METODI 2 2005-2006
1
MODELLO DI GOODWIN
Tesina di:
Ermanno
Pietro
Silvia
Longagnani
Dallari
Cossu
Metodi matematici 2 2005-2006
Professore: Gianni Ricci
2
La vita
Richard Murphey Goodwin - Newcastle (Indiana, USA) - nasce
nel 1913 da una famiglia benestante, successivamente colpita
dalla crisi del '29. È proprio l'esperienza della crisi a spingerlo
ad iscriversi, nell'anno successivo, all'Università di Harvard,
dove studia scienze politiche e partecipa attivamente alla vita
di facoltà. Laureatosi con lode con una tesi di critica marxista,
dal 1934 al 1937, continua gli studi a Oxford, dove, anche
grazie alla vicinanza a Sir Roy Harrod, discepolo di Keynes,
approfondisce i temi della dinamica economica. In questo
periodo viaggia in Germania e in Italia, partecipa attivamente
alle attività a sostegno della Repubblica spagnola e s'iscrive al
Partito comunista inglese. Nel frattempo frequenta la Ruskin
Art School, facendo così maturare i due grandi interessi della
3
sua vita: pittura ed economia.
Nel 1937 sposa Jacqueline Wynmalen, di famiglia angloolandese, in Inghilterra per motivi di studio. Nel 1938, rientra ad
Harvard, dove, allievo di grandi maestri come Leontief e
Schumpeter, consegue il Master in economia. Con "Studies in
Money. England and Wales, 1919 to 1938", consegue il
dottorato, concludendo il lavoro di ricerca iniziato ad Oxford. Dal
1941 al 1945 insegna fisica e matematica applicata e consolida
l'interesse per la formalizzazione della dinamica, che si realizza grazie anche all'incontro con il fisico francese Le Corbeiller nella riformulazione rigorosa della teoria del ciclo economico.
Frattanto il suo rapporto di amicizia con Joseph A. Schumpeter
si consolida. Il suo corso di teoria del ciclo economico è
frequentato dallo stesso Schumpeter e da Haberler, mentre in
tempi diversi sono suoi studenti Solow, Chenery e Ellsberg. 4
Alla morte di Schumpeter viene allontanato da Harvard per
motivi politici e, nell'anno accademico 1950-'51, accetta l'invito
di Richard Stone trasferendosi in Inghilterra al Department of
Applied Economics dell'Università di Cambridge, dove rimane
fino al 1980. Dal 1955 collabora con il governo indiano in
materia di programmazione economica; proprio in India incontra
il biologo Haldane che indirizza i suoi interessi verso le teorie
biologiche delle popolazioni; da qui il famoso studio sul ciclo
della crescita, presentato al congresso mondiale della
Econometric Society a Roma nel 1964.
5
Gli anni di Cambridge trascorrono tra insegnamento (molti i suoi
studenti italiani) e ricerca, in particolar modo con la
partecipazione al secret seminar iniziato da Keynes e
continuato da N. Kaldor e J. Robinson. Contemporaneamente si
dedica alla pittura, caratterizzata da uno stile astratto e
cromatico la cui evoluzione riflette le fasi della vita e gli stimoli
dei suoi numerosi viaggi.
6
Nel novembre 1980 diventa professore ordinario di Economia
Politica alla Facoltà di Scienze Economiche e Bancarie
dell'Università di Siena. Qui conosce una stagione intellettuale
tra le più fruttuose e ripensa i grandi temi della sua ricerca,
attribuendo alla teoria della complessità un ruolo sempre più
rilevante. Dipinge alternativamente in una bella casa nel Chianti
- vivace cenacolo di pensiero e discussione - ed in un ritiro
indiano offerto da un mecenate, amico sin dai tempi di Oxford.
Un contrappunto di ispirazioni che si riflette nei contrasti
cromatici e nella scelta dei materiali: rigorosamente canvas
ottenuti da tessuti riciclati.
7
Professore emerito nel 1983, continua a partecipare
attivamente alla didattica all'interno dei corsi del Dottorato di
Ricerca in Economia politica. Tiene il suo ultimo ciclo di lezioni
di dinamica economica nella primavera del 1995.
Muore a Siena il 6 agosto 1996, generosamente ricordando la
Facoltà con un lascito e donando ad essa i dipinti che ora
l'adornano. È sepolto nel piccolo cimitero di San Giovanni di
Pianella, vicino alla casa degli ultimi anni della sua vita.
tratto da Università degli Studi di Siena,
Facoltà di Economia “Richard M. Goodwin”
8
Il modello
Goodwin sviluppò il suo modello di conflitto sociale nel 1967.
Esso prevede l’interazione di due attori principali - capitalisti e
lavoratori – e può essere riassunto nel modo seguente.
Un elevato tasso di occupazione genera inflazione nei salari, ciò
aumenta il valore del monte salari pagato ai lavoratori in
rapporto al prodotto totale dell’economia. Conseguentemente si
riduce la quota di profitti per i capitalisti, la loro capacità di
investimento e il prodotto futuro che sarà realizzato. Questo
provocherà una diminuzione della domanda di lavoro, rallenterà
la crescita dei salari o addirittura ne provocherà la contrazione.
9
Si osserverà, quindi, una diminuzione della quota del prodotto
nazionale destinata ai lavoratori e, in modo speculare, una
ripresa dei profitti e degli investimenti. Ciò stimolerà la domanda
di lavoro, aumenterà il potere contrattuale della classe operaia
che potrà beneficiare di aumenti salariali. Al che il modello
ricomincia in modo ciclico lungo il percorso appena delineato.
Due sono i contributi teorici fondamentali per la costruzione del
modello di Goodwin:
1. la curva di Phillips
2. l’approccio ciclico nella generazione del profitto di Kalecki.
10
1. La curva di Phillips
La curva di Phillips fu proposta per la prima volta nel 1958
dall’economista inglese A. W. H. Phillips. Questi, in uno
studio sull’andamento dei redditi inglesi osservati tra il 1861
e il 1957, individuò una relazione negativa tra il tasso di
variazione dei salari nominali e il tasso di disoccupazione:
ovvero, i salari aumentavano tanto più rapidamente quanto
più basso era il tasso di disoccupazione.
11
u  Tasso di disoccupazione
W Tasso di variazione salari

