1
Alessandro Gasparetto
MECCANICA APPLICATA
ALLE MACCHINE
Appunti delle lezioni
www.mechatronics.it
2
Indice
1 Meccanica delle superfici
1.1 Richiami sulle caratteristiche dei solidi . . . . . .
1.1.1 Proprietà di volume . . . . . . . . . . . . .
1.2 Fenomeni superficiali . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Contatti superficiali . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Contatti lineari e puntiformi . . . . . . . .
1.3 Forze agenti negli accoppiamenti . . . . . . . . . .
1.3.1 Contatto di strisciamento e attrito radente
1.3.2 Influenza della rugosità delle superfici . . .
1.3.3 Influenza delle condizioni operative . . . .
1.4 Relazioni fondamentali dell’usura . . . . . . . . .
1.4.1 Coefficiente di durata . . . . . . . . . . . .
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3 Il rendimento
3.1 Rendimento delle macchine poste in serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Rendimento delle macchine poste in parallelo . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Moto retrogrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4 Accoppiamento motore-utilizzatore
4.1 Caratteristica del motore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Funzionamento da motore, da freno o da generatore . . . . . . . .
4.3 Campi operativi di un motore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Curva caratteristica del carico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Luogo dei carichi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Accoppiamento diretto motore-utilizzatore . . . . . . . . . . . . .
4.7 Accoppiamento motore-utilizzatore mediante riduttore di velocità
4.7.1 Riduzione all’asse motore e all’asse utilizzatore . . . . . . .
4.7.2 Trasformazione di un moto rotatorio in un moto rettilineo
4.8 Funzionamento a regime e in transitorio . . . . . . . . . . . . . .
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2 Forze di contatto per le coppie elementari
2.1 Attrito di rotolamento . . . . . . . . . . .
2.2 Coppia prismatica . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Coppia rotoidale . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Piano inclinato . . . . . . . . . . . . . . .
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II
INDICE
4.9
4.10
4.11
4.12
4.13
4.14
4.15
Stabilità del funzionamento a regime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Transitorio e tempo di avviamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Il transitorio in un sistema motore-utilizzatore con riduttore di velocità . . .
Effetti della variazione del rapporto di trasmissione . . . . . . . . . . . . . .
Criteri di verifica e di scelta del motore e del riduttore . . . . . . . . . . . .
Scelta del motore e del riduttore per carichi a velocità costante . . . . . . . .
Scelta del motore e del riduttore per carichi statici . . . . . . . . . . . . . . .
4.15.1 Adattamento statico dei campi operativi . . . . . . . . . . . . . . . .
4.15.2 Cambi di velocità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.16 Scelta del motore e del riduttore per carichi dinamici . . . . . . . . . . . . .
4.16.1 Adattamento dinamico del motore al carico . . . . . . . . . . . . . .
4.17 Regime periodico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.17.1 Inerzia e coppia ridotta alla coordinata libera per un sistema meccanico
a un grado di libertà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.17.2 Grado di irregolarità del moto periodico . . . . . . . . . . . . . . . .
4.17.3 Progetto del volano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.18 Equilibramento dei rotori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.18.1 Progetto del contrappeso per l’equilibramento statico di un meccanismo
5 Organi per la trasmissione del moto: gli ingranaggi
5.1 Ruote di frizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Ruote dentate piane ad evolvente . . . . . . . . . . .
5.3 Ruote dentate cilindriche a denti diritti . . . . . . . .
5.4 Ruote cilindriche a denti elicoidali . . . . . . . . . . .
5.5 Ingranaggi conici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6 Ingranaggi ad assi sghembi . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.1 Ingranaggi elicoidali ad assi sghembi . . . . .
5.6.2 Ingranaggi ipoidi . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.3 Ingranaggi a vite . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7 Rotismi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.1 Rotismi ordinari . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.2 Rotismi epicicloidali . . . . . . . . . . . . . .
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6 Altri organi di trasmissione del moto
6.1 Trasmissione del moto mediante organi flessibili . . . . . .
6.1.1 Cinghie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.2 Catene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.3 Paranchi di sollevamento . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Confronto tra organi a rapporto di trasmissione costante .
6.3 Giunti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.1 Giunto di Cardano . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.2 Doppio giunto di Cardano e altri giunti omocinetici
6.3.3 Altri giunti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Sistemi vite-madrevite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.1 Vite-madrevite a filetto rettangolare . . . . . . . .
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INDICE
1
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7 Camme
7.1 Legge del moto del cedente . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Tracciamento di una camma . . . . . . . . . . . . . .
7.2.1 Camma piana con punteria centrata a rotella .
7.2.2 Camma piana con punteria eccentrica a rotella
7.2.3 Camma piana con punteria a piattello piano .
7.2.4 Camma piana con bilanciere a rotella . . . . .
7.3 Analisi cinetostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Leggi del moto elementari . . . . . . . . . . . . . . .
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6.5
6.6
6.7
6.4.2 Vite-madrevite a filetto trapezio .
6.4.3 Vite a circolazione di sfere . . . .
Frizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.1 Frizioni a disco . . . . . . . . . .
6.5.2 Frizioni coniche . . . . . . . . . .
Freni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cuscinetti . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7.1 Classificazione dei cuscinetti . . .
6.7.2 Criteri di selezione dei cuscinetti .
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8 Meccanica delle vibrazioni
8.1 Oscillatore semplice . . . . . . . . . . . . .
8.2 Risposta libera . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Risposta in frequenza . . . . . . . . . . . .
8.4 Risposta a forzanti non sinusoidali . . . . .
8.4.1 Risposta ad una forzante periodica
8.4.2 Risposta ad un impulso . . . . . . .
8.4.3 Risposta ad una forzante generica .
8.5 Vibrazioni torsionali . . . . . . . . . . . .
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2
INDICE
Capitolo 1
Meccanica delle superfici
Lo studio delle interazioni superficiali fra i membri, modellati come corpi solidi, è un argomento fondamentale della Meccanica delle Macchine. Infatti:
• l’attrito è legato al movimento relativo dei membri (in genere deve essere combattuto
come fonte di perdite e di temperature elevate, altre volte è necessario al funzionamento
delle macchine)
• l’usura colpisce le superfici dei membri a contatto delle macchine provocando un
decadimento progressivo delle caratteristiche funzionali.
L’usura, inoltre è fonte di:
– aumento dei giochi
– aumento della rumorosità
– comparsa dei fenomeni d’urto
– aumento delle vibrazioni e di sollecitazioni per fatica
– disuniforme distribuzione delle pressioni
– imprecisioni di funzionamento
La classificazione delle interazioni fra i membri solidi può essere fatta dal punto di vista
geometrico, da quello chimico-fisico e da quello cinematico.
Dal punto di vista geometrico (Fig.1.1) si hanno contatti:
• superficiali
• lineari
• puntiformi
Sotto il profilo fisico-chimico il contatto può essere
• diretto fra i due membri accoppiati
• indiretto o mediato dalla presenza di sostanze lubrificanti
3
4
CAPITOLO 1. MECCANICA DELLE SUPERFICI
Figura 1.1: Tipi di contatto geometrici
???
??????
ω
v
v
Strisciamento
Rotolamento
Urto
Figura 1.2: Tipi di contatto cinematici
In termini cinematici (Fig.1.2) i contatti possono essere
• di strisciamento
• di rotolamento
• d’urto
1.1
Richiami sulle caratteristiche dei solidi
Le deformazioni dei solidi possono essere di tipo elastico o anelastico (plastiche o viscoelastiche).
Per i metalli, la deformazione elastica è praticamente indipendente dalla velocità di deformazione e il ritorno allo stato indeformato è pressoché istantaneo con ciclo di isteresi
irrilevante.
La presenza di un’eventuale fase di deformazione plastica prima della rottura caratterizza
il materiale come duttile o fragile.
Dopo ogni deformazione plastica, al cessare della sollecitazione che l’ha provocata, il materiale duttile non torna nella configurazione originaria ma resta soggetto ad una deformazione
residua (nel grafico in Fig.1.4 tale deformazione residua è indicata con ǫ0 ).
1.1. RICHIAMI SULLE CARATTERISTICHE DEI SOLIDI
Figura 1.3: Caratteristiche dei solidi
Figura 1.4: Materiali duttili, materiali fragili ed elastomeri
5
6
CAPITOLO 1. MECCANICA DELLE SUPERFICI
1.1.1
Proprietà di volume
Tra le proprietà di volume è importante ricordare la durezza, che è definita come la resistenza offerta dal materiale alla penetrazione di un corpo più duro. Di solito viene utilizzata la
durezza alla penetrazione HB (prova di Brinell ) (Fig.1.3).
Per i metalli puri la durezza di Brinell è pari a circa tre volte il carico unitario di
snervamento1 σs :
(1.1)
HB ∼
= 3σs
1.2
Fenomeni superficiali
I fenomeni superficiali determinano la grandezza e la direzione delle forze scambiate negli
accoppiamenti, l’entità e la natura dei fenomeni dissipativi, il deterioramento delle caratteristiche funzionali per effetto dell’usura, imponendo vincoli nella scelta dei materiali da
costruzione e dei trattamenti cui gli stessi debbono essere sottoposti e vincoli nella forma dei
membri accoppiati.
Dal punto di vista geometrico si è già visto come i contatti possano essere superficiali,
lineari o puntiformi:
• i contatti fra superfici di contatto nominalmente combacianti sono tipici delle coppie
elementari (guide, viti, cuscinetti)
• i contatti lineari e puntiformi sono caratteristici di molte coppie superiori con membri
rigidi: ruote dentate, camme, piste con interposti elementi rotolanti.
Questa suddivisione teorica, che trae origine dalla forma geometrica ideale dei membri a
contatto, non è tuttavia realizzata in pratica per varie cause, quali:
• la presenza di giochi
• l’irregolarità delle forme dei corpi
• la deformabilità delle loro superfici
1.2.1
Contatti superficiali
Si considerino due superfici accoppiate soggette all’azione di una forza esterna normale Fn
all’area di contatto. Essa teoricamente è estesa all’intera superficie, in realtà è limitata
ad alcune areole deformate, in quanto le superfici dei corpi solidi a contatto presentano
ondulazioni e rugosità superficiali (Fig.1.5).
La massima distanza fra i picchi delle ondulazioni superficiali, per superfici prodotte
industrialmente, è in genere compresa fra 0.7 mm e 1.2 mm.
La rugosità superficiale (Ra) varia invece tra millesimi e centesimi di millimetro.
Imprecisioni di lavorazione e deformazione dei membri, per effetto delle tensioni e/o della
temperatura, fanno dunque sì che il contatto avvenga non su tutta la superficie geometrica,
ma solo su piccole aree.
1
Si tratta di una relazione puramente sperimentale
1.2. FENOMENI SUPERFICIALI
7
Figura 1.5: Tipi di contatti geometrici
Per la presenza delle ondulazioni, tali aree sono localizzate in zone definite: il numero dei
contatti dipende
• dal carico applicato
• dalla rugosità delle superfici
Nel caso dei contatti diretti fra superfici idealmente combacianti è quindi possibile distinguere
più aree di contatto fra i membri solidi accoppiati. In particolare si deve distinguere tra:
• Area apparente o geometrica di contatto Ag : è definita dalle dimensioni dei solidi
a contatto ed è indipendente dal carico
• Area reale di contatto Ar : è la somma di tutte le piccole aree attraverso le quali i
solidi si toccano.
Per contatti fra superfici di acciaio soggette a pressioni specifiche modeste l’area reale
può essere, per esempio, dell’ordine di 1/1000 di quella geometrica. Quando il carico esterno
aumenta e la pressione locale supera il carico unitario limite di snervamento σs del materiale più tenero quest’ultimo comincia a deformarsi plasticamente, di solito in punti posti
immediatamente al di sotto della superficie.
Se il carico aumenta ancora, il materiale attorno a questi punti diventa plastico sinché tutta la regione attorno agli originali punti di contatto è deformata plasticamente e l’estensione
della nuova area di contatto è in grado di sopportare il carico.
Raggiunto l’equilibrio, la pressione media dei contatti pm , detta pressione di snervamento
triassiale, è pari al valore di durezza determinato mediante la prova di Brinell. Quando è
raggiunta la completa plasticità, pm è indipendente dal carico esterno. Questo significa che
ogni aumento del carico fa aumentare l’area reale di contatto, in modo tale che pm resti
costante.
L’area reale di contatto può quindi essere calcolata, in prima approssimazione e per
carichi statici, mediante la relazione:
Fn
(1.2)
Ar =
pm
8
CAPITOLO 1. MECCANICA DELLE SUPERFICI
Figura 1.6: Definizione dei raggi di curvatura nel punto teorico di contatto
In zone sufficientemente lontane dalle asperità a contatto, la deformazione delle superfici è
ancora elastica, mentre nelle zone che costituiscono le zone di effettivo contatto tra i membri
accoppiati (Fig.1.5) si presentano legami di natura atomico-molecolare, detti comunemente
di adesione, la cui intensità varia con la natura e con lo stato delle superfici.
1.2.2
Contatti lineari e puntiformi
All’inizio del contatto due corpi con superfici a diversa curvatura hanno idealmente un solo
punto o al più una linea di contatto. Per effetto del carico esterno il punto di contatto si
espande fino a diventare una piccola area.
Di conseguenza, anche se la forza esterna è modesta, la sollecitazione indotta nella zona
di contatto è di solito elevata. Ad esempio, non sono rare nei cuscinetti a rotolamento
sollecitazioni di compressione superiori a 1.4 kN/mm2 . Poiché l’area interessata dalle deformazioni aumenta rapidamente, al di sotto della superficie di contatto le sollecitazioni di
compressione non si estendono a tutto il corpo e nel complesso i corpi in contatto possono ancora essere considerati rigidi e si possono applicare macroscopicamente le leggi della dinamica
dei corpi rigidi.
La teoria classica dei contatti superficiali elastici fu stabilita da Hertz.
L’analisi di Hertz, valida per contatti puntiformi o lineari, parte dalle seguenti ipotesi:
1. i solidi a contatto sono omogenei e isotropi
2. le deformazioni sono elastiche e contenute entro limiti di elasticità lineare
1.2. FENOMENI SUPERFICIALI
9
3. le dimensioni dell’area di contatto sono piccole, rispetto al raggio di curvatura dei corpi
non deformati in vicinanza della zona di contatto
4. i raggi di curvatura della zona di contatto sono grandi, se confrontati con le dimensioni
dell’area di contatto
5. fra i due solidi non vi sono forze di attrito radente e quindi durante il contatto agisce solo
la forza normale: vengono dunque trascurati le sollecitazioni di taglio e gli spostamenti
nel piano tangente comune ai corpi a contatto.
Per contatti puntuali, il modello hertziano prevede che la forma della zona di contatto
sia data da un’ellisse (vedi Fig.1.6), rappresentata dall’equazione:
z = Ax21 + By12 + Cx1 y1
(1.3)
rispetto ad un sistema di riferimento con l’origine posta nel punto di contatto P , prima della
deformazione, e con assi x1 e y1 giacenti nel piano tangente comune ai corpi a contatto.
I coefficienti A e B sono definiti dalle curvature principali r = 1/R delle superfici a
contatto secondo le relazioni:
1
1
1
1
+
+
+
R1M
R1N
R2M
R2N
√
2 (B − A) = Γ + Λ
2 (A + B) =
Λ=
Γ=2
µ
µ
1
1
−
R1M
R1N
1
1
−
R1M
R1N
¶2
¶µ
+
µ
1
1
−
R2M
R2N
¶2
1
1
cos (2β)
−
R2M
R2N
¶
(1.4)
(1.5)
(1.6)
(1.7)
ove β è l’angolo formato dai due piani contenenti le curvature r1M = 1/R1M e r2M =
1/R2M .
In generale i piani contenenti i raggi di curvatura principali delle due superfici a contatto
non sono coincidenti. Per semplicità grafica, in (Fig.1.6) essi sono stati disegnati nel caso
particolare di β = 0.
Indicando con
• Fn la forza normale di contatto
• a e b i semiassi dell’ellisse che rappresenta l’area deformata di contatto
• d l’avvicinamento dei due corpi
• D la quantità
1 − ν2
(1.8)
E
che tiene conto delle caratteristiche meccaniche del materiale (essendo ν il modulo di
Poisson, E il modulo di Young)
D=
10
CAPITOLO 1. MECCANICA DELLE SUPERFICI
Figura 1.7: Valori di a∗ , b∗ e d∗
il modello di Hertz giunge a stabilire le dimensioni dell’area deformata e il valore dello
schiacciamento, che sono rispettivamente dati da:
s
3 Fn (D1 + D2 )
4
A+B
(1.9)
s
3 Fn (D1 + D2 )
4
A+B
(1.10)
a = a∗
b = b∗
3
3
s
3
Fn (D1 + D2 )2 (A + B)
(1.11)
4
ove i coefficienti a∗ , b∗ , d∗ sono funzioni solo del rapporto (A/B) e sono uguali a uno
quando i due corpi in contatto hanno la stessa forma.
Nel caso i corpi a contatto abbiano diversa curvatura sono unicamente funzione di
d = d∗
3
1−
B−A
=
B+A
1+
A
B
A
B
(1.12)
Alcuni valori di a∗ , b∗ , d∗ sono riportati in (Fig.1.7)).
La teoria hertziana permette inoltre di derivare la legge di distribuzione delle pressioni
nella zona di contatto mediante la relazione:
s
µ ¶2
x
3Fn
1−
p=
2πab
a
µ ¶2
y
−
b
s
= pM AX 1 −
µ ¶2
x
a
−
µ ¶2
y
b
(1.13)
1.3. FORZE AGENTI NEGLI ACCOPPIAMENTI
11
Figura 1.8: Distribuzione delle pressioni nella zona deformata di contatto
il cui massimo, ottenuto per x = 0, y = 0, vale:
3Fn
(1.14)
2πab
Le pressioni nei vari punti del’area deformata di contatto hanno quindi una distribuzione
semiellissoidale (Fig.1.8).
Nel caso di contatti lineari, ad esempio fra corpi cilindrici con assi paralleli di uguale
lunghezza l, l’area deformata diventa un rettangolo di larghezza b data da:
pM AX =
v
u
u 2Fn (D1 + D2 )
= (r1M + r1N ) + (r2M + r2N )
b=t
πl (A + B)
(1.15)
e la distribuzione delle pressioni normali ha la forma di un semicilindro, con valore p dato
da:
s
µ ¶2
y
2Fn
1−
p=
πlb
b
(1.16)
il cui massimo si ha ovviamente per y = 0.
1.3
1.3.1
Forze agenti negli accoppiamenti
Contatto di strisciamento e attrito radente
L’esperienza dimostra che tra due solidi a contatto si sviluppano, anche in assenza di moto
relativo, forze di superficie aventi direzione tangenziale tra le superfici a contatto.
12
CAPITOLO 1. MECCANICA DELLE SUPERFICI
Consideriamo dapprima un corpo 1 che viene premuto contro un corpo 2 con una forza
N normale alla superficie comune di contatto. Per l’equilibrio, il corpo 2 eserciterà sul corpo
1 un insieme di forze la cui risultante FN sarà uguale ed opposta a N , e avrà la stessa retta
d’azione di N , in modo tale che il momento risultante sia nullo.
Supponiamo ora di applicare al corpo 1 una piccola forza T parallela alla superficie di
contatto: sperimentalmente si osserva che il corpo rimane fermo nella posizione iniziale.
Dovrà quindi essere che tra i due corpi, lungo la superficie di contatto, si origina un insieme
di forze la cui risultante FT è uguale ed opposta a T . Affinché sussista l’equilibrio statico
del corpo 1, la forza FN si sarà spostata lungo la superficie di contatto, in modo tale che
la coppia formata da FN e N equilibri quella formata da FT e T (che hanno rette d’azione
diverse).
La forza FT , esercitata dal corpo 2 sul corpo 1 in condizioni di equilibrio statico, è detta
forza di attrito statico o forza di aderenza. Aumentando il valore della forza tangenziale T
applicata al corpo 1, si osserva che il corpo continua a rimanere in equilibrio statico: ciò
significa che anche l’intensità di FT aumenta di conseguenza sino a raggiungere un valore
limite, che rappresenta la massima forza di attrito statico (o aderenza) che si può sviluppare
tra le superfici a contatto. Per valori di T superiori a questo valore limite, non sussistono
più le condizioni di equilibrio statico, e il corpo 1 si muove strisciando sul corpo 2.
Anche in questa situazione di strisciamento sussistono delle forze lungo la superficie di
contatto, la cui risultante ha direzione parallela a quella del moto relativo dei due corpi e
verso opposto a quello della velocità del corpo 1 relativa al corpo 2. Tale risultante è detta
forza di attrito dinamico o forza di attrito cinetico o, qualora non si dia adito ad ambiguità,
semplicemente forza di attrito. Nel suo complesso, il fenomeno descritto prende il nome di
attrito di strisciamento o attrito radente.
Dalla descrizione fatta, si può evincere che la proprietà fondamentale delle forze di attrito
è di avere sempre verso tale da opporsi al moto relativo tra i corpi a contatto.
Il fenomeno dell’attrito radente può anche essere modellato considerando, oltre alle forze
di contatto normale FN e tangenziale FT , anche la loro risultante F , la cui inclinazione
rispetto alla normale è data dall’angolo
ϕ = arctan
FT
FN
(1.17)
come indicato in Fig.1.9.
L’angolo ϕ prende il nome di angolo di attrito.
Il rapporto tra le componenti tangenziale e normale delle forze di contatto è definito
coefficiente (o fattore) di attrito:
f=
FT
FN
(1.18)
Risulta f = tan ϕ. f è quindi un coefficiente adimensionale.
Se vi è movimento relativo tra i corpi a contatto, f è detto coefficiente di attrito dinamico
(fd ) o coefficiente di attrito cinetico (fc ), se siamo in situazione di equilibrio statico f prende
il nome di coefficiente di attrito statico (fs ) o coefficiente di aderenza (fa ).
Si può allora dire che la condizione di equilibrio statico fra due corpi a contatto permane
finché il rapporto FT /FN tra i moduli delle componenti tangenziale e normale delle forze
1.3. FORZE AGENTI NEGLI ACCOPPIAMENTI
13
Figura 1.9: Risultante delle forze di contatto e cono di attrito
di contatto non è superiore al coefficiente di aderenza, ovvero finché FT /FN ≤ fa . Non
appena il valore della componente tangenziale supera il valore limite FT = fa FN , si inizia ad
avere strisciamento tra i due corpi a contatto, il fenomeno di attrito diventa dinamico ed è
governato dall’equazione:
FT = fd FN
(1.19)
Con riferimento alla Fig.1.9, la condizione da soddisfare affinché sussista l’equilibrio statico può essere formulata graficamente, imponendo che l’angolo formato dalla risultante delle
forze di contatto con la normale alla superficie sia minore dell’angolo di aderenza in condizioni
limite, ovvero
ϕ ≤ ϕa = arctan(fa )
(1.20)
In altre parole, in condizioni di equilibrio statico il vettore della risultante può assumere
qualunque direzione, purché giacente all’interno del cono (cono di attrito) avente come asse
la normale alle superfici a contatto e come generatrice la retta d’azione della risultante in
condizioni limite di aderenza (ovvero la retta inclinata dell’angolo ϕa rispetto alla normale).
In condizioni di strisciamento, la risultante delle forze scambiate è invece inclinata rispetto
alla normale di un angolo pari a ϕ = arctan(fd ).
L’attrito tra corpi solidi prende il nome di attrito coulombiano. Secondo Coulomb il
fattore di attrito f :
• dipende dalla natura dei materiali che si toccano e dallo stato delle superfici a contatto
• non dipende dalle forze normali, né dall’estensione del contatto, né dalla forma delle
superfici coniugate
14
CAPITOLO 1. MECCANICA DELLE SUPERFICI
Figura 1.10: Andamento dell’attrito in funzione della velocità
• non dipende dalla velocità relativa di strisciamento
Il modello coulombiano dell’attrito ha il pregio della semplicità e per questo motivo viene
comunemente utilizzato per rappresentare il fenomeno dello strisciamento tra corpi solidi, per
quanto esso non risulti, ad una verifica sperimentale, particolarmente preciso. Il fenomeno
dell’attrito è infatti estremamente complesso da un punto di vista fisico e rifugge pertanto
da una modellazione accurata.
Ad esempio, da risultati sperimentali è emerso che il coefficiente d’attrito non è indipendente dalla velocità (come assunto nel modello coulombiano), ma ha piuttosto un andamento
del tipo raffigurato in Fig.1.10: dopo una brusca diminuzione passando da velocità nulla
(attrito statico) a velocità piccolissime, il coefficiente di attrito subisce un certo aumento
al crescere della velocità. Per velocità maggiori di un dato valore, il coefficiente d’attrito
rimane dapprima costante, poi tende a decrescere con la velocità.
Vediamo ora di capire le motivazioni fisiche del fenomeno dell’attrito.
Come abbiamo già avuto modo di sottolineare, il contatto fra due corpi solidi con superfici
nominalmente combacianti non si attua sull’intera area geometrica di contatto, ma su una
somma di areole (l’area reale di contatto). Non appena la distanza fra le superfici diventa
così piccola da rendere operanti le forze intermolecolari, si manifestano fra di esse legami di
adesione.
Come rappresentato in Fig.1.11, la resistenza al movimento relativo di due superfici a
contatto è dovuta ad un complesso di fenomeni, fra loro interagenti. Si ha dunque che la
componente tangenziale della forza di contatto è data dalla somma di vari contributi:
Ft = Ft1 + Ft2 + Ft3 + Ft4
(1.21)
che sono rispettivamente:
• Ft1 : la forza necessaria per vincere i legami di adesione (microgiunzioni)
• Ft2 : la forza necessaria per produrre deformazioni viscoelastiche
• Ft3 : la forza necessaria per asportare le asperità che interferiscono geometricamente
1.3. FORZE AGENTI NEGLI ACCOPPIAMENTI
15
Figura 1.11: Componenti della forza tangenziale tra superfici
• Ft4 : la forza necessaria per produrre solcature plastiche
Il valore di ciascuna componente è funzione dei materiali a contatto, delle caratteristiche
delle superfici, della presenza o meno di lubrificanti e delle condizioni operative.
Il grafico (Fig.1.12) mette in luce la variazione del fattore d’attrito in funzione dei
materiali e delle condizioni di lubrificazione.
Come si vede, le caratteristiche dei materiali incidono sensibilmente sul fattore d’attrito
in assenza di lubrificazione, ma perdono importanza quando il contatto fra i solidi avviene
in condizioni di lubrificazione limite.
La componente Ft1 è legata al carico unitario di taglio τ del materiale meno duro, secondo
la:
Fn τ
pm
Il componente del fattore d’attrito legato a questo fenomeno risulta perciò:
Ft1 = Ar τ =
f1 =
Ft1
τ
=
Fn
pm
(1.22)
(1.23)
con i valori di τ e pm che variano a seconda dei materiali. Per molti materiali metallici
risulta:
τ∼
(1.24)
= 0.6σs
pm ∼
(1.25)
= HB = 3σs
essendo σs il carico unitario di snervamento. Perciò il rapporto τ /pm vale all’incirca 0, 2.
1.3.2
Influenza della rugosità delle superfici
I contributi alla forza d’attrito espressi dai due ultimi termini (Ft3 e Ft4 ) della (1.21) sono
legati principalmente alla rugosità delle superfici, quali risulta dalle lavorazioni tecnologiche
che le hanno prodotte.
16
CAPITOLO 1. MECCANICA DELLE SUPERFICI
Figura 1.12: Variazione del fattore di attrito in funzione dei materiali e delle condizioni di
lubrificazione
Come si può vedere dalla Fig. 1.14, nel campo di valori di rugosità di componenti metallici
prodotti da ordinarie lavorazioni tecnologiche (Ra = 0.4 − 1.4µm), non si hanno sensibili
variazioni del fattore di attrito.
In generale, se la rugosità è molto bassa, l’attrito tende ad essere alto perché l’area
reale di contatto aumenta notevolmente e sono esaltati i fenomeni di adesione. Anche in
presenza di rugosità molto alta l’attrito aumenta per la necessità di sollevare continuamente
una superficie al di sopra delle asperità dell’altra. Nel campo intermedio, invece, l’influenza
della rugosità sul fattore d’attrito è modesta.
1.3.3
Influenza delle condizioni operative
Prove sperimentali hanno dimostrato che il fattore d’attrito varia anche sensibilmente, a
parità di caratterizzazione fisico-chimiche delle superfici, in funzione
• del tempo di contatto,
• delle velocità di strisciamento,
• della pressione media di contatto,
• della temperatura dell’interfaccia
• delle condizioni di lubrificazione
• dell’atmosfera, specie nel caso dei polimeri.
1.3. FORZE AGENTI NEGLI ACCOPPIAMENTI
Figura 1.13: Valori medi dei fattori d’attrito per diversi accoppiamenti
17
18
CAPITOLO 1. MECCANICA DELLE SUPERFICI
Figura 1.14: Variazione del fattore di attrito in funzione delle rugosità superficiali delle
superfici a contatto
Influenza del tempo di contatto
Numerose esperienze hanno mostrato che il fattore d’attrito statico, in assenza di lubrificazione, è funzione del tempo di contatto fra i corpi. Esso varia rapidamente in un brevissimo
periodo iniziale del contatto (0.1s), poi cresce più lentamente sino a stabilizzarsi (Fig.1.15).
Influenza della velocità relativa
Il fattore di attrito cinetico, fra superfici in moto relativo, è generalmente inferiore al fattore
di attrito statico. L’andamento generale del fattore di attrito in funzione della velocità è
riportato in Fig.1.10. Risultati sperimentali, condotti su un campo di velocità più ristretto
e per varie coppie di materiali a contatto, sono raffigurati nelle Fig.1.16 e 1.17.
Influenza della pressione di contatto
L’influenza della pressione di contatto va analizzata distinguendo i casi di pressioni normali
ed elevate. Queste ultime si hanno quando la pressione specifica si avvicina o supera il
carico unitario di snervamento del materiale. In questo caso all’aumentare della pressione
(Fig.1.18) il fattore di attrito diminuisce.
Influenza della temperatura
Nei metalli le variazioni di temperatura dovute ad effetti esterni non provocano, in generale,
sensibili variazioni del fattore di attrito, anche perchè i due termini τ e pm risentono nello
stesso modo della variazione di temperatura. Solo nel caso di brevi surriscaldamenti dell’in-
1.3. FORZE AGENTI NEGLI ACCOPPIAMENTI
19
Figura 1.15: Variazione del fattore di attrito in funzione del tempo di contatto fra i solidi
Figura 1.16: Variazione del fattore di attrito con la velocità per alcuni metalli
20
CAPITOLO 1. MECCANICA DELLE SUPERFICI
Figura 1.17: Variazione del fattore di attrito con la velocità per alcuni polimeri
Figura 1.18: Variazione del fattore di attrito in presenza di elevate pressioni
1.3. FORZE AGENTI NEGLI ACCOPPIAMENTI
21
Figura 1.19: Variazione del fattore di attrito di polimeri in funzione della temperatura
ambiente
terfaccia per effetto di alte velocità di strisciamento, il fattore di attrito diventa più basso,
con ogni probabilità perché il carico di taglio τ diminuisce più di pm .
I polimeri presentano invece una maggiore variabilità del coefficiente di attrito con la
temperatura (Fig.1.19).
22
CAPITOLO 1. MECCANICA DELLE SUPERFICI
Figura 1.20: Contatto di strisciamento. Calcolo del volume del materiale usurato
1.4
Relazioni fondamentali dell’usura
Quando due membri solidi sono animati da moto relativo di strisciamento il volume del
materiale asportato per usura ∆V può essere valutato mediante l’equazione proposta da
Holm:
Fn
(1.26)
∆V = k ∆s = kAr ∆s
pm
essendo
• k un fattore adimensionale sperimentale,
• Fn la forza normale esterna,
• pm la pressione di snervamento superficiale (misurata dalla durezza di Brinell HB )
• ∆s lo spazio percorso.
Se A è l’area geometrica di contatto e ∆h l’altezza usurata, si può riscrivere la precedente
in funzione della pressione di contatto p nella forma:
∆h =
∆V
Fn
1 Fn
p
=k
∆s = k
∆s = k ∆s
A
pm A
pm A
pm
(1.27)
o in quella equivalente che esprime la velocità di usura:
∆h
p ∆s
p
=k
=k v
∆t
pm ∆t
pm
(1.28)
Il fattore k è funzione dei materiali a contatto e dello stato delle loro superfici, della durezza e delle dimensioni delle particelle abrasive. Varia sensibilmente a seconda del meccanismo
prevalente di usura (adesiva, abrasiva, ecc.)
In ogni caso, va tenuto presente che i risultati sperimentali presentano una limitata
ripetibilità, anche per test condotti su componenti identici.
1.4. RELAZIONI FONDAMENTALI DELL’USURA
23
Figura 1.21: Coefficiente di durata per vari tipi di guarnizioni per freni
1.4.1
Coefficiente di durata
Nello studio dei freni il volume di usura è spesso espresso in modo da mettere in luce il
rapporto fra lavoro di frenatura L e il volume di usura ∆V . Dalla
∆V = k
Fn
∆s = kAr ∆s
pm
(1.29)
si ottiene la relazione che esprime la cosiddetta ipotesi di Reye: il volume del materiale
asportato per usura è direttamente proporzionale al lavoro compiuto dalle forze di attrito
∆V = k
Fn
k
Ft ∆s = k1 L
∆s =
pm
pm f
(1.30)
sicché l’usura specifica, ∆V /L, può essere espressa dal rapporto, misurato in mm3 /kJ:
k1 =
k
pm f
(1.31)
detto coefficiente di usura. Dai grafici di figura (Fig.1.21) si nota che il fattore di usura
dipende fortemente dal tipo di materiale per guarnizioni da freno e aumenta più del fattore
di attrito, passando da un tipo di guarnizione all’altro.
Il reciproco dell’usura specifica
k2 =
1
pm f
=
k1
k
(1.32)
è detto coefficiente di durata. Valori tipici di k2 per i freni vanno da 2 a 100 kJ/mm3 .
24
CAPITOLO 1. MECCANICA DELLE SUPERFICI
Capitolo 2
Forze di contatto per le coppie
elementari
2.1
Attrito di rotolamento
Il contatto di rotolamento può avvenire soltanto fra coppie rigide e non combacianti; ad
esempio fra un cilindro ed un piano, fra due cilindri, fra una sfera ed un piano.
In molti casi della pratica non si ha un contatto di puro rotolamento, bensì un contatto
con rotolamento e strisciamento sovrapposti (ad esempio, il contatto fra i denti di due ruote
dentate). In questi casi, dal punto di vista della distribuzione delle pressioni valgono le
considerazioni che svolgeremo nel presente paragrafo, mentre dal punto di vista dell’attrito
l’effetto dello strisciamento prevale, di solito, su quello del rotolamento, per cui in molti casi
si può prescindere da quest’ultimo contributo.
Figura 2.1: Area di contatto e distribuzione delle pressioni: a) sfera, b) cilindro
Nel contatto fra superfici a doppia curvatura la distribuzione delle pressioni può essere
trovata, come visto nel capitolo precedente, utilizzando i risultati della teoria di Hertz. A
25
26
CAPITOLO 2. FORZE DI CONTATTO PER LE COPPIE ELEMENTARI
stretto rigore tale teoria è valida per corpi perfettamente elastici caricati entro il limite
di proporzionalità; in realtà i suoi risultati sono applicabili con ottima approssimazione ai
materiali comunemente impiegati nelle costruzioni meccaniche.
Figura 2.2: Distribuzione delle pressioni di contatto in presenza di rotolamento
Ciò premesso, consideriamo un rullo rotolante su di un piano fisso. Se la distribuzione
della pressione normale fosse hertziana e mancassero azioni tangenziali, non si avrebbe spesa
di energia. Invece l’esperienza dimostra che anche in questo moto di puro rotolamento si ha
dissipazione di energia. Cerchiamo di esaminarne le cause.
Queste sono molteplici e spesso concomitanti:
• imperfetta elasticità del rullo e del corpo fisso;
• fenomeni di elasticità ritardata;
• urti fra le asperità superficiali dei due corpi;
• slittamento fra i due corpi, che si manifesta quando al rullo sia applicata, oltre ad una
forza Q normale alla direzione del moto, anche una forza T parallela a questa direzione.
Tralasciando le altre cause di dissipazione, che intervengono sensibilmente soltanto in
casi particolari, soffermiamoci brevemente sugli effetti dell’imperfetta elasticità (e su quelli
dell’elasticità ritardata, con essi strettamente collegati).
Se i due corpi non sono perfettamente elastici, parte dell’energia spesa nella deformazione
non viene resa nella successiva fase di restituzione, ma viene dissipata per vincere le resistenze
di attrito interno del materiale. Può anche accadere che parte dell’energia accumulata nei
due corpi come energia potenziale elastica venga restituita con ritardo e che pertanto finisca
con essere anch’essa dissipata.
Ragionando in termini di forze, invece che in termini di energie, possiamo dire che la
distribuzione di pressione nel contatto non è simmetrica rispetto alla direzione della forza
Q, poiché la pressione nella zona anteriore risulta mediamente più elevata della pressione
nella zona posteriore. II diagramma della pressione dà luogo, pertanto, ad una risultante
2.1. ATTRITO DI ROTOLAMENTO
27
che ha sempre modulo pari alla Q, ma la cui retta di azione è spostata in avanti, nel senso
del moto, rispetto alla Q. Chiamiamo parametro dell’attrito volvente tale spostamento,
che indichiamo con il simbolo δ.
Per mantenere il rullo in rotazione con velocità angolare costante è necessario applicare
ad esso una coppia che eguagli il momento dato dal prodotto della forza Q per il braccio δ:
(2.1)
Mm = Qδ
Il lavoro speso per spostare in avanti l’asse del rullo di una distanza s è pertanto dato
da:
L p = Mm
s
δ
=Q s
R
R
(2.2)
dove R è il raggio del rullo.
Il rapporto Rδ è chiamato coefficiente di attrito volvente. Lo indicheremo con il
simbolo fv .
In tal modo si avrà:
Lp = fv Qs
(2.3)
che è formalmente analoga alla espressione che dà il lavoro perduto per attrito fra due
corpi striscianti l’uno sull’altro, premuti da una forza Q. La forza orizzontale T da applicare
al rullo per farlo rotolare a velocità costante è dunque data da:
(2.4)
T = fv Q
II valore del coefficiente di attrito volvente può essere determinato soltanto in via sperimentale; ma il suo ordine di grandezza può essere valutato anche con considerazioni teoriche.
Ad esempio i risultati della teoria di Hertz permettono di fissare un limite superiore
al valore di fv . Soffermiamoci, a questo proposito, sul contatto fra un rullo ed un piano.
Dall’espressione della semilarghezza nel caso di due rulli paralleli:
ponendo R2 → ∞ otteniamo:
v
u
u
b = 1.52t
Q
E
³
v
u
u
b = 1.52t
1
R1
1
R2
+
´
l
Q
E
³
1
R1
´
l
(2.5)
(2.6)
É evidente che deve essere δ < b (spesso δ è dell’ordine di 0.1b) e quindi:
v
u
u
fv < 1.52t
Q
E
³
1
R1
´
l
(2.7)
Si osserva che fv è di solito molto piccolo (vedasi tabella) e che, pertanto, il consumo
di energia nel rotolamento è di ordine di grandezza molto inferiore a quello che si ha nel
contatto di strisciamento fra superfici.
