8. Potenze a esponente razionale
Finora abbiamo utilizzato potenze aventi come esponente un numero o naturale o intero relativo. Ora
estendiamo la definizione agli esponenti razionali.
Consideriamo, per esempio, l’espressione
e vediamo se è possibile attribuirle un significato.
Per essere una potenza, questa scrittura deve soddisfae le proprietà formali delle potenze. Per
esempio, elevandola a esponente 2, deve risultare
Poichè anche
, allora deve essere :
=
Da questa uguaglianza possiamo ricavare che
=
definizione
>0,
N ed
N0 ,
Una potenza con esponente razionale positivo del tipo
, dove
equivale a un radicale avente per indice il denominatore
numeratore
della stessa:
della frazione e per esponente del radicando il
Nella definizione di potenza a esponente frazionario abbiamo posto come condizione
che la base della potenza sia un numero reale positivo:
Per la definizione data non ha infatti significato un’espressione del tipo
.
Infatti, avremmo
=
e quindi anche
=
, scritture prive di
significato in R.
Hanno quindi senso solo le potenze a espnente razionale , nelle quali la base è un
numero reale positivo.
È possibile estendere la definizione di potenza a esponente frazionario anche al caso
in cui l’esponente è negativo
Definizione
se
allora
Proprietà delle potenze a esponente frazionario
Le potenze a esponente frazionario godono di tutte le proprietà delle potenze
con esponente intero, cioè:
1.
2.
3.
4.
5.
Le proprietà indicate derivano dalle proprietà dei radicali, come possiamo
vedere nella dimostrazione della prima. Dimostriamo, per esempio, che:
Se
N0
N0
allora
Trasformiamo il primo membro nel prodotto dei radicali equivalenti alle
potenze frazionarie date:
Poi,applicando la proprietà invariantiva, trasformiamo i radicali in altri
equivalenti e aventi lo stesso indice, ed eseguiamo il loro prodotto:
Trasformiamo infine, il radicale ottenuto nella corrispondente potenza a
esponente frazionario:
Abbiamo così verificato che
Le altre proprietà si dimostrano in modo analogo.
Alla proprietà invariantiva dei radicali corrisponde la proprietà invariantiva
delle frazioni; a ogni altra proprietà dei radicali corrisponde una proprietà
delle potenze. La teoria dei radicali può allora essere ricondotta a quella
delle potenze.
Semplificazione di espressioni contenenti
radicali utilizzando la simbologia delle potenze
Abbiamo visto che
Per la proprietà simmetrica dell’uguaglianza possiamo anche scrivere
Per esempio:
A seconda del tipo di espressione da risolvere può essere utile passare dal
calcolo con le potenze a esponente frazionario a quello con i radicali e
viceversa, come si può osservare nei seguenti esempi. Ricordiamo che,
non avendo definito le potenze a esponente razionale per basi negative,
per ricorrere al procedimento indicato è necessario che i radicandi non
siano negativi