W
12
La spiegazione data all’epoca dall’economista fu che per bassi
livelli di disoccupazione si ha un eccesso di domanda di lavoro
da parte dei capitalisti, dunque le imprese entrano in
concorrenza ed offrono salari più elevati per attrarre mano
d’opera scarsa. Viceversa, per alti livelli di disoccupazione si ha
un eccesso di offerta di lavoro e la concorrenza tra lavoratori ha
l’effetto di tenere basso il salario.
Ciò spiega la pendenza negativa della curva di Phillips. Da
notare che nel punto A il tasso di variazione dei salari è nullo e il
tasso di disoccupazione è quello naturale.
All’epoca la curva di Phillips fu accolta come uno strumento
efficace e robusto, anche di fronte a questioni rilevanti come
l’osservazione di un persistente aumento dei salari nel lungo
13
periodo.
Secondo la più accreditata spiegazione, quella di Lipsey, la
logica di ciò, a livello individuale, era che l’eccesso di domanda
in una singola industria generasse inflazione dei salari per
attrarre lavoratori da altre industrie. Non appena il gap fosse
stato colmato, il sistema sarebbe tornato in equilibrio. Tuttavia, a
livello aggregato, l’economia non ha un pool di lavoratori
disponibili che possano essere inseriti secondo necessità – a
meno di non considerare coloro che volontariamente non sono
occupati. Dunque, l’eccesso di domanda persiste a livello
aggregato e non è eliminato dal meccanismo di variazione dei
salari. Al che, è legittimo chiedersi perché i salari continuino ad
aumentare se è chiaro che non possono annullare l’eccesso di
domanda.
14
La risposta si fonda sulla prospettiva individuale della singola
impresa, che ha convenienza ad aumentare i salari per cercare di
sottrarre manodopera agli altri operatori economici.
Successivamente, autori come Samuelson e Solow affermarono
che la curva di Phillips poteva essere usata per rappresentare il
legame tra inflazione e disoccupazione, essendo i prezzi fissati
dalle imprese strettamente legati ai salari da queste pagati.
Furono Friedman e Phelps a mettere in luce come questa
relazione fosse valida solo nel breve periodo mentre nel lungo le
aspettative razionali degli attori economici ne minano la solidità.
15
E’ tuttavia indubbio che tra le ipotesi del modello di Goodwin, di
poco successivo alla prima formulazione della curva di Phillips,
vi sia anche una relazione inversa tra l’andamento dei salari e
quello della disoccupazione.
Goodwin in realtà non considerò propriamente la curva di
Phillips, ma una retta che collegava i salari all’ occupazione
16
S
= variazione che i
lavoratori chiedono come
incremento salariale
+1
0
{
S0
S
17
2. L’approccio ciclico nel processo
di generazione del profitto di
Michal Kalecki
Economista polacco, Kalecki nel 1935 presenta la prima
formulazione di un modello ciclico di generazione del profitto e di
allocazione degli investimenti, oggi riconosciuto come
anticipatore di concetti più tardi sviluppati nel corpus
macroeconomico keynesiano.
18
Secondo Kalecki, nelle decisioni di investimento un ruolo
fondamentale è riservato al profitto: i capitalisti fanno profitti
tramite lo svolgimento della loro attività economica e li
reinvestono: quanto maggiori sono i profitti realizzati, tanto più
alto sarà il valore degli investimenti futuri.
Siano:
D( t )
Decisione di investimento al tempo t
I (t )
Capitale effettivamente installato al tempo t

Arco di tempo intercorrente tra la decisione di
investimento e la sua effettiva realizzazione
19
Dunque, il capitale effettivamente installato in un dato momento t
deriva dalla decisione di investimento presa al tempo t-θ
I (t )  D(t  )
Il valore dei beni capitali non ancora consegnati in un dato
momento t equivale al valore delle decisioni di investimento che
sono state formulate nel periodo t-θ. Poiché l’intervallo di tempo
è continuo si può scrivere
t
W(t ) 
D
(t )
dt
t
Dove W(t) è il valore dei beni capitali non consegnati.
20
Il valore medio dei beni di investimento per unità di tempo
equivale al rapporto
A(t ) 
W( t )


