Pressoflessione
verifica allo stato limite ultimo
Introduzione
•
Sperimentalmente, si osserva che il
comportamento di una sezione in C.A.
con armatura semplice, soggetta a
sollecitazione di pressoflessione
gradualmente crescente, è il seguente:
–
–
–
•
Prima fase: il calcestruzzo non è
fessurato e la sezione è interamente
reagente.
Seconda fase: superato il momento di
fessurazione, l sezione si parzializza,
ma i materiali si comportano ancora in
modo elastico.
Terza fase: i materiali entrano in campo
plastico. L’esatto comportamento in
questa fase dipende dalla percentuale
di armatura.
Per basse percentuali di armatura, la
rottura avviene per snervamento
dell’acciaio con forte allungamento
delle barre. Per alte percentuali di
armatura, la rottura avviene per
schiacciamento del calcestruzzo
compresso.
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Diagramma di calcolo del
calcestruzzo
• Diagramma di calcolo a
forma di parabola –
rettangolo
• Parametri caratteristici:
fck, εc2, εcu2, γc.
• DM 09 gen 1996, punti
4.0.2, 4.2.1.1 e 4.2.1.3:
–
–
–
–
fck = 0.83 * Rck
εc2 = -0.002
εcu2 = -0.0035
γc = 1.6
• Resistenza a trazione
nulla
Diagramma di calcolo dell’acciaio
• Diagramma di calcolo a
forma bilatera
• Parametri caratteristici:
Es, fyk, εud, γs.
• DM 09 gen 1996, punti
4.0.2, 4.2.1.1 e 4.2.1.4:
–
–
–
–
fyk = 375 – 430 N/mm2
Es = 206000 N/mm2
εud = -0.0035 <-> +0.01
γs = 1.15
• Possibilità di utilizzare
ramo plastico inclinato
(EC2)
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Configurazioni deformate allo SLU
• Si ipotizza che la sezione rimanga piana durante la
deformazione
• Le reazioni interne devono essere tali da equilibrare gli
sforzi esterni
• Si impongono dei limiti alle deformazioni dei materiali. I
possibili piani deformati devono rispettare questi limiti.
Configurazioni deformate allo SLU
• Si individuano dei “poli” che definiscono i limiti per i piani deformati,
funzione dei limiti di deformazione dei materiali.
• La posizione dei “poli” definisce diversi “campi” entro cui devono
trovarsi i piani deformati.
• Il generico piano può essere individuato dal punto di passaggio
dell’asse neutro (x). Si utilizza in realtà il rapporto ξ = x/d (profondità
relativa dell’asse neutro, rispetto all’altezza utile d).
3
Configurazioni deformate allo SLU
Calcolo delle reazioni
• Diagrammi deformazione –
tensione non lineari: occorre
integrazione delle tensioni.
• Per il calcestruzzo si può
definire un coefficiente di
riempimento β1, pari al
rapporto fra l’area del
diagramma delle tensioni
(parabola - rettangolo) ed il
rettangolo circoscritto, ed un
coefficiente β2, che esprime la
posizione della risultante
rispetto all’asse neutro.
• I valori di β1 e β2 possono
essere calcolati e tabellati.
• Per l’acciaio non occorre
integrare (area concentrata).
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Calcolo delle reazioni – Coefficienti
β per sezione rettangolare
Calcolo delle reazioni
• Calcestruzzo: piano deformato -> posizione
asse neutro -> profondità relativa asse neutro ξ > parametri β
– Campi 2-3-4-4a
• R = 0.85 fcd β1 bx
• Punto di applicazione: β2 x
– Campo 5
• R = 0.85 fcd β1 bh
• Punto di applicazione: β2 h
• Acciaio: piano deformato -> deformazione alla
quota della barra -> tensione da diagramma
bilatero da moltiplicare per l’area.
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Criteri di progetto e di verifica
• Flessione semplice o pressoflessione con grande
eccentricità (travi)
– si cerca di disporre solo barre tese, e solo se non è possibile
aumentare l’area di cls barre tese e compresse.
