Variabili Casuali
Quale che sia uno spazio campionario S è possibile
definire una o più funzioni che associno ogni elemento di S
a un elemento di .
Consideriamo ad esempio il lancio di 3 monete e consideriamo le funzioni
X e F così definite:

...
4
=
X (S)
{-3,-1,1,3}
2
3
1
0
-1
-2
-4
-3
...
F: s(S)  x () x=F(s)=nTnc
[T,T,T]
[T,T,C]
[T,C,T]
[C,T,T]
[T,C,C]
[C,T,C]
[C,C,T]
[C,C,C]

...
3
2
1
0
...-3
F (S)
=
X: s(S)  x () x=X(s)=nT-nc
-1
-2
{0,1,2}
Variabili Casuali
...
4
=
X (S)
{-3,-1,1,3}
2
3
1
0
-1
-2
-4
-3
...
[T,T,T]
[T,T,C]
[T,C,T]
[C,T,T]
[T,C,C]
[C,T,C]
[C,C,T]
[C,C,C]

...
3
2
1
0
F (S)
=

-1
-2
{0,-1,2}
...-3
Definizione:
Dato uno spazio campionario S, si definisce
Variabile Casuale X su S qualsiasi funzione che
abbia per dominio S e codominio .
X: S  
Se l’insieme X(S) è finito la variabile casuale X si dice finita
Gli elementi di X(S) sono detti valori o determinazioni
X(S)
SPAZIO
CAMIONARIO
[T,T,T]
[T,T,C]
[T,C,T]
[C,T,T]
[T,C,C]
[C,T,C]
[C,C,T]
[C,C,C]
Variabile
Casuale
X
-3
-1
1
3

Variabili Casuali
Teoremi:
Sia X una VC su uno spazio campionario S e k un
numero reale, allora anche le funzioni:
X+k:
(X+k)(s) = X(s) + k
kX:
(kX)(s) = k • X(s)
"sS
sono VC
X: s(S)  x () x=X(s)=nT-nc
F: s(S)  x () x=F(s)=nTnc
Variabili Casuali
Teoremi:
Siano X e F due VC su uno spazio campionario S,
allora anche le funzioni:
X+F:
(X + F)(s) = X(s) + F(s)
X•F:
(X • F)(s) = X(s) • F(s)
"sS
sono VC
X: s(S)  x () x=X(s)=nT-nc
F: s(S)  x () x=F(s)=nTnc
Variabile Casuale
S
X: s(S)  x ()
[TTT]
[TTC]
[TCT]
[CTT]
[TCC]
[CTC]
[CCT]
[CCC]
Notazione
x=X(s)=nT-nc

3
X(S)
1
-1
-3
X[TTT]=3
X[TTC]=
X[TCT]=
X[CTT]=1
X[TCC]=
X[CTC]=
X[CCT]=-1
X[CCC]=-3
{X(s)=a}  {X=a}
La simbologia {X=a} è una forma sintetica per
rappresentare l’evento che la variabile X assuma la determinazione a.

Variabile Casuale
S
Notazione
X: s(S)  x () x=X(s)=nT-nc
[TTT]
[TTC]
[TCT]
[CTT]
[TCC]
[CTC]
[CCT]
[CCC]

3
X(S)
1
-1
-3
X[TTT]=3
X[TTC]=
X[TCT]=
X[CTT]=1
X[TCC]=
X[CTC]=
X[CCT]=-1
X[CCC]=-3
{X(s)=a}  {X=a}
{X=3} = evento che X assuma la determinazione 3 =
= { [TTT] }
{X=1} = evento che X assuma la determinazione 1 =
= { [TTC], [TCT], [CTT] }
{X=-1} = evento che X assuma la determinazione -1=
= { [TCC], [CTC], [CCT] }
{X=-3} = evento che X assuma la determinazione -3=
= { [CCC] }
Variabile Casuale
{X=3} = { [TTT] }
Notazione
 P({X=3}) = 1/8
{X=1} = { [TTC], [TCT], [CTT] }  P({X=1}) = 3/8
{X=-1}= { [TCC], [CTC], [CCT] }  P({X=-1}) = 3/8
{X=-3}= { [CCC] }
 P({X=-3}) = 1/8
1
La probabilità dell’evento che X assuma valore a si
esprime con la simbologia P({X=a}) o più semplicemente P( X=a ). P({X=3}) oppure P(X=3)
Funzione di distribuzione
Definizione:
Sia X una vc su S, chiamiamo funzione di distribuzione o funzione di probabilità di X la funzione f
così definita:
f: X(S)  
tale che f: x  P( X=x ).