1
 A(t )    D(t ) dt 
 t 

t
t


1
 A(t )    I (t  ) dt 
 t 

21
Poiché l’investimento può essere letto come variazione dello
stock di capitale rispetto al tempo
I (t  ) 
dK (t  )
dt
è possibile riformulare il valore medio dei beni capitali come
A( t ) 

K

1
 A( t ) 

t
( t  ) t 

K

1
( t  )
 K (t )

22
Secondo quest’ultima formulazione, A(t) rappresenta la spesa
per investimenti al tempo t.
Per ciò che concerne il reddito, Kalecki sosteneva che questo
potesse essere scomposto in profitti destinati ai capitalisti e
salari. Inoltre ipotizzava che i capitalisti reinvestissero tutto il
profitto e che i lavoratori consumassero l’intero loro reddito. In
simboli
P( t )  sY( t )
P( t )
s
Y( t )
profitti
quota di reddito destinata ai capitalisti
reddito totale
23
Richiamando che Kalecki condivideva l’idea secondo cui la
decisione di investire è positivamente correlata ai profitti, come
già ricordato, ma negativamente legata allo stock di capitale, è
possibile rappresentare la funzione di decisione di investimento
come

D(t )   sY(t ) , K (t )

dove Φ(., .) è una funzione lineare così rappresentata
D(t )  sY(t )  K (t )
 ,  0
24
L’equilibrio del mercato richiede che in un qualsiasi momento t il
prodotto totale eguagli la somma di ciò che è consumato e
investito, ovvero
Y(t )  C(t )  A(t )




1
 Y(t )  1  s Y(t )    K (t  )  K (t )
 
1
 Y(t )  Y(t )  sY(t )    K (t  )  K (t )
 
 1 
 Y(t )    K (t  )  K (t )
 s 


25
Inserendo quest’ultima espressione nella funzione di decisione di
investimento si ottiene

D(t )  K (t  )  K ( t )  K ( t )

 
 
 D( t )    K ( t  )    K ( t )  K (t )
 
 
 


 D( t )    K ( t  )      K (t )
 


26
Richiamando che
D(t )  I (t  ) 
dK (t  )
dt
e riportando il tutto indietro di θ periodi si ottiene:
 


   K (t )      K (t  )
dt
 


dK (t )
Questa equazione sintetizza il modello di Kalecki. La sua
soluzione è possibile sia nella forma lineare sopra riportata sia in
quella non lineare. Tuttavia, per i nostri scopi, altri sono gli
aspetti su cui soffermarsi.
27
Si ricordi che:

 1 
Y( t )    K ( t  )  K (t )
 s 

Il prodotto totale del sistema economico può quindi essere visto
come una funzione della variazione dello stock di capitale nel
tempo
 dK (t ) 

Y(t )  f 
 dt 
Sappiamo inoltre che
D(t ) 
dK (t  )
dt
 D(t  ) 
dK (t )
dt
28
Normalizzando θ, il prodotto totale al tempo t può essere riscritto
come funzione positiva delle decisioni di investimento formulate
nel periodo precedente.
Y(t )  f D(t 1) 
Questa funzione è centrale nello sviluppo del modello ciclico di
generazione del reddito e di allocazione delle decisioni di
investimento.
29
Si immagini di disporre di uno stock iniziale di capitale K1. Dato
un livello iniziale di produzione Y1, si ottiene un profitto P1=sY1.
Questi elementi, lo stock di capitale e il profitto, entrano nella
funzione di decisione di investimento al tempo t=1,
D1=Φ(sY1,K1). Nell’ipotesi, erronea, che il capitale non si
consumi ma rimanga costante nel tempo, la funzione di
decisione di investimento rimarrebbe inalterata: graficamente,
all’aumentare del prodotto totale ci si sposterebbe comunque
sempre sulla stessa curva di decisione di investimento.
30
D(t)
Y(t)=fD(t-1)
D(t)=Φ(sY(t),K1)
D1
31
Y1
Y2
Y
Tuttavia il capitale non rimane costante nel tempo: è ragionevole
immaginare che per un Y1 sufficientemente piccolo, il capitale
diminuisca poiché non vi è un livello di investimento adeguato
per rimpiazzare il capitale consumato nel processo. La
contrazione del capitale da K1 a K2 provoca una traslazione
verso l’alto della funzione di decisione di investimento – che è
negativamente correlata alla dotazione di capitale.
Questo fenomeno si ripeterà fin tanto che l’incremento nella
dotazione di capitale sarà inferiore alla sua velocità di consumo:
quando questi valori si eguaglieranno, il ciclo sopra esposto si
invertirà, cioè si rivedranno al ribasso le decisioni di investimento
o, addirittura, si procederà a destrutturazioni.
32
In un primo tempo la realizzazione di decisioni di investimento
adottate nei periodi precedenti farà si che l’accumulazione di
capitale continui ad eccedere il suo deprezzamento.
Successivamente, al venire meno di commesse precedenti, la
creazione di nuovo capitale sarà insufficiente per compensare il
deprezzamento di quello esistente, lo stock di capitale
incomincerà a diminuire e la funzione di decisione di
investimento a salire nuovamente.
33
D(t)
Y(t)=fD(t-1)
D3
D2
D1
34
Y1
Y2
Y3
Y
Variabili del modello di
Goodwin
Q = reddito totale aggregato o prodotto totale aggregato
N = popolazione (offerta forza lavoro)
L = occupazione
a = Q/L = produttività media del lavoro
w = tasso salario reale
k = Q/K = rapporto reddito capitale
s = percentuale di profitti risparmiati
S = Entità degli incrementi salariali richiesti dai lavoratori in sede
di contrattazione sindacale
35
L
u( t ) 
N
wL
v( t ) 
Q
Tasso di occupazione
Quota del reddito nazionale destinata ai
lavoratori sotto forma di stipendi
1  v(t )
Remunerazione del capitale investito dai
capitalisti
s (1  v(t ) )
Quota dei profitti reinvestiti dai capitalisti.
Nell’ipotesi di Goodwin s è pari a 1
36
Ipotesi del modello di
Goodwin
N (t )  N e
nt La forza lavoro cresce a tassi costanti. Da

