso uscente dal vertice A. Metodo
angoli
AB
BC
A
B
C
grafico
Si congiunge A con C e da B si traccia la
parallela ad AC, che interseca il confine
T1
laterale nel punto M.
AM
è
il
nuovo
confine
rettilineo
di
B
compenso perchè i due triangoli ABC e
AMC,
appartenenti
tutti
e
due
al
h
proprietario T2 hanno stessa area (uguale
base b e uguale altezza relativa h)
M
A
h
C
b
T2
CASO 1
ELEMENTI NOTI
Rettifica di un confine bilatero con un confine
distanze
rettilineo di compenso uscente dal vertice A. Metodo
angoli
AB
BC
A
B
C
analitico
T1
B
B̂
M
B̂1
Ĉ
Â
A
AC
T2
Ĉ1
C
CASO 2
ELEMENTI NOTI
Rettifica di un confine bilatero con un confine
distanze
rettilineo di compenso MN uscente da un punto M in
angoli
posizione nota sul confine laterale
è nota la distanza AM del vertice M del nuovo confine da A
In
questo
caso
l’area
del
triangolo
AB
BC
A
B
C
ABC
appartenente a T2 deve essere uguale all’area del
quadrilatero MACN
Dopo aver calcolato tutti gli elementi del
triangolo
ABC,
l’incognita
CN
si
T1
ottiene
applicando al quadrilatero la formula inversa di
camminamento:
B̂
B
distanza AM nota
N
M
SMACN = 0.5 x [MA x AC x sen MÂC + AC x CN x
Ĉ
Â
sen AĈN – MA x CN x sen (MÂC + AĈN)]
C
A
CN = (2 x SMAC – MA x AC x sen MÂC) /
[(AC x sen AĈN – MA x sen (MÂC + AĈN)]
T2
CASO 2
ELEMENTI NOTI
Rettifica di un confine bilatero con un confine
distanze
rettilineo di compenso MN uscente da un punto M in
angoli
posizione nota sul confine laterale
è nota la distanza AM del vertice M del nuovo confine da A
AB
BC
A
B
C
T1
B
B̂
N
B̂1
M
Â
A
Â1
AĈN
MÂC
T2
Ĉ
Ĉ1
C
CASO 3
ELEMENTI NOTI
Rettifica di un confine bilatero con un confine
distanze
rettilineo di compenso MN parallelo ad una data
angoli
direzione r
la direzione r è data dalla misura dell’angolo ω rispetto ad uno dei confini laterali
AB
BC
A
B
C
T1
Questo caso può risolversi:
B̂
• Applicando il metodo del trapezio
• Lavorando con il teorema dei seni
B
M
Ĉ
Â
C
A
N
ω
T2
CASO 3.1
ELEMENTI NOTI
Rettifica di un confine bilatero con un confine
distanze
rettilineo di compenso MN parallelo ad una data
angoli
direzione r
la direzione r è data dalla misura dell’angolo ω rispetto ad uno dei confini laterali
AB
BC
A
B
C
METODO DEL TRAPEZIO
Per risolvere il problema è possibile tracciare un confine
provvisorio AE parallelo alla direzione data calcolando
T1
tutti gli elementi incogniti del quadrilatero ABCE e l’area
SABCE appartenente a T2. Per trovare la posizione del nuovo
confine MN è necessario che le due aree, quella del
B̂
B
quadrilatero ABCE e quella del trapezio MAEN risultino
M
uguali:
SABCE = SMAEN = 0.5 x (AE + MN) x h
trigonometriche
calcolare
principali del problema AM e EN
le
due
C
A
Calcolata l’altezza h del trapezio sarà possibile con le
funzioni
Ĉ
Â
incognite
N
ω
T2
h
E
CASO 3.1
ELEMENTI NOTI
Rettifica di un confine bilatero con un confine
distanze
rettilineo di compenso MN parallelo ad una data
angoli
direzione r
la direzione r è data dalla misura dell’angolo ω rispetto ad uno dei confini laterali
AB
BC
A
B
C
METODO DEL TRAPEZIO
SMAEN = 0.5 x (AE + MN) x h
in questa equazione sono presenti due incognite MN e h. Ma:
MN = AE – (AM’ + N’E)
M
tan  = h/AM’ ---> AM’ = h/tan Â
N
tan Ê = h/N’E ---> N’E = h/tan Ê
h
sostituendo:
MN = AE – h x (1/tang  + 1/tang Ê)
e sostituendo in SMADN otteniamo:
Â
A
SMAEN = 0.5 x [AE + AE – h x (1/tan  + 1/tan Ê)] x h
ordinando otteniamo una equazione di 2° grado avente come
incognita l’altezza h del trapezio:
h2 x (1/tan  +1/tan Ê) – 2 x AE x h + 2 x SMAEN = 0