f(-1) = P(X=-1) = 3/8
f(-3) = P(X=-3) = 1/8
3
X(S)
f(3) = P(X=3) = 1/8
f(1) = P(X=1) = 3/8

1
-1
-3
1/8
3/8
Funzione di distribuzione
Rappresentazione

X(S)
f(3) = P(X=3)
f(1) = P(X=1)
f(-1) = P(X=-1)
f(-3) = P(X=-3)
= 1/8
= 3/8
= 3/8
= 1/8
xi
f(xi)
-3
-1
1
3
1/8
3/8
3/8
1/8
3
1/8
1
3/8
-1
-3
3/8
f(X(S))
1/8
-3
-1
1
3 X(S)
Grafico a Barre
Variabile Casuale
X
SPAZIO
CAMIONARIO
S
[T,T,T]
[T,T,C]
[T,C,T]
[C,T,T]
[T,C,C]
[C,T,C]
[C,C,T]
[C,C,C]

X(S)
-3 3
1 -1

Funzione
di distribuzione
f(x) = P(X=x)
P(X=x)
1/8
3/8
Esempio: Da un’urna contiene 5 palline (2 B, 2 G, 1 V) si
estraggono contemporaneamente 3 palline. Determinare la
funzione di distribuzione della variabile casuale X tale che:
2
3
X: (nV,nG,nB)  nB + nG + nV
(nV,nG,nB)  S
Si possono avere 60 terne: 6 [BBV] e [GGV], 12 [BBG] e
[GGB], 24 [BGV], si può creare lo spazio campionario
NON equiprobabile S a cui applicare la vc X:
S [BBV]
[GGV]
[BBG]
[GGB]
[BGV]
X(S)
9
5
3

{X=9} = {[BBV],[BBG]}
{X=5} = {[GGV],[GGB]}
{X=3} = {[BGV]}

f(9)=P(X=9)=P([BBV])+P([BBG])=18/60
f(5)=P(X=5)=P([GGV])+P([GGB] )=18/60
f(3)=P(X=3)=P([BGV])=24/60
Problema: Ugo alla lotteria europea ha vinto 5 volte 5
ECU, 4 volte 10 ECU e 1 volta 50 ECU. Quale è stata la
vincità media?:
5  5  4  10  1  50
 11.5
10
L’espressione può essere riscritta evidenziando le
frequenze relative ƒ:
5
4
1
5  10 
50  11.5
10
10
10
ƒ(5) =5/10;
ƒ(10) =4/10;
Possiamo allora scrivere che:
ƒ(50) =1/10;
n
valor _ medio   x i f ( x i )
i 1
MEDIA DI UNA VARIABILE CASUALE
Definizione:
Dato su uno spazio campionario S una vc X
caratterizzata dalla funzione di distribuzione f,
diremo valor medio o media di X, il numero reale:
M(X) = m=
n
 xi
i1
f (xi )
MEDIA DI UNA VARIABILE CASUALE
Teoremi
Sia X una vc e k un numero reale, allora:
m(X+k) = m(X)+k
m(k·X) = k · m(X)
Siano X e F due vc su uno spazio campionario,
allora:
m(X+F) = m(X)+ m(F)
VARIANZA DI UNA VARIABILE CASUALE
Definizione:
Data una vc X su S tc X(S)={x1,...,xn} e la funzione di
distribuzione f, diremo scarto del valor medio il numero
reale:
xi - m
Si dice varianza di una variabile casuale X, la
media della variabile casuale [X - m]2
Var(X) = s2 =
n
 (xi - m )
i1
2
f (xi )
VARIANZA DI UNA VARIABILE CASUALE
Teoremi
La vc X-m ha valor medio nullo:
M(X - M(X)) = 0
La varianza della vc X è espressa da:
s2 = M(X2) - m2
DEVIAZIONE STANDARD
DI UNA VARIABILE CASUALE
Definizione:
Si dice deviazione standard o scarto quadratico
medio di una variabile casuale X, la radice
quadrata della varianza:
s  Var ( X )
DISUGUAGLIANZA DI TCHEBYCHEFF
Permette di mettere in relazione i parametri (m, s)
di una distribuzione:
Se X è una vc con media m e sqm s, allora dato
k   è valida la relazione:
s2 = M(X2) - m2