Il Teorema di Rolle
Chi era Michel Rolle?
Cosa dice il Teorema di Rolle?
Discussione
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A cura della V A del Liceo Scientifico “Jacopone da Todi” di Todi
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Michel Rolle nasce a Ambert nel 1652. Dal 1685 è membro
dell’Accademia di Parigi come “géomètre pensionnaire”. Fu
uno dei matematici più abili del suo tempo, tuttavia si
distinse per un atteggiamento critico verso i nuovi metodi del
calcolo differenziale che si andavano allora affermando,
dando luogo a vivaci polemiche con P. Varignon e Jean
Bernoulli e fu al centro di alcune polemiche contro l’Hôpital
sul concetto di infinito e contro la geometria di Cartesio. La
sua fama è dovuta soprattutto al Teorema che porta il suo
nome: Teorema di Rolle, da lui dimostrato nel 1691.
Le sue opere più importanti sono: “Traité d’algebre” 1690 e
“Methode pour résudre les égalités” 1691.
Data una funzione qualsiasi f(x), continua in un intervallo chiuso [a,b]
e derivabile in ]a,b[ vi è almeno un punto c dell’intervallo [a,b] dove
la derivata della funzione si annulla.
IPOTESI:
• f continua in
[a,b]
• f derivabile in
]a,b[
• f(a) = f(b)
TESI:
Esiste almeno un punto
c in (a,b) tale che
Dimostrazione:
Sia f(x) continua in [a,b], derivabile in ]a,b[ , tale che f(a) = f(b).
In virtù dell’ipotesi della continuità, vale il teorema BolzanoWeierstrass, che ci assicura che esistono almeno un punto di
massimo e un punto di minimo in [a,b].
• Supponiamo che entrambi cadano negli estremi a e b
dell’intervallo.
Ad esempio, se:
Max = f(a) e min = f(b), in virtù dell’ipotesi che f(a) = f(b), si ha che
Max = min e quindi f(x) è costante in tutto l’intervallo [a,b]. Quindi
f’(x) = 0 in tutto [a,b].
• Supponiamo ora che almeno uno dei due, il massimo o il minimo,
cada nell’intervallo ]a,b[.
Ad esempio, se:
Max = f(c), con c appartenente all’intervallo ]a,b[ ,allora il
rapporto incrementale sinistro
mentre il rapporto incrementale destro è
Come si può notare dal seguente grafico:
RI-<0
RI+>0
In virtù dell’inverso del Teorema della permanenza del segno ne
segue che, il
lim
x c
f ( x )  f (c )
xc
≥0
e
lim
xc
f ( x )  f (c )
≤0
xc
E in virtù dell’ipotesi della derivabilità, i due limiti devono essere
uguali e quindi:
lim
x c
f ( x )  f (c )
xc
=
lim
xc
f ( x )  f (c )
xc
= 0
Esaminiamo le ipotesi del Teorema di Rolle e analizziamo cosa accade
se cadono le ipotesi.
Se cade l’ipotesi di continuità della funzione in [a,b], la tesi
continua a valere solo in alcuni casi.
Consideriamo ad esempio f : [0,4]  [1,2]
così definita:
2, se x  0, x  4,

f ( x)  
1, se 0  x  4,
La cui rappresentazione grafica
è la seguente
Come è evidente, la funzione non è continua in [0,4] , tuttavia la tesi
continua a valere, mentre ciò non accade per la funzione , così definita
f : [0,1]  [0,1]
1, se x  0,

f ( x)  
 x, se 0  x  1,
La cui rappresentazione
grafica è
Si vede che in questo caso la tesi non vale.
Si possono fare considerazioni analoghe a quanto accade per la
continuità, cioè, se cade l’ipotesi che f sia derivabile in ]a,b[, la tesi
del Teorema di Rolle continua a valere solo in alcuni casi.
Infatti, se si considera la funzione f : [2,2]  [0,1] così definita
x f(x)=
- x - 1 se –2 ≤ x ≤ -1
0
se -1 < x < 1
x - 1 se 1 ≤ x ≤ 2
rappresentata così
La funzione f(x) è continua in [-2,2]; f(-2)=f( 2) = 1, ma non è
derivabile in x = -1 e x = 1; tuttavia esistono infiniti punti x tra
]-1,1[ in cui f’(x) = 0.
Di nuovo si ritrova che la tesi continua a valere soltanto in alcuni casi.
Infatti, se si considera
f : [0,1]  [0,1]
definita da
f ( x)  x
la funzione è continua in [0,1], derivabile in ]0,1[, ma f (0)  0  1  f (1)
e la tesi del Teorema di Rolle non vale.
f : [1,2]  [0,4] definita da
f ( x)  x 2, in tal caso, sebbene risulta che f (1)  f (2) nel punto
x0  0 si ha che f ' ( x0 )  0
Se invece si considera la funzione
Utilizzando il Teorema di Rolle, si può affermare che se l’equazione
xn + an-1xn-1 + … +a1x + a0 = 0
ammette radici reali, allora, fra due di esse, l’equazione
nxn-1+ (n-1)xn-2 + … + a1 =0
ammette almeno una radice.
Infatti, poiché
f (x)= xn + an-1 xn-1 + … + a1x + a0
1) è continua in R
2) è derivabile in R,
3) se x1 e x2 sono radici di f (x), allora
f(x1) = f(x2) = 0
Per il Teorema di Rolle   almeno x 0 ] x1, x2 [ tale che f ( x 0 ) = 0 cioè
n-2+ … + a = 0.
f ( x 0 ) = nxx n-1+ (n-1)x
1
x
0
0
Attraverso il Teorema di Rolle, si riesce a dire, ad esempio, che
l’equazione 3x5+ 15x – 12 = 0 ammette una sola radice reale.
Infatti, il Teorema fondamentale dell’algebra ci assicura che
l’equazione, essendo di grado dispari, ha almeno una radice reale.
Se per assurdo esistessero due radici x1 , x2 reali tali che
f(x1) = f(x2) = 0, allora dovrebbe esistere un x0 appartenente
all’intervallo aperto ] x1, x2[ tale che la derivata prima calcolata nel
punto x0 è uguale a zero, ma f’(x)= 15x4 + 15 non si annulla mai nel
campo reale.