0
ciò segue che
a(t )  a0e
N
n
N
mt Produttività media del lavoro. Anche in questo caso si
assume un saggio di variazione costante. Quindi

a
m
a
Q
k
K
Rapporto reddito-capitale. Si presume sia costante ed
esogenamente determinato.
Si assume quindi che siano costanti tutti i parametri e che siano
variabili solo u e v.
37
Alla luce di quanto detto è possibile sviluppare alcune trasformazioni
u( t )
L
LQ
LQ L
Q




N
NQ
NQ L
Na
v( t )
wL
wL L
w
w




Q
Q L
Q L
a
Considerando i logaritmi di queste espressioni e derivandoli, si
ottiene:
38
Q
 ln
Na
 ln Q  ln Na
ln u( t )
ln u( t )
ln u( t )  ln Q  ln a  ln N 
ln u   ln Q  ln a  ln N 
'
'
(t )
u'
Q'  a'
N' 






u
Q  a
N 



u
Q


 m  n 
u
Q
39
ln v( t )
ln v( t )
w
 ln
a
 ln w  ln a
ln v 
'
(t )
 ln w  ln a 
'
'
'
'
v
w
a



v
w
a


v
w


m
v
w


 u  Q  n  m 
u
Q


v
w
 
m
w
v
40
Concentriamoci sul saggio di variazione del reddito e dei salari. Il
primo può essere interpretato come variazione del profitti investiti dato
un certo stock di capitale. Ovvero:

 1  v( t )
Q
 s
 k
Q





Il secondo può essere fatto dipendere dal potere contrattuale dei
lavoratori, approssimato dal tasso di disoccupazione

w
 S0  S 1  u 
w
41
Fatte queste precisazioni è possibile scrivere il modello di
Goodwin:

1  v( t ) 

u
  s
  m  n 

u
 k 

v
  S 0  S 1  u   m
v
42
Equazioni di Lotka
Volterra
Rispetto al modello di Goodwin sono necessarie alcune
trasformazioni delle variabili considerate.
u'
1 v 
  n  m 
  s
u
 k 
 '
 v  S  S 1  u   m
0
 v
u=v;
m=α
 v'
1 u 
  n  m 
  s
v
 k 
 '
 u  S  S 1  v   m
0
 u
v=u
S=ρ
n=β
So=γ
s=1
43
 '  1
 1 
v         u v
 k 

 k
 '
u        v u
pongo
1
      a1
k
1
 b1
k
    a2
  b2
44
'

v
 a1  b1u v

 '

u  a 2  b2 v u
Queste sono le equazioni di Lotka-Volterra, sviluppate nel corso degli
anni Venti separatamente da Lotka e da Volterra nell’ambito di studi di
biologia matematica (scenario preda-predatore).
La teoria qualitativa o topologica delle equazioni differenziali studia
le proprietà della soluzione di una equazione - o di un sistema –
differenziale senza la conoscenza della soluzione stessa e senza
cercarla attraverso metodi quantitativi
a1 ,a2 ,b1,b2 sono costanti > 0.
Vengono considerati solo valori positivi di y1,y2
45
 dy1
 dt  a1  b1 y2  y1

 dy2  a  b y  y
2
2 1
2
 dt
a2
a2
 dy1 a2
 dt y  a1 y1 y  b1 y1 y

1
1
1

 dy2 a1   a y a1  b y y a1
2 2
2 1 2
 dt y2
y2
y2
46
dy1 a2 dy2 a1

 a2b1 y2  a1b2 y1
dt y1
dt y2
d ln y1
d ln y2
a2
 a1
 a2b1 y2  a1b2 y1
dt
dt
Si moltiplica la prima equazione per b1 e la seconda per
Successivamente si sommano membro a membro.
 d ln y1
b2
 b2 a1 y1  b1b2 y2 y1


dt

b d ln y2  b a y  b b y y
1
1 2 2
1 2 1 2

dt

d ln y1
d ln y2
b2
 b1
 a1b2 y1  a2b1 y2
dt
dt
b2 .
47
Alla luce dei risultati precedenti possiamo scrivere:
d ln y1
d ln y2
dy1
dy2
 a2
 a1
 b2
 b1
0
dt
dt
dt
dt
Questa equazione è integrabile e fornisce l’integrale univoco
b2 y1  b1 y2  a2 ln y1  a1 ln y2  A
Dove A è una costante arbitraria.
48
Lo stesso risultato può ottenersi con l’uso della procedura per le curve
integrali.
Si elimina δt dal sistema

dy2
a2  b2 y1  y2

a1  b1 y2  y1
dy1
 a1  b1 y2  y1dy2  a2  b2 y1  y2 dy1  0
Si separano le variabili dividendo per