Delle due soluzioni si sceglie quella positiva; se lo sono
entrambe la soluzione esatta è quella che più si avvicina al
rapporto SMAEN/AE. Nota h, nei due triangoli rettangoli
MAM’ e NN’E, con la funzione seno è possibile calcolare le
due incognite del problema, AM e EN
h
M’
Ê
N’
E
CASO 3.2
ELEMENTI NOTI
Rettifica di un confine bilatero con un confine
distanze
rettilineo di compenso MN parallelo ad una data
angoli
direzione r
la direzione r è data dalla misura dell’angolo ω rispetto ad uno dei confini laterali
AB
BC
A
B
C
F
F̂
RISOLUZIONE CON IL T. DEI SENI
Se i confini laterali si incontrano nel punto F, è possibile
T1
calcolare l’area dell’appezzamento appartenente a T1
(che si ottiene sottraendo all’area del triangolo AFC,
l’area del triangolo ABC appartenente a T2). Quest’area
B̂
dovrà essere uguale a quella del triangolo MFN sempre
appartenente a T1. Di questo triangolo sono noti i tre
angoli (M corrispondente alla direzione assegnata, F
calcolato, N per differenza)
B
N̂
M̂
M
Ĉ
Â
A
ω
N
C
r
T2
CASO 3.2
ELEMENTI NOTI
Rettifica di un confine bilatero con un confine
distanze
rettilineo di compenso MN parallelo ad una data
angoli
direzione r
la direzione r è data dalla misura dell’angolo ω rispetto ad uno dei confini laterali
AB
BC
A
B
C
F
F̂
T1
B̂
B
M̂
M
N̂
B̂1
Ĉ
Â
A
Ĉ1
Â1
ω
r
T2
N
C
CASO 4
ELEMENTI NOTI
Rettifica di un confine poligonale con un confine
rettilineo di compenso uscente dal vertice A
distanze
angoli
AB
BC
CD
DE
A
B
C
D
Per determinare la posizione del nuovo confine rettilineo
E
T1
(distanza di M dal vertice E) è necessario risolvere la
poligonale ABCDE rispetto ad un sistema di riferimento
con origine in A e semiasse positivo delle X diretto come il
lato AB. Dopo aver calcolato azimut, coordinate è possibile
calcolare,
con
Gauss,
l’area
del
contorno
E
poligonale
compreso tra la poligonale e la congiungente AE (che
appartiene a T1). Quest’area dovrà risultare uguale a quella
D
A
M
del triangolo AEM, in cui AM rappresenta il nuovo confine
rettilineo di compenso
B
C
T2
CASO 4
Rettifica di un confine poligonale con un confine
rettilineo di compenso uscente dal vertice A
ELEMENTI NOTI
distanze
angoli
AB
BC
CD
DE
A
B
C
D
E
T1
E
D
A
M
B
C
T2
CASO 4
ELEMENTI NOTI
Rettifica di un confine poligonale con un confine
rettilineo di compenso uscente dal vertice A
distanze
angoli
AB
BC
CD
DE
A
B
C
D
E
PARTICOLARE CALCOLO ANGOLO Ê2
Ê 2 = ( EA ) - (ED)
T1
E
( EA )
Ê
( ED )
E
Ê 2
Ê 1
MÊA
D
A
M
B
C
T2
CASO 4.1
Rettifica di un confine poligonale con un confine
rettilineo di compenso uscente dal vertice A
ELEMENTI NOTI
distanze
angoli
AB
BC
CD
DE
A
B
C
D
E
Nel caso in cui la congiungente gli estremi della poligonale AE
interseca la poligonale stessa in uno o più punti si procede in maniera
leggermente diversa dal caso precedente. Dopo aver risolto la
poligonale con il calcolo degli azimut e delle coordinate è necessario
T1
calcolare, con Gauss l’area del contorno poligonale ABCDEA, formata
da triangoli e quadrilateri appartenenti ai proprietari T1 e T2.
E
C
Applicando Gauss si ottiene un’area che risulta essere la differenza
-
della somma algebrica tra le aree positive (percorse in senso
R
P
antiorario) e quelle negative (percorse in senso orario). Se l’area così
calcolata risultasse uguale a zero, la somma dei due triangoli ABP e
RDE, appartenenti a T1 risulterebbe uguale a quella del triangolo PCR
appartenente a T2. Il nuovo confine sarebbe proprio la congiungente
AE.
