Cap. 12 Area dei quadrilateri e
del triangolo
Area
• Un qualsiasi poligono,
per definizione,
racchiude al suo interno
una porzione di piano
• Si definisce area la
misura di questa
porzione di piano
a
L’area è la misura della porzione di
piano che si trova all’interno di una
linea spezzata chiusa non intrecciata
Misure diretta di un’area
• Innanzitutto ricordiamoci cosa significa
misurare?
Nel caso di Ho eseguito una misura diretta
un’area questa
di superficie perché ho preso una
grandezza
superficie unitaria e ho visto quante volte
corrisponde ad
era contenuta nella superficie
una superficie
da misurare
unitaria come
mostrato in
area
figura
Se vado a contare quante
volte la superficie unitaria
entra nell’area trovo il valore
si 32
Superficie unitaria
Misura indiretta di un’area
• Consideriamo la stessa figura in cui abbiamo messo le
•
•
•
lunghezze
lati in u (a
= 4u e non
d = 8u)
e il segmento unitario
Indei
questo
modo
abbiamo
Ripetiamo
la stessa
suddivisionediretta
precedente
dell’area
fatto
una misura
dell’area
2 , otteniamo lo stesso
Abbiamo 4 file
da
8
quadratini
di
area
u
ma l’abbiamo calcolata.
risultato facendo 4u x 8u
Il calcolo di un’area equivale ad una
Questo equivale a fare: A = a x d
misura indiretta perché non
ho fatto alcun confronto fra
la grandezza in esame e la sua
unità di misura
Area del rettangolo
• Consideriamo il seguente
rettangolo
altezza
• Indichiamo con b la base e
con h l’altezza
• Per quanto detto prima
l’area sarà:
A
=
b
x
base
h
Altezza di un triangolo
• Consideriamo un triangolo
• Tracciamo la perpendicolare al
•
•
•
lato BC passante per A
Sia H la proiezione di A su AC
Si definisce altezza di un
triangolo relativa ad un lato il
segmento perpendicolare che
partendo dal vertice opposto
arriva sul lato medesimo
Cioè la distanza di A dal lato
BC
Area del triangolo
• Consideriamo il seguente
triangolo
• Tracciamo l’altezza relativa al lato
c
• Risulta chiaro che in questo caso
noi mon possiamo semplicemente
moltiplicare c x h per trovare
l’area
• Se lo facessimo troveremmo
l’area di questo rettangolo
Area rettangolo = c x h
Ma che relazione esiste fra l’area del triangolo e quella
del rettangolo? …. Cerchiamo di scoprirla
Secondo criterio di congruenza
• Consideriamo due
•
•
triangoli che hanno un Cosa
lato uguale e uguale i centra?
due angoli ad esso Vediamolo
subito
adiacenti
2 triangoli sono uguali se
Siccome noi sappiamo
hanno uguale un lato e
che la somme degli
gli angoli ad esso adiacenti
angoli interni di un
triangolo è 180° l’altro
angolo sarà
necessariamente uguale
Perciò i due triangoli
sono uguali
Relazione fra area del triangolo e del rettangolo
aventi la stessa base ed altezza
• Consideriamo la eseguente figura
• DE e AB sono paralleli perché
•


perpendicolari ad AD
b è la trasversale
a e a1 sono uguali perché alterni
interni
b e b1 sono uguali perché alterni
interni
• I triangoli DCA e ACN
sono uguali per il secondo
principio di congruenza
hanno il lato b in comune
e i due angoli ad esso
adiacenti congruenti
• a è anch’essa una trasversale dei


stessi lati paralleli perciò sono
uguali per lo stesso motivo gli
angoli
g e g1
d e d1
• I triangoli BCE e CNB
sono uguali per il secondo
principio di congruenza
hanno il lato a in comune
e i due angoli ad esso
adiacenti congruenti
Conclusioni
• Il rettangolo ADEB risulta suddiviso
dall’altezza h in due rettangoli
ADCN e CNBE
• Il triangolo è suddiviso dall’altezza
in due triangoli ACN e NCB
• BDCN è il doppio di ACN perché è
formato da 2 triangoli uguali a ACN
• NCEB è il doppio di NCB perché è
formato da 2 triangoli uguali a NCB
L’area del rettangolo è il
doppio dell’area di un triangolo
avente la stessa base
e la stessa altezza
Formula dell’area del triangolo
A
At
Ar
At
rettangolo
=2A
triangolo
L’area
del
1
Ar
rettangolo
è data
2
dal semiprodotto della
base per l’altezza
b
h
ad essa relativa
1
2
b
h
Area del trapezio
Consideriamo il seguente trapezio
Sia M il punto medio del lato l2
Tacciamo la retta che passa per B1
ed M
Essa intercetta il prolungamento di
B nel punto E
Consideriamo i triangoli B1CM e
DME
Essi sono uguali per il secondo
criterio di congruenza
CM = DM per costruzione
a = b perché opposti al vertice
g = d perché alterni interni
L’area del trapezio è
equivalente a quella del
triangolo AB1E perché è come
se noi tagliassimo dal trapezio
il triangolo B1CE e lo
andassimo ad incollare al lato
MD
Perciò se noi calcoliamo l’area di questo triangolo è come se
avessimo calcolato l’area del trapezio
Se B1CM e DME sarà anche c = b (base minore)
La base del mio triangolo sarà esattamente uguale alla somma
della base maggiore e della base minore del trapezio AE = B+b
L’altezza h è rimasta la stessa perciò l’area del triangolo AB1E
sarà:
AE = base maggiore + base minore
L’area del trapezio è data dalla
somma delle basi per l’altezza
diviso 2
Area del parallelogrammo
Consideriamo il seguente
parallelogrammo
Lo possiamo suddividere in un
triangolo e in un trapezio
rettangolo
Immaginiamo di spostare il
triangolo ADE facendo coincidere
il lato e col lato l
Otteniamo un rettangolo la
cui base e altezza coincidono
con quelle del rettangolo
In pratica il rettangolo DEFC
è equivalente al
parallelogrammo ABCD
Perciò l’area del
parallelogrammo sarà …..
Area del rombo
Prendiamo il seguente rombo
Tracciamo le diagonali
Da A e C tracciamo le parallele alla
diagonale d1
Da B e D quelle parallele alla diagonale d2
Si intersecano nei punti HKLM che saranno
anche gli estremi di un rettangolo
Questo rettangolo ha la base uguale a d1 e
l’altezza pari a d2
La sua area sarà A = d1 x d2
Per motivi analoghi al triangolo la sua area
è il doppio di quella del rombo
Pertanto
l’area del
rombo sarà….
d2
d1
Area del deltoide
Come si vede dalla
seguente figura la
situazione è analoga a
quella del rombo
pertanto la formula
della sua area sarà la
stessa
Area del quadrato
• Il quadrato è un rettangolo perciò la sua
area sarà
l
•A=bxl
• Ma nel quadrato questi due valori saranno
uguali e vengono indicati con l pertanto
l
l’area del quadrato è …..