28
CAPITOLO 2. FORZE DI CONTATTO PER LE COPPIE ELEMENTARI
Cuscinetti radiali orientabili a sfere
Cuseinetti assiali a sfere
Cuscinetti radiali rigidi a sfere
Cuscinetti a rulli cilindrici
Cuscinetti orientabili a rulli
Cuscinetti a rulli conici
Cuscinetti obliqui a sfere
Ruota su rotaia (D è il diametro della ruota in mm)
Pneumatico su strada (a velocità inferiore a c. 100 km/ora)
0,0010
0,0013
0,0015
0,0011-0,0020
0,0018
0,0018
0,0020-0,0024
√
0.026/ D
0,01
Tabella 2.1: Valori orientativi del coefficiente di attrito volvente
2.2
Coppia prismatica
Consideriamo una coppia prismatica realizzata con un’asta rigida guidata da due collari A e
B; conoscendo i coefficienti di attrito fra l’asta e i due collari, vogliamo determinare l’intensità
della forza motrice P (della quale si conoscono la retta d’azione e il verso) necessaria per
vincere la forza resistente Q nota.
Figura 2.3: Coppia prismatica con due collari
Le reazioni RA e RB dei collari sull’asta hanno ciascuna una componente normale e una
componente tangenziale, dovuta all’attrito; per determinare le rette d’azione di RA e RB ,
occorre innanzitutto stabilire quali sono i versi delle componenti normali. Per fare ciò, basta
considerare le condizioni di equilibrio dell’asta alla rotazione attorno ai punti in cui le rette
d’azione di RA e RB incontrano la retta d’azione di Q.
Per l’equilibrio dei momenti di RB e di P rispetto al punto di incontro delle rette d’azione
di RA e di Q, ad esempio, si vede che RB è orientata verso il basso; con un ragionamento
analogo, si vede che RA è invece orientata verso l’alto. Le componenti di attrito di RA e RB
hanno sempre versi tali da opporsi all’avanzamento dell’asta, per cui si può concludere che
le rette d’azione di RA e RB sono quelle riportate in figura.
Se le rette d’azione di P e di Q fossero state tali da incontrarsi in un punto compreso fra
i due collari, anzichè in un punto esterno ad essi, le forze RA e RB sarebbero state orientate
entrambe o verso l’alto o verso il basso.
2.2. COPPIA PRISMATICA
29
Una volta determinate le rette d’azione di RA e RB , il problema è quello di scomporre
la forza nota Q in tre forze P , RA e RB aventi rette d’azione assegnate. Il problema si può
risolvere con metodi grafici o analitici.
Graficamente, si può osservare che se le rette d’azione di tre forze passano tutte per uno
stesso punto, esterno alla retta d’azione della forza rimanente, si verifica l’impuntamento
dell’asta: in tali condizioni infatti non esiste alcun valore finito dell’intensità della quarta
forza che possa fare equilibrio alla risultante delle prime tre.
Risolviamo ora il problema con il metodo analitico, applicando cioè all’asta le equazioni
di equilibrio statico secondo Newton. Ciò ci permetterà anche di formulare analiticamente
la condizione di impuntamento.
Con riferimento alla Fig. 2.4, sia P la forza resistente, con retta d’azione passante per
l’asse della coppia prismatica, e F la forza di trazione, parallela a P ma con retta d’azione
traslata di una quantità pari a e (eccentricità). Nei punti di contatto A e B l’asta è soggetta
alle reazioni vincolari della guida, essendo TA e TB le componenti parallele all’asse, NA e NB
le componenti perpendicolari.
Figura 2.4: Fenomeno dell’impuntamento
Scriviamo le due equazioni di equilibrio alla traslazione dell’asta, e l’equazione di equilibrio alla rotazione prendendo come polo il punto A:
30
CAPITOLO 2. FORZE DI CONTATTO PER LE COPPIE ELEMENTARI



F − TB − P − TB = 0
NB − NA = 0


NB h − 2aTB − P a + F (a − e) = 0
(2.8)
Se ora si vuole trovare il valore della forza minima necessaria per muovere l’asta, è
sufficiente porsi nelle condizioni limite di aderenza. Tra le componenti tangenziali e normali
delle reazioni vincolari sussiste dunque la relazione:
(
TA = fa NA
TB = fa NB
(2.9)
Sostituendo tali relazioni nel sistema precedente, si ricava che la minima forza necessaria
per muovere l’asta è data da:
F =
P
1 − 2fha e
(2.10)
Pertanto F è tanto maggiore quanto maggiori sono P , fa ed e, ed è tanto minore
quanto maggiore è h. Il caso dell’impuntamento si verifica quando 2fa e/h = 1, perché il
denominatore si annulla e F tende ad infinito.
2.3
Coppia rotoidale
Esaminiamo ora l’equilibrio della coppia rotoidale. Supponiamo che il perno rotante sia
caricato da due forze esterne non passanti per l’asse della coppia: una forza resistente Q ed
una forza motrice P .
La forza R12 trasmessa al perno dalla sua sede deve fare equilibrio alla risultante della P
e della Q.
La forza resistente Q è nota ed è nota la sua linea di azione. Altri elementi noti sono: la
linea di azione della P , e l’angolo di attrito ϕ nel contatto fra gli elementi cinematici della
coppia rotoidale.
Si vuole trovare l’intensità della forza P capace di equilibrare la Q in condizioni di moto
uniforme. In Fig. 2.5 è rappresentata una possibile realizzazione della coppia. Sono anche
indicate le forze agenti nel piano medio della coppia.
Se non ci fossero attriti la reazione R12 sarebbe diretta secondo un raggio del perno e
pertanto passerebbe per l’asse della coppia rotoidale. A causa dell’attrito fra perno e sede
la R12 risulta inclinata dell’ angolo ϕ rispetto al raggio del perno passante per il punto del
contorno in cui la R12 può considerarsi applicata.
Ne discende che la R12 è tangente ad una circonferenza di raggio ρ = Rsinϕ (R è il raggio
del perno). Tale circonferenza è chiamata circolo di attrito (spesso il raggio del circolo di
attrito è espresso, in via approssimata, come prodotto di R per il coefficiente di attrito f .
Con i valori usuali di ϕ questa approssimazione è di solito legittima).
La R12 deve passare anche per il punto di incontro di Q e P . Le due condizioni, unitamente
alla considerazione che la R12 deve dare, rispetto all’asse del perno, momento che si oppone
al moto, permettono di individuare la retta di azione della R12 .
2.4. PIANO INCLINATO
31
Figura 2.5: Coppia rotoidale
Nota la linea di azione di R12 , la P può essere immediatamente calcolata in via grafica,
con la costruzione del triangolo delle forze.
Volendo procedere per via analitica conviene esprimere l’equilibrio dei momenti delle forze
attorno all’asse del perno. Si ottiene:
Qa + R12 ρ
b
Inoltre, applicando il teorema di Carnot al triangolo delle forze, si può scrivere:
R12 =
P =
(2.11)
q
(2.12)
P 2 + Q2 − 2P Q cos θ
Da queste due equazioni si possono calcolare P e la R12 .
2.4
Piano inclinato
Consideriamo infine l’equilibrio di un grave che poggia su di un piano inclinato (Fig. 2.6).
Tale sistema può essere considerato una coppia piana. Supponiamo noti, oltre al peso del
grave (forza resistente Q), l’inclinazione α del piano di appoggio rispetto ad un piano orizzontale, l’angolo di attrito ϕ e l’angolo θ che la forza motrice P forma con la normale al
piano inclinato. Ci proponiamo di calcolare l’intensità della forza P , in condizioni di moto
uniforme.
Non essendo richiesta la determinazione di R12 , una sola equazione è sufficiente per la
soluzione del quesito. Essa può essere scritta considerando l’equilibrio delle forze secondo
una direzione ortogonale alla R12 . Proiettando su tale direzione si ottiene:
P sin (θ + ϕ) = Q sin (α + ϕ) ⇒ P = Q sin(α+ϕ)
sin(θ+ϕ)
(2.13)
32
CAPITOLO 2. FORZE DI CONTATTO PER LE COPPIE ELEMENTARI
Figura 2.6: Piano inclinato
Capitolo 3
Il rendimento
Le forze (e le coppie) agenti sulle macchine possono essere classificate secondo diversi punti
di vista. Così, per esempio, una classificazione consiste nel distinguere le forze in motrici e
resistenti.
Una forza
• è motrice, se nel movimento della macchina compie lavoro positivo;
• è resistente, se compie lavoro negativo.
Distingueremo pure le forze in esterne ed interne.
• Le forze esterne derivano dall’azione di campi di forze (peso, forze d’inerzia) o di corpi
esterni alla macchina,
• Le forza interne sono le forze trasmesse fra i membri della macchina.
Due corpi a contatto fra loro si trasmettono una forza, nella quale in genere (sempre, se
fra i due corpi c’è moto relativo) è presente una componente dovuta all’attrito. Questa componente d’attrito costituisce una resistenza passiva e durante il moto compie lavoro negativo,
cioè dissipa energia.
Un effetto analogo danno pure resistenze passive di altro genere, come la resistenza che
un fluido esercita su un corpo che si muove immerso in esso, gli attriti interni dei fluidi
viscosi, e cosi via.
Un indice che ben si presta alla valutazione dell’energia spesa per attrito, così in una
coppia cinematica come in una macchina nel suo complesso, è il rendimento.
Consideriamo una macchina alla quale siano applicate dall’esterno una o più forze (o
coppie) resistenti ed una o più forze (o coppie) motrici.
Dopo un certo periodo di funzionamento della macchina le forze resistenti esterne abbiano
assorbito il lavoro Lr e le forze motrici abbiano erogato il lavoro Lm .
Come si è accennato poco sopra, le componenti d’attrito delle forze interne assorbono
lavoro. Indichiamo con Lp , questo lavoro perduto per attrito, riferito allo stesso periodo di
tempo.
Indichiamo con E l’energia cinetica della macchina (somma delle energie cinetiche dei
suoi membri) e prendiamo i lavori in valore assoluto.
33
34
CAPITOLO 3. IL RENDIMENTO
Se le variazioni di energia interna, come ad esempio quella elastica, sono trascurabili, vale
il seguente bilancio energetico:
Lm − Lr − Lp = ∆E
(3.1)
cioè la somma algebrica dei lavori compiuti, in un certo intervallo di tempo, da tutte le
forze agenti sulla macchina, è uguale alla variazione subita dall’energia cinetica nello stesso
intervallo di tempo.
Se il secondo membro dell’equazione si mantiene costantemente uguale a zero per un certo
intervallo di tempo del funzionamento della macchina, diciamo che la macchina funziona in
condizioni di regime assoluto.
In tale situazione vale la relazione:
Lm = Lr + Lp
(3.2)
Può accadere che durante il funzionamento di una macchina il secondo membro della (3.1)
risulti uguale a zero soltanto al termine di regolari intervalli di tempo. Può cioè accadere
che valga ancora l’equazione (3.2), ma a condizione che i lavori vengano valutati per tempi
uguali, o multipli interi, di un tempo base, chiamato periodo. Quando si verificano queste
circostanze si dice che la macchina funziona in condizioni di regime periodico.
É ovvio che le condizioni di regime, sia assoluto sia periodico, sono condizioni particolari, per quanto frequenti, di funzionamento per una macchina. In generale (per esempio
all’avviamento, all’arresto, nel passaggio da un regime all’altro) il secondo membro della 3.1
è diverso da zero, potendo essere, a seconda dei casi, positivo (ad esempio all’avviamento)
o negativo (ad esempio all’arresto). Di conseguenza, nel primo caso il lavoro motore prevale
sulla somma del lavoro resistente e del lavoro perduto; l’opposto accade nel secondo caso.
Questa condizione generale è chiamata transitorio meccanico
Ciò premesso, consideriamo una macchina che funzioni in condizioni di regime; valga cioè
la (3.2), con le limitazioni sopra menzionate per il caso di regime periodico. In tale situazione
definiamo rendimento della macchina il rapporto:
η=
Lr
Lm
(3.3)
É evidente che il rendimento è un numero sempre minore di uno.
• In alcuni casi (per certe coppie o per certe macchine strutturalmente semplici, realizzate con cura, funzionanti in condizioni particolarmente favorevoli) il rendimento può
assumere valori prossimi ad uno.
• In altri casi il suo valore può scendere a valori molto bassi, fino ad annullarsi o
addirittura a divenire negativo; caso questo cui corrisponde impossibilità di movimento.
Al rendimento può essere data anche un’espressione diversa. Se immaginiamo che la
macchina funzioni in condizioni ideali di assenza di attrito, si ha la seguente relazione:
Lm0 = Lr
(3.4)
nella quale con Lm0 si è indicato il lavoro motore richiesto in questa situazione puramente
ideale.
3.1. RENDIMENTO DELLE MACCHINE POSTE IN SERIE
35
Si può così scrivere:
Lm0
(3.5)
Lm
ossia il rendimento è anche dato dal rapporto fra il lavoro motore in condizioni ideali ed il
lavoro motore in condizioni reali.
Tale espressione del rendimento può essere ulteriormente trasformata. Se indichiamo
con P la forza motrice, con P0 la forza motrice in condizioni ideali di assenza di attrito,
ricordando che il lavoro è uguale al prodotto scalare della forza per il suo spostamento (che
è lo stesso sia per P , sia per P0 ), si può scrivere:
η=
P0
P
Indichiamo con perdita di rendimento la quantità:
η=
1−η =
Lp
Lm
(3.6)
(3.7)
Nel calcolo e nella determinazione sperimentale del rendimento di una macchina di rendimento elevato, è spesso conveniente fare uso di quest’ultima espressione; conviene, cioè,
giungere alla valutazione di η attraverso quella di 1 − η. Per rendersene conto basta osservare che l’uso di tale espressione permette l’introduzione, nel calcolo di Lp e di Lm di
espressioni approssimate, spesso preferibili, perchè più maneggevoli, alle espressioni esatte;
infatti eventuali errori, percentualmente anche sensibili, commessi nel calcolo di Lp ed Lm
incidono poco sul calcolo di 1 − η, se η è prossimo ad uno. Analogamente nella determinazione sperimentale di 1 − η poco incidono, se η è prossimo ad uno, errori percentualmente
sensibili compiuti dagli strumenti nella misura di Lp ed Lm .
3.1
Rendimento delle macchine poste in serie
Si consideri la trasmissione meccanica rappresentata in figura. In essa un motore M pone in
movimento una macchina operatrice O attraverso un certo numero di dispositivi intermedi
(una trasmissione a cinghia ed un riduttore R). Lo schema è un esempio di come si realizza
una disposizione di macchine in serie.
Tutti i componenti della serie sono interessati, prescindendo dalle perdite per attrito,
dall’intera potenza fornita dal motore, la quale viene in definitiva utilizzata sulla macchina
operatrice.
In generale un sistema di macchine disposte in serie può essere schematizzato come nella
figura successiva, dove fra il motore e la macchina operatrice sono stati inseriti n elementi
intermedi.
Si dimostra facilmente che il rendimento della serie di n componenti è uguale al prodotto
degli n rendimenti parziali.
A tal fine osserviamo che, se indichiamo ad esempio con Lr1 il lavoro resistente utile compiuto dalla macchina T1 , e con Lm2 il lavoro motore erogato alla macchina T2 , è Lr1 = Lm2 .
Analogamente si ottiene Lr2 = Lm3 .... Il rendimento della trasmissione è per definizione:
η=
Lrn
Lm1
(3.8)
36
CAPITOLO 3. IL RENDIMENTO
Figura 3.1: Macchine in serie
Figura 3.2: Più macchine in serie. Schema a blocchi.
Per quanto si è visto si può anche scrivere:
Lr1 Lr2 Lrn
Lrn
=
..
Lm1
Lm1 Lm2 Lmn
(3.9)
η = η1 η2 ..ηn
(3.10)
ossia:
3.2
Rendimento delle macchine poste in parallelo
Si consideri ora un impianto come quello schematizzato in figura, nel quale più macchine
operatrici ricevono potenza da uno stesso motore, attraverso differenti trasmissioni. Siamo
in presenza di una disposizione di macchine in parallelo; ciascuno dei rami della trasmissione
è percorso da una parte della potenza erogata dal motore.
In questo caso il rendimento della trasmissione vale
η=
Lr
Lr1 + Lr2 + .. + Lrn
η1 Lm1 + η2 Lm2 + .. + ηn Lmn
=
=
Lm
Lm1 + Lm2 + .. + Lmn
Lm
(3.11)
Ossia il rendimento del complesso è uguale alla media ponderata del rendimento dei singoli
componenti, essendo pesi i lavori motori.
Si può concludere che, mentre con la disposizione in serie il rendimento complessivo
risente direttamente del rendimento di ciascun componente, nella disposizione in parallelo
sul rendimento complessivo influiscono decisamente soltanto i rendimenti dei componenti che
assorbono una sensibile aliquota della potenza erogata dal motore.
3.3. MOTO RETROGRADO
37
Figura 3.3: Schema a blocchi di macchine in parallelo
Le considerazioni svolte possono essere facilmente estese al calcolo del rendimento di
impianti contenenti macchine con disposizioni miste, parte in serie e parte in parallelo.
3.3
Moto retrogrado
Consideriamo le semplicissime macchine rappresentate nelle figure che seguono: una carrucola ruotante attorno ad un asse fisso, sulla quale è avvolta una fune per il sollevamento di
un carico ed un piano inclinato sul quale è poggiato un grave. In entrambi i casi si è indicata
con Q la forza resistente, con P la forza motrice.
Figura 3.4: Esempio di macchina semplice
Supponiamo che, a partire da una condizione di funzionamento a regime, la forza motrice
si riduca di intensità. Può accadere che, a seguito di tale riduzione, la macchina si arresti e si
metta successivamente in movimento in senso opposto a quello normale, sotto l’azione della
forza Q divenuta motrice; come può accadere che il sistema, arrestatosi per la diminuzione
di intensità della P , rimanga in quiete, comunque si riduca il valore della P , fino al suo
38
CAPITOLO 3. IL RENDIMENTO
Figura 3.5: Esempio di macchina semplice
annullarsi. É probabile che la carrucola si comporti nel primo modo; mentre è probabile che
il piano inclinato si comporti nel secondo modo. La prima situazione si verifica quando il
rendimento del sistema nel moto diretto è abbastanza elevato, mentre la seconda situazione
si verifica quando il rendimento nel moto diretto è basso.
Quando si verifica la prima situazione diciamo che il sistema ammette moto retrogrado.
Ciò premesso, passiamo a considerare una macchina che funzioni in condizione di moto
retrogrado (cioè che si muova, in senso opposto, a quello di funzionamento diretto, sotto
l’azione della forza che nel moto diretto è la forza resistente); e calcoliamone il rendimento
nel moto retrogrado.
Il rendimento nel moto retrogrado η ′ è per definizione il rapporto fra il lavoro resistente
nel moto retrogrado L′r ed il lavoro motore nel moto retrogrado L′m :
η′ =
L′r
L′m
(3.12)
Tenendo presente che la forza Q, motrice nel moto retrogrado, è la forza resistente nel
moto diretto, e che pertanto, per uguali spostamenti nei due movimenti Lr = L′m si può
scrivere:
L′
η′ = r
(3.13)
Lr
A sua volta la perdita di rendimento nel moto retrogrado vale:
L′p
1−η =
Lr
′
(3.14)
dove si è indicato con L′p il lavoro perduto per attrito nel moto retrogrado.
Cerchiamo adesso una relazione fra η ed η ′ . É comodo passare attraverso la perdita di
rendimento. Si ottiene, dividendo membro a membro:
E dopo qualche passaggio:
L′p Lm
L′p 1
1 − η′
k
=
=
=
1−η
Lp Lr
Lp η
η
η′ =
η (1 + k) − k
η
(3.15)
(3.16)
la quale, noto che sia k, permette di trovare η ′ in funzione di η. Dalla precedente risulta, in
particolare, che η ′ < 0, ossia che il moto retrogrado è impossibile, se η < k/(1+k). Poichè k
3.3. MOTO RETROGRADO
39
è di norma poco diverso da uno, si giunge alla conclusione che il moto retrogrado
è possibile (ossia è η ′ ≥ 0) quando il rendimento nel moto diretto è superiore a
0, 5 circa. Per valori di η inferiori a 0, 5 non si ha moto retrogrado, ma l’arresto
del dispositivo.
40
CAPITOLO 3. IL RENDIMENTO
Capitolo 4
Accoppiamento motore-utilizzatore
La maggior parte dei sistemi meccanici comprende un motore, il quale sviluppa forze o
coppie motrici che compiono lavoro positivo, e un utilizzatore (o carico), che sviluppa
forze o coppie resistenti, le quali compiono lavoro negativo.
Il motore e l’utilizzatore sono solitamente accoppiati per mezzo di una trasmissione
meccanica.
Si potrebbero citare numerosissimi esempi di sistemi motore-utilizzatore. Si consideri un
ventilatore: il motore compie un lavoro positivo per vincere la resistenza aerodinamica delle
pale in movimento (la coppia resistente). Si consideri un argano che solleva un carico: la
forza resistente è costituita dal peso del carico sollevato. Se invece il carico si abbassa, in
questo caso il peso diventa la forza motrice e il momento frenante sviluppato dall’argano è
la coppia resistente.
Sia per il motore che per l’utilizzatore, le due grandezze fondamentali sono la coppia C
e la velocità (angolare) ω (nel caso di attuatori e utilizzatori in moto rettilineo si parlerà
ovviamente di forza e velocità lineare). Normalmente queste due grandezze (il cui prodotto,
lo ricordiamo, dà la potenza) sono dipendenti l’una dall’altra, pertanto C = C(ω), sia per
il motore che per l’utilizzatore. E’ allora possibile rappresentare graficamente la dipendenza
della coppia dalla velocità, ottenendo così la caratteristica meccanica, rispettivamente
del motore o dell’utilizzatore.
4.1
Caratteristica del motore
La caratteristica meccanica del motore è dunque una curva nel piano (C, ω). In Fig. 4.1
sono rappresentate, rispettivamente, le caratteristiche dei seguenti motori:
a) motore a combustione interna (ciclo Otto)
b) motore a combustione interna (ciclo Diesel)
c) motore elettrico asincrono
d) motore elettrico a corrente continua a eccitazione separata (o a magnete permanente)
e) motore elettrico a corrente continua eccitato in serie
f) motore idraulico.
La velocità di rotazione dipende principalmente da due fattori:
41
42
CAPITOLO 4. ACCOPPIAMENTO MOTORE-UTILIZZATORE
Figura 4.1: Caratteristiche meccaniche di alcuni motori
• dalla coppia che è richiesta dal carico;
• dal valore dei parametri di regolazione.
Quando si parla di velocità di un motore senza far riferimento alle condizioni di carico
ci si riferisce normalmente alla velocità nominale, ovvero alla velocità per la quale è stato
ottimizzato il progetto del motore, oppure alla velocità di funzionamento a vuoto,
ossia alla velocità assunta dal motore in assenza di carico (ricavabile dall’intersezione della
caratteristica con l’asse delle ascisse).
La relazione coppia-velocità (caratteristica meccanica) può essere valutata per via teorica
o per via sperimentale qualora si disponga di un carico con coppia resistente regolabile (ad
esempio un freno). Il rilievo sperimentale va effettuato a velocità costante per escludere
l’effetto di altri parametri meccanici (inerzia) o elettrici.
Questa caratteristica consente di studiare il comportamento del motore in alcune condizioni indipendentemente dalle caratteristiche elettriche sue e di tutto ciò che gli sta a
monte.
4.1. CARATTERISTICA DEL MOTORE
43
La curva caratteristica è particolarmente utile per studiare i casi in cui l’azionamento
funziona a regime stazionario, ma può dare qualche informazione anche sui transitori.
Figura 4.2: Esempi di variazione della curva caratteristica. Motore asincrono regolato in
frequenza (y = f )
Figura 4.3: Esempi di variazione della curva caratteristica. Motore c.c. regolato in tensione
(y = V )
Indichiamo con y (variabile di comando) le eventuali condizioni che possono essere mutate
a comando dall’esterno. Al variare di y la curva caratteristica del motore varia. Nei casi
più semplici y può assumere soltanto una piccola serie di valori prefissati, corrispondenti a
situazioni di tipo marcia avanti/indietro/arresto; all’estremo opposto, in presenza di variatori
elettronici, essa può essere rappresentata ad esempio dalla tensione di alimentazione (o dalla
intensità o dalla frequenza della corrente) e, quindi, può assumere con continuità una serie
di valori compresi tra un minimo ed un massimo.
44
CAPITOLO 4. ACCOPPIAMENTO MOTORE-UTILIZZATORE
Ovviamente, quando sul rotore (e quindi sull’albero d’uscita del motore) si genera una
coppia motrice Cm sullo statore (e, quindi, sulla parte fissa del motore) si genera una coppia
uguale e contraria; a causa di questo fenomeno bisogna sempre prevedere l’ancoraggio dello
statore sul basamento della macchina.
Scelto un verso positivo di rotazione, coppia e velocità assumono il valore positivo se
equiverse con esso.
Figura 4.4: Caratteristiche meccaniche dei motori (scala lineare)
Figura 4.5: Caratteristiche meccaniche dei motori (scale entrambe logaritmiche)
A scopo didattico è possibile definire tre tipi ideali di caratteristica meccanica del motore:
• retta verticale: il motore funziona come un generatore di velocità. Questi motori
girano a velocità costante indipendentemente dalla coppia richiesta dal carico (per
esempio il motore sincrono alimentato da corrente alternata a frequenza costante, o un
motore in corrente continua o brushless retroazionati in velocità).
4.2. FUNZIONAMENTO DA MOTORE, DA FRENO O DA GENERATORE
45
• retta orizzontale: il motore funziona come un generatore di coppia (ad esempio
motori in corrente continua o brushless comandati in corrente)
• iperbole equilatera: il motore funziona come generatore di potenza (per esempio,
un motore in corrente continua con eccitazione in serie o universale approssima questa
curva)
Solitamente le curve caratteristiche reali dei motori differiscono da quelle indicate, ma
alcuni tratti possono approssimarle abbastanza bene.
4.2
Funzionamento da motore, da freno o da generatore
Assegnato un verso positivo per la coppia e la velocità, in generale il motore può trovarsi a
dover funzionare con valori positivi o negativi di coppia e/o velocità, ossia in uno qualunque
dei quattro quadranti del piano cartesiano < Cm , ωm >.
Indicando con Wm = Cm ωm la potenza meccanica generata dal motore, si avrà:
• primo e terzo quadrante, Wm > 0: funzionamento da motore
• secondo e quarto quadrante, Wm < 0: funzionamento da freno
Figura 4.6: Azionamento di un ascensore: possibilità di funzionamento
Il passaggio da un quadrante all’altro può avvenire senza soluzione di continuità (in
particolare anche senza variazioni di y), semplicemente al variare del carico resistente, perchè
normalmente le curve caratteristiche non sono limitate al primo quadrante.
Esse possono passare dal primo al quarto quadrante attraversando l’asse delle wm , nel
punto di funzionamento a vuoto, mentre possono passare dal primo al secondo quadrante
attraversando l’asse delle Cm nel punto di stallo.
46
CAPITOLO 4. ACCOPPIAMENTO MOTORE-UTILIZZATORE
In altri casi il passaggio avviene variando y (cioè modificando la curva caratteristica) con
continuità o meno, a seconda delle possibilità offerte dal tipo di azionamento.
Nel primo e nel terzo quadrante il motore funziona dunque come tale, fornendo potenza
al carico, mentre nel secondo e nel quarto quadrante il motore funziona da freno, sottraendo
potenza al carico.
In alcune situazioni tale potenza viene dissipata in calore, in altre invece il motore funziona da generatore (poiché le macchine elettriche sono reversibili) e una parte di essa viene
inviata verso la rete, e quindi recuperata, nella misura concessa dai dispositivi interposti tra
motore e rete. Si può quindi avere una frenatura dissipativa e una frenatura rigenerativa.
4.3
Campi operativi di un motore
Facendo variare il valore dei parametri per tutti i valori ammissibili, la curva caratteristica si
modifica e spazza una porzione del piano < Cm , ωm >. L’area spazzata rappresenta l’insieme
dei possibili punti di funzionamento del motore.
Figura 4.7: Campi di lavoro di un motore c.c. Sono indicate anche le zone continuativa e
intermittente
É necessario precisare che una porzione di ques’area viene definita zona di funzionamento continuativo e rappresenta le condizioni nelle quali il motore può funzionare per
tempo indefinito.
La restante zona, detta zona di funzionamento intermittente, rappresenta l’insieme
dei punti per il quale il motore può funzionare solo per brevi periodi, per evitare un eccessivo
surriscaldamento.
I limiti di queste zone dipendono da diversi fattori del motore stesso o dei suoi sistemi di
regolazione.
4.4. CURVA CARATTERISTICA DEL CARICO
47
Figura 4.8: Campi di lavoro di un motore asincrono alimentato direttamente da rete
I motori funzionano prevalentemente nel primo e terzo quadrante e le loro caratteristiche
di funzionamento sono generalmente simmetriche rispetto all’origine e, quindi, nei cataloghi
vengono spesso rappresentati solo i campi operativi relativi al primo quadrante.
Alcuni motori sono sprovvisti di sistemi di regolazione ed i loro campi operativi si riducono
a tratti di curve.
4.4
Curva caratteristica del carico
Similmente a quanto visto per il motore, è talvolta possibile o conveniente descrivere il comportamento del carico attraverso la sua caratteristica meccanica, ossia il legame intercorrente
tra la sua velocità ωr e la corrispondente coppia Cr richiesta per mantenerlo in movimento.
Per la scelta dei segni di Cr e ωr si usa una convenzione opposta rispetto a
quella impiegata per i motori: Scelto il verso positivo per la velocità ωr il segno di Cr è
positivo quando la coppia esercitata dal carico è resistente, ossia si oppone ad essa; pertanto
il carico si comporta effettivamente come tale quando il suo punto di funzionamento si trova
nel primo o nel terzo quadrante.
Normalmente la coppia Cr richiesta dal carico è la somma di altri due termini, uno
costante e uno crescente con la velocità. La componente predominante è generalmente la
prima nelle macchine utensili e nelle macchine di sollevamento e trasporto, mentre è la
seconda nelle pompe idrauliche, agitatori, mescolatori.
La curva caratteristica di un carico puramente passivo ovviamente si troverà solo nel
primo e terzo quadrante, passando dall’uno all’altro attraverso l’origine degli assi, punto che
rappresenta la tendenza del carico ad arrestarsi in assenza di una coppia motrice applicata
ad esso.
In presenza di perdite per attrito radente può essere presente una discontinuità nell’origine.
La caratteristica per velocità prossime allo zero assume quel valore di coppia (positiva o
negativa) che permette di vincere gli attriti di primo distacco e mettere in moto il carico, in
un verso o nell’altro.
48
CAPITOLO 4. ACCOPPIAMENTO MOTORE-UTILIZZATORE
Figura 4.9: Funzionamento nei quattro quadranti di un carico
Al crescere di ωr , normalmente cresce anche la coppia resistente Cr ; in qualche caso
tuttavia, limitatamente alla zona di velocità molto basse, si ha dapprima una diminuzione
di Cr , il che può dar luogo ad inconvenienti nel funzionamento.
Carichi di tipo non completamente passivo sono ad esempio quelli in cui interviene l’azione
di pesi che abbassandosi producono lavoro. In questi casi la curva caratteristica passa dal
primo al secondo quadrante in un punto la cui ordinata rappresenta la coppia necessaria
a tener fermo il carico e solo in un secondo tempo, per velocità negative sufficientemente
elevate, passa dal secondo al terzo quadrante.
É chiaro allora che in generale occorre predisporre un freno, che si inserisce o si disinserisce
automaticamente quando il motore viene spento o riacceso (motori autofrenanti), o che
interviene almeno quando la velocità si è già annullata (freni di stazionamento)
Le curve caratteristiche del carico possono variare in funzione delle mutate condizioni di
lavoro: ad esempio negli apparecchi di sollevamento possono traslare verticalmente a seconda
del peso che viene sollevato, in un tornio possono variare al variare del diametro del pezzo in
lavorazione. Pertanto si avranno tante curve caratteristiche del carico in relazioni a diversi
valori assunti da una variabile z rappresentativa delle diverse condizioni di lavoro possibili
(parametro di carico).
4.5
Luogo dei carichi
Analogamente a quanto visto per il motore, è possibile definire il campo operativo del
carico, chiamato comunemente luogo dei carichi. Per luogo dei carichi s’intende dunque
l’insieme delle condizioni di possibile funzionamento a regime in cui il carico possa trovarsi.
Il luogo dei carichi è rappresentato nel piano < Cr , ωr > da un’area delimitata da linee,
che in generale potranno avere un andamento diverso da quello delle curve caratteristiche.
Ad esempio, tali linee possono essere del tipo a velocità costante (una per la velocità min-
4.6. ACCOPPIAMENTO DIRETTO MOTORE-UTILIZZATORE
49
Figura 4.10: Curva caratteristica di un carico (a) puramente passivo, (b) non puramente
passivo
ima, l’altra per la velocità massima), del tipo a coppia costante, del tipo a coppia crescente
con la velocità, o del tipo a potenza costante.
Il luogo dei carichi è determinato, in generale, dall’insieme dei punti coppia-velocità di
regime che si possono determinare nelle diverse situazioni.
4.6
Accoppiamento diretto motore-utilizzatore
In una minoranza di casi il motore è collegato direttamente all’utilizzatore (un esempio
classico è dato da un ventilatore). In tal caso, la condizione di funzionamento a regime si
può ottenere molto facilmente riportando nello stesso piano le caratteristiche meccaniche
del motore e dell’utilizzatore: poiché a regime la coppia motrice deve essere uguale a quella
resistente, le coordinate del punto di intersezione tra le due curve sono proprio i valori di
coppia e di velocità cercati (Fig. 4.12). Ovviamente a regime, in condizioni di accoppiamento
diretto, motore e utilizzatore hanno la stessa velocità.
Nel caso si voglia regolare la velocità di regime del sistema, si dovrà agire sulla variabile di
regolazione y già menzionata in precedenza, in modo tale che la caratteristica meccanica del
motore si sposti finchè il punto di intersezione con la curva del carico sia quello desiderato.
La potenza erogata dal motore (che ovviamente coincide con quella assorbita dal carico,
essendo il sistema in condizioni di regime), è:
Wm = Cm ωm = Cr ωr = Wr
(4.1)
50
CAPITOLO 4. ACCOPPIAMENTO MOTORE-UTILIZZATORE
Figura 4.11: Luogo dei carichi
4.7
Accoppiamento motore-utilizzatore mediante riduttore di velocità
In molti casi è conveniente implementare un sistema in cui motore e utilizzatore hanno
velocità angolari diverse (tipicamente ωm > ωr ), tra loro in rapporto costante. Per realizzare
ciò, si interpone tra motore e carico un riduttore di velocità, che ha lo scopo di adattare
le caratteristiche meccaniche del motore (coppia e velocità) a quelle del carico.
Infatti i motori generalmente possono generare velocità molto superiori a quelle richieste
dai carichi, mentre le coppie erogabili sono limitate.
Supponendo di trascurare le perdite di potenza per attrito all’interno del riduttore (ipotesi
spesso non lontana dalla realtà), l’effetto del riduttore consiste nel ridurre la velocità ed
amplificare la coppia con lo stesso rapporto:
ωr = τ ωm
(4.2)
Cm = τ Cr
(4.3)
dove ωr e ωm sono la velocità del motore e del carico e Cr e Cm le rispettive coppie; τ è
detto rapporto di trasmissione e generalmente si ha τ < 1.
Le precedenti equazioni si ottengono considerando che, nella situazione ideale di assenza di
perdite all’interno del riduttore (η = 1), la potenza erogata dal motore a regime deve essere
uguale alla potenza assorbita dall’utilizzatore. Dall’eguaglianza delle potenze (Cm ωm =
Cr ωr ) si ottengono allora le equazioni precedenti, che dicono come il rapporto tra le coppie
applicate agli alberi di uscita e di ingresso del riduttore sia inversamente proporzionale al
rapporto delle rispettive velocità.
L’albero più lento è quindi sottoposto ad una coppia più grande, mentre l’albero più
veloce è sottoposto ad una coppia più piccola.
4.7. ACCOPPIAMENTO MOTORE-UTILIZZATORE MEDIANTE RIDUTTORE DI VELOCITÀ51
Figura 4.12: Accoppiamento diretto motore-carico
L’ipotesi di riduttore ideale in molti casi non è lontana dalla realtà, in quanto si possono
spesso avere rendimenti molto elevati (superiori a 0,96-0,98).
Se invece le perdite nel riduttore non sono trascurabili, le precedenti equazioni assumono
la forma:
η
ωm
Cm = Cm
ωr
τ
(4.4)
1 ωm
1
Cm = ∗ Cm
∗
η ωr
τη
(4.5)
Cr ωr = ηCm ωm ⇒ Cr = η
nel caso di moto diretto, e
Cr ωr η ∗ = Cm ωm ⇒ Cr =
nel caso di moto retrogrado (il motore funziona da freno). η e η ∗ sono i rendimenti di
moto diretto e di moto retrogrado.
Quanto enunciato rimane valido anche nella situazione, meno frequente, in cui la velocità
del motore sia inferiore a quella del carico a cui deve essere accoppiato. L’unica differenza,
in questo caso, è che τ > 1: si avrà pertanto un moltiplicatore di velocità.
52
CAPITOLO 4. ACCOPPIAMENTO MOTORE-UTILIZZATORE
Figura 4.13: a) sistema reale; b) sistema ridotto all’asse motore; c) sistema ridotto all’asse
utilizzatore
4.7.1
Riduzione all’asse motore e all’asse utilizzatore
Un modo conveniente di rappresentare l’accoppiamento motore-utilizzatore in presenza di
riduttore si basa sulla cosiddetta riduzione, che può essere effettuata all’asse motore,
oppure all’asse utilizzatore.
Nel primo caso, il sistema viene rappresentato come un accoppiamento diretto equivalente, con motore e utilizzatore che ruotano alla velocità ωm del motore. Il sistema risulta
sottoposto all’azione di una coppia resistente equivalente Cr∗ = τ Cr , che a regime è pari alla
coppia Cm erogata dal motore. La Cr∗ è detta coppia resistente ridotta all’asse motore.
Nel secondo caso, il sistema viene rappresentato come un accoppiamento diretto equivalente, con motore e utilizzatore che ruotano alla velocità ωr dell’utilizzatore. Il sistema risulta
∗
allora sottoposto all’azione di una coppia motrice equivalente Cm
= Cm /τ , che a regime è
∗
pari alla coppia Cr assorbita dall’utilizzatore. La Cm è detta coppia motrice ridotta all’asse
utilizzatore.
La Fig. 4.13 illustra il concetto di riduzione del sistema.
La riduzione del sistema ad un unico asse, sia esso quello motore o quello utilizzatore,
consente di determinare in modo agevole il punto di funzionamento. Da un punto di vista
grafico, la procedura di riduzione consiste nel riportare le caratteristiche meccaniche del
motore e dell’utilizzatore sul medesimo piano (C, ω): il loro punto di intersezione fornirà la
velocità angolare del sistema a regime.
Si consideri ad esempio la Fig. 4.14, ove sono riportate le caratteristiche meccaniche
di un motore e di un carico che devono essere accoppiati tramite un riduttore di rapporto
di trasmissione τ , e si supponga di voler ridurre il sistema all’asse utilizzatore. Si tratterà
allora di riportare nel piano (Cr , ωr ) la caratteristica meccanica del motore ridotta all’asse
∗
utilizzatore, ovvero il grafico della coppia motrice equivalente Cm
= Cm /τ in funzione della
velocità dell’utilizzatore ωr = τ ωm . Ciò significa che il grafico originario della Cm si modificherà moltiplicando il valore dell’ascissa di ogni suo punto per τ e dividendo per lo stesso
4.7. ACCOPPIAMENTO MOTORE-UTILIZZATORE MEDIANTE RIDUTTORE DI VELOCITÀ53
Figura 4.14: Accoppiamento motore-carico con riduttore: determinazione del punto di
funzionamento a regime
Figura 4.15: Riduzione della curva caratteristica del motore nel piano del carico
τ il valore della corrispondente ordinata (vedi Fig. 4.15).
