Analisi dei Sistemi
Esercitazione 3b
Sommario:
- Analisi della stabilità senza sviluppo polinomio caratteristico
- Analisi della stabilità nei sistemi lineari discreti
- Metodi per la determinazione del segno degli autovalori
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Calcolo degli autovalori
è asintoticamente stabile
sono soluzione (poli) di
se
è
se n>3 inizia ad essere lungo e laborioso lo sviluppo del
polinomio caratteristico  esistono tecniche per :
- ottenere i coeff. ai direttamente dalla matrice A (formula
di Souriau)
- sulla base di questi valutare la asintotica stabilità di A
(criterio di Hurwitz)
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Formula di Souriau
Formula di Souriau
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Matrice di Hurwitz
matrice di Hurwitz (1895)
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n minori principali
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Criterio di Hurwitz
Dato un sistema
è asintoticamente
stabile se e solo se gli n minori principali della
matrice di Hurwitz associata al polinomio
caratteristico della matrice A sono tutti positivi
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Sistemi discreti
asintotica stabilità
sistemi 1° ordine:
A<-1
instabile
-1<A<0
a. stabile
0<A<1
A>1
instabile
a. stabile
Im
in generale:
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Re
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Calcolo autovalori: casi particolari
1. A è triangolare
oppure
gli autovalori sono gli elementi della diagonale
2. A è triangolare a blocchi
0
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gli autovalori sono l’insieme
degli autovalori di ogni sottomatrice
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Esempio 1
sistema a 3 serbatoi
eq. di stato:
eq. di uscita:
parametri:
se
equilibrio:
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Esempio 1
sistema a 3 serbatoi
det( I  A)  0
polinomio caratteristico
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Esempio 2
sistema continuo
di ordine 6
es: calcolare gli autovalori e valutarne la stabilità
sistema instabile
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Stabilità senza calcolo autovalori
SISTEMI CONTINUI
- ordine n: se A è asintoticamente stabile allora
(cond. necessaria)
non a.s.
instabile
- ordine 2: se A è asintoticamente stabile allora
(cond. necessaria e suff.)
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Esempio 2
sistema continuo
di ordine 6
sistema instabile
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Esempio 3
sistema continuo
di ordine 5
non è triangolare
a blocchi
sistema instabile
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Stabilità senza calcolo autovalori
SISTEMI DISCRETI
- ordine n: se A è asintoticamente stabile allora
(cond. necessaria)
- ordine 2: se A è asint. stabile allora
(cond. nex e suff.)
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