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ESEMPI NUMERICI, ESERCIZI SUI TEOREMI DI EUCLIDE E DI PITAGORA
a) In un triangolo rettangolo PQR, di ipotenusa QR, le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa
misurano rispettivamente 9 cm e 16 cm. Determinare perimetro e area del triangolo.
= 90°
QPR
PH ⊥ QR
QH = 9 cm, HR = 16 cm
2p(PQR) = ?
S(PQR) = ?
Il fatto che siano note le misure delle proiezioni dei due cateti sull’ipotenusa
ci fa venire in mente il 2° Teorema di Euclide, del quale sono “protagoniste”
tali due proiezioni, insieme con l’altezza relativa all’ipotenusa. Dunque
PH 2 = QH ⋅ HR (Euclide 2°, PQR)
e da qui ricaviamo
PH =
QH ⋅ HR = 9 ⋅ 16 =
NOTA 1
NOTA 2
144
=
12 cm
NOTA 3
NOTA 1 Ovviamente, davanti alla radice
non mettiamo il doppio segno ±
perché il valore negativo
non avrebbe senso in questo contesto.
Ora possiamo ricavare il cateto PQ:
♪ applicando il Teorema di Pitagora
al triangolo rettangolo PHQ:
PQ2 = QH 2 + PH 2 (Pitagora, PHQ)
da cui
PQ =
QH 2 + PH 2
=
92 + 122
NOTA 2 Anche: 9 ⋅16 = 9 ⋅ 16 = 3 ⋅ 4 = 12
NOTA 3 L’unità di misura, a stretto rigore,
andrebbe scritta ad ogni passaggio
della catena; noi, per brevità,
la mettiamo solo nel passaggio finale.
♫
PQ = QR ⋅ QH =
=
( 9 + 16 ) ⋅ 9 =
= 25 ⋅ 9 = 225 = 15 cm
= 81 + 144 = 225 = 15 cm
E possiamo ricavare il cateto PR:
♪ applicando il Teorema di Pitagora
al triangolo rettangolo PHR:
PR 2 = HR 2 + PH 2 (Pitagora, PHR)
da cui
oppure applicando il 1° Teorema di Euclide
al triangolo rettangolo PQR:
PQ2 = QR ⋅ QH (Euclide 1°, PQR) , da cui
♫
oppure applicando il 1° Teorema di Euclide
al triangolo rettangolo PQR:
PR 2 = QR ⋅ HR (Euclide 1°, PQR) , da cui
PR = QR ⋅ HR =
PR = HR 2 + PH 2 = 162 + 122 =
( 9 + 16 ) ⋅16 =
= 25 ⋅ 16 = 400 = 20 cm
= 256 + 144 = 400 = 20 cm
2p(PQR) = PQ + QR + PR = 15 + 25 + 20 = 60 cm
S(PQR) =
6
QR ⋅ PH 25 ⋅ 12
=
= 150 cm 2
2
2
oppure S(PQR) =
10
PQ ⋅ PR 15 ⋅ 20
=
2
2
= 150 cm 2
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b) In un triangolo rettangolo i cui lati misurano 5, 12 e 13, quali sono le misure
delle proiezioni dei cateti sull’ipotenusa? E dell’altezza relativa all’ipotenusa?
AB2 = BC ⋅ BH
(Euclide 1°, ABC)
BC ⋅ BH = AB2 (scambiando i membri)
AB2 52 25
cm
=
=
BC
13 13
25 144
HC = BC − BH = 13 −
=
cm
13 13
BH =
AH 2 = BH ⋅ HC
(Euclide 2°, ABC)
25 144
52 ⋅ 122 5 ⋅ 12 60
⋅
=
=
=
cm
13 13
13
13
132
In alternativa (con calcoli, però, più pesanti)
si sarebbe potuta calcolare immediatamente l’altezza relativa all’ipotenusa mediante la formula
AH = BH ⋅ HC =
altezza =
doppia area prodotto cateti
=
ipotenusa
ipotenusa
AB ⋅ AC 5 ⋅12 60
=
=
cm
BC
13
13
per poi ricavare le proiezioni con Pitagora:
AH =
BH 2 + AH 2 = AB2 (Pitagora, ABH)
2
60
625 25
=
BH 2 = AB2 − AH 2, BH = AB2 − AH 2 = 52 − ⎛⎜ ⎞⎟ = ... =
cm
13
169
13
⎝ ⎠
c) In un triangolo rettangolo,
un cateto misura metri 9, e l’altro cateto
è inferiore di 1 metro all’ipotenusa.
Determina tutti i lati del triangolo.
AB2 + AC2 = BC2
92 + ( x − 1) = x 2
2
81 + x 2 − 2 x + 1 = x 2
−2 x = −82; x = 41
BC = 41 m, AC = 40 m
In questo problema,
Pitagora è stato utilizzato
per impostare l’equazione risolvente.
INUTILE, IN CASI SIMILI,
SCOMODARE formule inverse o RADICI QUADRATE:
quando si desidera scrivere un’uguaglianza
contenente x che serva da equazione risolvente,
basta a tale scopo la relazione pitagorica “originaria”.
d) In un triangolo rettangolo,
i cateti sono uno i ¾ dell’altro
e il perimetro misura 36a.
Determinare l’area.
BC = AB2 + AC2 =
2
3
5
= x 2 + ⎛⎜ x ⎞⎟ = ... = x
4
4
⎝
⎠
3
5
x + x + x = 36a ... x = 12a
4
4
3
3
AC = x = ⋅12a = 9a
4
4
AC ⋅ AB 9a ⋅12a
=
= 54a 2
S=
2
2
In questo problema, dunque,
il teorema di Pitagora
è stato impiegato
per esprimere un segmento in funzione di x.