L’intersezione della curva così ottenuta con la caratteristica meccanica del carico fornisce
il punto di funzionamento a regime nel piano dell’utilizzatore, le cui coordinate daranno
pertanto la velocità del carico e la coppia assorbita dallo stesso. Il loro prodotto sarà la
potenza assorbita dal carico.
Per determinare velocità, coppia e potenza del motore basterà poi usare le equazioni (4.2)
e (4.3).
Lo stesso risultato può essere ovviamente ottenuto riducendo il sistema all’asse motore
anziché all’asse utilizzatore. In questo caso si dovrà riportare la caratteristica del carico nel
piano del motore, dividendo per τ il valore dell’ascissa di ogni punto e moltiplicando per lo
stesso τ il valore della corrispondente ordinata (vedi Fig. 4.16).
La procedura di riduzione qui descritta può essere anche svolta senza ricorrere ai grafici,
eguagliando le formulazioni analitiche delle due caratteristiche meccaniche, avendo cura che
54
CAPITOLO 4. ACCOPPIAMENTO MOTORE-UTILIZZATORE
Figura 4.16: Riduzione della curva caratteristica del carico nel piano del motore
Figura 4.17: Curve caratteristiche del motore ridotte al carico rappresentate in diagrammi
logaritmici
le grandezze (coppia e velocità) che compaiono nell’equazione risultante risultino riferite allo
stesso asse.
Se le curve sono riportate in diagrammi logaritmici, poichè moltiplicare o dividere per τ
equivale ad aggiungere o togliere log τ , queste trasformazioni equivalogono a traslazioni delle
curve caratteristiche lungo rette inclinate di 45◦ (vedi Fig. 4.17 e Fig. 4.18).
4.7.2
Trasformazione di un moto rotatorio in un moto rettilineo
I concetti sopra esposti rimangono validi anche nel caso (non infrequente) in cui l’utilizzatore,
anziché ruotare, si muove di moto rettilineo.
Un esempio classico è costituito da un argano che solleva un carico tramite una fune che
si avvolge su di esso (Fig. 4.19).
In condizioni di regime, la potenza Wm fornita dal motore è uguale alla potenza Wr
assorbita dall’utilizzatore, ovvero:
4.8. FUNZIONAMENTO A REGIME E IN TRANSITORIO
55
Figura 4.18: Curve caratteristiche del carico ridotte al motore rappresentate in diagrammi
logaritmici
Cm ωm = Fr vr
(4.6)
Cm = Fr vr /ωm
(4.7)
da cui:
Il rapporto di riduzione τ = vr /ωm in questo caso non è una grandezza adimensionale, ma
ha le dimensioni di una lunghezza. Esaminando la Fig. 4.19, si vede come esso coincida con
il raggio r del tamburo su cui si avvolge la fune, in quanto la relazione tra velocità periferica
e velocità angolare è data da: v = ωr.
4.8
Funzionamento a regime e in transitorio
Come già evidenziato, se il carico viene direttamente collegato al motore (presa diretta) le
loro velocità coincidono ωr = ωm = ω ∗ ; inoltre, a regime, deve essere Cr = Cm = C ∗ , ossia
il punto di funzionamento del sistema motore-carico è dato dall’intersezione delle due curve
caratteristiche, quella del motore e quella del carico.
Infatti, se la macchina funzionasse a velocità inferiore alla velocità di regime ω ∗ allora risulterebbe Cr < Cm , il motore ed il carico accelerebbero fino a raggiungere la condizione Cr = Cm . Analogamente, per ω < ω ∗ la condizione Cr > Cm , provocherebbe un
rallentamento. La condizione di equilibrio è, dunque, possibile solo per ω = ω ∗ .
Il punto di funzionamento può essere cambiato agendo sulla variabile di comando y,
che modifica la caratteristica meccanica del motore, tuttavia esso può variare anche se y
resta costante a causa delle possibili variazioni della caratteristica meccanica del carico,
rappresentate dalla variabile z, che talvolta assume il significato di grandezza di disturbo, in
quanto spesso non è modificabile per effettuare il controllo del movimento.
56
CAPITOLO 4. ACCOPPIAMENTO MOTORE-UTILIZZATORE
Figura 4.19: Trasformazione di un moto rotatorio in un moto rettilineo
Se y e/o z variano piuttosto lentamente si può ritenere che la velocità angolare ω e la
coppia trasmessa varino seguendo istante per istante gli spostamenti del punto d’intersezione
delle due curve caratteristiche. In altre parole, per variazioni lente si può ipotizzare che il
sistema passi attraverso una sequenza di condizioni di regime.
Per variazioni più rapide bisogna invece tale ipotesi non è più valida, ed è necessario
studiare il sistema in condizioni di transitorio meccanico.
Consideriamo, ad esempio, il caso che in un certo istante motore e carico direttamente
accoppiati (ma, come vedremo, quanto segue vale anche per accoppiamento con riduttore
qualora si considerino le coppie e le inerzie ridotte ad un medesimo asse) abbiano velocità ω̄
diversa da quella di regime.
Le due coppie Cm e Cr corrispondenti al medesimo valore della velocità ω̄ differiscono tra
di loro della quantità dovuta alle coppie di inerzia del motore e del carico (vedi Fig. 4.20).
L’equazione differenziale che governa il transitorio meccanico di un sistema motoreutilizzatore è data da:
dω
dt
Quindi il motore e il carico accelerano con una accelerazione angolare data da:
Cm − Cr = (Jm + Jr )
Cm − Cr
dω
=
dt
(Jm + Jr )
(4.8)
(4.9)
4.9. STABILITÀ DEL FUNZIONAMENTO A REGIME
57
Figura 4.20: Accoppiamento motore-carico
Integrando questa equazione differenziale si ottiene l’andamento della velocità angolare ω
durante il transitorio.
Si ricordi che, in presenza di rapide variazioni dell’accelerazione, conseguenti a rapide
variazioni di y o z, non si possono in generale più trascurare i transitori interni al motore
ed al carico, e di conseguenza bisogna schematizzare meglio il motore attraverso equazioni
che permettano di evidenziare i transitori elettrici, e schematizzare in modo altrettanto
approfondito il carico mediante modelli matematici di ordine più elevato.
4.9
Stabilità del funzionamento a regime
Analizzando il transitorio meccanico nell’intorno di un punto di funzionamento a regime si
può valutare se esso sia stabile o meno.
Facciamo riferimento alla Fig. 4.21, dove sono tracciate la curva caratteristica di un
motore e quelle di tre diversi carichi.
I due carichi descritti dalle curve Cr1 e Cr3 hanno un unico punto di funzionamento a
regime (intersezione tra Cm e Cr ), che è stabile perché un eventuale aumento della velocità farebbe aumentare la coppia resistente più di quella motrice, mentre una diminuzione
produrrebbe l’effetto opposto.
Invece, per il carico descritto dalla curva Cr2 si hanno due possibili condizioni di funzionamento a regime, rappresentate rispettivamente dai punti A e B di intersezione delle
caratteristiche meccaniche del motore e del carico.
É facile verificare che il punto A rappresenta una condizione di funzionamento stabile:
difatti se la velocità diminuisce risulta Cm > Cr , l’accelerazione risulta positiva e la velocità
torna ad aumentare, viceversa se la velocità aumenta risulta Cm < Cr , l’accelerazione risulta
negativa e la velocità torna a diminuire.
Invece nel punto B il funzionamento è instabile: basta un piccolo aumento, o una
diminuzione, di ω perché le coppie producano una accelerazione che tende ad allontanare
ulteriormente la velocità ω dal valore di regime.
La condizione di stabilità o di instabilità non dipende esclusivainente dalla caratteristica
58
CAPITOLO 4. ACCOPPIAMENTO MOTORE-UTILIZZATORE
Figura 4.21: Stabilità del funzionamento a regime
meccanica del motore: ad esempio il punto B risulterebbe stabile se la curva caratteristica
del carico, invece di essere quella indicata con Cr2 fosse quella indicata con Cr3 in figura.
La regola che si ricava da quanto esposto è che il punto considerato è stabile se la
pendenza della curva Cm (ω) è inferiore a quella della curva Cr (ω), instabile nel
caso opposto.
Con riferimento alla Fig. 4.21, possiamo anche osservare che il motore si può avviare per
gli utilizzatori rappresentati dalle curve Cr1 e Cr3 ma non nel caso della curva Cr2 . Infatti,
in questo caso per ω = 0 la coppia resistente supera quella motrice.
Tuttavia anche in questo caso, qualora la macchina venga avviata con qualche mezzo
esterno in modo che superi il punto B, essa si porterà a funzionare correttamente nel punto
A.
4.10
Transitorio e tempo di avviamento
Consideriamo un semplice caso in cui un carico sia destinato a funzionare a velocità costante.
Il motore, avviato da fermo all’istante t = 0, impiegherà un certo tempo ta vv a raggiungere
la velocità di regime ω̄. Per determinare il tempo impiegato a raggiungere tale condizione è
necessario studiare il transitorio ed integrare un’equazione differenziale, ottenendo:
tavv =
tZavv
0
dt =
Zω̄
0
ω̄
Z
Jm + Jr
1
dω =
dω
ω̇
Cm − Cr
(4.10)
0
Sia la coppia motrice che quella resistente possono dipendere dalla velocità rendendo
molto difficile o impossibile l’integrazione per via analitica. Quindi l’integrale è spesso
calcolato per via numerica.
La Fig. 4.22 illustra, come esempio, il caso di un motore asincrono alimentato dalla rete,
direttamente collegato ad un carico avente coppia crescente con la velocità (ad esempio una
4.11. IL TRANSITORIO IN UN SISTEMA MOTORE-UTILIZZATORE CON RIDUTTORE DI VELO
Figura 4.22: Calcolo del tempo di avviamento: esempio
pompa centrifuga). Motore e carico a regime raggiungono la velocità ω̄ = ∆ω1 + ∆ω2 +
∆ω3 + ∆ω4 .
Si può allora pensare di dividere il tempo di avviamento complessivo in brevi intervalli,
durante i quali le variazioni della coppia motrice e della coppia resistente sono piccole: tali
coppie possono quindi essere supposte costanti in ogni intervallo, e di conseguenza il tempo
∆ti necessario per ottenere la variazione di velocità ∆ωi può essere calcolato come:
Jm + Jr
Cm,i − Cr,i
Il tempo di avviamento si ottiene sommando la durata di tutti gli intervalli:
∆ti ≈ ∆ωi
tavv ≈
X
i
∆ti ≈ (Jm + Jr )
X
i
∆ωi
Cm,i − Cr,i
(4.11)
(4.12)
Si noti che non è necessario che i vari intervalli ∆ω siano identici. Ovviamente la
precisione aumenta con il numero degli intervalli considerati.
4.11
Il transitorio in un sistema motore-utilizzatore con
riduttore di velocità
Si voglia ora studiare il transitorio in un sistema in cui motore e utilizzatore sono accoppiati
da una trasmissione meccanica comprendente uno o più stadi. All’uopo si consideri l’esempio
raffigurato nella Fig. 4.23: il nostro obiettivo è di ottenere l’equazione differenziale che
rappresenta la dinamica del sistema, in modo da poter calcolare l’accelerazione del carico,
giungendo anche alla importante definizione di inerzia ridotta.
Il sistema comprende un motore collegato ad un argano di sollevamento tramite una
coppia di ruote di frizione aventi raggi r1 e r2 . Sul tamburo T dell’argano è avvolta una fune
che porta ad una estremità la massa m da sollevare.
60
CAPITOLO 4. ACCOPPIAMENTO MOTORE-UTILIZZATORE
Figura 4.23: Analisi delle forze in un sistema motore-utilizzatore durante il transitorio
Sia C1 la coppia erogata dal motore, e si supponga che sul tamburo, oltre al momento
creato dal peso della massa m, agisca una coppia resistente C2 . Siano J1 e J2 i momenti di
inerzia rispettivamente del motore e del tamburo.
Propedeutica alla scrittura delle equazioni dinamiche del sistema è la definizione di un
verso positivo per gli spostamenti (siano essi traslazioni o rotazioni) dei vari elementi del
sistema.
Nel nostro caso, fissiamo come positivo il verso della rotazione dell’asse motore, e quindi
della velocità ω1 e dell’accelerazione ω̇1 della ruota 1. La ruota 2, che ha verso di rotazione discorde, avrà quindi velocità ω2 e accelerazione ω̇2 negative. Per quanto riguarda la traslazione
della massa m, fissiamo come positivo il verso dal basso in alto.
Il rapporto di trasmissione tra l’asse 1 e l’asse 2 può essere facilmente ricavato osservando
che nel punto di contatto le due ruote di frizione devono avere in valore assoluto la stessa
velocità periferica v = ω1 r1 = ω2 r2 . Pertanto il rapporto di trasmissione vale:
4.11. IL TRANSITORIO IN UN SISTEMA MOTORE-UTILIZZATORE CON RIDUTTORE DI VELO
τ = ω2 /ω1 = r1 /r2
(4.13)
τ risulta essere anche il rapporto tra le accelerazioni angolari:
τ = ω̇2 /ω̇1 = r1 /r2
(4.14)
Il rapporto di trasmissione tra la massa (in moto rettilineo) e il tamburo (in moto rotatorio) è invece dato, come si è visto in precedenza, dal raggio del tamburo, che è pari a D/2.
Si ha pertanto:
ż = ω2
D
2
(4.15)
D
(4.16)
2
Considerando per semplicità prive di attrito le reazioni vincolari dei supporti dei due
assi, possiamo ora scrivere le equazioni dinamiche del sistema, in particolare le equazioni di
equilibrio alle rotazioni per gli assi 1 e 2.
L’equazione di equilibrio alle rotazioni secondo Newton per l’asse 1 è data da:
z̈ = ω̇2
C1 − F r1 − J1 ω̇1 = 0
(4.17)
ove C1 è la coppia motrice, F la componente tangenziale della forza di contatto (aderenza)
tra le ruote di frizione, −J1 ω̇1 la coppia di inerzia.
Si noti che le reazioni vincolari nei supporti e la componente normale N della forza di
contatto tra le ruote di frizione non danno contributo all’equazione dei momenti, in quanto
le loro rette di azione passano per l’asse e dunque il loro braccio è nullo.
Si presti inoltre attenzione al segno di ognuno dei termini della equazione (4.17), determinati considerando positivo il verso della coppia C1 e della accelerazione angolare ω̇1 ,
concorde con essa. La coppia d’inerzia −J1 ω̇1 ha allora segno negativo per definizione, mentre
il momento −F r1 ha il segno negativo perché discorde con C1 .
L’equazione di equilibrio alle rotazioni secondo Newton per l’asse 2 è data da:
D
D
+ mz̈ = 0
(4.18)
2
2
Per determinare il segno dei termini in questa equazione, si consideri il fatto che l’accelerazione angolare ω̇2 dell’asse 2 è discorde con ω̇1 . La coppia d’inerzia, che ha sempre verso
opposto all’accelerazione angolare, sarà allora concorde con ω̇1 , pertanto il termine J2 ω̇2 si
troverà ad avere segno positivo. Lo stesso ragionamento vale per la coppia d’inerzia generata
dalla forza peso, ovvero mz̈ D2 . C2 ha verso positivo perché, essendo la coppia resistente, ha
verso discorde con ω2 e quindi è concorde con ω1 .
Dalla (4.18) ricaviamo F :
C2 − F r2 + J2 ω̇2 + mg
C2 + J2 ω̇2 + mg D2 + mz̈ D2
F =
r2
che poi andiamo a sostituire nella (4.17), ottenendo:
(4.19)
62
CAPITOLO 4. ACCOPPIAMENTO MOTORE-UTILIZZATORE
r1
D
D
(4.20)
(C2 + J2 ω̇2 + mg + mz̈ ) − J1 ω̇1 = 0
r2
2
2
Per impostare la procedura di riduzione all’asse motore, conviene portare al secondo
membro i termini che contengono le grandezze cinematiche (in questo caso le accelerazioni
ω̇1 , ω̇2 e z̈), ottenendo:
C1 −
r1
D r1
D r1
r1
C2 − mg
= J1 ω̇1 + J2 ω̇2 + mz̈
(4.21)
r2
2 r2
r2
2 r2
Effettuiamo ora la riduzione all’asse motore, ovvero esprimiamo tutte le accelerazioni che
compaiono al secondo membro in funzione della ω̇1 , secondo la (4.14) e la (4.16). Si ottiene:
C1 −
D
D
= (J1 + J2 τ 2 + mτ 2 ( )2 )ω̇1
2
2
da cui finalmente l’espressione dell’accelerazione dell’asse motore:
C1 − C2 τ − mgτ
ω̇1 =
C1 − C2 τ − mgτ D2
Ceq,1
D 2 =
2
2
Jeq,1
J1 + J2 τ + mτ ( 2 )
(4.22)
(4.23)
Si noti che ω̇1 può essere ottenuta come il rapporto tra la coppia equivalente ridotta
all’asse motore Ceq,1 = C1 − C2 τ − mgτ D2 e l’inerzia equivalente ridotta all’asse
motore Jeq,1 = J1 + J2 τ 2 + mτ 2 ( D2 )2 .
Ai fini del calcolo dell’accelerazione angolare dell’asse motore, l’intero sistema è pertanto
equivalente ad un unico corpo rigido rotante attorno all’asse, soggetto all’azione della coppia
equivalente Ceq,1 e avente momento di inerzia equivalente Jeq,1 . Si dice allora che il sistema
è stato ridotto all’asse motore.
La procedura di riduzione può ovviamente essere effettuata rispetto ad un altro asse del
sistema, diverso dall’asse motore. In generale:
• la coppia equivalente si ricava sommando algebricamente tutte le coppie e momenti moltiplicati per il rapporto di trasmissione fra il loro asse e l’asse
rispetto al quale viene effettuata la riduzione
• l’inerzia equivalente si ottiene invece sommando tutti i momenti di inerzia moltiplicati per il quadrato del rapporto di trasmissione fra il loro asse e l’asse
rispetto al quale viene effettuata la riduzione.
Vediamo infatti che riducendo il sistema dell’esempio all’asse 2, l’accelerazione angolare
ω̇2 è data da:
ω̇2 =
C1 τ − C2 τ 2 − mgτ 2 D2
C1 /τ − C2 − mg D2
Ceq,2
=
D 2
D 2 =
2
2
2
Jeq,2
J1 + J2 τ + mτ ( 2 )
J1 /τ + J2 + m( 2 )
(4.24)
e quindi può essere ottenuta applicando le regole enunciate sopra, tenuto conto del fatto
che il rapporto di trasmissione dell’asse 1 rispetto all’asse 2 è 1/τ .
La riduzione può essere effettuata anche rispetto a z, ovvero all’asse verticale di movimento della massa. In questo caso i rapporti di trasmissione degli assi 1 e 2 rispetto a z sono
2/Dτ e 2/D; l’accelerazione lineare z̈ è allora:
4.12. EFFETTI DELLA VARIAZIONE DEL RAPPORTO DI TRASMISSIONE
z̈ =
2
C1 Dτ
− C2 D2 − mg
Feq,z
=
2 2
2 2
meq,z
J1 ( Dτ ) + J2 ( D ) + m
63
(4.25)
Ovviamente in questo caso, trattandosi di un’accelerazione lineare, si avrà una forza
equivalente e una massa equivalente ridotte all’asse z.
Anche il transitorio meccanico può essere studiato riconducendosi al caso di accoppiamento diretto, pur di sostituire ai momenti di inerzia reali i momenti di inerzia ridotti. Tale
riduzione, come visto, avviene secondo il quadrato del rapporto di trasmissione.
L’equazione di equilibrio dinamico ridotta all’albero motore è dunque data da:
Cm − Cr∗ = (Jm + Jr∗ )
dωm
dt
(4.26)
´ dω
m
(4.27)
dωr
dt
(4.28)
ossia
³
Cm − τ Cr = Jm + τ 2 Jr
dt
mentre la stessa equazione, ridotta all’albero condotto, diviene:
∗
∗
Cm
− Cr = (Jm
+ Jr )
ossia
dωr
Jm
Cm
− Cr =
(4.29)
+
J
r
τ
τ2
dt
Come considerazione conclusiva, si può osservare che, benché nella maggior parte dei casi
il momento di inerzia dell’utilizzatore sia più grande di quello del motore, nell’espressione
dell’inerzia equivalente ridotta all’asse motore esso compare moltiplicato per il quadrato del
rapporto di trasmissione, quindi per una quantità che può essere molto minore di 1. Ciò
comporta che in parecchi casi il contributo del momento di inerzia dell’utilizzatore possa
essere trascurato rispetto a quello dell’inerzia del motore.
4.12
µ
¶
Effetti della variazione del rapporto di trasmissione
Si vogliano ora studiare gli effetti di una variazione di τ sul punto di funzionamento a
regime di un sistema motore-utilizzatore. Supponiamo di avere effettuato la riduzione all’asse
utilizzatore, e consideriamo motori con diverse caratteristiche meccaniche.
Motore generatore ideale di velocità
In Fig. 4.24 (diagramma logaritmico) è rappresentata una generica curva caratteristica di un
∗
utilizzatore Cr , nonché le curve caratteristiche Cm
di un motore generatore ideale di velocità,
ridotte all’asse utilizzatore, in corrispondenza di diversi valori di τ .
∗
In questo caso la velocità ωm , del motore è fissa mentre, a seconda del valore di τ , la Cm
è data da una serie di segmenti verticali nel piano < Cr , ωr >, corrispondenti ai vari valori
di ωr = τ ωm . Si noti che l’ampiezza di tali segmenti diminuisce all’aumentare di τ , essendo
∗
Cm,max
= Cm,max /τ .
64
CAPITOLO 4. ACCOPPIAMENTO MOTORE-UTILIZZATORE
Figura 4.24: Effetto della variazione di τ - motore generatore ideale di velocità
Si vede allora che la velocità di regime del carico aumenta all’aumentare di τ (almeno
finché la coppia massima ridotta non scende sotto quella richiesta dal carico: dopodiché non
c’è più condizione di regime).
In questo caso, quindi, se si vuole modificare la velocità di regime del carico può essere
utilizzato un cambio di marce, ovvero un dispositivo che permette di scegliere il rapporto
di trasmissione fra un numero finito di valori.
Motore generatore ideale di coppia
Nel caso rappresentato in Fig. 4.25 la Cr è uguale a quella del caso precedente, ma il motore
è un generatore ideale di coppia, con curva caratteristica data da un segmento orizzontale,
∗
di ampiezza crescente all’aumentare di tau (in quanto ωm,max
= τ ωm,max ). In questo caso
∗
all’aumentare di τ diminuisce la coppia Cm , per cui la velocità di regime del carico aumenta
al diminuire di τ e si diminuisce all’aumentare di τ (almeno finché la velocità del carico
non supera la velocità massima erogabile dal motore, dopodiché non c’è più condizione di
regime).
Anche in questo caso, quindi, se si vuole modificare la velocità di regime del carico si può
utilizzare un cambio di marce, con l’avvertenza che per aumentare ω occorre diminuire τ .
Motore generatore ideale di potenza
Nel caso rappresentato in Fig. 4.26 il motore è un generatore ideale di potenza, con curva
∗
caratteristica inclinata di -45◦ . In questo caso al variare di τ , la curva caratteristica Cm
trasla su se stessa, e di conseguenza la velocità di regime del carico ωr non varia (varia solo
quella del motore ωm ).
In questo caso un cambio di marce è perfettamente inutile. Questo è ciò che accade, ad
esempio, nei veicoli azionati con un motore in c.c. eccitato in serie, come i tram, che infatti
non hanno cambio di marce.
4.13. CRITERI DI VERIFICA E DI SCELTA DEL MOTORE E DEL RIDUTTORE 65
Figura 4.25: Effetto della variazione di τ - motore generatore ideale di coppia
Motore con caratteristica generica
Nel caso generale il motore ha una curva caratteristica complessa. Spesso, tuttavia, è possibile suddividere approssimativamente la curva in varie zone di funzionamento: a coppia
costante, a potenza costante e a velocità costante. L’effetto sulla velocità di regime della
variazione di τ è allora ricavabile considerando i tre casi visti in precedenza. Con riferimento
alla Fig. 4.27, si può osservare come all’aumentare di τ la velocità di regime del carico ωr
dapprima aumenti, poi raggiunga un valore massimo e infine diminuisca.
4.13
Criteri di verifica e di scelta del motore e del riduttore
Tra le problematiche di natura ‘pratica’che si incontrano in ambiente industriale, due sono
particolarmente importanti:
• la verifica della taglia del motore di una macchina funzionante in condizioni specificate;
• la scelta del motore e del riduttore di velocità adatti a movimentare una macchina in
condizioni prefissate.
La prima di queste operazioni (verifica) è più semplice della seconda e può essere svolta
in maniera certa ed automatica. Al contrario l’operazione di scelta è più complicata, può
richiedere scelte soggettive e talvolta deve venire svolta in forma iterativa eseguendo i seguenti
passi:
1. svolgere un’analisi del sistema;
2. in base ai risultati del passo precedente effettuare una scelta del motore e del riduttore;
3. verificare l’ammissibilità della scelta;
66
CAPITOLO 4. ACCOPPIAMENTO MOTORE-UTILIZZATORE
Figura 4.26: Effetto della variazione di τ - motore generatore ideale di potenza
4. se la verifica non è positiva, ritornare al punto 1 o 2 modificando le scelte ed eseguendo
nuove verifiche ripetendo queste operazioni finchè esse non siano positive.
L’operazione di verifica consiste essenzialmente nel controllare che il campo operativo
del motore copra quello del carico, sia per quanto riguarda le condizioni di regime che quelle
di transitorio.
In particolare, occorre verificare che:
• per ogni condizione di funzionamento, il punto coppia-velocità sia all’interno del campo
operativo intermittente,
• i valori nominali di coppia e velocità stiano all’interno del campo operativo continuativo.
Per quanto riguarda la scelta, va innanzitutto osservato che essa riguarda non solo il
motore, ma anche il riduttore di velocità.
L’operazione di scelta del gruppo motore-riduttore prevede di analizzare la macchina ed
ipotizzare una o più soluzioni da verificare.
Nei paragrafi seguenti vengono descritti i criteri di scelta del gruppo motore-riduttore a
seconda della natura del carico da movimentare. Si possono prevedere i seguenti casi:
1. Carichi a velocità costante
2. Carichi statici
In questo caso il carico si muove a velocità quasi costante o variabile con lentezza,
cosicché le azioni inerziali non esistono o sono trascurabili rispetto alle altre (ovvero
rispetto alle coppie resistenti).
3. Carichi dinamici
Le variazioni di velocità sono di frequenza, e soprattutto di intensità tale, che le coppie
di inerzia non possono essere trascurate rispetto alle coppie resistenti.
4.14. SCELTA DEL MOTORE E DEL RIDUTTORE PER CARICHI A VELOCITÀ COSTANTE67
Figura 4.27: Effetto della variazione di τ - motore con caratteristica generica
4.14
Scelta del motore e del riduttore per carichi a velocità costante
In molte situazioni il carico funziona a velocità fissa e richiede una coppia costante. Il
riduttore migliore è quello che consente di utilizzare il motore di taglia inferiore. La taglia,
detta più propriamente potenza nominale, è la potenza che il motore può erogare in maniera
continuativa.
Nel caso di carichi a velocità costante la scelta più ovvia è quella di scegliere un motore
che, almeno approssimativamente, sia un generatore ideale di velocità.
La procedura di scelta prevede i seguenti passi:
1) individuata la condizione di funzionamento più gravosa (coppia resistente massima) si
identifica il valore di coppia resistente Cr e si calcola la potenza resistente Wr = Cr ωr che
deve essere fornita;
2) La taglia del motore si sceglie in maniera che la potenza nominale sia superiore a quella
resistente, in modo da tener conto del rendimento del riduttore:
Wm ≥ Wr /η
(4.30)
τ = ωr /ωm
(4.31)
3) Il rapporto di riduzione si calcola infine dal rapporto tra la velocità del carico e quella
nominale del motore:
.
A seconda dei motori e dei riduttori disponibili si possono individuare più gruppi motoreriduttore adatti. La scelta definitiva va fatta con criteri economici o analizzando altri fattori
quali, ad esempio, il tempo di avviamento.
Quando la velocità del carico lo consente, si può valutare la possibilità di eliminare il
riduttore di velocità, assumendo, perciò τ = 1.
68
CAPITOLO 4. ACCOPPIAMENTO MOTORE-UTILIZZATORE
In generale si deve comunque tener conto delle seguenti limitazioni::
• la curva di coppia motrice non è perfettamente verticale
• non sempre esisterà in commercio un riduttore il cui valore di τ è quello richiesto.
4.15
Scelta del motore e del riduttore per carichi statici
Definiamo statici quei carichi che funzionano a velocità pressoché costante o lentamente
variabile; pertanto le azioni inerziali non esistono o sono di entità trascurabile rispetto alle
altre.
La scelta del gruppo motore-riduttore si basa sostanzialmente sull’idea che il campo operativo del motore, ridotto all’asse utilizzatore, deve interamente sovrapporre il campo operativo del carico (si fa generalmente riferimento al campo operativo
continuativo).
Questa idea, descritta in dettaglio nel paragrafo successivo, prende il nome di adattamento statico dei campi operativi.
4.15.1
Adattamento statico dei campi operativi
Come già detto, normalmente tra motore e carico è previsto un riduttore di velocità, dato
che normalmente il carico richiede coppie alte e velocità basse rispetto a quanto fornito da
motori di pari potenza.
Quindi se cercassimo di sovrapporre i campi di lavoro di motore e carico senza interporre
un riduttore di velocità ci troveremmo facilmente in una situazione come quella rappresentata
in figura 4.28
Figura 4.28: Campi di lavoro di motore e carico a confronto
L’utilizzo di un riduttore di velocità comporta, come sappiamo, una trasformazione delle
curve caratteristiche nel passaggio dal piano del motore < Cm , ωm > al piano dell’utilizzatore
< Cr , ωr > e viceversa.
4.15. SCELTA DEL MOTORE E DEL RIDUTTORE PER CARICHI STATICI
69
Figura 4.29: Adattamento statico del campo operativo del motore per mezzo di riduttore di
velocità
Figura 4.30: Necessità di scelta di un motore con potenza esuberante
Per quanto riguarda i campi operativi, si deve osservare che, nella procedura di riduzione,
le curve che delimitano il campo di funzionamento del motore e il luogo dei carichi subiscono
lo stesso tipo di trasformazioni illustrate per le curve caratteristiche. In particolare, nei
diagrammi in scala logaritmìca (che vengono usati di preferenza in questa procedura), tali
curve traslano nella direzione a −45◦ di una quantità corrispondente al valore di τ .
La Fig. 4.29 illustra la procedura di adattamento statico, che può essere schematizzata
nei seguenti passi:
1. si calcola la potenza massima richiesta dal carico. Essa sarà data da Wr = Cr ωr,max ;
2. nel piano < C, ω > si traccia la retta inclinata a −45◦ passante per il punto del luogo
dei carichi a potenza massima. Tale retta è il luogo dei punti di potenza pari a Wr ;
3. per tener conto del rendimento del riduttore (η < 1), la potenza nominale richiesta al
motore sarà data almeno da Wm = ηWr . Si traccia nel piano < C, ω > la retta Wm ;
70
CAPITOLO 4. ACCOPPIAMENTO MOTORE-UTILIZZATORE
Figura 4.31: Ricoprimento del luogo dei carichi usando un cambio di marce MODIFICARE FIGURA!!!
4. si effettua la scelta del motore in modo tale che il punto di potenza massima del
suo campo operativo si trovi sulla retta Wm . In tal modo, si è scelto un motore di
taglia (potenza nominale) Wm , che in genere non ricoprirà il luogo dei carichi, essendo
tipicamente Cm < Cr e ωm,max > ωr,max ;
5. il ricoprimento del luogo dei carichi si effettua traslando il campo operativo del motore
lungo la retta Wm . L’entità della traslazione determina il valore di τ del riduttore;
6. la scelta di τ non è univoca, potendo collocarsi fra un valore τmax , corrispondente
all’eguaglianza delle velocità massime di motore e carico con un surplus di coppia, e
un valore τmin , corrispondente all’eguaglianza delle coppie massime di motore e carico
con un surplus di velocità.
In formule, dovrà essere:
ωm,max ≥
ωr,max
ωr,max
⇒ τ ≥ τmin =
τ
ωm,max
Cm,max ≥ τ Cr,max ⇒ τ ≤ τmax =
Cm,max
Cr,max
(4.32)
(4.33)
E’ evidente che per un buon adattamento statico, ovvero per avere un buon ricoprimento
dei campi operativi senza eccessivi esuberi di potenza, è necessario scegliere un tipo di motore
il cui campo di lavoro abbia, almeno approssimativamente, la stessa forma del luogo dei
carichi. Non rispettando questa regola si è costretti a scegliere un motore di taglia eccessiva,
con un corrispondente aumento dei costi.
La Fig. 4.30 illustra quanto affermato: in questo caso il motore ha un campo operativo a
coppia costante, mentre il luogo dei carichi è in parte a coppia costante, in parte a potenza
costante. Non esiste allora alcun valore di τ che permetta il ricoprimento completo del luogo
dei carichi senza esubero di potenza; si dovrà quindi necessariamente utilizzare un motore di
4.16. SCELTA DEL MOTORE E DEL RIDUTTORE PER CARICHI DINAMICI
71
′
coppia nominale Cm1 e velocità nominale ωr,max , con conseguente inutilizzo di buona parte
del campo operativo del motore stesso (il triangolo in alto a destra).
E’ questo il motivo per cui, ad esempio, nelle macchine utensili gli assi ed il mandrino
sono azionati da motori distinti: gli assi hanno infatti un luogo dei carichi a coppia costante,
il mandrino a potenza costante.
4.15.2
Cambi di velocità
Per realizzare una buona sovrapposizione dei campi operativi di motore e carico, quando
questi abbiano forma diversa, si può impiegare un variatore meccanico di velocità di tipo a
gradini, detto brevemente cambio di velocità o cambio di marce.
Si veda la Fig. 4.31: il campo di funzionamento del motore è a coppia costante, mentre il
luogo dei carichi è prevalentemente a potenza costante. Se viene utilizzato un unico valore di
τ , il motore richiesto presenterà avere una notevole esuberanza di potenza (curva tratteggiata
in figura).
Per ottenere una prima sensibile riduzione della potenza del motore, basterebbe allora un
cambio di velocità con due sole marce, che darebbero luogo a due distinti campi operativi,
capaci, nel loro insieme, di ricoprire l’intero luogo dei carichi.
Ulteriori riduzioni della potenza installata si possono ottenere aumentando il numero di
marce, sino ad arrivare, come limite, al caso di un variatore meccanico continuo, che
permette di minimizzare la potenza richiesta al motore.
Rispetto ad un variatore continuo, i cambi di marcia hanno il difetto di non consentire
una variazione continua del rapporto di trasmissione, ma hanno una serie di vantaggi:
• semplicità di costruzione
• lunga durata
• notevole capacità di carico
• rendimento elevato
• basso costo
per cui vengono spesso preferiti ai variatori continui.
4.16
Scelta del motore e del riduttore per carichi dinamici
Un carico è definito dinamico se le sue variazioni di velocità sono tali da generare coppie
di inerzia non più trascurabili rispetto alle coppie resistenti. La scelta del gruppo motoreriduttore per un carico dinamico è un argomento vasto e complesso, per il quale si preferisce
rimandare il lettore interessato a testi più specialistici, mentre in questa sede saranno solo
descritti i principi generali della procedura di scelta.
Si osservi innanzitutto che, a differenza di quanto avviene per i carichi statici, per i
carichi dinamici gioca un ruolo fondamentale la legge del moto, con i relativi diagrammi di
72
CAPITOLO 4. ACCOPPIAMENTO MOTORE-UTILIZZATORE
Figura 4.32: Legge di velocità trapezoidale
velocità ed accelerazione. In certi casi tale legge sarà assegnata, in altri è possibile sceglierla
o perlomeno modificarne i parametri, il che consente di adottare un motore di taglia minore.
A titolo di esempio, si consideri il caso di un carico costituito da un posizionatore automatico, per il quale è stata definita una legge di velocità trapezoidale (Fig. 4.32). Il valore
della pendenza delle rampe del trapezio determina il valore dell’accelerazione e della decelerazione, e di conseguenza le azioni inerziali sul sistema, influendo quindi sulla scelta del
gruppo motore-riduttore.
Una volta scelta la legge di moto, si dovrà selezionre il motore tra quelli di taglia minima,
nonché il riduttore che minimizzi la coppia.
Nel caso di carichi dinamici movimentati con cicli di periodo T , assume particolare importanza la definizione della coppia nominale, ovvero la coppia che può essere erogata in
maniera continuativa senza provocare surriscaldamenti del motore. Per motori elettrici, il
valore di questa coppia (detta anche ‘coppia termica’) è assunto pari alla coppia quadratica
media, indicata con RM S (Root Mean Square) e definita da:
Crms =
s
1ZT 2
C (t)dt
T 0
(4.34)
Le condizioni che devono essere soddisfatte nella scelta del gruppo motore-riduttore per
carichi dinamici sono pertanto le seguenti:
1. la massima coppia istantanea erogabile dal motore deve essere maggiore o uguale alla
somma della coppia resistente e delle coppie di inerzia, ridotte all’asse motore:
ist
Cm,max
¯
¯
¯
¯ Jm
¯
+ τ Jr )ω̇r + τ Cr ¯¯
≥ ¯(
τ
(4.35)
2. la coppia nominale del motore deve essere maggiore o uguale alla coppia RMS del
carico, ovviamente ridotta all’asse motore:
nom
Cm
≥ τ Cr,rms
(4.36)
4.16. SCELTA DEL MOTORE E DEL RIDUTTORE PER CARICHI DINAMICI
73
3. la velocità massima del motore, ridotta al carico, deve essere maggiore o uguale di
quella richiesta dal carico:
1
ωm,max ≥ ωr,max
(4.37)
τ
4. la taglia (potenza nominale) del motore va scelta in modo tale che il prodotto della
sua coppia nominale per la velocità massima sia maggiore o uguale alla potenza RMS
richiesta dal carico, a seguito dell’azione resistente e delle azioni inerziali:
nom
Cm
ωm,max ≥ (Cr + Jr ω̇r )rms ωr,max
(4.38)
Il problema è abbastanza complesso, perché alcuni parametri presenti nelle equazioni
precedenti (ad esempio Jm ) dipendono dal motore, e quindi non sono noti finché non è stata
effettuata una scelta; inoltre, come si è già visto, anche la legge di moto ha la sua influenza;
infine la coppia massima del motore dipende in genere dalla velocità. E’ quindi necessario
adottare una procedura iterativa di scelta e successiva verifica, secondo i seguenti passi:
1. scegliere, quando possibile, una legge di moto opportuna
2. effettuare una prima scelta del motore e riduttore secondo un certo criterio (di solito
l’obiettivo è quello di ridurre la coppia RMS)
3. verificare che la scelta effettuata rispetti tutti i vincoli sopra elencati; in caso contrario,
ritornare ai passi precedenti
4.16.1
Adattamento dinamico del motore al carico
L’adattamento dinamico del motore al carico consiste nella scelta del valore del rapporto
di trasmissione che consente di ottimizzare il transitorio, nel senso di garantire al sistema
le migliori prestazioni dinamiche, ovvero la massima facilità di variazione della velocità
del carico. E’ pertanto evidente che il valore ottimo di τ sarà quello che rende massima
l’accelerazione del carico.