+
D
A
+
T2
B
CASO 4.1
ELEMENTI NOTI
Rettifica di un confine poligonale con un confine
rettilineo di compenso uscente dal vertice A
distanze
angoli
AB
BC
CD
DE
A
B
C
D
E
Se tale ipotesi non risulta soddisfatta si dovrà analizzare quale
delle due aree risulti maggiore. Se l’area che si ottiene è positiva,
significa che l’area somma dei due triangoli
ABP e RDE (T1),
risulta maggiore di quella del triangolo PCR (T2). Se il confine
T1
fosse quello delimitato dalla congiungente AE, il proprietario T1
perderebbe del terreno. Per compensare la differenza di aree, il
-
tale che l’area del triangolo AME, risulti uguale a quella che si
P
ottiene dalla formula di Gauss.
A
SABCDEA = SAEM
triangolo AEM per calcolare l’incognita del problema EM
R
+
MÊA
M
D
+
B
Da questo punto in poi si procede come nel caso n° 4, risolvendo il
E
C
nuovo confine AM, dovrà essere ruotato verso il basso, in modo
T2
CASO 4.1 APPLICAZIONE
Rettifica di un confine poligonale con un confine
rettilineo di compenso uscente dal vertice A
ELEMENTI NOTI
distanze
angoli
AB
BC
CD
DE
A
B
C
D
E
T1
C
P
E
R
M
D
A
B
T2
CASO 5
ELEMENTI NOTI
Rettifica di un confine poligonale con un confine
distanze
rettilineo di compenso uscente da un punto in
angoli
posizione nota sul confine laterale
è nota la distanza AM del vertice M del nuovo confine da A
AB
BC
CD
A
B
C
D
In questo caso è necessario risolvere la poligonale
rispetto ad un sistema cartesiano con origine nel punto M
e semiasse positivo delle X diretto verso A (si considera
T1
MA noto come il primo lato della poligonale). Dopo aver
calcolato le coordinate, si calcola con Gauss, l’area del
D
D̂
contorno poligonale MABCDM (T1). Quest’area dovrà
M
essere uguale a quella del triangolo MDN (T1)
distanza AM nota
SMABCDM = SMDN
A
+
Â
Ĉ
Da questo punto in poi si procede come nel caso n° 4,
B̂
risolvendo il triangolo MDN per calcolare l’incognita del
problema DM
B
T2
C
N
CASO 5
ELEMENTI NOTI
Rettifica di un confine poligonale con un confine
distanze
rettilineo di compenso uscente da un punto in
angoli
posizione nota sul confine laterale
è nota la distanza AM del vertice M del nuovo confine da A
AB
BC
CD
A
B
C
D
T1
D
D̂
M
D̂2
D̂1
ND̂M
distanza AM nota
A
Â
+
B̂
B
T2
Ĉ
C
N
CASO 6
ELEMENTI NOTI
Rettifica di un confine poligonale con un confine
distanze
rettilineo di compenso MN parallelo ad una
angoli
direzione data r
la direzione r è data dalla misura dell’angolo ω rispetto ad uno dei confini laterali
AB
BC
CD
A
B
C
D
Per determinare la posizione del nuovo confine MN è
necessario tracciare un confine provvisorio, che non
intersechi
il
confine
poligonale,
avente
la
stessa
P
direzione di r. Sia PD il confine provvisorio prescelto. È
T1
necessario prima di tutto risolvere la poligonale ABCD e
D
calcolare con Gauss, l’area del contorno poligonale ABCDA
M
(T1). Successivamente si deve poi risolvere e calcolare
l’area del triangolo PAD (T1). La somma di queste due
+
A
C
aree dovrà essere uguale a quella del trapezio MNDP
sempre appartenente a T1
B
r
T2
N
CASO 6
ELEMENTI NOTI
Rettifica di un confine poligonale con un confine
distanze
rettilineo di compenso MN parallelo ad una
angoli
direzione data r
la direzione r è data dalla misura dell’angolo ω rispetto ad uno dei confini laterali
AB
BC
CD
A
B
C
D
P
P̂
T1
D
AD̂P
M
PÂD
A
+
Â1
C
B
r
T2
N
CASO 6
ELEMENTI NOTI
Rettifica di un confine poligonale con un confine
distanze
rettilineo di compenso MN parallelo ad una
angoli
direzione data r
la direzione r è data dalla misura dell’angolo ω rispetto ad uno dei confini laterali
AB
BC
CD
A
B
C
D
P
D
T1
M
h
P’
A
D’
C
B
r
T2
N
SPOSTAMENTI
CASO 1
ELEMENTI NOTI
Sostituzione di un confine rettilineo AB con un altro,
distanze
rettilineo di compenso MN, uscente da un punto M in
angoli
posizione nota sul confine laterale. Metodo grafico
è nota la distanza AM
AB
A
B
Si congiunge M con B e da A si traccia la
parallela ad MB, che interseca il confine
T1
laterale nel punto N.