1
1 2


1
2 1
y1 y2

 a y  b1 dy2  a y  b2 dy1  0
49
Si sviluppa l’integrale
  a1 y21  b1 dy2   a2 y11  b2 dy1  A
 a1 ln y2  b1 y2  a2 ln y1  b2 y1  A
e
b2 y1
e
b1 y 2
 a2
1
y
y
 a1
2
e
A
poniamo
eA  B
y1 a2 e b2 y1  B y2a1 e b1 y2






X 1  y1  X 1
X 1  BX 2
X 2  y 2  X 2
50
Le caratteristiche sono così determinate e ad ogni caratteristica
corrisponde un valore di B.
Si studia la forma della funzione X
1
( y1 )
X1
a2
b2
Y1
51

dX 1
a2 
 a2 1 b2 y1
 a2 b2 y1
 a2 y1
e
 b2 y1 e
 X 1  b2  
dy1
y1 

dX 1
a2
 0  y1 
dy1
b2
dX 1
0
dy1
per
a2
y1 
b2
dX 1
0
dy1
per
a2
0  y1 
b2
d 2 X1
 0 per
2
dy1
y0
52
X2
Si studia la forma della funzione
X 2  y2 
a1
b1
Y2
53
 a1

dX 2
a1 1 b1 y2
a1 b1 y2
 a1 y2 e
 b1 y2 e
 X 2   b1 
dy2
 y2

dX 2
0
dy2
dX 2
0
dy2
dX 2
0
dy2
per
a1
y2 
b1
per
a1
0  y2 
b1
per
a1
y2 
b1
54
X1  y1   BX 2  y2 
Y2
X 2  y2 
y22 
G
1
a1
b1

A2 

F
OK
y21


p’’
C
2
X2
p
4

p’

y11
D
0
3


y12
a2
b2
y1

E
55
X1  BX 2
X1
X1  y1 
Nel II e IV quadrante sono rappresentati
Nel III quadrante è rappresentato X1
X 2  y2  e X1  y1  .
 BX 2
B  tan  .
Si considera un punto qualsiasi P0 sul segmento OK,
compreso tra P’ e P’’ e si individuano D, E, F, G ed 1, 2, 3, 4 nel I
quadrante.
A ciascun valore di B corrisponde una caratteristica.
Lo stato di equilibrio è la caratteristica che coincide con il punto
C detto centro  a2 , a1  .


b
b
 2 1
56
Il senso di rotazione è antiorario: si considera il punto 2
a1

a1  b1 y2  0
 y2  b

1
  dy1

 dy1  0  dt  0
 dt
a2

a2  b2 y1  0
 y1  b

2
  dy2

 dy2  0  dt  0
 dt
y1 diminuisce
y 2 diminuisce
57
Al movimento del punto lungo la caratteristica corrisponde una
oscillazione di y1  y11, y12  e
y2  y22 , y21  .
 
Dati le condizioni iniziali B risulta determinata la pendenza
della retta OK e la corrispondente curva caratteristica.
Un disturbo cambia la curva caratteristica, ma conserva la
periodicità senza fine.
Il sistema è conservativo e non lineare.
58
Tuttavia il modello di Goodwin così come è stato rappresentato in
precedenza è non lineare. Si rendono quindi opportune alcune
modifiche
Si immagini un sistema economico con una data dotazione di capitale K.
Questo capitale, una volta impiegato, genera un reddito Q dal quale,
sottratto il monte salari wL destinato ai lavoratori, rimane la
remunerazione del capitale, (1-v). La quota s che viene reinvestita
contribuirà alla generazione di nuovo capitale. Quindi è valida
l’uguaglianza:

K  s1  v 
Richiamando che
Q
k 
K
59
Si possono sviluppare i seguenti passaggi
ln k '

 ln Q  ln K 
'


k
Q
K


k
Q
K
Posto il primo membro uguale a zero, si ricava che


Q
K

Q
K
E cioè che

Q s 1  v 

Q
K
60
1-v
1
v
-lnv
Se lo si rappresenta graficamente, il segmento (1-v) è approssimato
61
dal logaritmo  ln v
Considerazioni speculari valgono per il segmento (1-u).
Da questo si evince che il modello può essere riscritto come:
s

'
ln u(t )   k  ln v   m  n

ln v '  S  S  ln u   m
0
 (t )
62
Posto
x1   ln u
x2   ln v
s



x


x

m

n
1
2

k

 
 x2  Sx1  S 0  m 
63
Modello Goodwin-Ricci
s
x1   x2  (m  n)
k
x2  Sx1  ( S 0  m)
Modello
Goodwin-Ricci
Questo è un sistema di equazioni differenziali non omogeneo,
lineare e che quindi può essere risolto. Sappiamo che sistemi di
questo tipo hanno una soluzione data dalla combinazione lineare
della soluzione generale del sistema omogeneo associato y(t), con
una soluzione particolare del sistema non omogeneo z(t).
64
soluzione del sistema omogeneo
associato y(t)
In forma matriciale:
 x1   0 s k   x1   (m  n)
 x   S 0    x    (S  m) 
  2  0
 2 