Consideriamo per brevità solamente il caso in cui la coppia resistente sia trascurabile
rispetto alla coppia di inerzia, cioè il carico sia puramente inerziale: Cr = 0 (per il caso
generale valgono comunque le medesime considerazioni).
Dalla equazione dinamica (4.27), che qui riscriviamo per comodità:
³
Cm − τ Cr = Jm + τ 2 Jr
´ dω
m
dt
riducendo all’asse utilizzatore e ponendo Cr = 0 si ottiene:
dωr
Jm
Cm =
+ τ Jr
τ
dt
da cui:
¶
µ
dωr
=
dt
Jm
τ
1
Cm
+ τ Jr
(4.39)
(4.40)
(4.41)
74
CAPITOLO 4. ACCOPPIAMENTO MOTORE-UTILIZZATORE
Per una prefissata coppia motrice, Il valore ottimo di τ , che rende massima l’accelerazione
del carico, è quello che minimizza la quantità a denominatore del secondo membro. Tale
valore si ricava quindi imponendo:
d
dτ
ossia:
µ
Jm
+ τ Jr = 0
τ
(4.42)
−
Jm
+ Jr = 0
τ2
(4.43)
¶
da cui:
s
Jm
(4.44)
Jr
Si vede quindi che in corrispondenza di questo valore τott l’inerzia del motore ridotta al
carico eguaglia quella del carico. Si è così realizzato il cosiddetto adattamento dinamico
del motore al carico.
La condizione ottima, da un punto di vista dinamico, è dunque quella in cui i momenti
d’inerzia del motore e del carico ridotti al medesimo asse sono uguali: le energie cinetiche
del motore e del carico sono uguali tra loro, sicchè della potenza motrice metà servirà ad
accelerare il motore mentre l’altra metà attraverserà il riduttore e andrà ad accelerare il
carico.
In tale condizione l’accelerazione assume il suo valore massimo, che risulta:
τott =
dωr
Cm
)max = √
(4.45)
dt
2 Jm Jr
Nel caso di carichi dinamici, è dunque opportuno scegliere il riduttore in modo che τ
abbia un valore abbastanza prossimo a τott , per assicurare al sistema elevate prestazioni
dinamiche.
Come regola empirica, per applicazoni non troppo spinte si assume che il rapporto tra inerzia motrice e quella del carico ridotta all’albero motore sia compreso tra 4 e 1/4, ottenendo
quindi τott /2 < τ < 2τott . Ovviamente nelle applicazioni più spinte, quali il controllo d’assi, è
necessario scegliere valori di τ uguali o abbastanza vicini a τott , in modo da assicurare elevate
prestazioni dinamiche.
(
4.17
Regime periodico
Come già enunciato nel capitolo 3, un sistema puo’ trovarsi, oltre che nella condizione di
regime (assoluto) o in quella di transitorio, anche nella condizione di regime periodico, in
cui il bilancio energetico del sistema sia nullo non istante per istante, ma per multipli di un
determinato intervallo di tempo detto periodo. In questa condizione la coppia motrice e/o
quella resistente variano periodicamente nel tempo, il che causa fluttuazioni periodiche della
velocità del sistema.
Il regime periodico è abbastanza comune nel funzionamento delle macchine; conviene
pertanto affrontare il problema con un approccio generale, estendendo i concetti visti in
4.17. REGIME PERIODICO
75
precedenza di inerzia e coppia ridotta all’asse motore al caso più generico di un sistema
meccanico a un grado di libertà.
4.17.1
Inerzia e coppia ridotta alla coordinata libera per un sistema
meccanico a un grado di libertà
Dato un sistema meccanico, la posizione di un qualunque suo punto viene a dipendere in
maniera univoca (a meno di simmetrie) da un certo numero (finito o infinito) di variabili
indipendenti, dette coordinate libere. Esse, se sono in numero finito, costituiscono un
vettore q = [q1 q2 ...qn ]T , chiamato configurazione del meccanismo.
Si può quindi affermare che, detta P = [xP yP zP ]T la posizione di un generico punto P
del sistema rispetto ad un sistema di riferimento assoluto, P = P(q).
Le coordinate libere vengono anche chiamate gradi di libertà (abbreviato in GDL o
DOF, dall’inglese degrees of freedom) del sistema meccanico.
Tra i sistemi meccanici, i più importanti sono quelli a un grado di libertà. I sistemi
motore-utilizzatore visti finora sono tutti a un grado di libertà, la coordinata libera q del
sistema essendo l’angolo di rotazione dell’asse motore.
Vediamo ora di studiare la dinamica di un sistema meccanico ad un grado di libertà,
generalizzando le equazioni dinamiche di un sistema motore-utilizzatore.
Si è visto in precedenza che l’accelerazione angolare ω̇m dell’asse motore è data dal rapporto tra la coppia equivalente ridotta all’asse motore e l’inerzia equivalente ridotta al medesimo
asse, e che la procedura di riduzione si effettua moltiplicando le forze e le coppie per i rapporti di trasmissione τ dei relativi assi, e moltiplicando i momenti di inerzia per il quadrato
degli stessi rapporti di trasmissione.
Si è visto altresì che l’energia cinetica complessiva T del sistema è data da:
1
2
T = Jeq,m ωm
2
(4.46)
essendo Jeq,m l’inerzia del sistema ridotta all’asse motore. Negli esempi finora visti essa
è costante, in quanto i rapporti di trasmissione che compaiono nella sua espressione sono
risultati costanti. In generale però i rapporti di trasmissione possono non essere costanti, ma
dipendere dalla posizione del sistema e quindi, in ultima istanza, dal valore della coordinata
libera q: τ = τ (q).
In generale, si può dunque affermare che l’energia cinetica di un sistema varia al variare
della coordinata libera, in quanto l’inerzia è dipendente da q. Possiamo allora scrivere
l’equazione che dà l’energia cinetica di un sistema meccanico a un grado di libertà:
1
T = A(q)q̇ 2
2
(4.47)
ove q̇ è la velocità della coordinata libera (quindi del motore) e A(q) è l’inerzia ridotta
alla coordinata libera. Come detto, essa dipende da q in quanto si ricava da:
A(q) =
X
i
Ji τi2 (q) +
X
j
mj τj2 (q)
(4.48)
76
CAPITOLO 4. ACCOPPIAMENTO MOTORE-UTILIZZATORE
con i rapporti di trasmissione per le rotazioni τi (q) e per le traslazioni τj (q) che non sono
costanti, ma dipendono in generale da q.
Analogamente all’inerzia, e possibile definire la coppia ridotta alla coordinata libera
come:
X
Q(q) =
Ci τi (q) +
i
X
Fj τj (q)
(4.49)
j
ove τi (q) e τj (q) sono i rapporti di trasmissione degli spostamenti associati alle coppie Ci
e alle forze Fj agenti sul sistema.
In definitiva, A(q) e Q(q) sono l’estensione di Jeq,m e Ceq,m al caso più generale di un
sistema meccanico in cui i rapporti di trasmissione non siano costanti, ma dipendano da q.
4.17.2
Grado di irregolarità del moto periodico
Dato un sistema meccanico in regime periodico, la velocità ω = q̇ della coordinata libera
subisce delle fluttuazioni che si ripetono con una certa periodicità T . Il periodo T definisce
il ciclo del moto periodico.
Si definisce grado di irregolarità del moto il rapporto:
ωmax − ωmin
q̇max − q̇min
=
(4.50)
ωmedia
q̇media
ovvero il rapporto fra la massima variazione della velocità all’interno del ciclo e la velocità
media.
Per determinare il grado di irregolarità del moto di un sistema meccanico, si deve calcolare
come varia la velocità q̇ in funzione della coordinata libera q: come si vedrà, l’andamento di
q̇(q) dipende dall’inerzia ridotta del sistema e dalla coppia risultante, ridotta alla coordinata
libera.
Ricaviamo innanzitutto l’espressione del lavoro compiuto dalle coppie e forze agenti sul
sistema nel tempo da 0 a t∗ , a cui corrisponde uno spostamento della ccordinata libera da 0
a q ∗ . Il lavoro è dato da:
g=
L(t∗ ) =
t∗
Z
0
X
(
Ci ωi +
i
X
Fj vj )dt
(4.51)
j
Effettuando la riduzione alla coordinata libera dell’espressione precedente, ovvero esprimendo ciascuna delle ωi e delle vj in funzione di q̇, si ottiene:
∗
L(t ) =
Z
t∗
Z
q∗
0
L(q ) =
0
Ci τi (q) +
i
e quindi per sostituzione:
∗
X
(
X
(
i
X
Fj τj (q))q̇dt
(4.52)
j
Ci τi (q) +
X
Fj τj (q))dq
(4.53)
j
Considerando ora che q ∗ è stato scelto arbitrariamente, e ricordando la definizione (4.49)
di coppia ridotta alla coordinata libera Q(q), si ottiene l’espressione del lavoro in funzione
della variabile q:
4.17. REGIME PERIODICO
77
L(q) =
Z
q
0
(4.54)
Q(r)dr
Il lavoro così ottenuto (preso con il suo segno) coincide con la variazione dell’energia
cinetica T del sistema in corrispondenza dello spostamento da 0 a q della coordinata libera:
∆T (q) = T (q) − T (0) = L(q) =
Z
0
q
Q(r)dr
(4.55)
Se L(q) > 0 si avrà dunque un incremento dell’energia cinetica, viceversa se L(q) < 0 si
avrà un decremento.
E’ ovvio che, trovandoci in regime periodico, il lavoro netto compiuto per un ciclo (o per
un numero intero di cicli) sarà nullo:
Lciclo =
Z
0
2π
Q(r)dr = 0
(4.56)
Rimane ora da esplicitare q̇(q), in modo tale da poter ottenere come varia la velocità
all’interno del ciclo. Esprimendo l’energia cinetica del sistema in funzione dell’inerzia ridotta
alla coordinata libera, si ottiene:
da cui:
Z q
1
1
T (q) − T (0) = A(q)q̇ 2 (q) − A(0)q̇ 2 (0) =
Q(r)dr
2
2
0
v
u
u A(0)
q̇ 2 (0) +
q̇(q) = t
A(q)
2 Zq
Q(r)dr
A(q) 0
(4.57)
(4.58)
Questa equazione può essere utilizzata per determinare il grado di irregolarità del moto di
un sistema in regime periodico, a partire dalla conoscenza dell’inerzia ridotta e della coppia
risultante, ridotta alla coordinata libera.
4.17.3
Progetto del volano
Figura 4.33: Rappresentazione del ciclo nel piano (A, T)
78
CAPITOLO 4. ACCOPPIAMENTO MOTORE-UTILIZZATORE
Figura 4.34: Determinazione di Jv
Tipicamente, eccessive fluttuazioni della velocità sono indesiderate: è quindi opportuno
mantenere il valore del grado di irregolarità g al di sotto di una soglia prefissata, in modo
tale da regolarizzare il moto del sistema.
Ciò può essere fatto aggiungendo all’albero motore un volano, ovvero un componente
(tipicamente un disco) avente momento di inerzia costante Jv . Si tratta ora di calcolare il
valore di Jv necessario per portare il sistema ad avere il grado di irregolarità g desiderato:
in ciò consiste il progetto (o sintesi) del volano.
Risolviamo dapprima il problema nel caso in cui l’inerzia ridotta alla coordinata libera
sia costante: A(q) = Jeq,m = cost. La soluzione si ottiene facilmente combinando le seguenti
equazioni:
• la definizione di grado di irregolarità del moto:
g=
ωmax − ωmin
ωmedia
(4.59)
• l’espressione approssimata della velocità media (accettabile in quanto g è generalmente
piccolo):
ωmax + ωmin
ωmedia =
(4.60)
2
• l’espressione della massima variazione di energia cinetica all’interno del ciclo, coincidente con il lavoro meccanico fornito nella fase di accelerazione:
1
2
2
− ωmin
)
∆T = ∆L = Jeq,m (ωmax
2
(4.61)
Si ottiene allora:
g=
∆L
2
Jeq,m ωmedia
(4.62)
e quindi il valore di Jeq,m necessario per ottenere il grado di irregolarità periodica desiderato è dato da:
4.17. REGIME PERIODICO
79
∆L
(4.63)
2
gωmedia
La procedura appena vista è accettabile in molti casi; tuttavia, se si desidera una maggiore
accuratezza, e in ogni caso qualora l’inerzia ridotta del sistema non sia costante, è necessario
utilizzare una metodologia più sofisticata, basata su una sintesi grafica.
Partendo dalle (4.59) e (4.60), si possono ricavare i valori delle velocità massima e minima
durante il ciclo:
Jeq,m =
g
q̇max = ωmax = (1 + )ωmedia
2
(4.64)
g
q̇min = ωmin = (1 − )ωmedia
(4.65)
2
La procedura grafica qui illustrata prevede di rappresentare il ciclo del sistema nel piano
(A, T ), ovvero in un diagramma avente per ascissa l’inerzia ridotta A e in ordinata l’energia
cinetica T .
Con riferimento alla Fig. 4.33, il sistema nella generica configurazione q sarà dunque
rappresentato da un punto P della curva chiusa; la velocità q̇ in tale configurazione sarà
correlata al valore della tangente dell’angolo α che la congiungente il punto P all’origine
degli assi (A, T ) forma con l’asse delle ascisse.
Infatti, dalla (4.47) si ricava:
1 2 T (q)
q̇ =
= tanα(q)
(4.66)
2
A(q)
Ora, volere che la velocità all’interno del ciclo sia compresa tra un valore minimo e uno
massimo dati dalle (4.64) e (4.65) equivale a imporre che la curva che rappresenta il ciclo sia
compresa tra due rette aventi pendenze tanαmin e αmax date rispettivamente da:
1 2
tanαmin = q̇min
2
(4.67)
1 2
tanαmax = q̇max
(4.68)
2
Il ciclo considerato non soddisfa tali condizioni (altrimenti significherebbe che il moto è
già regolarizzato senza necessità di volano): è necessario quindi traslare il sistema (A, T ) in
modo tale da individuare un nuovo sistema (A′ , T ′ ) la cui origine coincide con il punto di
intersezione delle due rette, tangenti al ciclo, aventi pendenze tanαmin e tanαmax (si veda la
Fig. 4.34).
In tal modo si è sicuri che la congiungente qualsiasi punto del ciclo con l’origine del nuovo
sistema di riferimento avrà pendenza compresa tra tanαmin e tanαmax , il che significa che
nessun punto all’interno del ciclo avrà velocità superiore a q̇max né inferiore a q̇min .
Il moto è stato dunque regolarizzato, e l’entità della traslazione orizzontale degli assi
fornisce il valore del momento di inerzia del volano Jv , che va aggiunto all’albero motore in
modo tale da aumentare l’inerzia del sistema di una quantità costante: A′ (q) = A(q) + Jv .
Il progetto del volano, ovvero il calcolo del momento di inerzia aggiuntivo Jv necessario
per ottenere il valore desiderato dell’irregolarità periodica g, può anche essere svolto per via
80
CAPITOLO 4. ACCOPPIAMENTO MOTORE-UTILIZZATORE
numerica, semplicemente ‘traducendo’ il metodo grafico in equazioni di geometria analitica
del piano.
Pertanto, con riferimento alla Fig. 4.34, la tangente tanβ alla curva è data da:
dT
tanβ =
=
dA
dT
dq
dA
dq
=
Q(q)
dA
dq
= f (q)
(4.69)
ove f (q) una funzione non lineare nota, essendo date sia Q(q) che A(q).
L’equazione precedente si risolve sostituendo a β i valori αmin e αmax , in modo da ottenere
le soluzioni qmin e qmax , che sono i valori della coordinata libera in corrispondenza dei quali
si hanno rispettivamente le velocità minima e massima del ciclo.
Tali valori possono essere utilizzati per calcolare le coordinate dei punti del piano (A, T )
corrispondenti alle velocità minima e massima, come segue:
Amin = A(qmin )
Amax = A(qmax )
Tmin = T (qmin ) =
Tmax = T (qmax ) =
Z
qmin
Z 0qmax
0
(4.70)
(4.71)
Q(r)dr
(4.72)
Q(r)dr
(4.73)
Per ricavare la traslazione orizzontale che fornisce il valore del momento di inerzia del
volano Jv è ora sufficiente eguagliare l’espressione analitica della retta di pendenza tanαmin ,
passante per il punto di coordinate (Amin , Tmin ), con la retta di pendenza tanαmax , passante
per il punto di coordinate (Amin , Tmin ):
Tmin + tanαmin (A − Amin ) = Tmax + tanαmax (A − Amax )
(4.74)
L’equazione così ricavata si risolve nell’incognita A, ottenendo il valore cercato Jv = −A.
4.18
Equilibramento dei rotori
Nei sistemi motore-utilizzatore in cui siano presenti alberi posti in rotazione attorno al proprio asse è fondamentale considerare la questione dell’equilibramento. I rotori, ovvero gli
alberi con le masse ad essi solidali, devono essere globalmente equilibrati, in modo tale da
minimizzare le vibrazioni e le sollecitazioni dei supporti.
Un rotore si dice equilibrato staticamente se il suo baricentro si trova sull’asse di
rotazione. In questo caso, essendo nulla la distanza tra baricentro e asse di rotazione, è
complessivamente nulla la forza centrifuga agente sul rotore.
Al contrario, se il baricentro non giace sull’asse di rotazione, il rotore risulta soggetto ad
una forza centrifuga la cui intensità è data da:
Fc = mω 2 r
(4.75)
essendo m la massa del rotore, ω la sua velocità angolare e r la distanza del baricentro
dall’asse di rotazione.
4.18. EQUILIBRAMENTO DEI ROTORI
81
Figura 4.35: Rotore non equilibrato dinamicamente
La suddetta forza centrifuga induce sollecitazioni sui supporti che, essendo legate al
quadrato della velocità angolare, possono assumere valori elevati anche a velocità non particolarmente alte. E’ pertanto fondamentale provvedere all’equilibramento statico dei rotori,
ad esempio progettando, come sarà illustrato nel seguito, un opportuno contrappeso.
Anche nel caso di rotore equilibrato staticamente possono però originarsi delle reazioni
vincolari rotanti nei supporti, qualora il rotore stesso non sia equilibrato dinamicamente,
ovvero qualora il proprio asse di rotazione non coincida con uno degli assi principali di inerzia,
definito come un asse rispetto a cui la matrice di inerzia del corpo sia diagonale.
Con riferimento alla Fig. 4.35, si vede che le due metà del rotore hanno baricentri che
non si trovano sull’asse di rotazione; pertanto, le forze centrifughe a cui sono soggette le due
metà del rotore hanno risultante nulla ma, non avendo la medesima retta di azione, generano
una coppia che induce sollecitazioni sui supporti.
4.18.1
Progetto del contrappeso per l’equilibramento statico di un
meccanismo
Figura 4.36: Biella rappresentata con il metodo di sostituzione
Si consideri il problema di equilibrare staticamente un meccanismo biella-manovella. Tale
82
CAPITOLO 4. ACCOPPIAMENTO MOTORE-UTILIZZATORE
meccanismo, chiamato anche manovellismo di spinta, è costituito da una manovella rotante,
collegata tramite coppie rotoidali ad un telaio fisso e ad un corpo di forma allungata (biella),
il quale a sua volta è accoppiato ad un pistone che trasla lungo un asse fisso.
Se il sistema fosse costituito unicamente dalla manovella, progettare il contrappeso per
l’equilibramento statico del sistema risulterebbe molto semplice, basterebbe infatti eguagliare
i momenti statici della manovella e del contrappeso, rispetto all’asse di rotazione, per
assicurare che il baricentro del sistema si trovi su tale asse:
mc d(OGc ) = mm d(OGm )
(4.76)
In questa equazione, mm e mc sono le masse della manovella e del contrappeso, Gm e Gc
sono i rispettivi baricentri, O è il centro di rotazione e d è la funzione distanza. Ricordiamo
che il ‘momento statico’ di un corpo rispetto ad un polo O (da non confondersi con il
‘momento di inerzia’ né con il ‘momento’ inteso come sinonimo di ‘coppia’ !) è dato dal
prodotto della massa del corpo per la distanza tra il suo baricentro e il punto O.
La (4.76) fornisce il momento statico del contrappeso che deve essere aggiunto alla
manovella per equilibrarla staticamente: ottenuto tale valore, il progettista può scegliere
a piacimento i valori di mc e OGc .
L’equilibramento dell’intero sistema biella-manovella deve invece tenere conto anche della
biella, in quanto essa contribuisce parzialmente a generare la forza centrifuga. Una metodologia usata in casi come questo consiste nel creare un modello in cui la biella è rappresentata
da due masse di sostituzione, ovvero due masse concentrate, collocate sugli assi dei due
accoppiamenti, che complessivamente producano gli stessi effetti dinamici della biella reale.
Il vantaggio legato all’utilizzo delle masse di sostituzione sta nel fatto che risulta semplice
separare il contributo dato dalla biella alla dinamica della manovella (schematizzato dalla
massa rotante mr collocata nel punto dell’accoppiamento con la manovella) dal contributo
dato alla dinamica del pistone (schematizzato dalla massa traslante mt collocata nel punto
dell’accoppiamento con il pistone).
Affinché le masse di sostituzione siano dinamicamente equivalenti alla biella reale, è
necessario che siano soddisfatte le seguenti condizioni:
1. la posizione del baricentro del sistema di sostituzione sia la stessa di quella del sistema reale, per assicurare che le accelerazioni dei baricentri siano le stesse in qualsiasi
condizione di funzionamento;
2. la massa totale dei due sistemi sia uguale, affinché la forza d’inerzia risultante sia la
stessa;
3. il momento di inerzia rispetto al baricentro sia lo stesso per i due sistemi, in modo tale
che la coppia di inerzia risultante sia uguale.
La posizione delle masse di sostituzione, collocate nei punti di accoppiamento della biella,
non può essere modificata se si vuole calcolare correttamente il contributo dinamico della biella rispettivamente alla manovella e al pistone; rimangono quindi da determinare solamente
i valori delle due masse mr e mt .
Essendovi solo due incognite, non è possibile soddisfare contemporaneamente le tre condizioni enunciate sopra; si sceglie allora di ricavare i valori di mr e mt imponendo le condizioni
4.18. EQUILIBRAMENTO DEI ROTORI
83
1. e 2., mentre per assicurare il rispetto della condizione 3. si dovrà considerare un momento
aggiuntivo dato dalla differenza tra la coppia di inerzia della biella reala e la coppia di inerzia
del sistema di sostituzione.
Dalle prime due condizioni si ottiene dunque il sistema:
mr a = mt b
(4.77)
mr + mt = mb
(4.78)
ove a e b sono le distanze dei punti di accoppiamento dal baricentro della biella (vedi Fig.
4.36), mentre mb è la massa totale della biella.
Una volta ricavati i valori delle masse di sostituzione, si calcola la coppia di inerzia da
esse prodotta:
Csine = −Js αb = −(mr a2 + mt b2 )αb
(4.79)
Cbine = −Jb αb
(4.80)
∆M = Cbine − Csine = −Jb αb + Js αb = −(Jb − mr a2 − mt b2 )αb
(4.81)
mc d(OGc ) = mm d(OGm ) + mr r
(4.82)
essendo αb l’accelerazione angolare della biella.
La coppia di inerzia effettivamente agente sulla biella è invece data da:
Pertanto, la coppia d’inerzia ∆M , che deve essere aggiunta nel modello di sostituzione
affinché esso rappresenti correttamente la biella reale da un punto di vista dinamico, è data
da:
La Fig. 4.36 mostra la biella rappresentata mediante il modello di sostituzione.
Una volta calcolate le masse di sostituzione, in particolare la massa rotante mr che dà il
suo contributo alla dinamica della manovella, è possibile calcolare il contrappeso necessario
per equilibrare staticamente il gruppo manovella più massa rotante, portandone il baricentro
sull’asse di rotazione.
Eguagliando i momenti statici, si ottiene:
ove r è il raggio di manovella, mentre d(OGc ) e d(OGm ) sono le distanze dall’asse di
rotazione dei baricentri del contrappeso e della manovella.
84
CAPITOLO 4. ACCOPPIAMENTO MOTORE-UTILIZZATORE
Capitolo 5
Organi per la trasmissione del moto: gli
ingranaggi
Nel capitolo precedente si sono studiati i principi generali di accoppiamento fra un motore e
un utilizzatore meccanico. In questo e nei capitoli successivi saranno considerati i prinicpali
organi meccanici utilizzati per la trasmissione del moto, a cominciare dai sistemi costituiti
da ruote dentate tra loro accoppiate. Tali sistemi sono detti ingranaggi.
Una ruota dentata è un solido costruito in modo da poter ruotare attorno ad un asse e
dotato di sporgenze dette denti in grado di trascinare in movimento i denti di un’altra ruota.
Le ruote dentate, siano esse piane o coniche, e qualunque sia il tipo di dentatura con cui
siano state costruite, rappresentano insieme alle ruote di frizione la principale soluzione al
problema della trasmissione del moto fra una coppia di assi (siano essi paralleli, concorrenti
in un punto oppure sghembi) con un rapporto di trasmissione costante.
L’uso di ingranaggi per la trasmissione del moto è opportuno quando:
• coppia e potenza da trasmettere sono elevate;
• il rapporto di trasmissione deve essere mantenuto costante con buona precisione;
• si devono ottenere forti riduzioni di velocità con ingombri limitati;
• il valore dell’interasse deve essere contenuto.
Per poter meglio comprendere i principi di funzionamento delle ruote dentate, premettiamo la descrizione di un altro organo idoneo a trasmettere il moto tra due assi paralleli o
concorrenti, quando le coppie e potenze in gioco non siano eccessive: le ruote di frizione,
altresì dette ruote di attrito.
5.1
Ruote di frizione
Consideriamo due dischi (A) e (B) di raggi r1 ed r2 (fig.5.1) vincolati rispettivamente alle
coppie rotoidali O1 ed O2 , i cui assi sono paralleli.
Se nel punto di contatto C sussistono condizioni di aderenza, il moto relativo fra (A) e (B)
risulta essere di puro rotolamento senza strisciamento. Il centro del moto è proprio il punto
85
86CAPITOLO 5. ORGANI PER LA TRASMISSIONE DEL MOTO: GLI INGRANAGGI
Figura 5.1: Ruote di frizione
C, e le circonferenze, traccia delle due ruote sul piano del moto, sono dette le circonferenze
primitive.
Un siffatto meccanismo costituisce una coppia di ruote di frizione; la trasmissione del
moto è assicurata esclusivamente dalle condizioni di aderenza che debbono verificarsi nel
contatto. L’analisi cinematica mostra che, se il moto relativo è di puro rotolamento, la
velocità di C deve essere la stessa, che sia considerato appartenente alla ruota 1 oppure alla
ruota 2. Pertanto:
A
vC = B vC
(5.1)
e quindi, indicando rispettivamente con ω1 e ω2 le velocità angolari della ruota (A) e della
ruota (B) sarà:
ω1 r1 = ω2 r2
(5.2)
Ne segue che il rapporto di trasmissione del meccanismo è:
¯ ¯
¯ ω2 ¯
r
¯=± 1
¯
τ = ± ¯¯
ω1
r2
(5.3)
ed è costante.
I versi delle velocità angolari di (A) e di (B) sono discordi se le ruote (A) e (B) sono
disposte come in Fig. 5.1 e quindi nell’equazione (5.3) vale il segno meno; sono invece
concordi, e varrà quindi il segno più, quando le ruote (A) e (B) sono disposte come in Fig.
5.2, che rappresenta il caso in cui una delle due ruote sia interna.
Quando la realizzazione di un rapporto di trasmissione costante deve essere realizzato
fra due assi concorrenti in un punto, le superfici a contatto sono quelle di due coni a sezione
circolare tangenti lungo una generatrice comune (Fig.5.3), i cui assi formano fra loro un
angolo α. Indicando rispettivamente con α1 ed α2 le semiaperture dei due coni (la cui somma
dà ovviamente l’angolo α), la condizione di rotolamento senza strisciamento nel moto relativo
5.1. RUOTE DI FRIZIONE
87
Figura 5.2: Ruote di frizione interne
è che tutti i punti della generatrice di contatto abbiano la stessa velocità tangenziale, sia
essa calcolata in funzione di ω1 oppure di ω2 :
−−−−−→
−−−−−→
ω
~ 1 × (C − O) = ω
~ 2 × (C − O)
(5.4)
ω1 OC sin α1 = ω2 OC sin α2
(5.5)
e quindi:
Pertanto il rapporto di trasmissione è dato da:
¯ ¯
¯ ω2 ¯
sin α1
τ = ± ¯¯ ¯¯ = ±
ω1
sin α2
(5.6)
ed è anch’esso costante. Ovviamente il segno meno varrà nel caso di ruote esterne, il
segno più nel caso di ruote interne (si veda Fig. 5.3).
L’effettivo utilizzo delle ruote di frizione come meccanismi atti a realizzare un rapporto
di trasmissione costante è confinato al campo della trasmissione di piccole potenze (coppie
basse e basse velocità); si comprende che la condizione di strisciamento nullo nel contatto
è realizzabile solo in presenza di un adeguato carico normale sufficiente a generare la forza
tangenziale d’attrito necessaria al funzionamento: tale carico normale non potrà tuttavia
essere troppo elevato per non generare deformazioni locali nel contatto ed elevate perdite
per attrito nei perni delle coppie rotoidali. Le deformazioni del contatto d’altra parte renderebbero falsa la condizione che le primitive del moto siano le due circonferenze (nel caso
di ruote piane) o i due coni (nel caso di assi concorrenti), che assicuravano il rapporto di
trasmissione costante desiderato.
In generale, le condizioni limite di aderenza determineranno un limite superiore per le
coppie applicabili agli assi delle due ruote, che dovranno quindi risultare:
88CAPITOLO 5. ORGANI PER LA TRASMISSIONE DEL MOTO: GLI INGRANAGGI
Figura 5.3: Ruote di frizione coniche - a) esterne, b) interne
C1 ≤ fa FN r1
C2 ≤ fa FN r2
(5.7)
(5.8)
ove fa è il coefficiente di aderenza tra le due ruote e FN il carico normale.
5.2
Ruote dentate piane ad evolvente
Figura 5.4: Profili ad evolvente dei denti di una ruota dentata
Quando sono in gioco potenze notevoli è conveniente che la trasmissione del moto sia
affidata non all’aderenza, ma all’azione mutua che si scambiano opportune superfici coniugate
ricavate sulla periferia di un disco, superfici che costituiscono la sagoma dei denti di una ruota
dentata.
5.2. RUOTE DENTATE PIANE AD EVOLVENTE
89
Figura 5.5: Ingranamento fra ruote dentate
Il profilo dei denti è dato da una curva detta evolvente di cerchio. L’evolvente è la
traiettoria di un punto generico di una retta che rotola senza strisciare su una circonferenza,
e può essere generata a partire da una circonferenza fondamentale di raggio rf , con
la proprietà che in ogni suo punto la normale all’evolvente è tangente alla circonferenza
fondamentale (Fig. 5.4).
I due tratti di evolvente che costituiscono la sagoma del dente si svolgono in parte internamente e in parte esternamente alla circonferenza primitiva. Il profilo ad evolvente è presente
su entrambi i fianchi del dente, in modo tale da poter trasmettere il moto in entrambi i versi
di rotazione.
Si faccia riferimento alla Fig. 5.5: i profili ad evolvente e1 ed e2 delle ruote dentate (1) e
(2) vengono a contatto nel punto P . Per la proprietà dell’evolvente, la normale comune I1 I2
ai due profili nel punto P deve essere tangente ad entrambe le circonferenze fondamentali cf 1
e cf 2 . In conseguenza della rotazione, il punto di contatto tra i denti si sposta (ad esempio in
P ∗ ) mantenendosi però sempre sulla retta I1 I2 , che risulta quindi essere il luogo geometrico
dei punti di contatto fra i denti delle due ruote. Tale retta è chiamata retta dei contatti o
retta di pressione in quanto, in assenza di attrito, essa rappresenta la direzione della forza
mutua che si scambiano i denti in presa.
L’angolo ϑ che la retta di pressione forma con la normale alla congiungente gli assi
O1 , O2 delle ruote è chiamato angolo di pressione. Il punto C, intersezione della retta
di pressione con la congiungente gli assi O1 , O2 , costituisce geometricamente il punto di
tangenza di due circonferenze cp1 e cp2 centrate in O1 , O2 e di raggi r1 = O1 C e r2 = O2 C,
dette circonferenze primitive.
Risulta allora evidente che, da un punto di vista cinematico, una coppia di ruote dentate
è equivalente a una coppia di ruote di frizione aventi circonferenze uguali alle primitive.
Dalla Fig. 5.5 è facile ricavare la relazione tra le circonferenze fondamentali e le primitive:
essendo O1 I1 C e O2 I2 C due triangoli rettangoli, si avrà:
90CAPITOLO 5. ORGANI PER LA TRASMISSIONE DEL MOTO: GLI INGRANAGGI
(5.9)
rf = r cos ϑ
Per l’equivalenza cinematica tra ruote di frizione e circonferenze primitive, il rapporto di
trasmissione tra una coppia di ruote dentate sarà dato dalla (5.3):
¯ ¯
¯ ω2 ¯
r1
τ = ± ¯¯ ¯¯ = ±
(5.10)
ω1
r2
Nel caso di un unico ingranaggio, spesso viene trascurata l’indicazione del segno del
rapporto di trasmissione. Scriveremo quindi:
τ=
ω2
r1
=
ω1
r2
(5.11)
τ=
rf 1
ω2
=
ω1
rf 2
(5.12)
oppure, per la (5.9):
Figura 5.6: Nomenclatura di una ruota dentata
Per le ruote dentate vale la seguente nomenclatura (Fig. 5.6):
• la congiungente i centri delle ruote, O1 , O2 prende il nome di retta dei centri ;
• la fase in cui i denti si toccano prima dell’attraversamento della retta dei centri si dice
fase di accesso; la successiva, fase di recesso;
• nelle ruote esterne la parte del profilo del dente interna alla primitiva prende il nome
di fianco del dente, la parte esterna prende il nome di costa del dente; nelle ruote
interne è il viceversa;
• troncature si chiamano la circonferenze ideali secondo le quali è delimitato il dente
in altezza;
– la troncatura di testa, tt , delimita i denti verso l’esterno,
5.2. RUOTE DENTATE PIANE AD EVOLVENTE
91
– la troncatura di base (o interna), tb , delimita i denti internamente alla primitiva;
• la differenza fra i raggi della troncatura di testa e della primitiva prende il nome di
addendum;
• la differenza fra i raggi della primitiva e della troncatura di base prende il nome di
dedendum;
• la somma dell’addendum e del dedendum dà l’altezza del dente;
• la lunghezza dell’arco di primitiva compreso fra due profili omologhi (o fra due assi di
simmetria del dente) successivi prende il nome di passo della dentatura;
• la lunghezza dell’arco di primitiva compreso fra i due profili che costituiscono il dente
prende il nome di grossezza del dente;
• la differenza fra passo e grossezza è l’ampiezza del vano fra due denti;
• la lunghezza dell’arco di primitiva corrispondente alla rotazione durante la quale due
denti sono in presa prende il nome di arco d’azione (Fig. 5.7); affinché i due denti
successivi siano in presa prima che i precedenti si abbandonino, l’arco d’azione deve
essere maggiore del passo;
• il rapporto tra l’arco d’azione e il passo viene chiamato rapporto di condotta; per
assicurare la continuità del moto, il valore del rapporto di condotta dovrà essere sempre
maggiore di uno.
Affinché due ruote ingranino correttamente, devono avere lo stesso passo p, ed affinché il
loro funzionamento sia invertibile i denti devono presentare profili simmetrici rispetto ad un
raggio che sarà quindi l’asse del dente.
Ovviamente, perché le ruote possano funzionare correttamente per almeno una rotazione
completa, il numero dei denti z, deve essere intero.
Se p è il passo della dentatura, comune a due ruote ingrananti fra loro, le relazioni che
legano il numero dei denti alla lunghezza della circonferenza primitiva di ciascuna di esse
saranno:
2πr1 = pz1
2πr2 = pz2
da cui:
p
2r1
2r2
=m=
=
π
z1
z2
(5.13)
(5.14)
(5.15)
Il rapporto m = p/π che compare nella (5.15) prende il nome di modulo della dentatura
(o anche passo diametrale) e si comprende che se due ruote ingrananti fra loro devono avere
lo stesso passo, ciò equivale a dire che dovranno avere anche lo stesso modulo.
Dalle (5.15) e (5.11) si ricava che il rapporto di trasmissione di un ingranaggio è esprimibile anche come rapporto fra il numero dei denti delle ruote accoppiate:
92CAPITOLO 5. ORGANI PER LA TRASMISSIONE DEL MOTO: GLI INGRANAGGI
Figura 5.7: Arco d’azione
z1
ω2
=
(5.16)
ω1
z2
Per il modulo, che esprime il rapporto fra il diametro di primitiva di una ruota ed il
numero dei suoi denti, si conviene di adottare generalmente numeri interi; solo per dentature piccole si adottano numeri frazionari. A parità di numero di denti, a moduli piccoli
corrisponderanno ruote piccole, a moduli grandi ruote grandi.
Il valore del modulo (comunemente indicato in mm) ha un ruolo fondamentale nel proporzionamento della ruota (proporzionamento modulare): si pone l’addendum pari ad
m ed il dedendum pari a 5m/4; l’altezza del dente risulterà pertanto pari a 9m/4.
Adottando un dimensionamento modulare si è certi che l’altezza del dente sia sufficientemente grande per garantire che vi sia sempre almeno una coppia di denti in presa per
assicurare la continuità del moto, evitando al contempo fenomeni di interferenza tra le ruote
dentate, che si verificherebbero se l’altezza fosse eccessiva.
La scelta del valore del modulo per un ingranaggio ha un ulteriore risvolto: fissato il
diametro delle primitive, il modulo determina il diametro delle circonferenze di troncatura
di testa e di conseguenza, sulla retta g (Fig. 5.7), i punti IA ed IB in cui avverrà il primo
contatto in fase di accesso (IA ) e l’ultimo contatto in fase di recesso (IB ). Si comprende allora
che tanto più grande è il modulo scelto per la dentatura, tanto più lontano dal centro C si
troveranno i punti IA ed IB , e di conseguenza tanto maggiore sarà la velocità di strisciamento
(velocità relativa) fra i profili, e quindi la potenza perduta nell’ingranaggio.
All’aumentare del raggio primitivo r2 della ruota maggiore, il profilo ad evolvente del
τ=
5.3. RUOTE DENTATE CILINDRICHE A DENTI DIRITTI
93
Figura 5.8: Trasmissione a rocchetto e cremagliera
dente tende a diventare sempre più rettilineo e il rapporto di trasmissione diminuisce, fino
ad annullarsi per r2 → ∞, in quanto il moto della ruota non sarà più rotatorio, ma traslatorio.
Come si vede dalla Fig. 5.8, il profilo del dente risulta allora perfettamente rettilineo e
la ruota dentata limite è chiamata dentiera o cremagliera, mentre la ruota minore che
ingrana con essa è chiamata rocchetto o pignone (il termine pignone è usato anche per
designare la ruota più piccola in un generico ingranaggio).
5.3
Ruote dentate cilindriche a denti diritti
La ruota cilindrica a denti diritti è l’esempio più comune di ruota piana. I denti sono collocati
sulla periferia di un cilindro ed sono paralleli all’asse del cilindro.
L’attrezzatura richiesta per la produzione di questo tipo di ingranaggi è minima; perciò
esso è generalmente il meno costoso di tutti tipi di ingranaggi. Sebbene la forma di dente
più comune per le ruote cilindriche sia l’evolvente, anche altre forme di dente sono possibili
fintanto che consentono il moto coniugato.
