fine
I NUMERI NATURALI
Attenzione a come applichiamo il
principio d’induzione ...
Una formula per generare
numeri primi
fine
Consideriamo il trinomio
x  x  41
2
Ad esso s'interessò per primo il matematico
L.Euler.
Se in tale formula
sostituiamo a x il numero
zero, otteniamo 41 che è
un numero primo...
x
valore
0
41
fine
x  x  41
2
Se in tale formula
sostituiamo a x il numero
zero, otteniamo 41 che è
un numero primo…
sostituendo 1 si ottiene
43, numero primo ...
x
valore
0
41
1
43
fine
x  x  41
2
Se in tale formula
sostituiamo a x il numero
zero, otteniamo 41 che è
un numero primo…
x
valore
0
41
1
43
sostituendo 1 si ottiene
43, numero primo ...
2
47
...
fine
x  x  41
2
Se in tale formula
sostituiamo a x il numero
zero, otteniamo 41 che è
un numero primo…
x
valore
0
41
1
43
sostituendo 1 si ottiene
43, numero primo ...
2
47
3
53
...
fine
x  x  41
2
...
Tutti i numeri
ottenuti sono primi
x
valore
0
41
1
43
2
47
3
53
4
61
Sulla base di quanto ottenuto, possiamo asserire
che la formula in studio fornisce sempre numeri
primi?
Facciamo una tabella
x x^2+x+41
0
41
1
43
2
47
3
53
4
61
5
71
6
83
7
97
8
113
9
131
10
151
fine
fine
E confrontiamola con quella dei numeri primi
x x^2+x+41
0
41
1
43
2
47
3
53
4
61
5
71
6
83
7
97
8
113
9
131
10
151
2
11
23
41
59
73
97
109
137
157
3
13
29
43
61
79
101
113
139
163
5
17
31
47
67
83
103
127
149
167
7
19
37
53
71
89
107
131
151
173
fine
E confrontiamola con quella dei numeri primi
x x^2+x+41
0
41
1
43
2
47
3
53
4
61
5
71
6
83
7
97
8
113
9
131
10
151
2
11
23
41
59
73
97
109
137
157
3
13
29
43
61
79
101
113
139
163
5
17
31
47
67
83
103
127
149
167
7
19
37
53
71
89
107
131
151
173
… proseguiamo la tabella ...
x x^2+x+41
0
41
11
1
43
12
2
47
13
3
53
14
4
61
15
5
71
16
6
83
17
7
97
18
8
113
19
9
131
10
151
20
173
197
223
251
281
313
347
383
421
461
fine
fine
E confrontiamola con quella dei numeri primi
x x^2+x+41
0
41
11
1
43
12
2
47
13
3
53
14
4
61
15
5
71
16
6
83
17
7
97
18
8
113
19
9
131
10
151
20
173
197
223
251
281
313
347
383
421
461
137
157
179
197
227
241
269
283
313
347
367
389
419
439
461
139
163
181
199
229
251
271
293
317
349
373
397
421
443
463
149
167
191
211
233
257
277
307
331
353
379
401
431
449
467
151
173
193
223
239
263
281
311
337
359
383
409
433
457
479
fine
E confrontiamola con quella dei numeri primi
x x^2+x+41
0
41
11
1
43
12
2
47
13
3
53
14
4
61
15
5
71
16
6
83
17
7
97
18
8
113
19
9
131
10
151
20
173
197
223
251
281
313
347
383
421
461
Siamo ora sicuri?
137
157
179
197
227
241
269
283
313
347
367
389
419
439
461
139
163
181
199
229
251
271
293
317
349
373
397
421
443
463
149
167
191
211
233
257
277
307
331
353
379
401
431
449
467
151
173
193
223
239
263
281
311
337
359
383
409
433
457
479
fine
Sulla base dei risultati ottenuti, si potrebbe
concludere che per ogni numero naturale x,
il valore ottenuto è un numero primo.
x  x  41
2
È corretto
il ragionamento fatto?
x
valore
0
41
1
43
2
47
3
53
4
61
5
71
fine
Il ragionamento fatto ha portato ha asserire un enunciato
generale che si riferisce ad ogni numero naturale n sulla
base del fatto che l'enunciato è stato verificato per casi
particolari (particolari valori di x)
La verifica di casi particolari
è sufficiente
per asserire che questo enunciato
vale?
Tutto sembra andar bene fino a 39,
ma con 40 si ottiene un numero non primo
...
x x^2+x+41
21
503
32
22
547
33
23
593
34
24
641
35
25
691
36
26
743
37
27
797
38
28
853
39
29
911
40
30
971
41
31
1033
42
1097
1163
1231
1301
1373
1447
1523
1601
1681
1763
1847
1523
1553
1579
1607
1621
1663
1697
1723
1753
1787
1823
1531 1543 1549
1559 1567 1571
1583 1597 1601
1609 1613 1619
1627 1637 1657
1667 1669 ...1693
1699 1709 1721
1733 1741 1747
1759 ... 1777 1783
1789 1801 1811
1831 1847 1861
… neanche con 41 funziona ...
fine
fine
Sulla base dei risultati ottenuti, si potrebbe
concludere che per ogni numero naturale x,
il valore ottenuto è un numero primo.
La verifica di casi particolari
è sufficiente
per asserire che questo enunciato
vale?
NO
fine
Avremmo dovuto formulare la
Congettura:
per ogni numero naturale x, il valore ottenuto è un
numero primo.
E poi...