Troviamo gli autovalori calcolando il
0  
det 
 S
det( A  I )  0
 s k

0

0
S
s k
0

65
L’equazione caratteristica è
Gli autovalori sono
Sappiamo che
1, 2
s
   S  0
k
2
s
   S
k

sono immaginari puri
1  i Possiamo quindi scrivere:
s
s
 (1) S    1 S
k
k
 1, 2  i
Gli autovalori sono:
s
S
k
66
Calcoliamo gli autovettori associati per
( A  1I )  0

s
Si

k


S

1 Risolviamo il sistema:
s 

    0 
k  1 
   
s   2  0

S i
k 
det( A  1I )  0
r ( A  1I )  2
Inoltre r ( A  1I )  0 perché non è una matrice nulla. Allora,
Per costruzione fatta:
la soluzione del sistema equivale a quella di una delle sue equazioni
67
Prendiamo la seconda:
s
S i 2  0  1 
k
S1 
S

Se
2  1
S
s
k  i   
2
1
s
S
k i 
2
S
s
k  i
2
S
Si ottiene una delle possibili soluzioni del sistema dato:

(1)
y1 (t )  


s k 
 i  e
S

1

s
Sit
k
68
Calcoliamo gli autovettori associati per
2
risolvendo il sistema:
( A  2 I )  0
 s
Si

 k

 S
s 

    0 
k  1 
  0
s

S i  2   
k

Per costruzione fatta: det( A  2 I )  0
r ( A  2 I )  2
Inoltre r ( A  2 I )  0 perché non è una matrice nulla. Allora,
la soluzione del sistema equivale a quella di una delle sue equazioni
69
Prendiamo la seconda:
s
S i 2  0  1  
k
S1 
S

Se
2  1
S
s
k  i    
2
1
s
S
k
i 2
S
s
k  i
2
S
Si ottiene una delle possibili soluzioni del sistema dato:

( 2)


y2 (t ) 


s k  
 i  e
S

1

s
Sit
k
70
Questi due autovettori non sono reali, per costruire l’integrale
generale del sistema di equazioni dato è necessario introdurre un
metodo per passare da una espressione non reale ad una reale.
Supponiamo di aver trovato due autovalori della matrice A del tipo:
1     i
2     i
 0
sk
 
S
In corrispondenza dei due autovalori si trovano gli autovettori:

(1)
 (a  bi) 2
 ( 2)  (a  bi) 2
1  (bi ) 2
ao
 2  (bi ) 2
71
Le corrispondenti soluzioni del sistema di equazioni differenziali saranno:
(1) 1t
y (t )   e
(1)
Ovvero:
( 2 ) 2t
y (t )   e
( 2)
y (t )  (bi )e
(1)
(  i ) t
y (t )  (bi)e
( 2)
(  i ) t
Consideriamo solo la prima delle due espressioni e ricordando la
formula di De Moivre:
eiz  cos z  i sin z
z  t
72
Possiamo scrivere:
y (1) (t )  (bi)et  (cos t  i sin t ) 
 (b sin t )et  (cos t )et  i
Abbiamo ottenuto una espressione che è formata da un
coefficiente reale per un numero immaginario, se poniamo:
y (1) (t )  (b sin t )et
y ( 2) (t )  (b cos t )et
73
Si può dimostrare che queste sono soluzioni reali e linearmente
indipendenti del sistema omogeneo associato
x  A  x
riprendendo il modello di Goodwin abbiamo:
1     i  
s k
i
S
2     i  
s k
i
S
74
Possiamo scrivere le due soluzioni reali:
0t
sappiamo che t
e  e 1




s
k


s
k
 0 

(1)
0
t
sin t  1
y     cos t   S  sin t e  
S




 1

0
cos t






y ( 2)




s
k
 s k

 0 

0
t
   sin t   S  cos t e   S cos t  1




1

sin t


 0 


75
Soluzione particolare del
sistema non omogeneo z(t)
Se guardiamo alla struttura della matrice dei coefficienti
possiamo vedere che essa ha la diagonale principale
composta da soli zeri. Questa caratteristica è molto
importante, perché se ora annulliamo le derivate prime di
x1 e x2 , che significa rendere uguale a zero le variazioni
delle variabili x1 e x2, troviamo quella situazione in cui al
variare del tempo le due componenti x1 e x2 rimangono
ferme allo stesso valore(soluzione stazionaria).
In particolare se:
 x1   0 s k   x1   (m  n)
 x   S 0    x    (S  m) 
  2  0
 2 