Gli angoli di pressione più comunemente utilizzati per gli ingranaggi cilindrici a denti
diritti sono 14, 5◦ , 20◦ e 25◦ . In generale, l’angolo di pressione 14, 5◦ non è usato per i nuovi
progetti (ed infatti è stato ritirato come forma di dente unificato); tuttavia è ancora utilizzato
per progetti particolari e per alcune ruote di ricambio.
Angoli di pressione più piccoli hanno il vantaggio di un’azione dei denti più dolce e
silenziosa. Inoltre, come avremo modo di vedere, i carichi sui cuscinetti dei supporti risultano
minori a causa di una ridotta componente radiale della spinta; la componente tangenziale
della spinta invece non varia con l’angolo di pressione.
D’altro canto, ingranaggi a piccolo angolo di pressione hanno anche indici di resistenza
94CAPITOLO 5. ORGANI PER LA TRASMISSIONE DEL MOTO: GLI INGRANAGGI
Figura 5.9: Ingranaggio con ruote dentate cilindriche a denti diritti
a flessione e di durata superficiale più bassi ed operano con elevate velocità di strisciamento
rispetto ai loro concorrenti con angolo di pressione più grande, il che li rende maggiormente
soggetti a fenomeni di usura e grippaggio.
Angoli di pressione più elevati hanno il vantaggio di migliori prestazioni, rispetto sia
alla resistenza che alla durata, nonché velocità di strisciamento più basse; per contro, la
rumorosità di tali ingranaggi risulta molto più elevata. In alcuni casi, angoli di pressione
molto elevati (28◦ , 30◦ e, in qualche raro caso, anche 45◦ ) sono utilizzati in alcuni particolari
ingranaggi lenti con capacità di carico molto elevate, dove la silenziosità non è la caratteristica
più importante.
Figura 5.10: Forze scambiate in un ingranaggio
Vogliamo ora calcolare le forze scambiate in un ingranaggio: ciò risulta fondamentale per
la progettazione e il dimensionamento del sistema.
La forza mutua F che si scambiano i denti (Fig. 5.10) ha come retta d’azione, in assenza
di attrito, la retta di pressione. Per ciascuna delle ruote, dall’equilibrio dei momenti risulta:
C = F rf = F r cos ϑ
(5.17)
5.4. RUOTE CILINDRICHE A DENTI ELICOIDALI
95
essendo C la coppia agente, rf il raggio della circonferenza fondamentale e r il raggio
della circonferenza primitiva.
La forza scambiata nell’ingranaggio è dunque:
C
2C
=
(5.18)
r cos ϑ
mz cos ϑ
Si vede quindi che, a parità di coppia motrice e a parità di diametro di primitiva, il valore
dell’angolo di pressione influenza direttamente l’entità della forza mutua che si scambiano i
denti in presa: maggiore è il valore di ϑ e maggiore sarà il valore di F . Ad un valore elevato
dell’angolo di pressione corrisponderebbe inevitabilmente un aggravio del carico sugli assi
delle due ruote.
Supponendo che la 1 sia la ruota motrice e la 2 la ruota condotta, le coppie motrice e
resistente sono pertanto date rispettivamente da:
F =
C1 = F rf 1 = F r1 cos ϑ =
e
F mz1
cos ϑ
2
(5.19)
F mz2
cos ϑ
(5.20)
2
Eliminando F dalle due equazioni, si ottiene la relazione tra la coppia motrice e la coppia
resistente:
C2 = F rf 2 = F r2 cos ϑ =
z2
(5.21)
z1
da cui, essendo z2 /z1 = ω1 /ω2 = 1/τ , si ritrova ovviamente la conservazione della potenza:
C2 = C1
W2 = C2 ω2 = C1 ω1 = W1
(5.22)
La forza F scambiata nell’ingranaggio e diretta lungo la retta di pressione può essere
scomposta in una componente radiale R e una tangenziale Q, date da:
R = F sin ϑ =
C
tan ϑ
r
(5.23)
C
(5.24)
r
da cui si vede che l’angolo di pressione influenza solo la componente radiale della F .
Si noti altresì che nel caso di ruote dentate cilindriche a denti diritti non vi sono componenti assiali della forza scambiata nell’ingranaggio.
Q = F cos ϑ =
5.4
Ruote cilindriche a denti elicoidali
Quando i denti della ruota sono tagliati lungo una spirale che avvolge un cilindro, essi sono
chiamati elicoidali. I denti elicoidali entrano nella zona di ingranamento progressivamente,
pertanto questi ingranaggi hanno un’azione più dolce e sono più silenziosi rispetto a quelli a
denti diritti.
96CAPITOLO 5. ORGANI PER LA TRASMISSIONE DEL MOTO: GLI INGRANAGGI
Figura 5.11: Ingranaggio a denti elicoidali
Figura 5.12: Ingranaggio bielicoidale
I vantaggi che si ottengono con tali tipi di ruote sono:
• come già detto, la dolcezza di movimento, e quindi la maggiore silenziosità, in quanto
il contatto e il distacco fra i denti non si realizza più in modo repentino, ma graduale;
• la maggiore robustezza dei denti, potendo utilizzare moduli minori senza compromettere la continuità della trasmissione, ed ottenendo quindi denti di altezza minore;
• l’utilizzo di un modulo più piccolo fa sì che diminuiscano anche le velocità massime di
strisciamento;
• il carico trasmesso può essere un po’ più grande, o la durata può essere più lunga con
lo stesso carico, rispetto ad un ingranaggio a denti diritti equivalente.
Gli svantaggi sono:
5.4. RUOTE CILINDRICHE A DENTI ELICOIDALI
97
• il maggior costo di una ruota a denti elicoidali rispetto ad una a denti diritti;
• come si vedrà, la forza scambiata tra una coppia di ruote a denti elicoidali ha una
componente diretta come l’asse dell’albero (oltre a quelle radiale e tangenziale). E’
quindi necessario utilizzare componenti meccanici opportuni (tipicamente cuscinetti
reggispinta) per evitare il disaccoppiamento delle ruote;
• un ingranaggio a denti elicoidali ha un rendimento leggermente inferiore rispetto ad un
ingranaggio a denti diritti equivalente.
Concettualmente, le ruote elicoidali possono essere pensate come delle ruote dentate cilindriche a gradini nelle quali la dimensione del gradino diviene infinitamente piccola. Affinché
ruote elicoidali a dentatura esterna possano ingranare è necessario che esse abbiano lo stesso
angolo d’elica ma il verso opposto. Il contrario vale per un ingranamento elicoidale interno;
cioè, il pignone a dentatura esterna e la ruota dentata interna devono avere lo stesso verso
dell’elica.
I valori pratici dell’angolo d’elica vanno da pochi gradi fino a circa 45◦ . Al crescere
dell’angolo d’elica si hanno in generale una riduzione del livello di rumore ed un aumento
della capacità di carico. Per angoli superiori a 15◦ , 20◦ , tuttavia, la resistenza a flessione del
dente inizia a diminuire. Ciò è dovuto al fatto che lo spessore trasversale del dente decresce
rapidamente.
Per ottenere i benefici degli ingranaggi elicoidali senza avere gli svantaggi legati alla
presenza della spinta assiale possono venire utilizzati gli ingranaggi bielicoidali o a doppia
elica (Fig. 5.12).
Per gli ingranaggi elicoidali sono generalmente utilizzati i profili ad evolvente e continuano
a valere le stesse considerazioni fatte in precedenza per gli ingranaggi a denti diritti, in
particolare la (5.15). Il valore del rapporto di trasmissione è quindi ancora dato da:
ω2
r1
z1
=
=
(5.25)
ω1
r2
z2
Per le ruote dentate a denti elicoidali, anziché considerare le grandezze caratteristiche
(passo, modulo, angolo di pressione, ecc.) nel piano frontale (perpendicolare all’asse della
ruota), si preferisce definire tali grandezze nel cosiddetto piano normale, ovvero nel piano normale alla superficie del dente. L’angolo tra il piano normale ed il piano frontale è
ovviamente uguale all’angolo α di inclinazione del dente rispetto al’asse della ruota.
Osservando la Fig. 5.13, si ricava:
τ=
Y Z = XY tan ϑ
Y T = XY tan ϑn
Y T = Y Z cos α
(5.26)
(5.27)
(5.28)
da cui la relazione tra l’angolo di pressione nel piano normale ϑn e quello nel piano frontale
ϑ risulta:
tan ϑn = tan ϑ cos α
(5.29)
98CAPITOLO 5. ORGANI PER LA TRASMISSIONE DEL MOTO: GLI INGRANAGGI
Figura 5.13: Grandezze caratteristiche di una ruota a denti elicoidali, nel piano normale e
nel piano frontale
Figura 5.14: Forza scambiata tra ruote a denti elicoidali
Il passo normale pn e quello frontale p sono invece legati da:
pn = p cos α
(5.30)
Il modulo normale mn è allora definito, in funzione del modulo frontale m, da:
mn = pn /π = m cos α
(5.31)
Pertanto il diametro della circonferenza primitiva di una ruota a denti elicoidali è dato,
in funzione del modulo normale, da:
mn z
(5.32)
cos α
Vogliamo ora calcolare l’espressione delle forze scambiate nell’accoppiamento di due ruote
a denti elicoidali. Con riferimento alla Fig. 5.14, la forza scambiata tra le ruote, che in
2r =
5.5. INGRANAGGI CONICI
99
assenza di attrito è perpendicolare alla superficie del dente, giace nel piano normale e può
essere scomposta in una componente radiale R e in una componente H ′′ tangente al cilindro
primitivo della ruota dentata. In formule:
(5.33)
(5.34)
R = F sin ϑn
H ′′ = F cos ϑn
A sua volta, la H ′′ può essere scomposta in una componente assiale A e in una tangenziale
Q, ottenendo quindi:
(5.35)
(5.36)
(5.37)
Q = F cos ϑn cos α
A = F cos ϑn sin α
R = F sin ϑn
Di queste tre componenti, l’unica a fornire momento rispetto all’asse delle ruote è la
componente tangenziale Q. La coppia C agente sull’asse della ruota dentata è quindi data
da:
C = Qr = F r cos ϑn cos α
(5.38)
Per sostituzione, è dunque possibile calcolare le tre componenti della forza agente sulla
ruota dentata in funzione di C:
spinta tangenziale : Q =
spinta radiale : R =
C
r
C tan ϑn
r cos α
(5.39)
(5.40)
C
tan α
(5.41)
r
Come anticipato, in un ingranaggio a denti elicoidali è dunque presente una componente
assiale della forza, che dovrà essere sopportata da adeguati cuscinetti reggispinta, oppure
neutralizzata adottando ruote bielicoidali.
spinta assiale : A =
5.5
Ingranaggi conici
Si è visto in precedenza che, nel caso di trasmissione del moto fra assi paralleli, le primitive
sono costituite da due cilindri; nel caso di trasmissione fra assi concorrenti, le primitive sono
invece costituite da due coni aventi il vertice ed una generatrice in comune.
Gli ingranaggi conici sono dunque utilizzati per trasmettere il moto tra assi concorrenti.
Le ruote dentate coniche (la cui forma reale è ovviamente non un cono intero, ma un
tronco di cono) possono avere denti diritti oppure elicoidali: valgono, a tale proposito, le
medesime considerazioni fatte per le ruote dentate cilindriche, relativamente alla maggiore
silenziosità e dolcezza di funzionamento che caratterizzano la dentatura elicoidale.
100CAPITOLO 5. ORGANI PER LA TRASMISSIONE DEL MOTO: GLI INGRANAGGI
Invece, come si vedrà più avanti, a differenza degli ingranaggi cilindrici, tutti gli ingranaggi conici producono una spinta assiale sui supporti. Ciò è una conseguenza della
forma conica della primitiva, indipendentemente dal tipo di dentatura: in altre parole, anche
in un accoppiamento di ruote coniche a denti diritti la forza scambiata ha una componente
assiale.
Figura 5.15: Ingranaggio conico
Figura 5.16: Coni primitivi di un ingranaggio conico
Lo studio cinematico di un ingranaggio conico è immediato, considerato che esso è equivalente ad un accoppiamento fra ruote di frizione coniche aventi dimensioni uguali alle primitive
delle ruote dentate.
Riferendoci alla Fig. 5.16, e ricordando la (5.6), il rapporto di trasmissione risulta:
τ=
ω2
z1
r1
sin ϕ1
=
=
=
ω1
z2
r2
sin ϕ2
(5.42)
Si noti che il rapporto di trasmissione è sempre dato sia dal rapporto tra il numero di
denti delle ruote, sia dal rapporto tra i raggi delle primitive, purché ovviamente presi alla
medesima distanza dal vertice comune dei due coni (in quanto i denti hanno passo, modulo
ed altezza proporzionali alla distanza dal vertice).
Per il progetto di un ingranaggio conico, tipicamente sono dati l’angolo ψ tra gli assi da
accoppiare e il valore del rapporto di trasmissione desiderato τ , e si vuole trovare il valore
delle semiaperture delle due ruote coniche ϕ1 e ϕ2 .
5.5. INGRANAGGI CONICI
101
Dalla (5.42), e considerando che ψ = ϕ1 + ϕ2 , con alcuni passaggi di trigonometria si
ottiene:
sin ψ
+ cos ψ
sin ψ
tan ϕ2 =
τ + cos ψ
tan ϕ1 =
1
τ
(5.43)
(5.44)
Quando l’angolo di apertura di uno dei due coni primitivi diventa retto, il cono si trasforma in una superficie piana. L’ingranaggio così ottenuto è la ruota dentata piano-conica,
altresì detta coppia pignone-corona, che è l’equivalente per gli ingranaggi conici della coppia rocchetto-dentiera per quelli cilindrici. Per questo ingranaggio il rapporto di trasmissione
si ottiene ponendo ϕ2 = π/2 nella (5.42):
τ=
ω2
= sin ϕ1
ω1
(5.45)
Figura 5.17: Forza scambiata tra i denti di due ruote dentate coniche
Calcoliamo ora le componenti della forza F che si scambiano i denti in un ingranaggio
conico. Consideriamo (Fig. 5.17) i due coni primitivi e il piano Π normale alla generatrice di
contatto. La forza F trasmessa dalla ruota 2 alla ruota 1 è inclinata dell’angolo di pressione
ϑ rispetto alla tangente comune delle primitive, e si può scomporre, nel piano Π, in una
componente tangenziale Q = F cos ϑ e da una componente F ′ = F sin ϑ normale a Q. La
F ′ può essere a sua volta scomposta, in un piano ortogonale a Π, in una componente radiale
R1 = F ′ cos ϕ1 = F sin ϑ cos ϕ1 e in una componente assiale A1 = F ′ sin ϕ1 = F sin ϑ sin ϕ1 .
Ora, ricordando che le coppie C1 e C2 agenti sule ruote sono equilibrate solo dal momento
della componente tangenziale Q della forza scambiata (C1 = Qr1 , C2 = Qr2 ), si possono
ricavare le espressioni, in funzione di C1 e C2 , delle componenti della forza trasmessa dalla
ruota 2 alla ruota 1, e della forza trasmessa dalla ruota 1 alla ruota 2. Esse risultano
rispettivamente:
102CAPITOLO 5. ORGANI PER LA TRASMISSIONE DEL MOTO: GLI INGRANAGGI
spinta tangenziale : Q =
C1
r1
(5.46)
spinta radiale : R1 =
C1
tan ϑ cos ϕ1
r1
(5.47)
spinta assiale : A1 =
C1
tan ϑ sin ϕ1
r1
(5.48)
per la ruota 1, e:
C2
r2
(5.49)
C2
tan ϑ cos ϕ2
r2
(5.50)
Q=
R2 =
C2
tan ϑ sin ϕ2
(5.51)
r2
Si noti che la componente tangenziale Q della forza scambiata è la stessa per le due ruote,
mentre le componenti radiale ed assiale sono diverse, essendo funzione della semiapertura
della ruota considerata (la loro somma vettoriale ovviamente è la stessa).
Come per le ruote cilindriche a denti elicoidali, la presenza di una spinta assiale in un
ingranaggio conico richiede l’utilizzo di adeguati supporti per gli alberi (cuscinetti reggispinta
assiali).
A2 =
5.6
Ingranaggi ad assi sghembi
Gli ingranaggi di questa categoria sono generalmente i più complessi, sia in termini di geometria che di realizzazione. Inoltre, il fatto che gli assi da accoppiare non siano né paralleli
né concorrenti crea limitazioni sui carichi massimi sopportabili.
Accenneremo brevemente agli ingranaggi elicoidali e ipoidi, per poi concentrare la nostra attenzione sugli ingranaggi a vite, che costituiscono la modalità più importante di
accoppiamento fra assi sghembi.
5.6.1
Ingranaggi elicoidali ad assi sghembi
Come negli ingranaggi ad assi paralleli o concorrenti, anche in questo caso le ruote hanno i denti disposti in modo da formare un determinato angolo (angolo d’elica) con l’asse
dell’albero. Valori tipici per l’angolo d’elica vanno dai 10◦ ai 30◦ .
Gli ingranaggi elicoidali ad assi sghembi sono soddisfacenti per la normale gamma di
rapporti utilizzati per ingranaggi elicoidali a singola riduzione. Per riduzioni più alte, gli
ingranaggi a vite sono generalmente preferibili.
Poiché gli ingranaggi elicoidali ad assi sghembi hanno uno strisciamento rilevante, particolare attenzione deve essere riservata alla scelta dei materiali e dei loro lubrificanti per
ridurre al minimo l’attrito ed eliminare ogni possibilità di grippaggio tra le ruote accoppiate.
5.6. INGRANAGGI AD ASSI SGHEMBI
103
Figura 5.18: Pignone e ruota dentata elicoidale ad assi sghembi
5.6.2
Ingranaggi ipoidi
Figura 5.19: Ingranaggio ipoide
Gli ingranaggi ipoidi sono simili agli ingranaggi conici elicoidali, ma le loro superfici
primitive non sono coni, bensì iperboloidi di rivoluzione. Essi sono asimmetrici, nel senso
che l’angolo di pressione è diverso tra le due parti del dente.
Una condizione che deve essere verificata affinché due ruote ipoidi possano ingranare è che
abbiano il medesimo passo normale. Negli ingranaggi ipoidi i numeri di denti della ruota e del
pignone non sono direttamente proporzionali ai loro diametri primitivi: ciò rende possibile
realizzare pignoni piccoli ed al contempo aumentare le dimensioni della ruota condotta.
Nel funzionamento, gli ingranaggi ipoidi sono usualmente più dolci e silenziosi degli ingranaggi conici, a causa del loro rapporto di condotta intrinsecamente più grande. Tuttavia,
come in tutti i casi di ingranaggi ad assi sghembi, si verifica uno strisciamento elevato tra
le facce dei denti. Il rendimento degli ingranaggi ipoidi è perciò minore di quello di un ingranaggio conico simile, tipicamente 0,90-0,95 a confronto dello 0,97-0,99 raggiungibile dagli
ingranaggi conici.
5.6.3
Ingranaggi a vite
Per trasmettere il moto tra assi sghembi, ottenendo riduzioni di velocità molto spinte,
vengono comunemente utilizzati gli ingranaggi a vite, detti anche a vite senza fine.
La forma più elementare di ingranaggio a vite è una vite cilindrica diritta che ingrana
con una normale ruota a denti elicoidali. Ingranaggi di questo tipo possono dare rapporti di
104CAPITOLO 5. ORGANI PER LA TRASMISSIONE DEL MOTO: GLI INGRANAGGI
Figura 5.20: Ingranaggio a vite
riduzione considerevolmente più grandi rispetto a ingranaggi elicoidali ad assi sghembi, ma
la loro capacità di carico è bassa ed il tasso di usura elevato. Per carichi leggeri, tuttavia,
questa configurazione può rappresentare un’alternativa economica.
Una migliore capacità di carico può essere ottenuta se la normale ruota a denti elicoidali
è modificata in modo da avere una gola per consentire alla vite di adattarsi in profondità
nella ruota, per ottenere un’area di contatto tra i denti più estesa e quindi un funzionamento
più dolce ed una maggiore capacità di carico.
Figura 5.21: Sezioni di un ingranaggio a vite
In Fig. 5.21 sono mostrate le sezioni di un ingranaggio a vite.
5.6. INGRANAGGI AD ASSI SGHEMBI
105
In virtù del loro rapporto di condotta intrinsecamente alto, la potenza meccanica massima degli ingranaggi a vite è piuttosto alta; tuttavia, la loro potenza continuativa reale
è sostanzialmente più bassa. Ciò è dovuto alla notevole generazione di calore, dovuta allo
strisciamento, che può elevare la temperatura del lubrificante a livelli inaccettabili quando il
riduttore è fatto funzionare con continuità. Riduttori a vite ventilati sono piuttosto comuni
e i carter degli ingranaggi a vite con potenze più alte sono quasi sempre alettati per favorire
lo smaltimento del calore. Apparentemente, gli ingranaggi a vite hanno la capacità di sopportare sovraccarichi relativamente alti per breve tempo senza manifestare alcun danno: in
realtà la loro idoneità ai sovraccarichi non è particolarmente buona, in quanto le loro limitazioni termiche fanno sì che vengano utilizzati a carichi inferiori ai loro limiti meccanici.
Quando sono azionati per brevi periodi di tempo in sovraccarico, essi funzionano in realtà al
di sopra del loro limite termico di funzionamento continuo ma sotto il loro limite meccanico
(connesso agli sforzi); tuttavia, poiché ci vuole un periodo di tempo apprezzabile affinché la
temperatura aumenti, sopportano questi brevi sovraccarichi abbastanza bene.
L’avvento di oli sintetici è stato un beneficio per tutti i tipi di ingranaggi a vite, in quanto
gli oli sintetici possono lavorare a temperature medie più elevate rispetto agli oli composti
a base minerale che erano di solito usati per gli ingranaggi a vite. Inoltre, il coefficiente
di attrito associato all’uso di lubrificanti sintetici tende ad essere leggermente più basso di
quello associato all’uso di oli composti per ingranaggi a vite; pertanto viene prodotto meno
calore. Questi fattori concorrono alla riduzione del margine tra i limiti termico e meccanico
dei riduttori a vite di nuova produzione, progettati e calcolati per funzionare con oli sintetici.
Il rendimento degli ingranaggi a vite dipende parecchio dalla velocità di funzionamento.
Lo stesso ingranaggio può mostrare, ad esempio, un rendimento dello 0,75 ad una velocità
bassa e dello 0,85 ad una velocità più alta. Il rapporto di trasmissione, il materiale, la
precisione e la geometria sono tutti fattori che influenzano il rendimento dell’ingranaggio a
vite. Valori tipici del rendimento sono compresi tra il 35 ed il 90 per cento, con possibilità
di valori più alti o più bassi in casi particolari.
Un ingranaggio a vite può essere utilizzato dove si desideri l’irreversibilità del moto: si
può infatti dimostrare che per bassi valori dell’angolo d’elica il rendimento scende sotto il
valore limite del 50 per cento, rendendo con ciò impossibile il moto retrogrado. Si dice allora
che la vite è autobloccante.
Quando si progetta un ingranaggio a vite autobloccante si deve tuttavia fare attenzione,
perché questa caratteristica è una proprietà statica. Le vibrazioni e l’inerzia possono infatti
determinare un movimento inverso dell’ingranaggio in condizioni dinamiche. Ad esempio,
durante un’interruzione di potenza sotto carico, la ruota, a causa dell’inerzia del carico che
funge da motore, può trascinare la vite per un tempo considerevole; oppure, un ingranaggio
a vite che da fermo non può essere azionato dall’albero della ruota, può invece essere messo
in rotazione se sottoposto a vibrazioni. La proprietà di autobloccaggio o irreversibilità non
deve quindi essere considerata in senso assoluto, tanto è vero che in applicazioni critiche si
dovrebbe prevedere un freno sulla vite per garantire l’irreversibilità assoluta del sistema.
Vogliamo ora studiare un ingranaggio a vite dapprima dal punto di vista cinematico,
calcolandone il rapporto di trasmissione, quindi dal punto di vista della statica, calcolando
le forze scambiate nell’accoppiamento.
Come detto, un ingranaggio a vite è costituito dall’accoppiamento di una vite e da una
ruota dentata piana a denti elicoidali, con rapporto di trasmissione costante fra assi sghembi,
106CAPITOLO 5. ORGANI PER LA TRASMISSIONE DEL MOTO: GLI INGRANAGGI
Figura 5.22: Vite a filetto trapezoidale
generalmente ortogonali.
La vite in genere è a filetto rettangolare oppure trapezoidale (come in Fig. 5.22), e la
sua superficie attiva è quella contenuta fra due cilindri di raggio r1 ed r2 . La vite può avere
uno o più filetti: si parla in quest’ultimo caso di vite a più princìpi (Fig. 5.23).
Se α è l’inclinazione dell’elica media in corrispondenza del raggio medio rm = (r1 + r2 )/2
della vite, in corrispondenza di una rotazione completa 2πrm la vite avanzerà della distanza
fra due punti omologhi consecutivi sul medesimo filetto, ovvero del passo elicoidale pe dato
da:
pe = 2πrm tan α
(5.52)
Si definisce inoltre passo assiale pa , della vite l’ampiezza della traslazione che porta una
sezione di un filetto a coincidere con la adiacente, anche appartenente ad un filetto diverso.
Il passo assiale può quindi essere diverso dal passo elicoidale se la vite è a più princìpi (come
ad esempio la vite a due princìpi in Fig. 5.23). Sarà cioè:
pe = z1 pa
(5.53)
ove con z1 si indica il numero dei princìpi della vite. Si definisce infine come modulo
assiale il rapporto:
ma = pa /π
(5.54)
Il rapporto di trasmissione fra i due membri si può allora ricavare considerando ciò che
accade nel piano principale, ossia nel piano normale all’asse della ruota e contenente l’asse di
rotazione della vite: in tale piano la vite si presenta come una cremagliera (profilo principale)
che ingrana con una ruota piana a denti diritti (Fig. 5.24). Il contatto fra i due membri
avviene in corrispondenza del punto C, in cui la primitiva della ruota, di raggio R, è tangente
alla retta ǫ, generatrice del cilindro medio della vite, distante rm dall’asse di rotazione della
vite. La velocità assoluta del punto C, considerato appartenente al filetto della vite, può
5.6. INGRANAGGI AD ASSI SGHEMBI
107
Figura 5.23: Vite a più princìpi
essere ricavata osservando che, se la vite ruota con velocità angolare ω1 , essa compirà un giro
completo in un certo tempo ∆t:
(5.55)
2π = ω1 ∆t
Nello stesso tempo, per effetto del moto elicoidale, il punto C si sarà spostato lungo la
retta ǫ, con velocità vc , di una quantità pari al passo elicoidale pe :
pe = vC ∆t
(5.56)
pe
2π
=
ω1
vC
(5.57)
Dalle (5.55) e (5.56) si ricava allora:
da cui
z1 pa
pe
ω1 =
ω1
(5.58)
2π
2π
La stessa velocità ~vC deve avere il punto C, considerato come appartenente alla primitiva
della ruota che gira a velocità angolare ω2 ; deve quindi essere:
vC =
(5.59)
vC = ω2 R
Inoltre, affinché vite e ruota ingranino correttamente, il passo della dentatura della ruota
deve essere uguale al passo assiale della vite. Se z2 è il numero di denti della ruota, si avrà
dunque:
z2 pa = 2πR ⇒ R =
Sostituendo la (5.60) nella (5.59) si ottiene:
z2 pa
2π
(5.60)
108CAPITOLO 5. ORGANI PER LA TRASMISSIONE DEL MOTO: GLI INGRANAGGI
Figura 5.24: Cinematica di un ingranaggio a vite
vC = ω2
z2 pa
2π
(5.61)
che, eguagliata con la (5.58), fornisce il valore del rapporto di trasmissione:
τ=
ω2
z1
=
ω1
z2
(5.62)
Essendo z1 in genere piccolo e z2 grande, si capisce come con un ingranaggio a vite sia
possibile realizzare rapporti di riduzione estremamente spinti: ad esempio, con una vite a
due principi (z1 = 2) ed una ruota elicoidale con 40 denti (z2 = 40), dalla precedente si
deduce un rapporto di trasmissione τ = 1/20.
Calcoliamo ora le componenti della forza mutua che i due membri si scambiano durante
l’accoppiamento (Fig. 5.25). Restando nel piano principale (yz), osserviamo che, in ipotesi
di assenza di attrito, la forza trasmessa dalla vite alla ruota sarà inclinata, rispetto alla retta
ǫ, dell’angolo di pressione ϑ. Potremo pertanto scrivere:
Fy = Fz tan ϑ
(5.63)
Tuttavia né la Fy , né la Fz , producono momento rispetto all’asse di rotazione della vite;
per l’equilibrio della vite, dovrà quindi esistere anche una componente Fx data da:
Fx = Fz tan α
(5.64)
5.6. INGRANAGGI AD ASSI SGHEMBI
109
Figura 5.25: Forze scambiate in un ingranaggio a vite
in quanto la Fxz dovrà essere normale, nel piano (xz), all’elica media che è inclinata di α
rispetto all’asse della vite. La Fx è l’unica forza che equilibra la coppia motrice Cm applicata
all’asse della vite:
Cm = Fx rm
(5.65)
Le tre componenti della forza scambiata tra vite e ruota dentata, in funzione della coppia
motrice Cm , risultano quindi essere (nell’ipotesi di trascurare l’attrito):
Cm
rm
(5.66)
Fz =
Cm 1
rm tan α
(5.67)
Fy =
Cm tan ϑ
rm tan α
(5.68)
Fx =
Il modulo della forza F complessivamente trasmessa dalla vite alla ruota dentata risulta
allora:
F =
ovvero:
F =
s
1
Cm
tan2 ϑ
Fx2 + Fy2 + Fz2 =
1+
+
2
rm
tan α tan2 α
q
q
Cm q
1 + tan2 α + tan2 ϑ = Fz 1 + tan2 α + tan2 ϑ
rm tan α
(5.69)
(5.70)
110CAPITOLO 5. ORGANI PER LA TRASMISSIONE DEL MOTO: GLI INGRANAGGI
5.7
Rotismi
Un rotismo, o treno di ingranaggi, è definito come un sistema costituito da più ingranaggi,
in cui la rotazione di una ruota determina quella di tutte le altre. I rotismi si suddividono
in:
• ordinari se tutte le ruote dentate hanno assi fissi
• epicicloidali se alcune ruote hanno assi mobili
Per le considerazioni cinematiche relative ai rotismi, è importante fissare un verso di
rotazione comune per le velocità angolari di tutte le ruote, e considerare di conseguenza
il rapporto di trasmissione tra due qualsiasi ruote con il proprio segno (quindi negativo
se le ruote girano in verso opposto, positivo se invece i versi di rotazione sono concordi),
analogamente a quanto si è fatto per il singolo ingranaggio.
5.7.1
Rotismi ordinari
Figura 5.26: Rotismo ordinario
In un rotismo ordinario è sufficiente conoscere la velocità angolare di una sola delle ruote
(oltre che, ovviamente, le carettaristiche cinematiche delle stesse) per calcolare la velocità di
tutte le altre. Con riferimento alla fig. 5.26, i rapporti di trasmissione dei due ingranaggi,
presi singolarmente, valgono:
z1
ω2
=−
ω1
z2
(5.71)
ω4
ω4
z3
=
=−
ω3
ω2
z4
(5.72)
τ1,2 =
τ3,4 =
da cui è immediato calcolare il rapporto di trasmissione complessivo tra la prima ruota del
treno (1), a cui è collegato l’albero motore, e l’ultima (4), a cui è collegato l’albero condotto:
esso è dato dal prodotto dei singoli rapporti di trasmissione di ciascun ingranaggio:
5.7. ROTISMI
111
Figura 5.27: Rotismo ordinario con ruota oziosa
τ = τ1,4 =
ω4 ω2
z3
z1
z1 z3
ω4
=
= τ3,4 τ1,2 = (− )(− ) =
ω1
ω2 ω1
z4
z2
z2 z4
(5.73)
In particolare, se il rotismo contiene una ruota che ingrana contemporaneamente con
altre due (fig. 5.27), il rapporto di trasmissione tra la prima e l’ultima è uguale, a meno del
segno, a quello che si avrebbe se queste due ruote ingranassero direttamente. Infatti:
τ1,2 =
z1
ω2
=−
ω1
z2
(5.74)
τ2,3 =
ω3
z2
=−
ω2
z3
(5.75)
da cui si ottiene:
τ = τ1,3 = τ1,2 τ2,3 =
ω3
z1
=
ω1
z3
(5.76)
Si vede quindi che la presenza della ruota intermedia (chiamata ruota oziosa) ha come
effetto quello di invertire il segno del rapporto di trasmissione rispetto al caso di ingranaggio
diretto.
Se il rotismo può essere considerato ideale (η = 1), il rapporto di trasmissione determina
anche il rapporto tra le coppie in uscita e in ingresso del treno di ingranaggi. Ad esempio,
con riferimento alla fig. 5.26, si ha:
ω1
1
C4
=
=
C1
ω4
τ
(5.77)
L’impiego più comune dei rotismi è come riduttori di velocità (fig. 5.28). Ogni singolo
ingranaggio è detto stadio di riduzione: l’uso di più stadi di riduzione in serie (si parla di
rotismi a doppia, tripla, quadrupla riduzione) consente di ottenere rapporti di riduzione ben
più spinti rispetto al caso di un singolo ingranaggio.
112CAPITOLO 5. ORGANI PER LA TRASMISSIONE DEL MOTO: GLI INGRANAGGI
Figura 5.28: Riduttori di velocità realizzati con rotismi ordinari
5.7.2
Rotismi epicicloidali
A differenza dei rotismi ordinari, nei rotismi epicicloidali alcuni degli assi delle ruote sono
mobili. Un rotismo epicicloidale semplice è costituito da:
• due ruote dentate principali, chiamate solari, non ingrananti tra loro, aventi lo stesso
asse fisso;
• una o più ruote dentate, dette satelliti o planetari, che ingranano con i solari, i cui
assi sono portati in giro da un elemento rigido, detto portatreno
• il portatreno, che ruota attorno ad un asse fisso coincidente con l’asse dei solari e
che, come si è detto, porta in rotazione gli assi dei satelliti.
La fig. 5.29 mostra due esempi di rotismi epicicloidali semplici, in cui gli elementi 1 e 2
sono le ruote solari, gli elementi 3 e 4 sono i satelliti, l’elemento P è il portatreno.
A differenza di un rotismo ordinario, in cui le ruote dentate possono essere scelte in
maniera indipendente l’una dall’altra (badando naturalmente che abbiano lo stesso modulo),
in un rotismo epicicloidale sussistono vincoli di carattere geometrico sui parametri cinematici
5.7. ROTISMI
113
Figura 5.29: Esempi di rotismi epicicloidali
delle ruote (raggi delle primitive, numero di denti). Ad esempio, nel rotismo di fig. 5.29a
deve essere:
r1 + r3 = r2 + r4
(5.78)
il che equivale, essendo ovviamente i moduli delle ruote dentate tutti uguali fra loro, alla
seguente condizione sul numero di denti delle ruote:
z1 + z3 = z2 + z4
(5.79)
Allo stesso modo, per il rotismo di fig. 5.29b sussistono i vincoli:
r1 + 2r3 = r2
(5.80)
z1 + 2z3 = z2
(5.81)
Pertanto, in un rotismo epicicloidale i parametri di ogni ruota dentata sono determinati
una volta fissati quelli di tutte le altre ruote.
Un’altra importante differenza tra i rotismi epicicloidali e quelli ordinari sta nel fatto
che, mentre in questi ultimi vi è un albero di ingresso (motore) e uno di uscita (condotto),
nei primi vi sono tre diversi alberi, collegati rispettivamente ai due solari e al
portatreno. Si possono dunque avere vari casi: due alberi motori e uno condotto, oppure
un albero motore e due condotti, oppure (ed è questo il caso più comune) un albero motore,
uno condotto e il terzo fermo.
Vogliamo ora calcolare il rapporto di trasmissione complessivo τ di un rotismo epicicloidale, definito in modo naturale come il rapporto tra la velocità angolare dell’albero (o di
uno degli alberi) di uscita e quella dell’albero (o di uno degli angoli) di entrata.
Per poter determinare τ è necessario passare attraverso il calcolo del rapporto di
trasmissione del rotismo epicicloidale reso ordinario (cioè ad assi fissi), detto
anche tau di Willis τW . Dette ω1 e ω2 le velocità dei solari, e Ω quella del portatreno,
per rendere ordinario il rotismo epicicloidale è sufficiente, da un punto di vista concettuale,
‘annullare’ la velocità del portatreno, mettendosi ad esempio in un sistema di riferimento
114CAPITOLO 5. ORGANI PER LA TRASMISSIONE DEL MOTO: GLI INGRANAGGI
solidale con il portatreno stesso, ovvero rotante con velocità angolare Ω. In questo sistema i
solari ruotano con velocità ω1 − Ω e ω2 − Ω, mentre il portatreno ha velocità angolare nulla:
di conseguenza i satelliti non vengono portati in giro attorno all’asse dei solari, ottenendo
quindi un rotismo ad assi fissi.
Il rapporto di trasmissione di questo rotismo ordinario, derivato da quello epicicloidale,
è dunque dato dalle seguente formula di Willis:
ω2 − Ω
(5.82)
ω1 − Ω
Per la determinazione del rapporto di trasmissione complessivo τ di un rotismo epicicloidale si procede allora in questo modo:
τW =
• si immagina di ‘bloccare’ il portatreno e si calcola il valore di τW mediante le considerazioni svolte per i rotismi ordinari, ovvero in funzione del numero di denti delle
ruote;
• nella (5.82) si sostituisce a τW il valore ottenuto;
• il valore del rapporto di trasmissione complessivo può allora essere ottenuto, con semplici calcoli, a partire dalla (5.82) e dalla definizione dello stesso τ , che naturalmente
dipende da qual è l’albero di uscita e quale l’albero di ingresso nel rotismo epicicloidale
in esame.
Il rapporto di trasmissione τW del rotismo epicicloidale reso ordinario compare anche
nelle relazioni tra le coppie agenti sul rotismo. Siano infatti C1 , C2 e CP le coppie agenti
rispettivamente sul solare 1, sul solare 2 e sul portatreno: in condizioni di regime (o comunque
quando le inerzie delle ruote dentate siano trascurabili), l’equilibrio alle rotazioni attorno
all’asse comune dei tre alberi è espresso da:
C1 + C2 + CP = 0
(5.83)
Un’altra equazione è fornita dalla conservazione della potenza (supponendo il rotismo
ideale: η = 1):
C1 ω1 + C2 ω2 + CP Ω = 0
(5.84)
Dalla 5.83 ricaviamo CP , che poi sostituiamo nella 5.84:
CP = −C1 − C2
(5.85)
C1 (ω1 − Ω) + C2 (ω2 − Ω) = 0
(5.86)
C2
ω1 − Ω
1
=−
=−
C1
ω2 − Ω
τW
(5.87)
Da quest’ultima equazione e dalla 5.82 si ottiene:
e parimenti si ricava:
5.7. ROTISMI
115
CP
1 − τW
=
C1
τW
(5.88)
Le (5.87) e (5.88) ci dicono che un rotismo epicicloidale può essere visto come un partitore di coppia, nel senso che la coppia sul solare 1 si suddivide tra il solare 2 e il portatreno
1
W
con quote proporzionali a − τW
e 1−τ
rispettivamente. Si noti che tali quote, e quindi i
τW
rapporti tra le coppie, sono indipendenti dalle velocità angolari alle quali ruotano gli assi,
dipendendo unicamente dal valore di τW , che come abbiamo visto è funzione del numero di
denti delle ruote.