MN
è
il
nuovo
confine
rettilineo
di
compenso perché i due triangoli MAB e
MNB,
appartenenti
tutti
e
due
al
h
proprietario T1 hanno stessa area (uguale
base b e uguale altezza relativa h)
b
M
A
B̂
B
AM nota
Â
N
T2
CASO 1
ELEMENTI NOTI
Sostituzione di un confine rettilineo AB con un altro,
distanze
rettilineo di compenso MN, uscente da un punto M in
angoli
posizione nota sul confine laterale. Metodo grafico
è nota la distanza AM
AB
A
B
T1
b
M
B̂
B
B̂2
B̂1
h
A
NB̂ M
AM nota
Â
N
T2
CASO 2
ELEMENTI NOTI
Sostituzione di un confine rettilineo AB con un altro,
distanze
rettilineo di compenso MN, parallelo ad una data
angoli
direzione r
la direzione r è data dalla misura dell’angolo ω rispetto ad uno dei confini laterali
AB
A
B
METODO DEL TRAPEZIO
Dal punto A si traccia la parallela alla direzione
assegnata r, fino ad intersecare il confine
T1
laterale nel punto C. Si calcola l’area del
triangolo ACB, appartenente a T2 (passata a
B̂
T1). Quest’area dovrà essere restituita a T2 in
forma di trapezio.
SABC = SACNM
SACNM = 0.5 x (AC + MN) x h
Prof. Dagore Ristorini
B
M
N
Â
h
A
C
ω
r
T2
CASO 2
ELEMENTI NOTI
Sostituzione di un confine rettilineo AB con un altro,
distanze
rettilineo di compenso MN, parallelo ad una data
angoli
direzione r
la direzione r è data dalla misura dell’angolo ω rispetto ad uno dei confini laterali
AB
A
B
T1
B̂
B̂1
M
Â
A
h
Â1
ω
r
T2
B
N
Ĉ
C
CASO 2
ELEMENTI NOTI
Sostituzione di un confine rettilineo AB con un altro,
distanze
rettilineo di compenso MN, parallelo ad una data
angoli
direzione r
la direzione r è data dalla misura dell’angolo ω rispetto ad uno dei confini laterali
AB
A
B
F
RISOLUZIONE CON IL T. DEI SENI
Nel caso in cui i due confini laterali si
T1
intersecano nel punto F il problema può
risolversi calcolando l’area del triangolo ABC
B̂
B
(T1). Quest’area dovrà essere uguale a quella
M
del triangolo FMN (T1) con MN nuovo confine
parallelo alla direzione data
N
Â
A
ω
r
T2
CASO 2
ELEMENTI NOTI
Sostituzione di un confine rettilineo AB con un altro,
distanze
rettilineo di compenso MN, parallelo ad una data
angoli
direzione r
la direzione r è data dalla misura dell’angolo ω rispetto ad uno dei confini laterali
AB
A
B
F
F̂
T1
B̂
M̂
M
N̂
Â
A
ω
r
B
T2
N
CASO 2.1
ELEMENTI NOTI
Sostituzione di un confine rettilineo AB con un altro,
distanze
rettilineo di compenso MN, perpendicolare ad uno dei
angoli
confini laterali
Rispetto al confine laterale ω = 100c
AB
A
B
RISOLUZIONE CON LA FUNZIONE TANGENTE
F
Nel caso in cui la direzione del nuovo confine è perpendico lare
ad uno dei confini laterali, il problema può essere risolto
F̂
facendo coincidere l'area del triangolo AFB (T1) con quella
del triangolo rettangolo MFN
SAFB = SMFN =
1
x FM x MN
2
T1
M
in cui FM e MN sono due incognite
M̂ = 100 c
B̂
MN
tan F̂ =
- - - - - - > MN = FM x tan F̂
FM
sostituend o in SMFN si ottiene
2 x SMFN = FM2 x tan F̂
FM =
cos F̂ =
2 x SMFN
Â
A
N̂
ω = 100c
T2
tan F̂
FM
FM
- - - - - - > FN =
FN
cos F̂
per differenza con AF e FB si calcolano AM e BN
B
r
N