– si dovrebbe operare all’interno dei campi 2 e 3 , cioè campi in cui
l’acciaio ha superato lo snervamento (completo sfruttamento
delle barre di armatura e comportamento duttile della sezione).
– Restare all’interno di questi campi corrisponde a imporre un
limite alla profondità relativa dell’asse neutro: ξ < 0.652
– L’EC2 impone di rispettare ξ < 0.450 (cls fino a C35/45) e ξ <
0.350 (cls C40/50 e oltre) nel caso di travi continue o telai
calcolati con analisi elastica lineare.
• Pressoflessione con debole eccentricità (pilastri)
– utilizzo dei diagrammi di interazione
Criteri di progetto e di verifica
• Nel caso di contemporanea presenza di
flessione e sforzo assiale, la verifica a
SLU è soddisfatta se NSd = NRd e
contemporaneamente MSd <= MRd.
• Nel caso di presenza di sola flessione, la
verifica a SLU è soddisfatta se MSd <=
MRd.
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Progetto – flessione semplice
•
•
•
•
•
Scegliere il valore ξ
Dati d = braccio interno ferri tesi - cls * reazione cls e d’ = braccio interno ferri tesi –
ferri compressi.
Calcolo del corrispondente valore ultimo di momento resistente MR,lim ( = d * reazione
cls). La reazione dei ferri tesi sarà pari a quella del cls compresso.
Se MSd > MRd,lim servono anche delle barre compresse e delle ulteriori barre tese, in
grado di dare una reazione F tale da equilibrare il momento (F = (MSd - MRd,lim) / (d d’)).
N.B.: l’area di ferro viene calcolata in funzione di σs = f(ξ).
Progetto – pressoflessione
• Si riporta lo sforzo normale
all’altezza delle armature tese
(si ottiene un momento
sollecitante M*).
• Si progetta la sezione per il
solo momento M* come nel
caso di flessione semplice,
scegliendo un valore di ξ.
• Si aggiunge (o si toglie)
un’area di ferro teso in
conseguenza del solo sforzo
normale: As = Nsd/fyd.
• N.B.: l’area di ferro viene
calcolata in funzione di σs =
f(ξ).
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Verifica
• Procedendo in modo analogo al progetto
(calcolo reazioni in funzione del piano
deformato), si può cercare una
configurazione deformata tale che NSd =
NRd e contemporaneamente MSd <= MRd.
• Si può riprogettare la sezione per NSd e
MSd e verificare che le aree di ferro
presenti nella sezione sono maggiori di
quelle necessarie.
Progetto e verifica di sezioni
rettangolari
• Nel caso di sezioni rettangolari
è possibile predisporre delle
tabelle di calcolo per effettuare
progetto e verifica.
• Si fa riferimento alle
sollecitazioni ed alle reazioni
riportate alla quota dei ferri
tesi.
• Si introducono dei valori
adimensionali delle
sollecitazioni, riferite all’area
della sezione ed ai parametri
di resistenza dei materiali.
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Progetto e verifica di sezioni
rettangolari
• Nelle precedenti relazioni vanno definiti:
– δ = rapporto fra le distanze dei baricentri delle armature compresse e
tese dal lembo compresso della sezione (scelta di progetto – geometria
sezione).
– b = larghezza della sezione (scelta di progetto – geometria sezione).
– il tipo di acciaio e di calcestruzzo (scelta di progetto – caratteristiche dei
materiali)
• Le variabili rimanenti (β, β’, κ, κ’) sono tutte funzioni di ξ, profondità
relativa dell’asse neutro. E’ possibile collegare direttamente ν e µ a
ω e ω’.
• Nel caso di flessione semplice, con presenza di sola armatura tesa
le relazioni adimensionali si semplificano ed è possibile collegare
direttamente µ a ω0 tramite ξ. E’ possibile organizzare in forma
tabulare alcuni valori di questa relazione.