Date le loro caratteristiche cinematiche, i rotismi epicicloidali trovano la loro applicazione
più comune nei riduttori a forte rapporto di riduzione ed ingombro limitato. Si
consideri un qualsiasi rotismo epicicloidale e si supponga ad esempio che il portatreno sia
collegato all’albero motore, il solare 1 all’albero condotto e che il solare 2 sia fermo. Il
rapporto di trasmissione complessivo τ è allora calcolabile tramite la 5.82 ponendo ω2 = 0:
τW =
da cui, con facili passaggi:
τ=
−Ω
ω1 − Ω
ω1
τW − 1
=
Ω
τW
(5.89)
(5.90)
Se i numeri di denti delle ruote sono scelti in modo tale che il valore di τW sia molto vicino
a 1, si possono ottenere valori di τ molto piccoli, sia positivi (per τW di poco maggiore di 1)
che negativi (per τW di poco minore di 1). Ciò permette di ottenere rapporti di riduzione
molto spinti, con rotazioni concordi oppure discordi degli alberi di uscita e di ingresso.
Figura 5.30: Differenziale di autoveicolo
I rotismi epicicloidali possono essere costituiti sia da ingranaggi cilindrici, sia da ingranaggi conici. L’applicazione più importante di questi ultimi è nel differenziale degli autoveicoli,
116CAPITOLO 5. ORGANI PER LA TRASMISSIONE DEL MOTO: GLI INGRANAGGI
ovvero in quel dispositivo che consente alle ruote motrici di percorrere traiettorie curvilinee
senza avere strisciamento tra le ruote e il terreno.
Nel differenziale per autoveicolo rappresentato in fig. 5.30, i solari sono costituiti dalle
due ruote coniche identiche 1 e 2, le quali ingranano con i due satelliti uguali 3 e 4, liberi
di ruotare attorno ad un perno solidale al portatreno P. Il portatreno, solidale ad una ruota
dentata conica che ingrana con un rocchetto conico, il quale a sua volta è posto in movimento
dal motore, trascina in rotazione i satelliti. I solari 1 e 2 sono invece accoppiati agli alberi
delle ruote del veicolo. In questo rotismo epicicloidale l’ingresso è dunque costituito dal
portatreno, mentre le uscite sono date dai due solari.
Se si immagina di ‘bloccare’ il portatreno, si vede facilmente che, per la simmetria del
sistema, il rapporto di trasmissione del rotismo reso ordinario è uguale a: τW = −1. La
formula di Willis per il differenziale è dunque:
τW =
da cui:
ω2 − Ω
= −1
ω1 − Ω
(5.91)
ω1 + ω2
(5.92)
2
Si può quindi dire che il differenziale fa sì che la velocità del portatreno sia sempre
pari alla media aritmetica delle velocità delle due ruote. In condizioni di moto
rettilineo, ω1 = ω2 : i solari ruotano alla stessa velocità angolare (che è anche uguale a quella
del portatreno), e di conseguenza i satelliti non ruotano attorno al loro asse. Se invece il
veicolo percorre una traiettoria curvilinea, la velocità angolare della ruota più esterna sarà
maggiore di quella della ruota più interna: in questo caso i satelliti, oltre ad essere trascinati
dal portatreno, si metteranno anche in rotazione attorno al proprio asse, in modo tale da
diminuire la velocità del solare collegato alla ruota interna ed aumentare la velocità del solare
collegato alla ruota esterna, fermo restando il rispetto della (5.92).
Ω=
Capitolo 6
Altri organi di trasmissione del moto
In questo capitolo saranno presi in esame altre tipologie di organi di trasmissione del moto,
nonché componenti meccanici (freni, cuscinetti) collegati con le problematiche di trasmissione
del moto.
6.1
Trasmissione del moto mediante organi flessibili
Importanti organi di trasmissione del moto sono costituiti da componenti meccanici flessibili.
Tra essi si annoverano quegli organi costituiti di materiale avente flessibilità intrinseca, come
ad esempio le cinghie e le funi, nonché quegli organi (come le catene) costituiti di parti in
materiale rigido, collegate tra loro in modo tale da permettere il moto relativo tra le singole
parti, conferendo così una flessibilità complessiva al componente.
6.1.1
Cinghie
Le cinghie sono elementi flessibili costituite in genere da un elastomero, spesso opportunamente rinforzato da fibre metalliche. Esse sono ampiamente utilizzate in meccanica come
organi di trasmissione del moto tra assi paralleli, soprattutto quando si è in presenza di un
interasse non piccolo. La cinghia viene avvolta, in genere con un certo forzamento, su due
pulegge, permettendo così la trasmissione della potenza meccanica dalla puleggia motrice a
quella condotta, per effetto delle forze di attrito che si sviluppano in direzione tangenziale
al contatto fra puleggia e cinghia.
Come in tutte le trasmissioni per attrito, la coppia massima trasmissibile mediante cinghie
dipende dal coefficiente di attrito e risulta quindi limitata.
Vi sono tre principali tipologie di cinghie:
• cinghie piane
• cinghie trapezoidali
• cinghie dentate
117
118
CAPITOLO 6. ALTRI ORGANI DI TRASMISSIONE DEL MOTO
Figura 6.1: Trasmissione a cinghia
Figura 6.2: Equilibrio delle forze in un tratto infinitesimo di cinghia
Cinghie piane
La cinghia piana ha tipicamente sezione rettangolare. Consideriamo il sistema di trasmissione
a cinghie illustrato nella Fig. 6.1: nella puleggia motrice (a sinistra) coppia e velocità angolare
sono concordi, mentre nella puleggia condotta (a destra) coppia e velocità angolare sono
discordi.
Come appare evidente anche da un punto di vista intuitivo, la presenza della coppia
motrice C1 fa sì che la tensione T1 della cinghia all’ingresso della puleggia sia maggiore
della tensione T2 in uscita. Quantitativamente, si può scrivere l’equazione di equilibrio alle
rotazioni rispetto all’asse della puleggia motrice:
C1 − T1 r1 + T2 r1 = 0
(6.1)
C1 = (T1 − T2 )r1
(6.2)
da cui:
6.1. TRASMISSIONE DEL MOTO MEDIANTE ORGANI FLESSIBILI
119
Analogamente, per la puleggia condotta si può scrivere:
C2 = (T1 − T2 )r2
(6.3)
C1
r1
=
C2
r2
(6.4)
da cui, dividendo membro a membro, si ottiene la relazione tra le coppie alle pulegge:
Supponendo di essere in condizioni ideali (assenza di perdite), il rapporto di trasmissione τ
del sistema può allora essere calcolato partendo dall’equazione di conservazione della potenza:
C1 ω1 = C2 ω2
(6.5)
da cui si ricava:
C1
r1
ω2
=
=
(6.6)
ω1
C2
r2
Nella realtà si verificano tuttavia delle perdite di potenza, dovute principalmente a
microslittamenti della cinghia causati dalle differenze di tensione, per cui il rapporto di
trasmissione è leggermente inferiore a quello espresso dalla (6.6). Inoltre tale rapporto non
è costante, ma presenta piccole oscillazioni, sempre dovute ai microslittamenti.
Con riferimento alla puleggia motrice, vogliamo ora studiare come varia la tensione della
cinghia, tra il valore minimo T2 e il valore massimo T1 , nel tratto in cui essa è avvolta sulla
puleggia (arco di avvolgimento).
Siano:
τ=
• θ il generico angolo lungo l’arco di avvolgimento, misurato a partire dal punto di uscita
della cinghia
• T = T (θ) la tensione della cinghia nel generico punto dell’arco di avvolgimento
• f il coefficiente di attrito tra cinghia e puleggia
• r il raggio della puleggia
• q la massa della cinghia per unità di lunghezza
• ω la velocità angolare della puleggia
• v = ωr la velocità tangenziale della puleggia
La Fig. 6.2 mostra un elemento infinitesimo di cinghia di ampiezza dθ, posizionato in
corrispondenza di un generico angolo θ; la lunghezza di tale elemento è pertanto: ds = rdθ
e la sua massa dm = qds. Le forze agenti sull’elemento sono:
• le tensioni trasmesse alle estremità dalle parti rimanenti della cinghia: esse valgono
rispettivamente T e T + dT
• la forza normale dFN esercitata dalla puleggia sulla cinghia
120
CAPITOLO 6. ALTRI ORGANI DI TRASMISSIONE DEL MOTO
• la forza tangenziale, dovuta all’attrito, tra puleggia e cinghia: essa vale dFT = f dFN
• la forza di inerzia, la cui componente normale (forza centrifuga) ha modulo pari a
2
dmω 2 r = q vr ds (la componente tangenziale, di modulo dm dv
può essere trascurata, in
dt
quanto molto piccola)
Scriviamo allora le equazioni di equilibrio alla traslazione secondo le direzioni normale e
tangenziale:
−T sin
dθ
v2
dθ
+ q ds + dFN − (T + dT ) sin
=0
2
r
2
(6.7)
dθ
dθ
− dFT + (T + dT ) cos
=0
(6.8)
2
2
Ponendo: dFT = f dFN , ds = rdθ, sin dθ ≈ dθ, cos dθ ≈ 1, e trascurando il prodotto
dT dθ perché infinitesimo di ordine superiore, la (6.7) si scrive:
−T cos
mentre la (6.8) diventa:
dFN = (T − qv 2 )dθ
(6.9)
dT = f dFN
(6.10)
Sostituendo ora la (6.9) nella (6.10) si ottiene:
dT = f (T − qv 2 )dθ
(6.11)
T − qv 2
= ef θ
T2 − qv 2
(6.12)
T = T2 ef θ
(6.13)
Si tratta di un’equazione differenziale che, una volta integrata tra gli estremi 0 e θ per
l’angolo, T2 e T per la tensione (si lascia l’integrazione al lettore come utile esercizio), fornisce
finalmente l’equazione fondamentale della trasmissione del moto mediante attrito
tra cinghia e puleggia:
che, qualora si possa trascurare il termine qv 2 rispetto a T , diventa:
(Si osservi che (6.13) è stata ottenuta per la puleggia motrice, tuttavia è immediato
verificare che la stessa equazione vale anche per la puleggia condotta).
La (6.13) ci dice che la variazione della tensione della cinghia lungo l’arco di
avvolgimento sulla puleggia varia esponenzialmente con l’angolo θ. Considerando
la puleggia motrice, il valore minimo della tensione (T2 ) si ha ovviamente per θ = 0, mentre
il valore massimo (T1 ) si ha per un angolo θ∗ ricavabile dalla (6.13):
T1 = T2 ef θ
θ∗ =
∗
T1
1
log
f
T2
(6.14)
(6.15)
6.1. TRASMISSIONE DEL MOTO MEDIANTE ORGANI FLESSIBILI
121
Figura 6.3: Archi di aderenza e di scorrimento
L’angolo θ∗ è chiamato arco di scorrimento, in quanto lungo esso si verifica la variazione
di tensione della cinghia la quale, essendo deformata per effetto di tale variazione, subisce
dei micro-slittamenti rispetto alla puleggia.
Con riferimento alla Fig. 6.3, si vede che il valore di θ∗ , determinato dalla (6.15), è
normalmente inferiore al valore dell’arco di avvolgimento β1 : l’angolo residuo β1 − θ∗ , detto
arco di aderenza, è il tratto lungo il quale la tensione della cinghia rimane costante al
valore massimo T1 e sia ha pertanto aderenza tra cinghia e puleggia.
Considerazioni analoghe possono essere fatte per la puleggia condotta: anche in questo
caso si avranno un arco di scorrimento θ∗ e un arco di aderenza β2 − θ∗ , tuttavia l’arco di
scorrimento inizia da T1 anziché da T2 , e lungo l’arco di aderenza la tensione che rimane
costante è la T2 .
Per ricavare il valore massimo della coppia trasmissibile mediante cinghie, si considerino
le (6.2) e (6.3), e si sostituisca in esse la (6.14), ottenendo:
∗
(6.16)
C2 = r2 T2 (ef θ − 1)
∗
(6.17)
C1 = r1 T2 (ef β1 − 1)
(6.18)
C2 = r2 T2 (ef β1 − 1)
(6.19)
C1 = r1 T2 (ef θ − 1)
Da queste equazioni si vede che all’aumentare delle coppie (motrice e resistente) aumenta
il valore dell’arco di scorrimento; tuttavia, esso non può essere maggiore del più piccolo fra
i due angoli di avvolgimento β1 e β2 . Se ad esempio, come in Fig. 6.3, β1 < β2 , la coppia
massima che la puleggia motrice può trasmettere alla cinghia è:
e di conseguenza la coppia massima che la cinghia può trasmettere alla puleggia condotta
è:
Come era logico aspettarsi, la coppia massima trasmissibile mediante cinghie ha delle
limitazioni dovute al fatto che si tratta di una trasmissione per attrito (tanto è vero che
aumentando il valore di f si possono ottenere miglioramenti in questo senso).
122
CAPITOLO 6. ALTRI ORGANI DI TRASMISSIONE DEL MOTO
Nel caso in cui la coppia applicata alla puleggia motrice sia maggiore del valore dato dalla
(6.18), si verificano slittamenti tra cinghia e puleggia. La coppia effettivamente trasmessa
rimane quella data dalla (6.18), essendo l’eccesso di coppia equilibrato dall’aumento delle
resistenze all’asse della puleggia, nonché dalla coppia di inerzia dovuta all’accelerazione della
puleggia stessa.
Cinghie trapezoidali
Figura 6.4: Cinghia trapezoidale
Per aumentare il valore della coppia massima trasmissibile mediante cinghie si deve aumentare il valore del coefficiente di attrito f , o per mezzo di un’opportuna scelta dei materiali
oppure, più frequentemente, agendo sulla geometria del sistema.
Anziché cinghie piane (a sezione rettangolare), si possono infatti utilizzare cinghie
trapezoidali (Fig. 6.4), che vengono forzate entro pulegge con gole a forma di ‘V’. Le
forze tra cinghia e puleggia vengono allora scambiate lungo i lati obliqui del trapezio che
costituisce la sezione della cinghia.
Detta α l’apertura della gola della puleggia, N la forza normale di pressione sulla cinghia,
′
N le forze trasmesse dalla puleggia alla cinghia, l’equilibrio alla traslazione verticale è
espresso da:
α
=0
2
L’equazione di equilibrio alla traslazione in un piano ortogonale alla Fig. 6.4 è:
N − 2N ′ sin
T − 2f N ′ = 0
(6.20)
(6.21)
ove f è il coefficiente di attrito tra cinghia e puleggia, e T la corrispondente forza
tangenziale.
Da queste due equazioni si ricava la relazione tra T e N :
T =
f
N
sin α2
(6.22)
6.1. TRASMISSIONE DEL MOTO MEDIANTE ORGANI FLESSIBILI
123
Si può quindi dire che per le cinghie trapezoidali si ha un coefficiente di attrito equivalente
f = sinf α , che è tanto maggiore quanto minore è il valore di α. Ovviamente per α = 180◦
2
(cinghia piana) si ritrova f = f ′ .
′
Cinghie dentate
Un altro modo per aumentare la coppia massima trasmissibile è quello di ricorrere a cinghie
dentate, ovvero dotate di denti collocati lungo l’intera superficie della cinghia, i quali vanno
ad ingranare in appositi vani ricavati nelle pulegge.
Questa soluzione, che ha l’ulteriore vantaggio di impedire lo scorrimento relativo tra
cinghia e puleggia, è assimilabile, da un punto di vista cinematico e dinamico, ad una
trasmissione a catena, che sarà studiata in un successivo paragrafo.
Argani di trazione o cabestani
Figura 6.5: Cabestano
I cabestani o argani di trazione (Fig. 6.5) sono macchine costituite da un tamburo
di diametro d attorno al quale è avvolta una fune, ai cui estremi sono applicati il carico da
trainare P e la forza di trazione T .
La minima forza di trazione T da applicare per muovere il carico si può ricavare dall’equazione fondamentale delle cinghie (6.14) in condizioni di scorrimento globale, ovvero
ponendo θ∗ = 2nπ, ove n è il numero di giri con cui la fune si avvolge attorno al tamburo:
P = T e2nπf ⇒ T = P e−2nπf
(6.23)
Sono quindi sufficienti pochi giri della fune attrorno al tamburo per ridurre considerevolmente la forza richiesta per trainare il carico, che può pertanto essere mosso in maniera più
agevole applicando una coppia Cm al tamburo, ricavabile dall’equazione di equilibrio alle
rotazioni ripetto all’asse:
d
d
Cm = (P − T ) ≈ P
2
2
(6.24)
124
CAPITOLO 6. ALTRI ORGANI DI TRASMISSIONE DEL MOTO
6.1.2
Catene
Figura 6.6: Catena a rulli
Le catene sono organi meccanici costituiti da una serie di elementi rigidi: ognuno di essi
è collegato ad altri due elementi ed in grado di ruotare liberamente ripetto a questi ultimi.
Il tipo di catena più comune, utilizzata per la trasmissione del moto, è la catena a rulli
(Fig. 6.6), in cui ogni perno collega un rullo, una boccola e quattro piastrine. Il perno
è solidale alle piastrine esterne, mentre la boccola è solidale ripetto alle piastrine interne;
inoltre, il rullo è libero di ruotare attorno alla boccola. La catena ingrana con due ruote
dentate, solidali agli assi tra cui va trasmesso il moto.
La distanza tra gli assi di due perni consecutivi è detta passo della catena. Ad ogni
avanzamento di un passo, le ruote dentate (aventi numero di denti z1 e z2 ) ruotano dei due
angoli:
ψ1 =
2π
z1
(6.25)
2π
(6.26)
z2
Detto ∆t il tempo in cui avviene l’avanzamento di un passo, le velocità angolari delle due
ruote sono rispettivamente:
ψ2 =
ω1 =
ψ1
∆t
ψ2
∆t
da cui segue che il rapporto di trasmissione τ è dato da:
ω2 =
τ=
ω2
ψ2
z1
=
=
ω1
ψ1
z2
(6.27)
(6.28)
(6.29)
Pertanto il τ di una trasmissione a catena, essendo dato dall’inverso del rapporto tra il numero di denti, è lo stesso che si avrebbe se le ruote dentate
ingranassero direttamente.
6.1. TRASMISSIONE DEL MOTO MEDIANTE ORGANI FLESSIBILI
125
In realtà il rapporto di trasmissione non è propriamente costante, poiché l’ingranamento
dei denti delle ruote negli spazi tra i rulli della catena è un fenomeno intrinsecamente discontinuo; tuttavia questo fenomeno, chiamato effetto poligonale, diventa trascurabile se il
numero di denti delle ruote è sufficientemente elevato (maggiore di 15).
Rispetto alle cinghie, le catene (il cui funzionamento non è basato sull’attrito), sono in
grado di trasmettere coppie e potenze molto più elevate, con un rapporto di trasmissione
abbastanza costante (vi sono infatti delle piccole fluttuazioni di τ dovute alla discontinuità
costituita dall’ingranamento tra catena e ruote dentate).
Il rendimento di una catena a rulli è molto elevato (in genere 98-99%), ed è paragonabile
a quello delle più efficienti ruote dentate. L’interasse tra le ruote può variare da pochi
centimetri fino a circa 10 m.
6.1.3
Paranchi di sollevamento
Figura 6.7: Argano di sollevamento a due pulegge
Oltre all’impiego come dispositivi di trasmissione della potenza tra assi paralleli, un’altra
applicazione importante degli organi flessibili è il loro utilizzo come moltiplicatori di sforzo
negli organi di sollevamento.
Si consideri la Fig. 6.7, in cui una fune o una catena si avvolge su due pulegge, una ad asse
mobile (a cui è collegato il carico da sollevare) ed una ad asse fisso, aventi lo stesso diametro
d. Chimando ωf e ωm le velocità angolari, rispettivamente della puleggia ad asse fisso e di
quella ad asse mobile, valgono le seguenti relazioni, di natura cinematica, che esprimono le
velocità lineari della fune nei punti estremi di avvolgimento sulle pulegge:
vD = ωf
d
= vE
2
(6.30)
126
CAPITOLO 6. ALTRI ORGANI DI TRASMISSIONE DEL MOTO
vB = ωm d
(6.31)
d
2
(6.32)
1
ωm = ωf
2
(6.33)
vC = ωm
Essendo vD = vB , si avrà:
1
vC = vE
(6.34)
2
Per quanto riguarda le forze in gioco, consideriamo la puleggia mobile e scriviamo per
essa l’equazione di equilibrio alla traslazione verticale in condizioni di regime. Supponendo
di trovarci in condizioni di idealità (trascurando quindi l’attrito nei perni, la resistenza
aerodinamica e l’imperfetta elasticità della fune), le tensioni T all’ingresso e all’uscita della
puleggia sono uguali; si ottiene quindi:
(6.35)
P = 2T
Il risultato fondamentale ottenuto con questo sistema a due pulegge è pertanto quello di
dimezzare la forza necessaria al sollevamento di un carico (in condizioni di idealità).
Dalla (6.34) si vede altresì che la velocità di sollevamento del carico è la metà di quella del
punto a cui è applicata la forza di trazione T , risultato che peraltro poteva essere ricavato
anche imponendo la conservazione della potenza.
Se si abbandona l’ipotesi di idealità, ammettendo quindi che vi siano perdite dovute
all’attrito nei perni, alla resistenza aerodinamica e alla elasticità non perfetta del flessibile,
le tensioni in ingresso Ti e in uscita Tu della puleggia non sono più uguali, dovendo quella in
uscita essere maggiore per compensare le forze resistenti. Si può allora scrivere:
(6.36)
Tu = (1 + k)Ti
essendo k un coefficiente di perdita che tipicamente vale qualche punto percentuale, a
seconda delle condizioni del sistema (lubrificazione, ecc.).
Le relazioni tra le velocità, essendo di natura puramente cinematica, non sono invece
influenzate dalle condizioni del sistema e pertanto sussistono in ogni caso.
Allo scopo di ridurre ulteriormente il rapporto tra la tensione da applicare e il peso
del carico da sollevare, è possibile concepire un sistema, chiamato paranco o argano di
sollevamento, costituito da varie coppie puleggia fissa - puleggia mobile. Un esempio di
tale dispositivo è rappresentato nella Fig. 6.8.
L’equazione di equilibrio dell’elemento mobile, in condizioni di regime, è data da:
P = T0 + T1 + ... + Tn−1 =
n−1
X
Ti
i=0
essendo n il numero di pulegge del paranco.
Per ogni puleggia è possibile scrivere un’equazione del tipo (6.36), ovvero:
(6.37)
6.1. TRASMISSIONE DEL MOTO MEDIANTE ORGANI FLESSIBILI
127
Figura 6.8: Paranco di sollevamento a otto pulegge
Ti = (1 + k)Ti−1
i = 1...n
(6.38)
Da cui, per successive sostituzioni, si ricava la tensione motrice Tn in funzione della
tensione T0 nel primo ramo del flessibile:
Tn = (1 + k)n T0
(6.39)
Sostituendo poi la (6.39) nella (6.37) si ottiene:
P = T0
"n−1
X
(1 + k)
i=0
i
#
(6.40)
da cui finalmente la tensione Tn da applicare per il sollevamento del carico, in funzione
del peso P del carico stesso:
(1 + k)n
Tn = Pn−1
P
i
i=0 (1 + k)
(6.41)
In condizioni ideali (k = 0) si ha: Tn = P/n, quindi un paranco ideale riduce la forza
richiesta per il sollevamento di un carico di tante volte quante sono le pulegge
presenti nel dispositivo.
In compenso, la velocità di sollevamento del carico vP sarà n volte più piccola
della velocità vn con cui si deve muovere il capo libero della fune:
1
vn
(6.42)
n
La (6.42) si ricave facilmente dall’equazione di conservazione della potenza in condizioni
ideali:
vP =
128
CAPITOLO 6. ALTRI ORGANI DI TRASMISSIONE DEL MOTO
Figura 6.9: Confronto tra organi a rapporto di trasmissione costante
Wresistente = P vP = Tn vn = Wmotrice
6.2
(6.43)
Confronto tra organi a rapporto di trasmissione costante
Va subito detto che è difficile stabilire un confronto ‘assoluto’ tra i vari organi di trasmissione
del moto, sia perché essi hanno diffrenti campi di utilizzazione, sia perché le caratteristiche
di funzionamento (in particolare per le ruote dentate) dipendono fortemente dalla qualità
del progetto e della costruzione.
Ad ogni modo, la tabella di Fig. 6.9, che fornisce una visione sinottica delle caratteristiche
dei vari organi a rapporto di trasmissione costante, può essere utilmente impiegata per la
scelta del dispositivo da utilizzare in una determinata situazione.
Da un’analisi sommaria della tabella si vede come i tre parametri fondamentali che
determinano i campi di utilizzo dei vari organi di trasmissione sono:
• potenza
• coppia
• velocità
6.3. GIUNTI
129
Per quanto riguarda potenza e coppia trasmissibile gli ingranaggi hanno caratteristiche
superiori (si tenga comunque presente che i valori massimi di questi tre parametri non sono,
in generale, ottenibili contemporaneamente).
Figura 6.10: Caratteristiche degli organi a rapporto di trasmissione costante
La Fig. 6.10 mostra la dipendenza della potenza trasmessa dalla velocità. Si noti come
gli ingranaggi siano l’unico organo di trasmissione che può trasmettere potenza in maniera
indipendente dalla velocità; per contro alcuni tipi di flessibili (cinghie piane e cinghie dentate)
possono funzionare ad una velocità superiore rispetto agli ingranaggi.
Anche dal punto di vista dell’ingombro gli ingranaggi risultano in vantaggio. In ogni
caso, una scelta appropriata della trasmissione va effettuata considerando tutti i parametri
riportati nella tabella di Fig. 6.9.
6.3
Giunti
I giunti sono organi per la trasmissione del moto tra alberi coassiali, concorrenti o paralleli,
aventi la proprietà di compensare eventuali imperfezioni costruttive e di montaggio, nonché
deformazioni elastiche degli alberi e dei supporti.
6.3.1
Giunto di Cardano
Figura 6.11: Giunto di Cardano
130
CAPITOLO 6. ALTRI ORGANI DI TRASMISSIONE DEL MOTO
Figura 6.12: Schematizzazione del giunto cardanico
Il giunto di Cardano è un organo utilizzato per trasmettere, con rendimento elevato
(η ≈ 0, 99), il moto tra due alberi complanari e tipicamente non paralleli, ma formanti tra
loro un certo angolo α.
Tale giunto è costituito da un elemento a forma di croce (la crociera) collegato per mezzo
di coppie rotoidali a due forcelle giacenti in piani ortogonali (Fig. 6.11).
Lo studio cinematico del giunto di Cardano riveste un certo interesse: vediamo quindi di
ricavare il suo rapporto di trasmissione e di discutere i risultati che saranno ottenuti.
Si faccia riferimento alla Fig. 6.12, in cui è schematizzato tridimensionalmente un giunto
di Cardano. Siano:
• µ il piano hX, Zi contenente gli assi dei due alberi collegati alle forcelle
• α l’angolo formato dai due alberi nel piano µ
• γ1 l’angolo di rotazione, rispetto alla normale Y al piano µ, della forcella collegata
all’albero motore
• γ2 l’angolo di rotazione, rispetto al piano µ, della forcella collegata all’albero condotto
• ω1 la velocità angolare dell’albero motore
• ω2 la velocità angolare dell’albero condotto
• l1 il semibraccio della forcella collegata all’albero motore
• l2 il semibraccio della forcella collegata all’albero condotto
La relazione tra gli angoli γ1 e γ2 può essere ricavata imponendo l’ortogonalità dei bracci
della crociera, ovvero eguagliando a zero il prodotto scalare dei vettori che li rappresentano
nella terna hX, Y, Zi.
Le componenti, lungo i tre assi, dei due semibracci della crociera sono rispettivamente:
6.3. GIUNTI
131
• l1x = 0
• l1y = l1 cos γ1
• l1z = l1 sin γ1
• l2x = −l2 cos γ2 sin α
• l2y = l2 sin γ2
• l2z = −l2 cos γ2 cos α
L’ortogonalità dei vettori l1 e l2 si scrive:
l1 cos γ1 l2 sin γ2 − l1 sin γ1 l2 cos γ2 cos α = 0
(6.44)
tan γ2 = tan γ1 cos α ⇒ γ2 = arctan(tan γ1 cos α)
(6.45)
da cui, dividendo per l1 l2 cos γ1 cos γ2 , si ottiene la relazione cercata tra le posizioni
angolari delle forcelle:
Figura 6.13: Differenza tra le posizioni angolari degli alberi nel giunto di Cardano
Già da questa formula si nota come la trasmissione del moto tra la forcella motrice e
la forcella condotta non sia uniforme. Ogni quarto di giro, infatti, l’angolo γ2 di cui ruota
la forcella condotta risulta alternativamente maggiore o minore dell’angolo γ1 di rotazione
della forcella motrice. La differenza ∆γ = γ2 − γ1 è una funzione periodica, di periodo π, e
di ampiezza tanto maggiore quanto maggiore è il valore di α, come si vede nella Fig. 6.13.
L’espressione analitica di ∆γ si ottiene con l’ausilio di qualche formula trigonometrica:
132
CAPITOLO 6. ALTRI ORGANI DI TRASMISSIONE DEL MOTO
tan ∆γ = tan(γ2 − γ1 ) =
tan γ2 − tan γ1
1 + tan γ2 tan γ1
(6.46)
da cui, richiamando la (6.45):
∆γ = arctan
tan γ1 (cos α − 1)
1 + tan2 γ1 cos α
(6.47)
Il calcolo del rapporto di trasmissione del giunto di Cardano si effettua derivando la (6.45)
rispetto al tempo:
(1 + tan2 γ2 )
dγ2
dγ1
= (1 + tan2 γ1 ) cos α
dt
dt
(6.48)
per cui:
τ=
dγ2 /dt
cos α
(1 + tan2 γ1 ) cos α
ω2
=
=
=
2
ω1
dγ1 /dt
1 + tan γ2
cos2 γ1 (1 + tan2 γ2 )
(6.49)
Sostituendo ora il valore di tan γ2 dato dalla (6.45) si ottiene il valore di τ :
τ=
cos α
cos α
cos α
=
⇒
=
2
2
2
cos2 γ1 (1 + tan γ1 cos2 α)
cos2 γ1 + sin γ1 cos2 α
cos2 γ1 + sin γ1 − sin2 γ1 sin2 α
(6.50)
τ=
cos α
1 − sin2 γ1 sin2 α
(6.51)
Il giunto di Cardano è pertanto un giunto non omocinetico, ossia il suo rapporto di
trasmissione non è costante, in quanto oscilla, con periodo π, attorno ad un valor medio
pari a 1 (irregolarità periodica del giunto di Cardano). Ciò significa che, a seconda delle
caratteristiche inerziali degli alberi collegati al giunto, una o entrambe le velocità angolari
degli alberi fluttuano attorno allo stesso valor medio. Le maggiori variazioni si avranno
ovviamente nella velocità angolare dell’albero le cui masse rotanti hanno un momento di
inerzia minore; se l’inerzia di uno dei due alberi è molto minore ripetto a quella dell’altro,
si può considerare che quest’ultimo ruoti a velocità angolare costante, mentre la velocità del
primo varierà a seconda del valore istantaneo del rapporto di trasmissione.
Il valore massimo del rapporto di trasmissione (τmax = cos1 α ) si avrà quando |sin γ1 | = 1,
ovvero per γ1 = π2 + kπ, k ∈ Z, mentre Il valore minimo (τmin = cos α) si avrà quando
sin γ1 = 0, ovvero per γ1 = kπ, k ∈ Z.
L’ampiezza dell’irregolarità periodica del giunto di Cardano è funzione dell’angolo α, e
aumenta con esso, fino ad arrivare al caso limite α = π2 , per cui la (6.51) fornisce τ = 0 e il
moto risulta così impossibile.
Per contro, calcolando il limite della (6.51) per α → 0, si ottiene un risultato prevedibile
anche con l’intuizione, ovvero τ ≡ 1: è questo l’unico caso, peraltro di scarsa utilità pratica,
in cui il giunto di Cardano risulta omocinetico.
6.3. GIUNTI
133
Figura 6.14: Doppio giunto di Cardano: alberi incidenti
Figura 6.15: Doppio giunto di Cardano: alberi paralleli
6.3.2
Doppio giunto di Cardano e altri giunti omocinetici
L’irregolarità periodica del giunto di Cardano, che come si è visto è funzione dell’angolo di
inclinazione tra gli alberi, causa continue fluttuazioni dell’albero a minore inerzia, le quali a
loro volta sono fonte di vibrazioni che in certi casi possono risultare inaccettabili.
Per evitare queste fluttuazioni di velocità, si può ricorrere ad un doppio giunto di
Cardano che, come sarà dimostrato tra un momento, è omocinetico, cioè il suo rapporto
di trasmissione è costante e pari a 1, se sono rispettate le seguenti condizioni:
• le forcelle dell’albero intermedio devono essere complanari
• l’asse dell’albero intermedio deve formare angoli uguali con gli assi degli altri due alberi
In tal caso, detto γ l’angolo di rotazione dell’albero intermedio, applicando la (6.45) a
entrambi i giunti, si ottiene:
tan γ = tan γ1 cos α
(6.52)
tan γ = tan γ2 cos α
(6.53)
da cui segue che in ogni istante si avrà γ2 = γ1 .
Vi sono due possibili configurazioni del doppio giunto di Cardano, mostrate in Fig. 6.14
e 6.15, ovvero:
134
CAPITOLO 6. ALTRI ORGANI DI TRASMISSIONE DEL MOTO
1. albero motore e albero condotto con assi concorrenti in un punto
2. albero motore e albero condotto con assi paralleli
La omocineticità di questa seconda configurazione deriva dal fatto che cos(−α) = cos α.
Figura 6.16: Giunto omocinetico Bendix-Weiss
In certi accoppiamenti in cui sia richiesta l’omocineticità, l’impiego di un doppio giunto
di Cardano può risultare sconveniente per ragioni di ingombro eccessivo.
Per ovviare a questo inconveniente, sono stati progettati altri giunti omocinetici aventi
ingombro limitato. I più diffusi sono il giunto Bendix-Weiss e il giunto Rzeppa: si tratta
di giunti in cui l’omocineticità è assicurata dalla simmetria della struttura, che prevede da
due forcelle ortogonali distanziate da una serie di sfere alloggiate in apposite gole toroidali.
Il giunto Bendix-Weiss è usato per trasmettere coppie non superiori ai 6000 Nm; per
coppie più elevate si utilizza il giunto Rzeppa, che può trasmettere fino a 35000 Nm.
6.3. GIUNTI
135
Figura 6.17: Giunto di Cardano, giunto Rzeppa e giunto Bendix-Weiss
Figura 6.18: Giunto di Oldham
6.3.3
Altri giunti
Un altro giunto molto diffuso è il giunto di Oldham (Fig. 6.18). Si tratta di un giunto
omocinetico che permette la trasmissione del moto tra due alberi i cui assi siano soggetti ad
un leggero disallineamento parallelo.
Da un punto di vista cinematico, il giunto di Oldham funziona qualunque sia il valore
del disallineamento fra gli alberi, purché ovviamente i dischi abbiano dimensioni sufficienti
per mantenere il collegamento. In pratica, se il disallineamento è troppo grande, sorgono
numerosi inconvenienti quali: aumento dell’ingombro, aumento delle forze centrifughe sul
disco intermedio (il cui centro descrive una circonferenza di diametro pari al disallineamento
fra gli alberi), aumento del lavoro perso per l’attrito di strisciamento nelle coppie prismatiche.
Vi sono poi numerose altre tipologie di giunti. Ci limitiamo a citare le principali:
• giunti a bussola inchiavettata
• giunti a flangia
136
CAPITOLO 6. ALTRI ORGANI DI TRASMISSIONE DEL MOTO
• giunti a spina
• giunti deformabili a soffietto
• giunti deformabili a molle elicoidali
• giunti deformabili a lamine flessibili
6.4
Sistemi vite-madrevite
Figura 6.19: Accoppiamento vite-madrevite
Figura 6.20: Sviluppo su un piano dell’accoppiamento vite-madrevite
I sistemi vite-madrevite (Fig. 6.19) trovano impiego in numerosi sistemi di trasmissione del moto, che trasformano un moto rotatorio in uno traslatorio; una loro applicazione
importante è costituita dagli apparecchi di sollevamento (martinetti a vite).
Come è ben noto, la parte attiva della vite è data da due superfici elicoidali simmetriche
(filetto) che si avvolgono attorno all’asse della vite. La madrevite è invece un cilindro cavo
6.4. SISTEMI VITE-MADREVITE
137
nel quale sono ricavate delle gole che ospitano il filetto della vite, che risulta quindi essere
l’elemento di accoppiamento delle due componenti del sistema.
Il filetto della vite (e di conseguenza la gola della madrevite) può avere varie forme; le
più comuni sono a filetto rettangolare e a filetto trapezio.
6.4.1
Vite-madrevite a filetto rettangolare
Si consideri dapprima un sistema vite-madrevite a filetto rettangolare, e si vogliano determinare le relazioni tra le grandezze cinematiche, nonché quelle tra le forze e coppie agenti
sul sistema. A questo scopo, conviene sviluppare su un piano il cilindro medio (di diametro
d). Vite e madrevite appaiono allora come due elementi solidi a forma prismatica accoppiati
lungo una retta inclinata dell’angolo α, corrispondente all’inclinazione del filetto rispetto alla
normale all’asse della vite. La proiezione di questi prismi su un piano è data dai due trapezi
ABCD (vite) e AF ED (madrevite) mostrati nella Fig. 6.20.
Giacché questo sviluppo corrisponde ad una rotazione completa della vite, la lunghezza
della base dei due trapezi è uguale alla lunghezza πd della circonferenza del cilindro medio,
mentre l’incremento di altezza è uguale al passo elicoidale pe = πd tan α della vite.
La rotazione della vite e la conseguente la traslazione della madrevite ad essa accoppiata
corrispondono, nello sviluppo di Fig. 6.20, rispettivamente alla traslazione orizzontale ∆x
del trapezio ABCD e alla traslazione verticale ∆z del trapezio AF ED, il cui rapporto è
dato dall’inclinazione tan α del filetto:
∆z = ∆x tan α
(6.54)
D’altronde ∆x è funzione dell’angolo di rotazione ∆θ della vite:
d
∆x = ∆θ
2
(6.55)
da cui:
pe
d
tan α∆θ =
∆θ
(6.56)
2
2π
A questo punto, per ricavare il rapporto di trasmissione del sistema vite-madrevite, è
sufficiente derivare la (6.56) rispetto al tempo, ottenendo:
∆z =
vmadrevite =
dz
d
dθ
d
pe
= tan α = tan α ωvite =
ωvite
dt
2
dt
2
2π
(6.57)
da cui finalmente:
τ=
pe
d
vmadrevite
= tan α =
ωvite
2
2π
(6.58)
Lo studio delle relazioni tra forze e coppie agenti in un sistema vite-madrevite porta
a risultati interessanti. Si supponga che il sistema sia utilizzato per il sollevamento di un
carico, e si voglia quindi trovare il momento Mv che deve essere applicato alla vite (elemento
motore) per muovere la madrevite (elemento condotto), alla quale è applicato un carico P .
Detto f il coefficiente di attrito fra i due elementi accoppiati, la forza risultante F scambiata
138
CAPITOLO 6. ALTRI ORGANI DI TRASMISSIONE DEL MOTO
Figura 6.21: Sollevamento di un carico con un sistema vite madrevite
tra vite e madrevite sarà inclinata di un angolo φ = arctan(f ) rispetto alla normale n tra le
superfici a contatto, e tale da opporsi al moto relativo fra di esse.
