In matematica si chiama PROPOSIZIONE o
ENUNCIATO ogni espressione linguistica per la quale
si possa stabilire con certezza se è vera o falsa.in altre
parole una proposizione è una frase alla quale ha senso
associare uno dei due valori di verità: vero o falso.
ESEMPI:
•la luna è un satellite;
V
•Parigi è la capitale della Spagna;
F
•Sandro è simpatico;
NON E’ UNA
PROPOSIZIONE
La particella “e “ quando viene usata nel linguaggio ordinario con il
significato i “e,contemporaneamente”, corrisponde in logica al
connettivo congiunzione (^)
DEFINIZIONE:si definisce congiunzione di due proposizioni p e q,e si
indica con p^q ( si legge “p e q”) , la proposizione che è vera se p e q
sono vere contemporaneamente, mentre è falsa in ogni altro caso.
p
q
p^q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
La particella “o”, quando viene usata nel linguaggio comune con il
significato di “oppure” corrisponde in logica al connettivo disgiunzione
DEFINIZIONE:si definisce disgiunzione di due proposizioni p e q, e si
indica con il simbolo p V q e si legge “p o q” , la proposizione che è
vera se almeno una delle due proposizioni è vera,mentre è falsa se
entrambi le proposizioni sono false
p
V
q
V
pVq
V
V
F
V
F
F
V
F
V
F
Un altro modo di connettere tra loro due proposizioni si può
ottenere mediante il connettivo “se,allora”
DEFINIZIONE:si definisce implicazione materiale o condizionale
di due proposizioni p
q e si legge “se p allora q”.la
proposizione che è falsa nel caso p sia vera e q sia falsa ed è vera
negli altri casi
p
q
p
q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
Due proposizioni possono essere connesse mediante il connettivo
“se e solo se”.
DEFINIZIONE:Si definisce definizione materiale o bicondizionale di due
proposizioni p e q e si indica con p<—>q e si legge “p coimplica q”.
La proposizione è vera quando p e q hanno lo stesso valore di verità,
mentre è falsa in tutti gli altri casi.
p
q
p
q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
La particella “non” del linguaggio ordinario corrisponde in logica
all’operatore negazione.
DEFINIZIONE:Si dice negazione di un enunciato p, e si indica con p
e si legge “non p”. L’enunciato è falso se p è vero ed è vero se p è falso.
p
p
V
F
F
V
E’ una tautologia quella proposizione composta che ha come valore di verità VERO
indipendentemente dal valore di verità delle singole proposizioni.
a
a
aVa
V
F
V
F
V
V
E’ una contraddizione quella proposizione composta che ha come valore di verità
FALSO indipendentemente dal valore di verità delle singole proposizioni che lo
compongono.
p
q
p
q
V
F
F
F
V
F
Consideriamo la tautologia [(a b) a]
b
e supponiamo che siano vere a b e a, e quindi anche la loro congiunzione.
Possono presentarsi due casi: b è vera oppure b è falsa. Il valore di verità è
allora dato dalla seguente tavola
(a
b)^a
b
[(a
b)^a]
V
V
V
V
F
F
b
Essa, essendo una tautologia, deve però essere vera per forza, perciò non può
verificarsi che b sia falsa; perciò nel caso siano vere sia a
b sia a,
dev’essere vera anche b. Possiamo perciò formulare la seguente regola
di deduzione che è detta Modus Ponens:
se sono vere le proposizioni a
b e a , allora dev’essere vera anche la proposizione b.
1 premessa
a
b
2 premessa
a
conclusione
b
Dalla tautologia [(a
b)
b]
a si può ricavare la seguente regola di deduzione,
detta Modus Tollens:
se è vera la proposizione a
b ed è vera la negazione di b (ossia è falsa b),
deve essere vera anche la negazione di a (ossia dev’essere falsa a ).
1 PREMESSA
a
b
2 PREMESSA
b
CONCLUSIONE
a