Si trovano i punti critici del sistema
1  0
x
2  0
x
76
Nel nostro caso l’unico punto critico avrà queste coordinate:
S0  m
S
k ( m  n)
x2 
s
x1 
(1)
(2)
Ora essendo x1=-ln u e x2=-lnv, cambiando i segni e passando
agli esponenziali ambo i membri troviamo che:
u  e  x1
ve
 x2
77
Sostituendo a x1 e x2 la (1) e la (2) troviamo che:
ue
ve
 S0  m
S
k (mn)
s
Il punto che ha queste coordinate è un punto che si trova dentro
l’area del rettangolo definito dalle rette u=1 e v=1
78
Tale punto critico è anche
v
detto centro e se
1
ve

k m n 
s
.
.
l’economia parte da questo
punto il sistema non si
t=0
sposta dall’orbita chiusa
disegnata. Questo significa
G
che l’economia ha un ciclo
economico
0
ue

S0  m
S
1
u
79
Adesso possiamo calcolare l’integrale generale:


 sk
 u
sk
 

sin
t
cos
t




y (t )  c1
 c2
 
S
S



 v 
 cos t

 sin t 
 0. 8

0
.
8
 
Posta la condizione iniziale x(t  0)  
e sapendo che sin0=0 e cos0=1

0.8
0

y (0)  

c

c
1
2

1

0
.
8


 

s k
S
0
u  0.56
v  0.6

  u 

 
v
 

80


0.8  0  c2 s k  u 
0.8  c   
S   v 
   1
 
0


s k
0 .8 
c2  u
S
c1  (0.8  v)
ue
ve
 S0  m
S
k (mn)
s
(0.8  u )
c2  
s k
S
81
Ricordando che sin0=0 e cos0=1, l’integrale generale è:

y (0)  (0.8  v )  


s k
sin
S
cos t


t   ( 0. 8  u ) 

s k 


S

s k
cos t 
S

sin t



s k
 (0.8  u ) 1  La soluzione trovata con la
  (0.8  v)
S


sin t  condizione iniziale è unica cioè
y (t )  
(0.8  v) cos t  (0.8  u )

s k

 rappresenta un solo vettore.
S


82
Alcune considerazioni:
Riprendendo la formulazione del modello di Goodwin:
s
x1   x2  (m  n)
k
x2  Sx1  ( S0  m)
m,n, s, S0 e k sono delle costanti e con s ed S che sono rispettivamente la
propensione marginale al risparmio dei capitalisti e gli incrementi salariali
richiesti dai lavoratori, variabili, che a differenza del modello originario in cui
erano state fissate arbitrariamente, possono essere utilizzate dalle autorità
decisionali per guidare il modello nel raggiungimento di certi obiettivi.
83
Inoltre abbiamo visto che annullando le derivate di x1 e x2
si determinano le coordinate del punto critico che è
un centro posizionato nel quadrato 0-1 del piano (u,v) con una
posizione che dipende dai valori assegnati ai parametri che
intervengono nel modello.
ue
ve
 S0  m
S
k (mn)
s
Con m,n, S0 e S costanti, il sistema dinamico sarebbe
costituito da due equazioni differenziali lineari in x1 e x2 di
cui abbiamo trovato la soluzione che ha il seguente
andamento.
84
U(0) e v(0) sono le
u, v
coordinate del
punto di partenza e
che hanno
u (0)
andamenti
oscillanti, costanti e
v (0)
anticicliche l’una
0
t
rispetto all’altra
85
Noi sappiamo che:
x1=- ln u
x2= -ln v
Quindi parlare di x1 e x2 o di u e v è qualitativamente la stessa
cosa, anche se è più semplice parlare di u e di v dato che queste
variabili hanno un certo significato economico (u= tasso di
occupazione; v= quota del reddito nazionale dei salariati).
Abbiamo visto che risolvendo il sistema e trovando le espressioni
per x1 e x2 si applica questa trasformazione in modo da esprimere
86
la soluzione in termini di u e v.
Se si rappresentano u e v su un piano, si ottiene un
punto, G, detto centro stazionario.
v
v=1
G

u=1
u
87
Non bisogna tuttavia trascurare che u e v sono variabili espresse
in funzione del tempo t. Poiché l’andamento della soluzione
precedentemente trovata per u e v è oscillante, costante e
anticiclica, se si rappresentano sul piano i valori di u e v al variare
del tempo si ottiene una curva, detta “curva integrale o di livello”.
v
v=1
curva integrale
P