Con riferimento alla Fig. 6.21, l’equazione di equilibrio alla traslazione verticale della
madrevite si scrive:
P = F cos(φ + α)
(6.59)
L’equilibrio alla traslazione orizzontale della vite è invece espresso da:
T = F sin(φ + α) = P tan(φ + α)
(6.60)
ove T è data dalla risultante delle componenti tangenziali di tutte le forze che la madrevite
esercita sulla vite: nello sviluppo della vite sul piano, tali componenti risultano essere parallele fra loro. Se consideriamo il cilindro originario, anziché il suo sviluppo sul piano, la
forza T risulta essere, in valore assoluto, legata al momento Mv applicato alla vite, secondo
la relazione:
d
2
Il momento da applicare alla vite per sollevare il carico P è pertanto dato da:
Mv = T
(6.61)
d
tan(φ + α) P
(6.62)
2
Dall’equazione precedente e dalla (6.56) è immediato calcolare il rendimento del sistema
vite-madrevite:
Mv =
η=
Lr
tan α
P ∆z
=
=
Lm
Mv ∆θ
tan(φ + α)
(6.63)
Consideriamo adesso il caso di moto retrogrado (Fig. 6.22), ovvero la madrevite sia
l’elemento motore e la vite l’elemento condotto (si ha quindi un abbassamento del carico). Le
6.4. SISTEMI VITE-MADREVITE
139
Figura 6.22: Abbassamento di un carico
relazioni cinematiche, in particolare la (6.56), rimangono valide, mentre per quanto riguarda
le relazioni tra le forze, la differenza fondamentale è che la forza F scambiata tra le superfici
a contatto sarà inclinata sempre di un angolo φ rispetto alla normale n, ma dalla parte
opposta rispetto al caso precedente, in quanto si è invertito il verso del moto relativo tra vite
e madrevite.
Le equazioni di equilibrio, alla traslazione verticale della madrevite e alla traslazione
orizzontale della vite, sono ora date da:
P = F cos(φ − α)
(6.64)
T = F sin(φ − α) = P tan(φ − α)
(6.65)
mentre il momento Mv da applicare alla vite, in condizioni di regime, per abbassare il
carico è:
Mv = T
d
d
= tan(φ − α) P
2
2
(6.66)
Nel caso di moto retrogrado, si possono quindi verificare due possibilità:
1. φ > α
Nel caso in cui l’angolo di attrito sia maggiore dell’inclinazione del filetto, il momento
ricavato dalla (6.66) è positivo, il che significa che è necessario applicare alla vite una
coppia di intensità pari a Mv per muovere il carico. In altre parole, il carico non si
abbassa spontaneamente in assenza di una coppia esterna applicata alla vite, e ciò a
causa di una preponderanza delle forze di attrito.
E’ questo il caso in cui il sistema vite-madrevite costituisce un dispositivo irreversibile,
in quanto il moto retrogrado spontaneo è impossibile.
140
CAPITOLO 6. ALTRI ORGANI DI TRASMISSIONE DEL MOTO
2. φ < α
Nel caso in cui l’angolo di attrito sia minore dell’inclinazione del filetto, la (6.66)
fornisce un valore negativo di Mv . Ciò sta a significare che, in assenza di una coppia
esterna applicata alla vite, il sistema si abbassa spontaneamente e, per controbilanciare
detto abbassamento, ovvero affinché esso avvenga in condizioni di moto uniforme, è
necessario applicare alla vite una coppia di intensità Mv e di verso tale da opporsi al
moto.
In questa situazione, causata dalla preponderanza delle componenti lungo il filetto
delle forze dovute al carico, rispetto alle forze di attrito fra vite e madrevite, il sistema
costituisce un dispositivo reversibile, essendo il moto retrogrado spontaneamente
possibile.
6.4.2
Vite-madrevite a filetto trapezio
Figura 6.23: Vite-madrevite a filetto trapezio
Se il dispositivo vite-madrevite ha filetto trapezio anziché rettangolare, le considerazioni
svolte nel paragrafo precedente sono ancora valide. In particolare, le relazioni cinematiche
rimangono inalterate, mentre per quanto riguarda la relazione tra carico e coppia da applicare
alla vite, è sufficiente considerare che l’inclinazione del fianco del filetto dovuta all’angolo θ
del trapezio (Fig. 6.23) ha come effetto quello di aumentare, a parità di carico, la forza di
attrito lungo le superfici a contatto, rispetto al caso di filetto rettangolare.
Ciò può essere modellato, analogamente a quanto si è fatto per le cinghie trapezoidali,
introdicendo un coefficiente di attrito equivalente definito da:
f
cos θ
ove f è ovviamente il coefficiente di attrito effettivo tra vite e madrevite.
f′ =
(6.67)
6.4. SISTEMI VITE-MADREVITE
6.4.3
141
Vite a circolazione di sfere
Figura 6.24: Vite a circolazione di sfere
Si è visto in un paragrafo precedente come il sistema vite-madrevite possa presentare
caratteristiche di reversibilità oppure di irreversibilità, a seconda del valore del coefficiente
di attrito a parità di inclinazione del filetto.
In certe applicazioni dei dispositivi vite-madrevite (ad esempio, negli apparecchi di sollevamento), l’irreversibilità è una caratteristica desiderata, in quanto impedisce che il sistema
si muova spontaneamente in assenza di coppia motrice applicata. In altre applicazioni si
desidera invece avere un meccanismo reversibile, per cui è necessario abbassare il coeffeiciente
di attrito tra gli elementi accoppiati.
Ciò può essere realizzato, ad esempio, facendo in moto che tra vite e madrevite non
si abbia attrito radente, bensì volvente, come nella vite a circolazione di sfere (Fig.
6.24). In un siffatto dispositivo il filetto è sostituito da gole elicoidali presenti in entrambi
gli elementi; in un certo tratto di queste gole trovano alloggio alcune sfere, la cui funzione
è quella di sopportare le forze scambiate fra vite e madrevite. All’interno della madrevite
è inoltre previsto un condotto di ritorno, che permetta alle sfere (che ovviamente avanzano
all’interno della gola durante il movimento del sistema) di circolare, in modo tale da avere
un funzionamento continuo del sistema.
Le relazioni cinematiche di una vite a circolazione di sfere sono le medesime ricavate per
la vite a filetto rettangolare, in particolare il rapporto di trasmissione è sempre dato dalla
(6.58).
Per quanto riguarda invece le relazioni tra coppia C applicata alla vite e la F forza
applicata alla madrevite, è conveniente esprimerle in funzione del rendimento che, per una
vite a circolazione di sfere, si attesta tipicamente su valori medi di η ≈ 0, 9. Tali valori,
di molto superiori a quelli dei dispositivi vite-madrevite a strisciamento (per i quali η varia
tipicamente tra 0,2 e 0,5), fanno della vite a circolazione di sfere un sistema sempre reversibile
(si ricordi che un sistema è reversibile se il suo rendimento è maggiore di circa 0,5).
Se la vite è l’elemento motore e la madrevite l’elemento condotto (moto diretto), il
rendimento del sistema è definito come:
F vmadrevite
Cωvite
per cui la coppia C per muovere il carico, in condizioni di regime, è data da:
η=
(6.68)
142
CAPITOLO 6. ALTRI ORGANI DI TRASMISSIONE DEL MOTO
C=
F vmadrevite
F
= τ
η ωvite
η
(6.69)
Se invece la madrevite è l’elemento motore e la vite l’elemento condotto (moto inverso o
retrogrado), il rendimento del sistema è definito come:
ηinv =
Cωvite
F vmadrevite
(6.70)
per cui la forza F per vincere la coppia resistente C, in condizioni di regime, è data da:
F =
ωvite
C
C 1
=
ηinv vmadrevite
ηinv τ
(6.71)
Numericamente, i valori di η e ηinv sono pressoché uguali.
6.5
Frizioni
Figura 6.25: Innesto di due alberi
Prende il nome di frizione un dispositivo meccanico per l’attivazione (innesto) o disattivazione (disinnesto) di un collegamento fra due alberi rotanti coassiali, in modo tale da
realizzare o interrompere, a comando, la trasmissione del moto fra detti alberi.
Il funzionamento delle frizioni è basato, come è evidente dal nome, sul fenomeno dell’attrito (in inglese friction), che permette la trasmissione di coppia e potenza tra i due elementi
rotanti.
Si consideri la Fig. 6.25, in cui sono rappresentati due alberi rotanti a diverse velocità
angolari ω1 e ω2 , all’estremità dei quali sono montati due dischi di frizione. Se i dischi
vengono messi a contatto, si ha un accoppiamento in cui è presente una coppia di attrito,
il cui valore dipende dalla forza normale con cui i dischi sono premuti l’uno contro l’altro,
oltre che ovviamente dal coefficiente di attrito (dinamico, in quanto sussiste moto relativo)
fra le superfici a contatto. E’ questa la fase di innesto della frizione.
Una volta terminata la fase di innesto (il che avviene quando i due alberi arrivano a
ruotare alla stessa velocità angolare), non sussiste più strisciamento, bensì aderenza tra
le superfici dei due elementi della frizione: il sistema si comporta ora come un unico corpo
rigido ruotante ad una determinata velocità angolare. Questa situazione permane fintantoché
6.5. FRIZIONI
143
non viene comandato il disinnesto, oppure finché la coppia trasmessa dall’albero motore a
quello condotto non supera un valore limite, determinato dalla condizione di aderenza, che
è funzione ovviamente del coefficiente di attrito statico fra le superfici a contatto.
Vogliamo ora studiare le fasi di innesto e di aderenza del sistema rappresentato in Fig.
6.25, in cui poniamo che l’elemento 1 della frizione sia collegato all’albero motore e l’elemento
2 all’albero condotto. Siano inoltre:
• I1 e I2 i momenti di inerzia dei due alberi e delle masse rotanti ad essi solidali
• ω10 e ω20 le velocità angolari dei due alberi prima dell’innesto
• ωf la velocità angolare del sistema al termine della fase di innesto
• Cm la coppia motrice (albero 1) e e Cr la coppia resistente (albero 2)
• θ1 e θ2 le generiche posizioni angolari dei due alberi
La variazione dell’energia cinetica complessiva del sistema dT in un tempo dt durante la
fase di innesto è data dal lavoro meccanico netto entrante nel sistema nello stesso intervallo
di tempo, ovvero:
dT = dLm − dLr − dLf = Cm dθ1 − Cr dθ2 − dLf
(6.72)
essendo dLm , dLr e dLf rispettivamente il lavoro motore, il lavoro resistente e il lavoro
dissipato per attrito nell’intervallo dt. Integrando la (6.72) per tutta la durata, da t = 0 a
t = tf , della fase di innesto, è possibile ricavare il valore dell’energia dissipata durante tale
fase:
Z tf
i Z tf
1h 2
2
I1 ω10 + I2 ω20
− (I1 + I2 )ωf2 +
Cm ω1 dt −
Cr ω2 dt
2
0
0
(6.73)
Se la durata tf della fase di innesto è piccola, i due integrali nella (6.73) sono trascurabili
rispetto alla differenza di energia cinetica (si può assimilare l’innesto ad un urto): la (6.73)
allora diventa:
Lf = T (0) − T (tf ) + Lm − Lr =
i
1h 2
2
I1 ω10 + I2 ω20
− (I1 + I2 )ωf2
(6.74)
2
Poiché il valore della velocità ωf al termine della fase di innesto non è nota a priori,
è necessario ricavarla da qualche altra equazione. Si utilizza in proposito il principio di
conservazione del momento angolare, espresso da:
Lf =
I1 ω10 + I2 ω20 = (I1 + I2 )ωf
(6.75)
che consente di ricavare ωf :
ωf =
I1 ω10 + I2 ω20
I1 + I2
(6.76)
144
CAPITOLO 6. ALTRI ORGANI DI TRASMISSIONE DEL MOTO
Sostituendo la (6.76) nella (6.74) si ottiene finalmente il valore dell’energia dissipata
nell’innesto in funzione delle velocità iniziali:
1 I1 I2
(ω10 − ω20 )2
(6.77)
2 I1 + I2
La dinamica del sistema durante la fase di innesto è espressa dalle seguenti equazioni di
equilibrio dinamico dei due alberi:
Lf =
Cm (t) − Cf (t) − I1
dω1
=0
dt
(6.78)
dω2
=0
(6.79)
dt
ove Cf (t) è la coppia scambiata tra i due elementi della frizione all’istante t. Integrando
queste equazioni, si ottiene l’andamento nel tempo delle velocità angolari ω1 (t) e ω2 (t) dei
due alberi durante l’innesto.
Terminata tale fase, cioè quando si arriva ad avere ω1 = ω2 = ωf , il sistema diventa
equivalente ad un unico corpo rigido avente momento di inerzia (I1 + I2 ) e ruotante alla
velocità angolare ω(t) il cui andamento temporale è ricavabile integrando l’unica equazione
di equilibrio dinamico del sistema complessivo, ovvero:
Cf (t) − Cr (t) − I2
Cm (t) − Cr (t) − (I1 + I2 )
dω
=0
dt
(6.80)
Figura 6.26: Andamento delle velocità in un innesto
La Fig. 6.26 mostra un esempio di grafico delle velocità angolari in funzione del tempo.
6.5.1
Frizioni a disco
Le frizioni a disco (Fig. 6.27) sono il tipo di frizione più comune: si tratta di due o più
dischi che possono venire posti a contatto per messo di un movimento assiale.
Anche quando sono costituite da più dischi, esse sono comunque modellabili come un’unica coppia di dischi, montati all’estremità dei due alberi da collegare, che vengono premuti
l’uno contro l’altro con una forza assiale N . I dischi sono ricoperti di materiale ad alto
6.5. FRIZIONI
145
Figura 6.27: Frizione a disco
coefficiente di attrito, del tipo di quello utilizzato nei freni, in modo tale che il contatto tra
le superfici generi una coppia di attrito Cf durante e anche dopo la fase di innesto.
Il valore di tale coppia di attrito può essere ottenuto con il seguente ragionamento, che
porta a ricavare come varia la pressione nell’area interessata dall’attrito di strisciamento. Si
considerino due dischi rotanti coassiali, ricoperti di materiale a coefficiente di attrito f , che
vengono premuti l’uno contro l’altro (per semplicità, si può ipotizzare che uno dei due dischi
sia fermo e l’altro ruoti ad una velocità angolare ω).
Inizialmente, la pressione p risulta uniforme su tutta l’area di contatto, il che causa
un’usura del materiale più accentuata in corrispondenza della parte esterna dei dischi.
Per dimostrare questa affermazione, si consideri l’ipotesi di Reye che, come si ricorderà,
stabilisce che il volume del materiale asportato per usura è proporzionale al lavoro compiuto
dalle forze di attrito. Ora, il lavoro compiuto in un tempo dt dalle forze di attrito su un’area
elementare dA, posta a distanza r dall’asse di rotazione, è dato da:
dLf = f p dA v dt = f p ω r dA dt
(6.81)
ove v = ωr è la velocità tangenziale dell’elemento dA.
Per l’ipotesi di Reye:
dLf = kReye dV = kReye dh dA
(6.82)
ove dh è lo spessore di materiale asportato nel tempo dt e kReye è una costante di
proporzionalità.
Dalla (6.81) e dalla (6.82) si ricava il tasso di asportazione del materiale in direzione
assiale:
dh
f vp
f ωp
=
=
r
dt
kReye
kReye
(6.83)
Petanto, se p è costante, come nella fase iniziale di utilizzo di dischi nuovi, la (6.83)
dimostra che il consumo del materiale varia in misura proporzionale alla distanza dall’asse
di rotazione, e quindi la parte esterna dei dischi presenterà un’usura più accentuata.
Superata tale fase iniziale, si raggiunge una situazione di equilibrio in cui il tasso di
consumo del materiale diventa uniforme in tutta la superficie a contatto. La (6.83) ci fornisce
allora l’andamento a regime della pressione:
146
CAPITOLO 6. ALTRI ORGANI DI TRASMISSIONE DEL MOTO
kReye (dh/dt)
1
= kp
f ωr
r
p=
(6.84)
Da cui si vede che la pressione varia radialmente, in maniera inversamente proporzionale
rispetto alla diatanza dall’asse di rotazione.
Tipicamente, il contatto tra le superfici dei dischi della frizione non avviene sull’intero
disco, ma su una corona circolare di raggio interno ri e raggio esterno re .
Il coefficiente kp può essere ricavato dall’espressione della forza assiale N , ottenuta
integrando la pressione sulla superficie di contatto:
N=
Z
re
ri
Z
2π
0
p r dr dθ =
Z
re
ri
Z
2π
0
kp dr dθ = 2πkp (re − ri )
(6.85)
da cui:
p = p(r) =
N
2πr(re − ri )
(6.86)
I valori massimo e minimo della pressione nella zona di contatto si avranno allora per
r = ri e r = re rispettivamente:
pmax =
N
2πri (re − ri )
(6.87)
pmin =
N
2πre (re − ri )
(6.88)
La coppia di attrito Cf può essere calcolata come somma dei singoli contributi delle azioni
tangenziali di attrito agenti in ogni punto delle superfici di contatto:
Cf =
Z
re
ri
Z
0
2π
f p r2 dr dθ = πf kp (re2 − ri2 )
(6.89)
Sostituendo in questa equazione il valore di kp ricavato dalla (6.85), si ottiene:
Cf = f N
re + ri
2
(6.90)
Allo scopo di aumentare il valore della Cf , e quindi essere in grado di trasmettere coppie
più elevate, si possono costruire frizioni che siano costituite da numerosi dischi (si arriva
anche a parecchie decine), collegati alternativamente con l’elemento motore e l’elemento
condotto. La forza assiale di pressione è la stessa per tutti i dischi, ovvero N , e quindi la
coppia di attrito trasmessa dalla frizione viene moltiplicata per il numero n di dischi:
Cf = nf N
re + ri
2
(6.91)
6.5. FRIZIONI
147
Figura 6.28: Frizione conica
6.5.2
Frizioni coniche
Per aumentare ulteriormente la coppia trasmessa, si possono utilizzare frizioni coniche, in
cui le superfici che trasmettono la coppia per attrito hanno la forma di un tronco di cono.
Come si può vedere dalla Fig. 6.28, la componente assiale della pressione sviluppata nel
generico punto delle superfici di contatto è data da:
pa = p sin α + f p cos α
(6.92)
ove p è la forza per unità di superficie, normale alla superficie di contatto, f il coefficiente
di attrito e α l’angolo di inclinazione del tronco di cono rispetto all’asse.
La (6.86) continua a valere, con l’avvertenza di considerare pa al posto di p, e la componente assiale della forza di compressione Na = N (sin α + f cos α) al posto di N :
pa =
Na
2πr(re − ri )
(6.93)
da cui, introducendo il valore di pa dato dalla (6.92), si ottiene l’andamento della pressione
in funzione della distanza radiale r dall’asse:
p = p(r) =
Na
2πr(re − ri )(sin α + f cos α)
(6.94)
La coppia trasmessa da una frizione conica può essere ricavata direttamente dalla (6.90)
Cf = f N
re + ri
re + ri
= f Na
2
2(sin α + f cos α)
(6.95)
Come ordine di grandezza, la potenza trasmessa da una frizione può arrivare sino a 200300 kW, anche se sono state costruite frizioni con caratteristiche particolari (frizioni a bagno
d’olio) che raggiungono anche i 2 MW di potenza trasmessa, seppur con qualche svantaggio
(ad esempio, l’impossibilità di disaccoppiare completamente i due alberi).
148
CAPITOLO 6. ALTRI ORGANI DI TRASMISSIONE DEL MOTO
6.6
Freni
Sono detti freni quegli organi meccanici che hanno la funzione di diminuire o annullare la
velocità di un corpo (o di un sistema), dissipandone l’energia cinetica.
Vi sono tre tipi principali di freni:
1. freni ad attrito
2. freni a fluido
3. freni elettromagnetici
Le tipologie 2 e 3, che basano il loro funzionamento rispettivamente sull’attrito viscoso o
su fenomeni elettromagnetici, possono creare una coppia frenante solo quando il sistema è in
movimento, mentre i freni ad attrito funzionano anche quando il sistema da frenare è fermo.
Il materiale usato nei freni del tipo 1 ha la proprietà di avere un elevato coefficiente
di attrito: viene spesso impiegata una miscela di gomme con un’armatura metallica. Tale
materiale è detto ferodo dal nome dell’inventore (Frood, 1909).
Le grandezze che caratterizzano un freno sono:
• coppia frenante
• forza di comando
• efficacia, definita come il rapporto tra la forza d’attrito applicata al corpo da frenare
e la forza di comando
• indice di regolarità, definito come il rapporto tra la variazione percentuale della coppia
frenante e la variazione percentuale del fattore di attrito. N.B.: la regolarità di un
freno è tanto maggiore, quanto minore è l’indice di regolarità
E’ evidente che le caratteristiche desiderate per un freno sono:
• modesta forza di comando
• elevata efficacia, ma non tanto da provocare brusche variazioni di velocità
• notevole regolarità (quindi indice di regolarità basso, tipicamente inferiore a 2), in
modo tale da avere costanza di prestazioni e possibilmente assenza di vibrazioni
• scarsa necessità di manutenzione
• semplicità progettuale e costruttiva
• costo non elevato
Vi sono tre principali categorie di freni ad attrito:
1. freni a disco
6.6. FRENI
149
Figura 6.29: Freno a disco
Figura 6.30: Freni a ganasce
2. freni a tamburo (o a ceppi, o a ganasce)
3. freni a nastro
I freni a disco (Fig. 6.29) sono costituiti da un pattino (o guarnizione), ricoperto di
materiale ad alto coefficiente di attrito (gomma, ferodo), che viene accostato ad un disco
rotante solidale al sistema da frenare. Essi hanno numerosi vantaggi rispetto agli altri tipo
di freno: assicurano un’azione frenante più uniforme e uguale in entrambi i versi di rotazione,
e inoltre sono meno sensibili a fattori contaminanti (quali acqua, olio, polveri). Per contro, a
parità di dimensioni, generano un momento frenante minore rispetto, ad esempio, ai freni a
tamburo; pertanto devono essere azionati da una forza maggiore, e di conseguenza il materiale
di cui sono costituiti deve essere in grado di sopportare pressioni elevate.
I freni a tamburo, o freni a ceppi, o freni a ganasce (Fig. 6.30), sono costituiti da
uno o più ceppi ricoperti di materiale adeguato, i quali vengono premuti contro la superficie,
esterna oppure interna (si parla anche, in tal caso, di freni ad espansione, vedi Fig. 6.31),
di un tamburo solidale al sistema da frenare.
Nei freni a nastro (Fig. 6.32) l’elemento frenante è un nastro su cui è depositato del
materiale di attrito, che viene posto in tensione in modo da serrarsi su un tamburo solidale
al sistema da frenare.
Volendo stabilire un confronto fra i vari freni, è conveniente considerare da un lato i freni
a disco, dall’altro gli altri tipi di freno, che possono essere assimilati in quanto sia nei freni
a ganasce che in quelli a nastro l’elemento da frenare è un tamburo rotante.
150
CAPITOLO 6. ALTRI ORGANI DI TRASMISSIONE DEL MOTO
Figura 6.31: Freni a espansione
Figura 6.32: Freno a nastro
I vantaggi dei freni a disco, rispetto alle altre tipologie di freno, sono principalmente:
• notevole regolarità di funzionamento, anche in condizioni spinte di esercizio
• uguale efficacia nei due versi di rotazione
• assenza di surriscaldamento
• assenza di distorsioni dell’elemento rotante
• carichi modesti sui cuscinetti
• usura più uniforme delle guarnizioni e comunque possibilità di aggiustamento automatico dei giochi
• peso modesto, a parità di coppia frenante
• facilità di sostituzione delle guarnizioni
• maggiore capacità di sopportare cicli di funzionamento ad alta frequenza
Lo svantaggio principale dei freni a disco è invece legato alla bassa efficacia intrinseca.
6.7. CUSCINETTI
151
Figura 6.33: Caratteristiche medie dei freni
Figura 6.34: Efficacia e regolarità di varie tipologie di freni
6.7
Cuscinetti
I cuscinetti sono componenti meccanici che fungono da supporto per organi rotanti come
gli alberi, equilibrando i carichi ad esso applicati da parte degli altri elementi del sistema,
ed originando allo stesso tempo coppie resistenti di piccola entità.
I cuscinetti si suddividono in due grandi categorie:
1. cuscinetti a strisciamento, altresì detti bronzine, costituiti da una boccola cilindrica,
esternamente fissata, al cui interno ruota un albero. Tra albero e cuscinetto è in genere
presente uno strato di lubrificante;
2. cuscinetti a rotolamento, o volventi, in cui tra la parte fissa e quella mobile dell’accoppiamento sono interposti opportuni elementi di rotolamento, in modo che l’attrito
risulti volvente anziché radente.
152
CAPITOLO 6. ALTRI ORGANI DI TRASMISSIONE DEL MOTO
Figura 6.35: Esempi di cuscinetti a rotolamento
Figura 6.36: Nomenclatura dei cuscinetti
6.7. CUSCINETTI
153
Il cuscinetto volvente deve la sua maggiore diffusione ai vantaggi innegabili che esso
presenta rispetto ai cuscinetti a strisciamento:
• l’attrito di un cuscinetto volvente è circa 1/10 di quello di una bronzina;
• mentre per i cuscinetti volventi l’attrito è praticamente costante con la velocità e tende
a diminuire con l’aumentare del carico, nelle bronzine è molto variabile con la velocità,
con il carico e con la temperatura, e può raggiungere valori elevati, soprattutto a basse
velocità;
• i cuscinetti a rotolamento hanno un ingombro assiale minore;
• i cuscinetti volventi necessitano di minore manutenzione e lubrificazione rispetto alle
bronzine.
Gli svantaggi dei cuscinetti a rotolamento rispetto a quelli a strisciamento sono sostanzialmente dati da:
• maggior ingombro radiale;
• maggiore rumorosità;
• minore resistenza agli urti;
• maggior costo.
Nella nostra analisi tratteremo principalmente dei cuscinetti a rotolamento, la cui diffusione è prevalente rispetto a quelli a strisciamento.
I principali requisiti di progetto richiesti ad un cuscinetto sono:
• sopportare carichi di entità e direzione assegnata,
• avere una durata assegnata operando nelle condizioni di progetto,
• avere dimensioni e, conseguentemente, ingombro definiti.
Per la fabbricazione dei cuscinetti si utilizzano materiali duri, ad alta resistenza, con
caratteristiche superiori a quelli degli elementi ai quali vengono accoppiati.
I costruttori hanno reso disponibili cuscinetti a rotolamento in una grande varietà di
tipologie, dimensioni e caratteristiche di resistenza e le cui caratteristiche di utilizzazione
(valori del carico e velocità) sono tabulate in cataloghi.
Il compito dell’utilizzatore è quello di effettuare una selezione fra i cuscinetti presenti in
commercio. In questa sede ci limiteremo a fornire solo alcune considerazioni di carattere generale relative alla scelta dei cuscinetti. Per approfondimenti si rimanda il lettore a testi specializzati, oppure ai siti internet dei principali produttori (ad esempio: http://www.skf.com).
La Fig. 6.36 mostra la nomenclatura di un cuscinetto a sfere con i suoi quattro componenti
essenziali:
1. l’anello (o ralla) esterno - outer ring,
154
CAPITOLO 6. ALTRI ORGANI DI TRASMISSIONE DEL MOTO
Figura 6.37: Corpi volventi nei cuscinetti a rotolamento: sfere, rulli cilindrici, rullini, rulli a
botte, rulli conici
2. l’anello (o ralla) interno - inner ring,
3. i corpi volventi (sfere, rulli o aghi/rullini), - rolling elements
4. il separatore (o gabbia) - guide ring/separator
Nei cuscinetti di basso costo il separatore è qualche volta assente, ma esso assolve l’importante funzione di evitare il contatto fra le sfere. Le gabbie sono generalmente realizzate
in acciaio, ma talvolta possono essere di ottone o plastica.
6.7.1
Classificazione dei cuscinetti
I tipi di cuscinetti a rotolamento attualmente costruiti sono così numerosi e vari sia per
forma, dimensioni e disposizione dei corpi volventi, sia per la natura e la direzione dei carichi
che sono chiamati a sopportare, che una classificazione risulterebbe molto complessa e poco
pratica.
Per semplicità i cuscinetti potrebbero in prima approssimazione essere classificati in base
alla forma dei corpi volventi in essi montati (Fig. 6.37):
• sfere,
• rulli cilindrici,
• rullini,
• rulli a botte,
• rulli conici
Un’ulteriore classificazione potrebbe essere fatta in base all’angolo che la congiungente i
punti di contatto tra i corpi volventi e gli anelli forma con l’asse del cuscinetto (Fig. 6.38):
• cuscinetti radiali: nei quali tutte le rette passanti per i punti di contatto AA sono
normali all’asse del cuscinetto,
• cuscinetti obliqui, nei quali la posizione della retta di contatto AA è inclinata rispetto
all’asse CC di un angolo α
• cuscinetti assiali, nei quali le rette di contatto AA risultano parallele all’asse
I cuscinetti radiali, pertanto, possono sopportare solo spinte radiali, i cuscinetti assiali
sopportano una spinta assiale (in uno solo, o in entrambi i versi, a seconda del tipo di
cuscinetto), i cuscinetti obliqui sopportano spinte miste (combinazioni di assiale e radiale).
6.7. CUSCINETTI
155
Figura 6.38: Cuscinetti radiali, obliqui e assiali
6.7.2
Criteri di selezione dei cuscinetti
La selezione di un cuscinetto viene effettuata determinandone:
• tipo
• dimensioni
• resistenza
Il tipo del cuscinetto viene selezionato in base ai seguenti fattori:
• la direzione del carico cui il cuscinetto è assoggettato (assiale-radiale-misto),
• l’ingombro (che è legato alle dimensioni).
Le dimensioni del cuscinetto, in particolare le dimensioni esterne radiale e assiale, dipendono dal tipo di cuscinetto e dalla sua resistenza. La dimensione interna è spesso imposta
da un vincolo di progetto.
Per resistenza richiesta ad un cuscinetto si intende, come vedremo nel seguito:
• carico ammissibile statico
• carico ammissibile dinamico
• durata
• affidabilità
• velocità massima ammissibile (dipende dalla temperatura di funzionamento ammissibile).
Questi tre parametri si influenzano l’un l’altro per l’ovvia dipendenza tra di loro.
Per introdurre i calcoli relativi alla scelta del cuscinetto è necessario premettere qualche
considerazione relativa alla durata (o vita) dei cuscinetti.
156
CAPITOLO 6. ALTRI ORGANI DI TRASMISSIONE DEL MOTO
Figura 6.39: Funzioni di probabilità di sopravvivenza e cedimento dei cuscinetti.
Vita dei cuscinetti
Durante il rotolamento degli elementi volventi all’interno delle guide si manifestano delle
tensioni hertziane fra gli anelli (esterno ed interno) e l’elemento.
Se un cuscinetto è ben lubrificato ed opera al di sotto della temperatura massima ammissibile, la sola causa di rottura è costituita dalla fatica meccanica, che si manifesta a seguito
dell’applicazione di un numero elevato di cicli (dell’ordine dei milioni).
Si può quindi introdurre come parametro di riferimento la vita del cuscinetto (detta
anche vita a fatica o vita utile o durata), definita come il numero totale di rotazioni
o il numero di ore di funzionamento a una data velocità angolare (costante) prima che si
manifesti un’evidenza di fatica, tipicamente consistente nella comparsa di crateri e vaiolature
sulla superficie degli anelli, che porta dopo breve tempo alla rottura del cuscinetto stesso.
La comparsa delle prime evidenze di fatica può veriare notevolmente da cuscinetto a
cuscinetto, anche fra cuscinetti appartenenti allo stesso lotto di produzione. Per questo
motivo la vita di un cuscinetto viene solitamente definita in maniera probabilistica.
Si consideri la Fig. 6.39, in cui compaiono tre curve:
• la curva tratteggiata rappresenta la densità di probabilità pc (L) di cedimento dei cuscinetti appartenenti ad un lotto prefissato, in funzione del numero di cicli L (da rilevazioni sperimentali, si è visto che essa può venire
ben approssimata dalla funzione
√
densità di probabilità di Weibull: y(x) = (3/2) xexp(−x3/2 ));
• la curva punteggiata rappresenta la distribuzione cumulativa Pc (L) delle probabilità di
cedimento, ottenuta integrando pc (L);
• la curva continua è la distribuzione cumulativa Pv (L) della probabilità di vita dei
cuscinetti del lotto. Essa è ovviamente il complemento a 1 della Pc (L): Pv (L) =
1 − Pc (L).
Il numero di cuscinetti che sopravvivono dopo un certo numero di cicli L∗ può essere
pertanto ottenuto moltiplicando per 100 il valore della Pv (L∗ ) ricavato dalla curva continua
6.7. CUSCINETTI
157
in Fig. 6.39. In particolare, l’ISO (International Standard Organization) ha definito come
parametro di riferimento per i cuscinetti la vita limite o durata nominale L10 , ovvero
il numero di milioni di cicli (o, in alternativa, il numero di ore di funzionamento a velocità
costante) che il 90% dei cuscinetti di un lotto completa prima che si manifestino evidenze di
fatica.
Certi costruttori utilizzano come parametro di riferimento la vita media, definita come
il numero di milioni di cicli (o, in alternativa, il numero di ore di funzionamento a velocità
costante) che il 50% dei cuscinetti di un lotto completa prima che si manifestino evidenze di
fatica. Questo parametro non è tuttavia standardizzato.
Carico statico e carico dinamico
La vita di un cuscinetto dipende, come è logico attendersi, dal carico applicato. Prove
sperimentali mostrano che due gruppi di identici cuscinetti testati sotto differenti carichi F1
ed F2 avranno rispettivamente vite limite L1 ed L2 in accordo con la relazione:
L1
F2
=
L2
F1
dove:
µ
¶a
(6.96)
• L: milioni di rotazioni oppure l = (L · 106 )/(60n) in ore considerando una velocità
costante n[giri/min] uguale per i due casi;
• a: parametro che dipende dal tipo di cuscinetto. Sperimentalmente si è osservato che
a ≈ 3 per i cuscinetti a sfere e a ≈ 10/3 per i cuscinetti a rulli.
Tipicamente la durata di riferimento di un cuscinetto è fornita dal costruttore sotto forma
di due parametri:
1. carico statico, detto anche carico di catalogo
2. carico dinamico, detto anche coefficiente di carico o carico limite.
Il carico statico FR è il massimo carico, espresso in kN , che un cuscinetto può sopportare in condizioni statiche, ovvero da fermo o con rotazioni molto lente. Esso dipende
principalmente dal tipo e dalla geometria del cuscinetto.
Il carico dinamico è definito come quel carico radiale (assiale) che un gruppo di cuscinetti radiali (assiali) apparentemente identico può sopportare per una vita limite di un milione
di rotazioni dell’anello interno, in condizioni di carico costante, anello interno rotante ed
anello esterno fisso.
Noto il coefficiente di carico C, è possibile calcolare il massimo carico applicabile al
cuscinetto in condizioni dinamiche, per una vita limite assegnata L. Usando infatti la (6.96),
e ponendo F1 = F , L1 = L10 , F2 = C e L2 = 1, si ottiene:
C
(6.97)
1
La
In alternativa, se si conosce il carico massimo F applicabile al cuscinetto, è possibile
calcolare la vita limite del cuscinetto soggetto a tale carico in condizioni dinamiche:
F =
158
CAPITOLO 6. ALTRI ORGANI DI TRASMISSIONE DEL MOTO
C a
L=
(6.98)
F
I coefficienti di carico sono determinati per via sperimentale, tuttavia sono state recentemente messe a punto delle formule basate sulla teoria relativa alla vita a fatica che
permettono ai costruttori di prevederne il valore, in base alle caratteristiche costruttive del
cuscinetto.
µ
¶
Capitolo 7
Camme
La camma è un organo meccanico atto a realizzare una determinata legge di moto, il cui
andamento dipende dalla forma della camma stessa.
Esistono anche altri meccanismi con i quali si possono ottenere leggi di moto con determinate caratteristiche, ma nessuno permette di ottenere, in generale, leggi di moto anche
complesse con la precisione e la relativa semplicità offerte dai meccanismi con camme. Ciò
spiega la gran diffusione di questi ultimi, specialmente nelle macchine automatiche veloci.
Di solito, la camma è inserita in un meccanismo che comprende almeno tre membri
(movente, cedente e telaio), con due coppie elementari e una coppia superiore. La camma
svolge comunemente la funzione di movente.
I meccanismi con camme possono essere classificati in base a diversi criteri. Un primo
criterio di classificazione è quello di considerare il tipo di moto (rotatorio o traslatorio)
della camma e del membro a contatto con essa attraverso la coppia superiore.
Il moto rotatorio può essere continuo o alternato, mentre quello traslatorio può essere
solo alternato. Nei casi più frequenti, la camma costituisce il movente ed è dotata di moto
rotatorio continuo, mentre il cedente è dotato di moto alternato.
• Se la camma è traslante, essa prende anche il nome di sagoma;
• se il cedente si muove di moto traslatorio, esso si dice punteria,
• se il moto del cedente è rotatorio alterno, esso viene detto bilanciere.
Le camme si possono poi classificare in base alla loro forma: camme piane o a disco, camme cilindriche, ed altri tipi meno comuni (camme coniche, camme sferiche, camme
spaziali o cammoidi, ecc.).
Si distinguono poi diversi tipi di cedenti, a seconda della forma che assume l’elemento
cinematico a contatto con la camma.
Si possono avere
• cedenti a spigolo vivo (o meglio, con raggio di curvatura molto piccolo), usati molto
raramente e solo se le forze in gioco sono molto modeste;
• cedenti a piattello (piano o curvo), impiegati in alcuni casi (motori endotermici
alternativi) perché danno luogo a meccanismi compatti e robusti ;
159
160
CAPITOLO 7. CAMME
Figura 7.1: Sagoma traslante con punteria a rotella
• cedenti a rotella, molto usati perché il contatto di rotolamento fra camma e cedente
riduce l’attrito e l’usura.
7.1
Legge del moto del cedente
Si dice legge di moto del cedente la legge secondo la quale il cedente si sposta, mosso
dalla camma, in funzione del tempo.
Indicando con y to spostamento (lineare o angolare) del cedente, la legge del moto sarà
un’espressione del tipo:
y = y(t)
(7.1)
Di solito, però, interessa conoscere la posizione del cedente non tanto in funzione del
tempo, quanto, piuttosto, in funzione della posizione angolare della camma (o della posizione
lineare, se si tratta di una sagoma).
Se, come di solito accade, la velocità angolare della camma (o lineare della sagoma) è
costante, i due modi di assegnare la legge del moto sono del tutto equivalenti.
Indicando con ω la velocità angolare e con θ l’angolo di rotazione della camma, la legge
di moto del cedente sarà un’espressione del tipo:
y = y(θ) = y(ωt)
(7.2)
La velocità e l’accelerazione si otterranno derivando la (7.2) rispetto al tempo. Se la
velocità angolare è costante si avrà:
7.1. LEGGE DEL MOTO DEL CEDENTE
161
Figura 7.2: Camma piana con punteria a piattello curvo
Figura 7.3: Camma piana con bilancere a piattello piano
ẏ =
d2 y
ÿ = 2
dθ
dy dθ
dy
= ω = y ′ (θ)ω
dθ dt
dθ
Ã
dθ
dt
!2
=
d2 y 2
ω = y ′′ (θ)ω 2
dθ2
(7.3)
(7.4)
Osserviamo che y(θ), y ′ (θ), y ′′ (θ) dipendono solo dalla forma della camma, mentre y(t),
ẏ(t), ÿ(t) dipendono anche dalla sua velocità angolare.
Nel caso di una sagoma, al posto dello spostamento angolare θ comparirà quello lineare,
che indicheremo con x.
La legge di moto del cedente comprende, in generale, quattro fasi:
• andata (A),
162
CAPITOLO 7. CAMME
Figura 7.4: Camma piana con punteria a rotella e camma cilindrica con punteria a rotella
Figura 7.5: Cedente a spigolo vivo, a piattello piano e a rotella
• sosta (S),
• ritorno (R),
• sosta (S);
le due fasi di sosta, o una sola di esse, possono mancare.
