LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE
Il problema della tangente
Uno dei problemi che portarono al concetto di derivata è quello
della determinazione della retta tangente a una curva in un punto
Come si può ottenere la retta tangente a una curva?
Dalla secante alla tangente
Retta tangente a una curva
La retta tangente t a una curva in
un punto A è la POSIZIONE
LIMTE, se esiste, della secante AB
al tendere di B a A
Il rapporto incrementale
Data una funzione y=f(x) definita in un intervalla [a;b]
un punto A(c ; f(c))
un punto B (c+h ; f(c+h))
Considero gli incrementi:
B
A
RAPPORTO INCREMENTALE
Dy f (c + h) - f (c)
=
Dx
h
h
Il rapporto incrementale
Il rapporto incrementale
rappresenta il coefficiente
angolare della retta passante
per AB
Dy f (c + h) - f (c)
=
Dx
h
B
A
h
Calcolo del rapporto incrementale
Calcolare il rapporto incrementale della funzione y = f (x) = 2x 2 - 3x relativo al
suo punto A di ascissa 1 e a un generico incremento h
Dy f (1+ h) - f (1)
=
Dx
h
f (1+ h) = 2(1+ h)2 - 3(1+ h) = -1+ h + 2h2
f (1) = -1
Dy -1+ h + 2h 2 - (-1) h(2h +1)
=
=
= 2h +1
Dx
h
h
Questa espressione rappresenta al variare di h, il coefficiente angolare di una
generica retta secante passante per A
La derivata di una funzione
Se attribuiamo a h valori
sempre più piccoli,
cioè quando h ® 0,
la retta secante s
tende alla tangente t
t
s
La derivata di una funzione
Quando h-> 0 la retta AB tende a diventare la retta tangente alla curva e il
rapporto incrementale tende al coefficiente angolare della retta tangente
f (c + h) - f (c)
f '(c) = lim
h®0
h
Se questo limite esiste ed è finito si chiama
DERIVATA DELLA FUNZIONE nel punto c e si scrive:
f (c + h) - f (c)
f '(c) = lim
h®0
h
La derivata di una funzione
La derivata di f in un punto c
rappresenta il coefficiente angolare
della retta tangente al grafico di f
nel suo punto di ascissa c.
La derivata di una funzione
Una funzione si dice derivabile in un punto c se esiste la derivata f’(c)
Affinchè una funzione sia derivabile in un punto c bisogna che siano
verificate le condizioni:
 la funzione è definita in un intorno di c;
 esiste il limite del rapporto incrementale;
 questo limite è un numero finito
Se il limite del rapporto incrementale non esiste o è infinito allora si
dice che la funzione non è derivabile in quel punto.