Tabella per la flessione semplice
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Progetto di sezione rettangolare – uso
della tabella – flessione semplice
•
•
•
•
Scegliere il valore ξ
Dalla tabella si ricava il momento ridotto µlim e la percentuale meccanica di armatura ωlim.
Si calcola il momento sollecitante ridotto µ.
Se µ < µlim
–
–
Non serve armatura compressa.
L’area di armatura tesa necessaria deriva dalla percentuale ω0 = ωlim letto in tabella.
•
Altrimenti:
•
Note le percentuali meccaniche, le aree si ricavano come As = (ωs b d fcd) / fyd
–
–
Serve armatura compressa con percentuale ω’
L’area di armatura tesa con percentuale ω
Progetto di sezione rettangolare – uso
della tabella – pressoflessione
•
•
•
•
Si riporta lo sforzo normale all’altezza
delle armature tese (si ottiene un
momento sollecitante M* da cui si
ottiene il momento ridotto µ*).
Si progetta la sezione per il solo
momento µ* come nel caso di
flessione semplice, scegliendo un
valore di ξ.
La quantità di armatura va modificata
tenendo conto della presenza dello
sforno normale ridotto ν.
Se µ < µlim
–
•
L’area di armatura tesa necessaria
deriva dalla percentuale ω
Altrimenti:
–
–
Serve armatura compressa con
percentuale ω’
L’area di armatura tesa con
percentuale ω
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Verifica di sezione rettangolare – uso
della tabella
•
Si procede iterativamente,
imponendo l’uguaglianza
1.
2.
3.
4.
–
–
Si ipotizza κ=κ’=1
Si calcola ω0.
Dalla tabella si ricava ξ
corrispondente a ω0.
Si calcolano κ e κ’ in
funzione di ξ e si itera.
A convergenza raggiunta si
valuta µtot.
Noto µtot si calcola il
momento resistente riferito
alle armature tese.
Trave a T
• La verifica / progetto può
essere eseguita in modo
analogo a quanto visto per la
trave rettangolare.
• Occorre ricavare delle tabelle
dedicate a questo tipo di trave.
• Nel caso di solai la larghezza
dell’ala (“larghezza
collaborante”) può essere
calcolata in funzione della
distanza fra i punti di momento
nullo (schemi semplici per
carichi distribuiti e rapporto fra
luci adiacenti = 1 – 1,5).
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Trave a T – tabella per la flessione
• La tabella si riferisce a
diversi rapporti hf/d e
beff/bw (per valori
intermedi è lecito
interpolare linearmente).
• La tabella si riferisce a
posizioni dell’asse neutro
lungo l’anima. Se l’asse
neutro taglia l’ala la
sezione è equivalente ad
una rettangolare
(utilizzare la stessa
tabella).
Trave a T – tabella per la flessione
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Trave a T – tabella per la flessione
Trave a T – tabella per la flessione
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Progetto di sezione a T – uso della
tabella – flessione semplice
• Si calcola momento
sollecitante ridotto.
• Utilizzando la tabella si
individua il µlim corrispondente.
• Se µ < µlim
– E’ sufficiente armatura tesa.
– Si legge ω0 e si calcola la
quantità di armatura As0.
• Se µ > µlim
– E’ necessario disporre
armatura in compressione.
– Si calcolano ω e ω‘ da cui si
ricava l’area di armatura
necessaria.
Progetto di sezione a T – uso della
tabella – flessione semplice
• Si calcola il valore del
momento agente rispetto
all’armatura tesa, ed il
rispettivo momento ridotto
• Utilizzando la tabella si
individua il µlim corrispondente.
• Se µ < µlim
– E’ sufficiente armatura tesa.
– Si legge ω0 e si calcola la
quantità di armatura As.
• Se µ > µlim
– E’ necessario disporre
armatura in compressione.
– Si calcolano ω e ω‘ da cui si
ricava l’area di armatura
necessaria.
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