Spesso, per comodità, viene detta legge di moto non la legge relativa a tutti i 360◦ , ma
quella relativa ad una delle fasi attive (A o R), e si parla perciò di legge di moto dell’andata
e legge di moto del ritorno.
Indicheremo con β l’angolo di rotazione della camma corrispondente ad una determinata
fase; la somma degli angoli a di tutte le fasi vale, evidentemente, 360◦ .
Lo spostamento totale del cedente in una fase attiva (spostamento lineare se si tratta di
una punteria, angolare se è un bilanciere) si dice alzata (o salto); nel seguito, lo indicheremo
con H. In Fig. 7.6 è rappresentata l’alzata in funzione della rotazione della camma, nelle
quattro fasi del moto.
7.2. TRACCIAMENTO DI UNA CAMMA
163
Figura 7.6: Fasi del moto del cedente
7.2
Tracciamento di una camma
Supponiamo assegnata la legge di moto del cedente, nella forma y = y(θ) e proponiamoci di
disegnare la camma atta ad imporre al cedente tale legge.
Se la camma da disegnare è una sagoma traslante e il cedente è una punteria a
spigolo vivo (Fig. 7.7a) il contorno di tale sagoma coinciderà esattamente con la legge di
moto del cedente, y = y(x).
La forma della sagoma dipenderà quindi:
• dalla legge di moto
• dalla sua velocità di traslazione (che supporremo costante)
• dal tempo richiesto per lo spostamento totale H del cedente.
La velocità e il tempo richiesto determinano infatti la lunghezza della sagoma.
Osserviamo che quanto maggiore è tale lunghezza, tanto minore è l’inclinazione della
sagoma (ovvero l’angolo di pressione).
Se si vuole disegnare il contorno di una sagoma che comanda una punteria a rotella
(Fig. 7.7b), si procederà come nel caso precedente, ottenendo tuttavia, invece del contorno
della sagoma, il luogo dei centri della rotella.
Basterà allora disegnare la rotella con il centro nei punti del luogo suddetto, per ottenere
il contorno cercato come inviluppo delle circonferenze rappresentanti il contorno della rotella
stessa.
La sagoma potrebbe anche essere a comando positivo: in questo caso, i due contorni
del solco entro cui si impegna la rotella saranno i due inviluppi delle circonferenze che
rappresentano il contorno della rotella.
Per disegnare una camma cilindrica, è sufficiente disegnare la corrispondente sagoma
piana, la quale va poi pensata avvolta sul cilindro.
La pista della camma cilindrica avrà in realtà uno spessore radiale, di solito piccolo
rispetto al raggio del cilindro; come cilindro di riferimento sul quale considerare avvolta la
sagoma (al fine di determinare la lunghezza di questa) si assume di norma il cilindro medio.
164
CAPITOLO 7. CAMME
Se la sagoma di partenza ha una sola pista, la camma che si ottiene è detta anche a
bicchiere; se la sagoma ha una doppia pista, si ottiene una camma cilindrica a comando
positivo (Fig. 7.8).
Figura 7.7: Tracciamento di una sagoma per punteria a spigolo vivo e per punteria a rotella
Figura 7.8: Tracciamento di una camma cilindrica a comando positivo con punteria a rotella
Nel tracciamento del profilo di una sagoma si è fatto uso del procedimento dell’inversione
cinematica, che consiste nel disegnare il cedente nelle successive posizioni che esso viene ad
assumere rispetto alla camma, considerata fissa (nel meccanismo cinematicamente invertito,
pertanto, al telaio viene imposto un moto uguale ed opposto a quello compiuto dalla camma
nel meccanismo reale).
Tale procedimento, che nel caso delle sagome con punteria non ha bisogno di commenti,
permette di disegnare anche i contorni delle camme piane, e può essere esteso ai casi di
camme (sagome e camme a disco) con bilanciere.
Noi ci limiteremo ad esporlo per i casi di camma piana con punteria a rotella, con punteria
a piattello piano e con bilanciere a rotella, essendo priva di difficoltà l’estensione agli altri
casi.
7.2. TRACCIAMENTO DI UNA CAMMA
7.2.1
165
Camma piana con punteria centrata a rotella
Figura 7.9: Determinazione grafica del contorno di una camma piana con punteria centrata
e con punteria eccentrica a rotella
Consideriamo il caso di una camma piana con punteria a rotella. Supponiamo per il
momento che la punteria sia centrata, cioè che il suo asse incontri l’asse della camma (Fig.
7.9a).
Noti il raggio base R0 della camma e il raggio r della rotella, si fissi per prima cosa un
punto O1 a distanza OO1 = R0 + r dal punto O, intersezione dell’asse della camma con il
piano di moto.
Assunto quindi OO1 come riferimento, per un generico valore θi di θ si tracci una semiretta
formante con OO1 un angolo θi . e su di essa si fissi il punto O1i a una distanza da O pari a:
OO1i = R0 + r + y(θi )
(7.5)
Il punto OO1i è quindi la posizione del centro della rotella rispetto alla camma, quando
questa ha ruotato dell’angolo θi rispetto alla posizione iniziale.
Naturalmente, se la camma ruota in verso orario, l’angolo θi va preso in verso antiorario
(e viceversa), in modo che il moto relativo fra la camma e il telaio rimanga lo stesso nel caso
effettivo e nel meccanismo cinematicamente invertito.
Ripetendo più volte la costruzione, per un sufficiente numero di valori dell’angolo θi , si
trova il luogo dei centri della rotella (luogo che coinciderebbe con il contorno della camma, se
il cedente fosse a spigolo vivo): tracciando adesso le circonferenze di raggio r con i centri nei
punti OO1i trovati, il contorno della camma si ottiene come inviluppo di tali circonferenze.
Ovviamente, in corrispondenza delle fasi di sosta il contorno della camma risulta essere
un arco di circonferenza di centro O, di raggio R0 , per la sosta inferiore e di raggio R0 + H
per la sosta superiore.
166
7.2.2
CAPITOLO 7. CAMME
Camma piana con punteria eccentrica a rotella
Se la punteria è eccentrica, cioè se il suo asse non incontra l’asse della camma, ma si trova
ad una distanza e (eccentricità) da esso, la costruzione precedente si modifica leggermente.
Si traccia innanzitutto una circonferenza di centro O e raggio e. La distanza base Ra
della camma è data da (Fig. 7.9b):
Ra =
q
(R0 + r)2 − e2
(7.6)
Per ogni valore dell’angolo θi si tracciano le tangenti alla circonferenza di raggio e e lungo
queste, a partire dal punto di tangenza, si riportano le distanze Ra + y(θi ), determinando
così i punti OO1i .
7.2.3
Camma piana con punteria a piattello piano
Figura 7.10: Determinazione grafica del contorno di una camma piana con punteria a piattello
piano
Se la punteria è a piattello piano (Fig. 7.10), sulle semirette uscenti da O si riportano le
distanze R0 +y(θi ), e quindi per i punti così trovati si tracciano dei segmenti, rappresentanti il
contorno inferiore del piattello: l’inviluppo di tali segmenti fornisce il contorno della camma.
7.2.4
Camma piana con bilanciere a rotella
Con riferimento alla Fig. 7.11, siano noti:
• la distanza d fra l’asse della camma (O) e quello del bilanciere (O2 );
• la lunghezza b del bilanciere;
• l’angolo φ che il bilanciere forma con la retta passante O e O2 , nella configurazione
iniziale (di sosta) del meccanismo;
7.3. ANALISI CINETOSTATICA
167
Figura 7.11: Determinazione grafica del contorno di una camma piana con bilanciere a rotella
• di conseguenza, risulta determinata anche la posizione iniziale O1 del centro della
rotella.
Applicando il metodo dell’inversione cinematica, si ruoti OO2 , del generico angolo θi .
La posizione dell’asse del bilanciere sarà ora O2i , e il bilanciere formerà con OO2 , l’angolo
φ + y(θi ) (y è ora uno spostamento angolare). Si può quindi trovare facilmente il luogo delle
posizioni O1i occupate dal centro della rotella, dalle quali, per inviluppo, si risale subito al
profilo della camma.
7.3
Analisi cinetostatica
Svolgiamo ora alcune considerazioni sulle forze che si trasmettono i membri di un meccanismo
con camma, con particolare riguardo al caso della camma a disco con punteria a rotella.
Prescindendo dagli attriti, la forza di contatto fra camma e punteria è diretta secondo la
normale ai due profili nel punto di contatto.
L’angolo α che tale direzione forma con l’asse del moto della punteria, chiamato angolo
di pressione o di spinta, deve avere possibilmente valori piccoli in corrispondenza delle
intere fasi attive.
Si consideri infatti la Fig. 7.12. Si può dimostrare che, se Q è la forza resistente, la
forza S12 trasmessa dalla camma alla punteria e le reazioni R32a , R32b della guida prismatica
hanno le seguenti espressioni:
bQ
b cos α − f (b + 2c) sin α
(7.7)
cQ sin α
b cos α cos ϕ − (b + 2c) sin α cos ϕ
(7.8)
S12 =
R32a =
168
CAPITOLO 7. CAMME
Figura 7.12: Forze agenti sulla punteria
(b + c) Q sin α
b cos α cos ϕ − (b + 2c) sin α cos ϕ
dove f è il coefficiente d’attrito e c è dato da:
R32b =
c = a − (R0 + r + y)
(7.9)
(7.10)
In particolare, se il coefficiente d’attrito f è sufficientemente piccolo, la forza S12 assume
l’espressione approssimata:
Q
(7.11)
cos α
da cui si desume che è sempre conveniente che α abbia un valore piccolo, al di sotto dei
40◦ circa.
Osserviamo poi che occorre evitare (mantenendo un ragionevole margine di sicurezza)
che la retta d’azione della forza S12 passi per il punto d’incontro K delle rette d’azione delle
reazioni vincolari R32a e R32b . Se ciò avvenisse, una forza S12 comunque grande potrebbe
sempre essere equilibrata dalle sole reazioni R32a e R32b : ciò significa che per equilibrare la
forza resistente Q occorrerebbe una forza S12 addirittura infinita.
Se, poi, la retta d’azione della S12 passasse a sinistra del punto K, l’equilibrio della
punteria potrebbe essere assicurato soltanto da una forza Q orientata verso l’alto.
In tali condizioni si avrebbe un impuntamento del meccanismo.
Per evitare l’impuntamento, l’angolo di pressione deve soddisfare alla seguente disuguaglianza:
S∼
=
7.4. LEGGI DEL MOTO ELEMENTARI
tan α <
169
b
f (b + 2c)
(7.12)
Questa relazione può essere facilmente ricavata dalla (7.7) trovando il valore di α per il
quale il valore di S12 diventa infinito.
Net caso della punteria a piattello piano, l’angolo di pressione è nullo, il che costituisce
un non trascurabile vantaggio di questa soluzione. Il pericolo di impuntamento può ancora
presentarsi, sia pure raramente, se il punto di contatto fra camma e piattello è molto discosto
dall’asse delta punteria.
Nel caso del bilanciere, la condizione di impuntamento non può praticamente verificarsi.
Anche in questo caso, comunque, è opportuno che l’angolo di pressione sia piccolo, affinché le
forze trasmesse non raggiungano valori troppo elevati (come si e visto nel caso della punteria).
7.4
Leggi del moto elementari
Una volta scelto il tipo di meccanismo in cui va inserita la camma, occorre scegliere la legge
di moto del cedente. In alcuni casi, tale legge è rigorosamente prescritta da motivi funzionali:
ad esempio, se si deve guidare il cedente lungo traiettorie prestabilite, o in altri casi simili.
Più frequentemente, sono imposti solo l’alzata H e il corrispondente angolo di rotazione
β, mentre la vera e propria legge del moto può essere scelta dal progettista secondo propri
criteri.
Vediamo allora quali sono le leggi che vengono scelte nei casi piu comuni.
Una legge molto comoda sarebbe quella a velocità costante (Fig. 7.13a). Essa è però
raramente adottabile, in quanto comporterebbe accelerazioni infinite all’inizio e alla fine, e
quindi azioni d’inerzia inammissibilmente elevate (teoricamente infinite).
La legge di moto forse più ‘classica’ è quella a velocità trapezoidale (Fig. 7.13b). Essa
consta di un tratto centrale a velocità costante, preceduto da un tratto ad accelerazione
costante positiva, che dà origine ad una rampa lineare di velocità (fase di accelerazione), e
seguito da un tratto ad accelerazione costante negativa (fase di decelerazione).
In alcuni casi, il tratto centrale a velocità costante viene a mancare: si ha allora una
legge del moto ad accelerazione costante, detta anche parabolica (Fig. 7.13c).
Questa legge ha il pregio di dare luogo al più piccolo valore possibile dell’accelerazione
massima; l’inconveniente più grave, che la rende sconsigliabile quando la velocità non è
bassa, è quello di presentare delle discontinuità dell’accelerazione, che corrispondono
all’applicazione istantanea di azioni d’inerzia finite; ciò costituisce fonte di vibrazioni (e di
rumore), che disturbano il movimento e possono creare problemi strutturali al meccanismo.
Lo stesso inconveniente si presenta, ovviamente, nella legge del moto a velocità trapezoidale.
Le leggi polinomiali (alle quali appartiene anche la legge parabolica) costituiscono una
famiglia di leggi di moto abbastanza diffuse; esse sono spesso impiegate per raccordare fra
loro altre leggi, oppure prima e dopo un tratto a velocità costante.
Ad esempio, raccordando un tratto centrale a velocità costante con due tratti di polinomiale anziché con due tratti ad accelerazione costante si può evitare l’inconveniente delle
discontinuità dell’accelerazione.
170
CAPITOLO 7. CAMME
Altre leggi contengono funzioni trigonometriche dell’angolo di rotazione θ (Fig. 7.13d).
Fra le più note leggi trigonometriche citiamo la cicloidale, la cui espressione analitica è:
y (θ) =
"Ã !
θ
β
#
2πθ
1
sin
−
H
2π
β
(7.13)
Questa legge è una delle migliori per camme veloci e cedenti relativamente leggeri e
cedevoli, quando le vibrazioni sono uno dei problemi più importanti.
Possiamo quindi dire che alla legge di moto in genere è richiesto:
• di non presentare valori troppo alti di velocità;
• di non avere valori troppo alti di accelerazione (ai quali corrispondono valori elevati
delle azioni d’inerzia, che in molti meccanismi a camme sono le principali forze in
gioco);
• di non presentare discontinuità nell’accelerazione (a cui corrisponde un possibile innesco
di fenomeni vibratori).
Per soddisfare a tutte queste esigenze, e ad altre ancora sulle quali non ci soffermiamo,
vengono comunemente impiegate molte leggi particolari, adatte ciascuna ad un determinato
tipo di applicazione, in relazione alle velocità, alle masse in movimento, alle rigidezze, ecc.
Una legge largamente impiegata è la cosiddetta trapezia modificata, la cui accelerazione
presenta due tratti di valore costante raccordati da tratti di sinusoide (Fig. 7.13e).
L’accelerazione massima è superiore solo del 22% a quella della legge parabolica, e non
presenta discontinuità.
Quando è opportuno che i massimi positivi e negativi dell’accelerazione abbiano valori
assoluti diversi, le leggi del moto possono venire rese ‘asimmetriche’, scegliendo i due tratti
(quello ad accelerazione positiva e quello ad accelerazione negativa) non entrambi uguali a
β
, ma uno più grande e l’altro corrispondentemente più piccolo (Fig. 7.13f).
2
Talvolta, il membro al quale si vuole conferire una determinata legge di moto non è il
cedente direttamente a contatto con la camma, ma il membro di uscita di un sistema articolato, del quale il cedente suddetto costituisce l’entrata. In tali casi è necessario, una volta
scelta la legge di moto da conferire al membro di uscita, trovare dapprima la corrispondente
legge di moto del membro di ingresso del sistema articolato suddetto (cedente della camma),
e determinare poi il contorno della camma in base a tale legge.
Osserviamo infine che qualche volta può essere opportuno fare in modo che il cedente non
entri a contatto con la camma nelle fasi di riposo. Questa condizione viene di solito imposta
in meccanismi con contatto di forza; una adatta battuta tiene in posto il cedente senza che
esso tocchi la camma.
Per svariate ragioni (tolleranze di lavorazione, usure, deformazioni termiche, ecc.) è
praticamente impossibile imporre che il contatto fra camma e cedente si ripristini in una
posizione prestabilita. E’ allora inevitabile che all’atto del contatto si abbia un urto; questo
dovrà, peraltro, essere mantenuto entro limiti molto modesti (le velocità d’urto devono essere
di norma dell’ordine di 0,1 m/s).
7.4. LEGGI DEL MOTO ELEMENTARI
Figura 7.13: Spostamenti, velocità e accelerazioni per alcune legge di moto comuni
171
172
CAPITOLO 7. CAMME
Capitolo 8
Meccanica delle vibrazioni
In questo capitolo si intendono fornire i principi basilari della modellazione delle vibrazioni
meccaniche. I fenomeni vibratori, dovuti all’oscillazione delle parti di un sistema meccanico,
sono originati dalla deformabilità dei corpi e quindi dalla loro capacità di immagazzinare e
rilasciare energia elastica.
La modellazione di un fenomeno vibratorio può rivelarsi notevolmente complessa, soprattutto se il sistema presenta delle non-linearità. Tuttavia, nella maggior parte dei casi un
modello lineare risulta sufficientemente fedele nel rappresentare il sistema fisico da studiare.
8.1
Oscillatore semplice
Figura 8.1: Oscillatore semplice
Il modello elementare utilizzato nella meccanica delle vibrazioni è detto oscillatore semplice. Tale modello rappresenta le due caratteristiche fondamentali che determinano l’entità
e la natura delle vibrazioni, ovvero l’elasticità e lo smorzamento.
Come si può vedere dalla Fig. 8.1, l’oscillatore semplice è un sistema ad un grado di
libertà (lo spostamento x) costituito da una massa m collegata a telaio tramite una molla
ed uno smorzatore lineare.
La molla rappresenta l’elasticità del sistema, ovvero quelle forze di richiamo elastico che
tendono a riportarlo nella condizione di riposo, qualora se ne sia allontanato. La forza
elastica dipende linearmente dallo spostamento secondo una costante k, espressa in N/m,
detta appunto costante elastica.
173
174
CAPITOLO 8. MECCANICA DELLE VIBRAZIONI
La modellazione dello smorzamento è notevolmente più complessa. Da un punto di vista
fisico, lo smorzamento è dovuto ad azioni dissipative (forze di attrito, resistenza fluidodinamica, isteresi interna dei materiali) che compiono un lavoro negativo e quindi sottraggono
energia al sistema, determinando così, in assenza di ingressi di energia dall’esterno, una
diminuzione dell’ampiezza delle vibrazioni.
Le forze dissipative presenti nei sistemi meccanici sono in genere funzioni non lineari della
velocità; tuttavia, nella meccanica delle vibrazioni la dissipazione è normalmente modellata
per mezzo di uno smorzatore lineare, ovvero un componente fittizio il quale genera una
forza, funzione lineare della velocità relativa ai suoi estremi, che si oppone sempre al moto
del sistema.
Lo smorzatore lineare approssima una forza resistente fluidodinamica (attrito viscoso),
ed è pertanto rappresentato graficamente da un pistoncino che si muove all’interno di un
cilindro pieno di fluido.
Vediamo ora di determinare l’equazione del moto dell’oscillatore semplice. Sulla massa
m agiscono le seguenti forze:
• la forzante esterna F (t)
• la forza elastica di richiamo
• la forza di smorzamento
Fk (t) = −kx(t)
Fc (t) = −cẋ(t)
La dinamica del sistema è allora espressa dalla legge di Newton:
F (t) + Fk (t) + Fc (t) = mẍ(t)
(8.1)
che, riordinando i termini, può essere così riscritta:
mẍ(t) + cẋ(t) + kx(t) = F (t)
(8.2)
La (8.2) è un’equazione differenziale:
• lineare
• ordinaria
• a coefficienti costanti
E’ noto che la soluzione di una siffatta equazione differenziale si ottiene come somma di
due termini:
1. l’integrale generale dell’equazione omogenea associata
2. un integrale particolare della (8.2)
Questi due termini hanno un preciso ed importante significato fisico:
8.2. RISPOSTA LIBERA
175
1. il primo termine esprime come il sistema evolve, a partire da prefissate condizioni iniziali, quando nessuna forzante esterna agisce su di esso. Questo termine viene chiamato
oscillazione libera o risposta libera del sistema;
2. il secondo termine esprime invece come il sistema si muove in funzione della forza che
agisce su di esso. Si parla allora di risposta forzata o (vedremo più avanti perché) di
risposta in frequenza.
8.2
Risposta libera
Consideriamo dunque l’equazione omogenea associata della (8.2), ovvero:
mẍ(t) + cẋ(t) + kx(t) = 0
(8.3)
Come è noto dalla teoria delle equazioni differenziali lineari, la soluzione generale è del
tipo x(t) = eλt , λ ∈ C, per cui sostituendo nella (8.3) si ottiene
mλ2 eλt + cλeλt + keλt = 0
(8.4)
Il valore di λ può allora essere ricavato dall’equazione algebrica (polinomio caratteristico):
mλ2 + cλ + k = 0
(8.5)
k
c
λ+
=0
m
m
(8.6)
Dividendo per m:
λ2 +
Definiamo ora:
s
k
(8.7)
m
Questo importante parametro caratteristico del sistema è chiamato pulsazione naturale
o pulsazione propria dell’oscillatore. Si tratta della pulsazione (espressa in rad/s) con cui
oscillerebbe il sistema nell’ipotesi di smorzamento nullo (c = 0).
La (8.6) può allora essere riscritta:
ωn =
c
ωn λ + ωn 2 = 0
λ2 + √
mk
Se definiamo lo smorzamento relativo del sistema come
(8.8)
c
ξ= √
2 mk
(8.9)
λ2 + 2ξωn λ + ωn 2 = 0
(8.10)
otteniamo allora:
Le radici della () sono:
176
CAPITOLO 8. MECCANICA DELLE VIBRAZIONI
q
λ1,2 = −ξωn ± ωn ξ 2 − 1
(8.11)
xl (t) = A1 eλ1 t + A2 eλ2 t
(8.12)
e la risposta libera del sistema sarà data da:
con i parametri A1 , A2 che sono determinati dalle condizioni iniziali, ovvero dalla posizione
e velocità del sistema all’istante iniziale.
Si possono allora presentare due casi, a seconda del valore di ξ:
Caso 1: ξ > 1
In questo caso le radici λ1,2 della (8.2) sono reali e negative, pertanto la risposta libera
del sistema sarà la combinazione lineare delle funzioni esponenziali decrescenti eλ1 t , eλ2 t .
Ciò significa che lo smorzamento è talmente grande che lo spostamento del sistema tende
asintoticamente a zero senza oscillare. Questo caso, corrispondente ad un sistema sovrasmorzato, si verifica tuttavia molto raramente nella realtà. La quasi totalità dei sistemi
meccanici presenta infatti uno smorzamento relativo molto minore di uno, in parecchi casi
addirittura inferiore a 0,1.
Caso 2: ξ < 1
Un interesse molto maggiore presenta il caso opposto, corrispondente ad un sistema sottosmorzato. In questo caso le radici della (8.2) sono complesse coniugate:
q
(8.13)
λ1,2 = −ξωn ± iωn 1 − ξ 2
per cui la risposta libera del sistema è data da:
√
√
2
2
xl (t) = A1 e−ξωn t eiωn 1−ξ t + A2 e−ξωn t e−iωn 1−ξ t
(8.14)
Ricordando che exp (±iψ) = cos ψ ± i sin ψ, la (8.14) può essere riscritta come:
q
q
q
q
xl (t) = A1 e−ξωn t [cos(ωn 1 − ξ 2 )t+i sin(ωn 1 − ξ 2 )t]+A2 e−ξωn t [cos(ωn 1 − ξ 2 )t−i sin(ωn 1 − ξ 2 )t]
(8.15)
La xl (t) deve necessariamente essere una funzione reale, pertanto i coefficienti A1 , A2
devono essere tali da annullare tutti i termini immaginari della (8.15). Si dimostra facilmente
che ciò accade se e solo se A1 e A2 sono complessi coniugati. Ponendo allora:
con facili passaggi si ottiene:
A1 =
B2
B1
−i
2
2
A2 =
B2
B1
+i
2
2
8.3. RISPOSTA IN FREQUENZA
177
q
q
xl (t) = e−ξωn t [B1 cos(ωn 1 − ξ 2 )t + B2 sin(ωn 1 − ξ 2 )t]
√
che, con la posizione ωd = ωn 1 − ξ 2 , assume la forma
xl (t) = e−ξωn t (B1 cos ωd t + B2 sin ωd t)
(8.16)
(8.17)
Figura 8.2: Risposta libera di sistema sottosmorzato
Lo spostamento del sistema sarà allora una funzione periodica di pulsazione ωd inviluppata dalla curva esponenziale e−ξωn t e dalla sua simmetrica rispetto all’asse delle ascisse (vedi
Fig. 8.2).
Il parametro ωd (espresso in rad/s) è chiamato pulsazione smorzata (in inglese damped ).
Per valori piccoli di ξ esso è pressoché uguale alla pulsazone propria ωn .
Pertanto, la risposta libera di un sistema sottosmorzato converge a zero oscillando. Il
periodo di oscillazione è dato da T = ω2πd , il cui inverso f = T1 = ω2πd è la frequenza di
oscillazione.
La velocità di convergenza a zero è direttamente proporzionale a ξ e ωn .
8.3
Risposta in frequenza
La risposta in frequenza, altresì detta risposta forzata, non è altro che una soluzione
particolare dell’equazione differenziale (8.2). Si parla talvolta di risposta a regime, in
quanto essa rappresenta lo spostamento del sistema quando si sia esaurito il transitorio
dipendente dalle condizioni iniziali (costituito dalla risposta libera).
178
CAPITOLO 8. MECCANICA DELLE VIBRAZIONI
Tale soluzione particolare dipende ovviamente dal tipo di forza F (t) che agisce sul sistema.
Consideriamo dapprima il caso di una forzante sinusoidale di ampiezza F0 e pulsazione ω̄,
ovvero F (t) = F0 cos ω̄t.
Conviene innanzitutto dividere la (8.2) per m e ricordare le definizioni di ωn (8.7) e di ξ
(8.9), così da scrivere l’equazione dinamica del sistema nella forma:
F0
cos ω̄t
m
Verifichiamo ora che un integrale particolare della (8.18) ha la forma
ẍ(t) + 2ξωn ẋ(t) + ωn2 x(t) =
(8.18)
(8.19)
xf (t) = X0 cos(ω̄t + ϕ)
e calcoliamo i valori di X0 e di ϕ.
Sostituendo la (8.19) nella (8.18) si ottiene:
−ω̄ 2 X0 cos(ω̄t + ϕ) − 2ξωn ω̄X0 sin(ω̄t + ϕ) + ωn2 X0 (ω̄t + ϕ) =
F0
cos ω̄t
m
(8.20)
Ricordando ora le formule di addizione del seno e del coseno
cos(ω̄t + ϕ) = cos ω̄t cos ϕ − sin ω̄t sin ϕ
(8.21)
sin(ω̄t + ϕ) = sin ω̄t cos ϕ + cos ω̄t sin ϕ
(8.22)
la (8.20) diventa:
−ω̄ 2 X0 cos ω̄t cos ϕ + ω̄ 2 X0 sin ω̄t sin ϕ − 2ξωn ω̄X0 sin ω̄t cos ϕ − 2ξωn ω̄X0 cos ω̄t sin ϕ+
F0
cos ω̄t
(8.23)
m
La relazione (8.23) deve essere valida per ogni valore di t: essendo sin ω̄t e cos ω̄t due
funzioni linearmente indipendenti, i loro coefficienti a primo e secondo membro dovranno
essere uguali. Si avrà pertanto:
+ωn2 X0 cos ω̄t cos ϕ − ωn2 X0 sin ω̄t sin ϕ =
−ω̄ 2 X0 cos ϕ − 2ξωn ω̄X0 sin ϕ + ωn2 X0 cos ϕ =
F
m
ω̄ 2 X0 sin ϕ − 2ξωn ω̄X0 cos ϕ − ωn2 X0 sin ϕ = 0
(8.24)
(8.25)
Dalla (8.25), dividendo per sin ϕ, si ottiene:
tan ϕ =
Ricordando che cos ϕ = √
1
,
tan2 ϕ+1
−2ξωn ω̄
ωn2 − ω̄ 2
sin ϕ = √ tan2ϕ
(8.25). Dopo qualche passaggio, ponendo m =
(8.26)
, possiamo sostituire la (8.26) nella
tan ϕ+1
k/ωn2 , si ottiene:
8.3. RISPOSTA IN FREQUENZA
179
F0
q
k [1 − (
X0 =
1
ω̄ 2 2
)]
ωn
+ (2ξ ωω̄n )2
(8.27)
La (8.27) esprime pertanto il valore di X0 , ovvero l’ampiezza della risposta forzata
xf (t) = X0 cos(ω̄t + ϕ), in funzione dell’ampiezza F0 della forzante e della sua pulsazione
normalizzata ωω̄n .
Dalla (8.26) è possibile ricavare il valore della fase ϕ della risposta forzata in funzione
della pulsazione normalizzata:
−2ξ ωω̄n
ϕ = arctan
1 − ( ωω̄n )2
(8.28)
Si vede quindi che sia l’ampiezza che la fase della risposta forzata dipendono
sostanzialmente dalla pulsazione di eccitazione. Nelle (8.27) e (8.28) è allora possibile
sostituire a ω̄ la generica pulsazione ω, in modo tale da esprimere i valori di ampiezza e fase
come funzioni della pulsazione normalizzata della forzante, ovvero:
X0 (
F0
1
ω
q
)=
ω
2
ωn
k [1 − ( ) ]2 + (2ξ ω )2
ωn
ωn
ϕ(
−2ξ ωωn
ω
) = arctan
ωn
1 − ( ωωn )2
(8.29)
(8.30)
E’ questo il motivo per cui la risposta forzata viene anche chiamata risposta in frequenza.
Le Fig. 8.3 e 8.4 rappresentano gli andamenti di X0 e di ϕ (rispettivamente ampiezza e
fase della risposta in frequenza) in funzione della frequenza normalizzata della forzante, per
diversi valori dello smorzamento relativo ξ.
Si nota che, per valori di ξ non troppo elevati, la curva dell’ampiezza presenta un massimo,
in corrispondenza di un valore di pulsazione ωr della forzante leggermente inferiore alla
pulsazione naturale. Tale valore può essere trovato cercando il minimo del denominatore
della (8.29), ovvero eguagliando a zero la sua derivata rispetto a ω/ωn . Risulta:
q
ωr = ωn 1 − 2ξ 2
(8.31)
La pulsazione ωr è detta pulsazione di risonanza del sistema. Si osserva che, quanto
minore è ξ, tanto più il valore di ωr si avvicina a ωn : in sistemi con poco smorzamento si
può quindi considerare ωr ≈ ωn . Al diminuire di ξ aumenta inoltre il valore di picco di X0
(e quindi la massima ampiezza di xf (t), fino al caso limite ξ = 0 (sistema non smorzato),
per cui l’ampiezza della risposta tende ad infinito.
Nei sistemi meccanici la risonanza è in genere un fenomeno indesiderato, perché ha come
conseguenza vibrazioni di ampiezza molto elevata. E’ quindi necessario, nella progettazione
meccanica, prestare particolare attenzione affinché la risonanza si trovi al di fuori della banda
di frequenze con cui si prevede che il sistema venga eccitato.
Essendo ωr ≈ ωn , lo spostamento del picco di risonanza può essere effettuato variando,
q
k
per quanto possibile, il valore della pulsazione propria del sistema. Ricordando che ωn = m
,
un aumento di k sposterà ωn a valori più elevati, mentre un aumento di m produrrà l’effetto
opposto.
180
CAPITOLO 8. MECCANICA DELLE VIBRAZIONI
Figura 8.3: Ampiezza della risposta in frequenza
Qualora non sia possibile portare la risonanza al di fuori della banda delle frequenze di
eccitazione, è necessario aumentare lo smorzamento del sistema in modo da ridurre l’ampiezza
del picco.
Passando a trattare della fase ϕ, essa rappresenta, in valore assoluto, il ritardo della
sinusoide dello spostamento rispetto a quella della forzante. Si osserva che, per valori
piccoli della pulsazione di eccitazione, la fase è anch’essa piccola, quindi lo spostamento del
sistema è sostanzialmente in fase con la forzante.
Al contrario, per valori elevati di ω, la fase tende a −π, il che significa che lo spostamento
del sistema sarà in controfase rispetto alla forzante.
Se invece il sistema è eccitato ad una pulsazione pari a ωn , la fase è pari a −π/2: si dice
allora che lo spostamento è in quadratura rispetto ala forzante.
8.4
Risposta a forzanti non sinusoidali
Vediamo ora di calcolare la risposta di un oscillatore semplice ad una forzante non sinusoidale.
Distingueremo tre casi:
1. risposta ad una forzante periodica
2. risposta ad un impulso
8.4. RISPOSTA A FORZANTI NON SINUSOIDALI
181
Figura 8.4: Fase della risposta in frequenza
3. risposta ad una forzante generica
La trattazione che segue avrà comunque carattere elementare, riservando ogni approfondimento a testi specialistici.
8.4.1
Risposta ad una forzante periodica
E’ noto che ogni funzione periodica può essere sviluppata mediante una serie di Fourier,
ovvero da una serie di funzioni trigonometriche, dette armoniche.
Sviluppando in coseni la F (t), supposta periodica di periodo T , si ottiene la seguente
serie:
F (t) = a0 +
∞
X
an cos(
N
X
an cos(
n=1
2πnt
+ αn )
T
(8.32)
ove i coefficienti an e le fasi αn delle armoniche della serie sono determinabili a partire
dalla F (t).
Poiché i coefficienti della serie hanno valore decrescente all’aumentare di n, è possibile
approssimare senza troppi problemi la funzione con una serie troncata all’indice N :
F (t) ≈ a0 +
n=1
2πnt
+ αn )
T
(8.33)
Abbiamo quindi un numero finito di armoniche, la cui somma ben approssima la forzante
periodica. Poichè il sistema è lineare, è possibile applicare il principio di sovrapposizione
degli effetti: la risposta in frequenza del sistema alla forzante periodica F (t) è data
dalla somma delle risposte in frequenza di ogni singola armonica che appare nella
(8.33).
Ovviamente tale risposta andrà poi sommata alla risposta libera per ottenere lo spostamento complessivo x(t).
182
CAPITOLO 8. MECCANICA DELLE VIBRAZIONI
8.4.2
Risposta ad un impulso
Un impulso è un’eccitazione (tipicamente un urto) che viene trasmessa al sistema in un
tempo molto piccolo, idealmente nullo.
L’impulso unitario applicato all’istante t = 0 è rappresentato matematicamente dalla
funzione delta di Dirac δ(t), che ha valore nullo su tutto l’asse dei tempi ad eccezione
dell’istante di eccitazione, in cui assume un valore (necessariamente infinito) tale che il suo
integrale sull’asse dei tempi dia un valore unitario:
Z
+∞
δ(t)dt = 1
(8.34)
−∞
Un impulso di valore I sarà dunque rapprsentato dalla funzione Iδ(t).
E’ noto dalla Fisica che il valore I dell’impulso è uguale alla quantità di moto acquisita
dal sistema dopo l’applicazione dell’impulso stesso:
(8.35)
I = mv0
ove v0 è la velocità iniziale del sistema meccanico e m la sua massa.
In altre parole, applicare un impulso I ad un sistema meccanico equivale ad imprimergli
una velocità iniziale pari a v0 = mI .
Nel caso di un oscillatore semplice, la risposta all’impulso sarà quindi costituita
dalla risposta libera xl (t) con condizioni iniziali:
(8.36)
xl (0) = 0
I
m
Sappiamo che la xl (t) è data dalla (8.17), che riscriviamo qui per comodità:
ẋl (t) = v0 =
xl (t) = e−ξωn t (B1 cos ωd t + B2 sin ωd t)
(8.37)
(8.38)
La sua derivata, ovvero l’espressione della velocità ẋl (t), è:
ẋl (t) = −ξωn e−ξωn t (B1 cos ωd t + B2 sin ωd t) + e−ξωn t (−ωd B1 sin ωd t + ωd B2 cos ωd t) (8.39)
Per ricavare i valori di B1 e B2 calcoliamo posizione e velocità per t = 0 imponendo le
condizioni iniziali (8.36) e (8.37):
xl (0) = B1 =⇒ B1 = 0
ẋl (0) = ωd B2 =⇒ B2 =
v0
I
=
ωd
mωd
(8.40)
(8.41)
La risposta all’impulso sarà pertanto data da:
I −ξωn t
e
sin ωd t
mωd
Ovviamente la (8.42) vale per t > 0, mentre per t < 0 si avrà xl (t) ≡ 0.
xl (t) =
(8.42)
8.5. VIBRAZIONI TORSIONALI
8.4.3
183
Risposta ad una forzante generica
La trattazione della risposta ad una forzante generica è più complessa. Si può immaginare
di considerare la forzante F (t) come una successione continua, lungo l’asse dei tempi, di
impulsi di ampiezza variabile a seconda del valore che la F (t) assume ad ogni istante t.
Si dimostra che la risposta in frequenza è calcolabile mediante la convoluzione della
F (t) con la risposta h(t) all’impulso unitario (I = 1) vista nel paragrafo precedente. Tale
convoluzione è espressa dall’integrale:
1 −ξωn (t−τ )
e
sin(ωd (t − τ ))F (τ )dτ
(8.43)
0
0 mωd
Ovviamente, alla xl (t) va sommata la risposta libera per ottenere la legge del moto
complessiva del sistema.
xl (t) =
8.5
Z
t
h(t − τ )F (τ )dτ =
Z
t
Vibrazioni torsionali
In quanto visto finora si è considerato che lo spostamento del sistema avvenisse lungo una
linea retta, a seguito di un’eccitazione costituita da una forza esterna. In meccanica si
hanno tuttavia altre tipologie di vibrazioni, tra le quali rivestono particolare importanza le
vibrazioni torsionali, che si possono verificare negli organi dotati di movimento rotatorio,
come ad esempio gli alberi di trasmissione.
Figura 8.5: Vibrazioni torsionali
Si consideri ad esempio (Fig. 8.5) un volano con momento di inerzia I, collegato a telaio
per mezzo di un albero di torsione. L’elasticità e lo smorzamento di quest’ultimo possono
essere modellati rispettivamente da una molla di rigidezza torsionale kt e da uno smorzatore
con coefficiente di smorzamento torsionale ct .
Le forze agenti sul volano sono (Fig. 8.6):
• la coppia esterna C(t)
• la coppia di inerzia −I ϑ̈(t)
• la coppia di richiamo elastico Ck (t) = −kt ϑ(t)
• la coppia smorzante Cc (t) = −ct ϑ̇(t)
184
CAPITOLO 8. MECCANICA DELLE VIBRAZIONI
Figura 8.6: Forze agenti sul volano
L’equazione di equilibrio dinamico del volano è dunque:
C(t) − I ϑ̈(t) + Ck (t) + Cc (t) = 0
(8.44)
I ϑ̈(t) + ct ϑ̇(t) + kt ϑ(t) = C(t)
(8.45)
che, esplicitata e riordinata, fornisce:
Si vede che la (8.45) è del tutto analoga alla (8.2): pertanto, anche per lo studio delle
vibrazioni torsionali si utilizza il modello dell’oscillatore semplice, con l’unica differenza che
la variabile spostamento non sarà più lineare ma angolare.