HALLIDAY - capitolo 21 problema 6
Tre particelle si trovano sull’asse x. La particella 1 ha carica q1
ed è situata in x=-a, mentre la particella 2 ha carica q2 ed è
collocata in x=+a. Che rapporto q1/q2 occorre affinchè una terza
particella di carica +Q risenta di una forza elettrostatica nulla
quando si trova (a) in x=+0,500a e (b) in x=+1,50a?
q1
F2
+Q
F1 q2
x
x=-a
0 x=+0,500a x=+a
 

Forza elettrostatica agente su Q: F  F1  F2
Perchè sia F=0 deve essere F1=F2 in modulo, mentre le
direzioni di F1 e F2 devono essere opposte
Q q1
Q q2
q1
F1  F2  k
k

9
2
2
q2
1,500a 
0,500a 
I vettori F1 e F2 sono diretti in verso opposto se q1 e q2 hanno
lo stesso segno: deve quindi essere q1/q2=+9
q1
q2 F2 +Q
F1
x
x=-a
0
x=+a x=+1,50a
 

Forza elettrostatica agente su Q: F  F1  F2
Come prima, perchè sia F=0 deve essere F1=F2 in modulo,
mentre le direzioni di F1 e F2 devono essere opposte
Q q1
Q q2
q1
F1  F2  k
k

 25
2
2
q2
2,500a 
0,500a 
I vettori F1 e F2 sono diretti in verso opposto se q1 e q2 hanno
lo segno opposto: deve quindi essere q1/q2=-25
HALLIDAY - capitolo 21 problema 18
Due goccioline d’acqua, aventi un’identica carica di -1,00×10-16 C
hanno i loro centri distanti 1,00cm. Calcolare l’intensità della
forza elettrostatica presente tra di loro. A quanti elettroni
corrisponde la carica in eccesso posseduta da ciascuna goccia?
Modulo della forza elettrostatica: F  k
q1 q 2
r2
 9,00  10 19 N
1,00  10 16 C

 625 elettroni
Numero di elettroni: ne 
19
e
1,60  10 C
q1
HALLIDAY - capitolo 21 problema 40
Due palline uguali di massa m sono
appese con fili di seta di lunghezza
L e hanno uguale carica q come
mostrato in figura. Si assuma che θ
sia così piccolo che tanθ possa
essere sostituito con sinθ. Si mostri
che in questa approssimazione,
all’equilibrio si ha:
 q L 

x  
 2 π ε0 mg 
2
1/3
T
T
y
Fel
dove x è la distanza tra le palline.
Se L=120cm, m=10g e x=5,0cm
qual è il valore di q?
Fel
x
mg
mg
Applichiamo la prima legge di Newton a una delle due sferette:

 
T  mg  Fel  0
Fel  Tsinθ  0
Tcosθ  mg  0
Dalla seconda equazione ricaviamo la tensione e sostituendo
nella prima si trova il valore della forza elettrostatica:
mg
T
cosθ
Fel  Tsinθ  mgtanθ
Tenendo conto che sinθ=x/2L e F  Tsinθ  mgx
el
ponendo tanθ≈sinθ=x/2L si ha:
2L
1 q2
Legge di Coulomb: Fel 
4 π ε0 x 2
Mettendo a confronto i secondi membri:
 q L 
1 q
mgx
q L
3


x 
 x  
2
4 π ε0 x
2L
2 π ε0 mg
 2 π ε0 mg 
2
2
2
1/3
La carica q si ricava dall’espressione trovata per la distanza x:
3
2
2
π
ε
mgx
q
L
0
x3 
q
 2,4  10 8 C
2 π ε0 mg
L
HALLIDAY - capitolo 22 problema 7
Due cariche puntiformi q1=2,0×10-8C e q2=-4,0q1 sono collocate
rispettivamente alle coordinate x=20cm e x=70cm. Trovate le
coordinate del punto in cui il campo è nullo.
q1=20nC
q2=-80nC
x
x2=+70cm
0 x1=20cm
 

Principio di sovrapposizione: E  E 1  E 2
Campo elettrico generato da q1:



1 q1 r1 
 
E1 
2 
4 π ε0 r1  r1 

r   x  x iˆ
1
1

r1  x  x1 iˆ  iˆ se x  x1


ˆ
r1
x  x1
 i se x  x1
q1
 1
ˆ se x  x
i
1
  4 π ε0  x - x 2
1
E1  
1
q1
ˆ se x  x

i
1
 4 π ε0  x - x1 2
Il campo generato da q2 si calcola allo stesso modo:
q2
 1
ˆ se x  x
i
2
 4 π ε  x - x 2

0
2
E2  
1
q2
ˆ se x  x

i
2
 4 π ε0  x - x 2 2
E1
E1
E1
E2
E2
E2
q1=20nC
q2=-80nC
x
0 x1=20cm
x2=+70cm
Il campo complessivo, somma vettoriale dei due campi E1 e
E2, si può eventualmente annullare solo dove E1 ed E2 sono
discordi, ossia per x<x1 oppure per x>x2
Cerchiamo una soluzione all’equazione E=0 nella regione x<x1:

E 0
1
q1
q2
ˆi  1
ˆ0
i
4 π ε0  x - x1 2
4 π ε0  x - x 2 2
1  q1
q2  ˆ
q1
- 4q1


i 0

0

2
2
2
2
4 π ε0   x - x 1   x - x 2  
 x - x1   x - x 2 
 x - x 2 2  4  x - x1 2  0  3x 2  2x 4x1  x 2   4x12  x 22  0 
4x1  x 2   4x1  x 2 2  34x12  x 22 
x
3
 x  30cm  x  36,7cm
Solo la soluzione x=-30cm è accettabile perchè è minore di
x1=-20cm. L’altra soluzione non è invece accettabile.
Cerchiamo ora una soluzione dell’equazione E=0 nella regione
x>x2:

1
q1
1
q2
ˆ
ˆ0
E 0
i

i
4 π ε0  x - x1 2
4 π ε0  x - x 2 2
1  q1
q2  ˆ
q1
- 4q1

i 0

0

2
2
2
2
4 π ε0   x - x 1   x - x 2  
 x - x1   x - x 2 
 x - x 2 2  4  x - x1 2  0  3x 2  2x 4x1  x 2   4x12  x 22  0 
4x1  x 2   4x1  x 2 2  34x12  x 22 
x
3
 x  30cm  x  36,7cm
Entrambe le soluzioni non vanno bene perchè in entrambi i
casi è x<x2.
Si noti che i valori di q1 e q2 non servono a risolvere il problema!
HALLIDAY - capitolo 22 problema 33
Due grandi piatti di rame paralleli
sono posti a una distanza di
5,0cm e instaurano un campo
elettrico uniforme tra di loro,
come mostrato in figura. Un
elettrone (carica –e, massa
m=9,11×10-31kg) viene rilasciato
dal piatto carico negativamente
nello stesso momento in cui un
protone (carica +e, massa
M=1,67×10-27kg) è liberato dal
piatto carico positivamente. Si
trascuri l’azione tra le particelle e
si determini la loro distanza dal
piatto positivo quando si
incrociano.
x
0
d
Moto del protone:
Moto dell’elettrone:



F  eE  Ma p



F  eE  mae
eE
eE  Ma p  a p 
M
eE
 eE  ma e  ae  
m
1
1 eE 2
a pt 2 
t
2
2 M
Leggi orarie:
1
1 eE 2
xe (t)  d  ae t 2  d 
t
2
2 m
x p (t) 
Il protone incontra l’elettrone nell’istante t1 in cui xp=xe:
1 eE 2
1 eE 2
1  1 1
2d
t1  d 
t 1  eE   t 12  d  t 1 
2 M
2 m
2 M m
 1 1
eE   
M m
La posizione in cui le due particelle si incontrano è xp(t1)=xe(t1):
1 eE 2 1 eE
x p (t 1 ) 
t1 

2 M
2 M
2d
d

 2,73  10  3 cm
M
1
 1
1

eE 
 
m
M
m

HALLIDAY - capitolo 23 problema 22
Due grandi piatti metallici di area 1,0m2 si affacciano l’un l’altro.
Si trovano ad una distanza di 5,0cm ed hanno cariche uguali ma
di segno opposto sulle superfici interne. Se E fra i piatti vale
55N/C, qual è l’intensità delle cariche sui piatti? Si trascuri
l’effetto di bordo.
Campo elettrico tra i piatti:
σ
E
ε0
E
σ  ε0 E
Carica sui piatti:
+
-
q  σA  ε0 EA  4,9  10 10 C
Si noti che il valore della distanza tra i piatti non è necessario
per risolvere il problema!
HALLIDAY - capitolo 23 problema 23
Una piccola sfera di massa
m=1,0mg e carica q=2,0×10-8C è
appesa in equilibrio a un filo
isolante che forma un angolo
θ=30° con un grande piatto
isolante carico uniformemente.
Considerando la forza di gravità
agente sulla sfera e assumendo
che il piatto si estenda a grande
distanza in tutte le direzioni, si
determini la densità di carica
superficiale σ sul piatto.
y
T
x
Fel
mg
Applichiamo la prima legge di Newton alla sfera:

 
T  mg  Fel  0
Fel  Tsinθ  0
Tcosθ  mg  0
Dalla seconda equazione si calcola la tensione e sostituendo
nella prima si trova la forza elettrostatica:
mg
Fel  Tsinθ  mgtanθ
T
cosθ
σ
F

qE

q
La forza elettrostatica è anche data da: el
2ε0
Mettendo a confronto le due espressioni di Fel si ha:
2mgε0 tanθ
σ
q
 mgtanθ  σ 
 5,0  10 6 C/m 2
2ε0
q