G

u=1
u
88
Le curve integrali rappresentano orbite chiuse lungo le quali si muove il
sistema economico, senza possibilità che lo stesso si sposti da
un’orbita all’altra. Goodwin ipotizzava cioè un andamento ciclico
stazionario del sistema economico, in cui le leve che guidano
l’economia sono i profitti e l’occupazione.
Si consideri la seguente esemplificazione. Si immagini di partire dal
punto P, in cui la maggior parte del reddito nazionale è assorbita dai
lavoratori e l’occupazione è elevata. Lo sviluppo logico secondo
Goodwin è una contrazione dell’occupazione – dovuta ad una
insufficiente remunerazione del capitale – e un speculare incremento
dei profitti. Conseguentemente, i capitalisti torneranno a investire per
ampliare la dotazione di capitale consentendo al contempo una ripresa
dell’occupazione a fonte della quale crescerà la quota di salari
destinata ai lavoratori fino a quando l’economia tornerà nella posizione
89
iniziale P. Il sistema economico si è quindi mosso in senso orario lungo
la stessa curva integrale.
Una implicazione teorica rilevante è che, alla luce di una tale
impostazione, il conflitto di classe appare ineliminabile.
Si noti, inoltre, che quanto detto è paragonabile a un modello “predapredatore” dove l’occupazione è preda: se questa sparisce, la quota di
reddito destinata ai salari - il predatore - non ha ragione di esistere, cioè
muore. Viceversa se il predatore scompare, l’occupazione cresce
illimitatamente.
Rispetto a queste conclusioni sembra tuttavia ragionevole chiedersi se
non sia possibile stabilizzare l’andamento delle variabili u e v su valori
medi per entrambe. Questo esito pare anzitutto preferibile per gli attori
stessi, rispetto ad una situazione di continua ciclicità, ossia alternanza
di situazioni vantaggiose e svantaggiose per gli uni o per gli altri;
nonché più verosimile, in quanto sarebbero abbandonate le ipotesi di
90
permanenza sulla stessa curva integrale e di dipendenza del sistema
economico dalla situazione iniziale dello stesso
Per fare questo, si è scelto di trasformare s (saggio di profitti
reinvestiti nel sistema) e S (entità degli aumenti salariali) in
variabili, mentre fino ad ora, è bene ricordarlo, sono stati
considerati parametri dati. In altre parole, si ipotizza che i
capitalisti possano intervenire sul sistema economico stabilendo
quanta parte dei profitti reinvestire mentre l’entità degli incrementi
salariali rappresenta la variabile strumentale dei lavoratori.
In simboli, indicando con 1 i lavoratori, con 2 i capitalisti e con u
le variabili strumentali
u1  S
u2  s
91
v
v=1
G’’

G

G’

u=1
Appare tuttavia chiaro che
capitalisti e lavoratori non
sono d’accordo
sull’equilibrio finale del
sistema economico. I
primi avranno interesse a
che si collochi in
prossimità di G’, dove i
profitti sono massimizzati
e l’occupazione
contenuta. Viceversa, i
lavoratori propendono per
G’’
u
92
Si delinea, quindi, l’opportunità di procedere nello sviluppo del
modello servendosi degli strumenti messi a disposizione dalla
teoria dei giochi.
Capitalisti e lavoratori – considerati secondo la dottrina marxista
come due gruppi distinti, omogenei, ciascuno con un proprio
profilo – rappresentano i giocatori.
Ovviamente, alla luce di quanto affermato nella slide precedente,
il gioco si configura come non cooperativo.
E’ possibile costruire le funzioni obiettivo – o funzioni delle
perdite – dei due giocatori, basate sulla distanza tra la
posizione di G che si ottiene dall’andamento del sistema
dinamico e quella desiderata dal giocatore, più il peso che
questi attribuisce allo stato finale:
93
T




 dt  F x  




 dt  F x  
2
1
1
1
J1   x1 u1  u1  x2 u 2  u 2
20
T
2
1
2
2
J 2   x1 u 1u1  x2 u 2  u 2
20
1
2
2
1
T
2
2
T
1
1
u ,u
valori di s e S desiderati dai lavoratori
u 22 , u12
valori di s e S desiderati dai capitalisti
F1 , F2
importanza che 1° e 2° giocatore attribuiscono allo
94
stato finale
La dinamica del sistema è rappresentata da
s

 x1   k x2  m  n 


 x2  Sx1  S 0  m 
Ora, però, s e S non sono più parametri ma variabili, quindi
u1

 x1   k x2  m  n 


 x2  u1 x1  S 0  m 
le condizioni iniziali,
note:
x1 0   x10
x2 0   x20
95
In questo modo il modello di Goodwin può essere sviluppato
come un gioco non cooperativo in cui ciascun giocatore
cerca di minimizzare la sua funzione delle perdite.
Si definiscono le Hamiltoniane dei due giocatori:








2 1
2
1 1
 1
1
1  u2
H1  x1 u1  u1  x2 u2  u2  p1  x2  m  n   p2 u1 x1  S0  m 
2
2
 k

2 1
2
1 2

2
2  u2
H 2  x1 u1  u1  x2 u2  u2  p1  x2  m  n   p22 u1 x1  S0  m 
2
2
 k

96
Come stabilito dal principio del minimo di Pontryagin si deriva
l’Hamiltoniana di ciascun giocatore rispetto alla sua variabile strategica
e la si eguaglia a zero:


dH 1
 0   x1 u11  u1  p12 x1  0
du1


dH 2
x2 
2
2
 0   x2 u 2  u 2  p1  
0
du 2
k 

Ora si ricavano i valori delle variabili di controllo ottimo:
u1  u11  p1
2
u

2
u
2
2
1

p12
k
97
Per stabilire se si tratta di punti di massimo o di minimo si calcola la
derivata seconda delle Hamiltoniane rispetto alle variabili strategiche:
dH12
 x1
2
du1
dH 22
 x2
2
du2
Poiché in entrambi casi si tratta di valori positivi, se ne deduce che i
valori trovati per le variabili di controllo ottimo sono punti di minimo.
Procedendo nello sviluppo del principio del minimo di
Pontryagin si scrive l’equazione canonica Hamiltoniana come:
98
 1
dH1
p1  


dx1
dH1

p1  
 
dx
 p1   dH1
 2
dx2


 p1   1 u1  u 2  p1u 
1
1
2 1
 1
2




2
1 1
1
1 u2 
 p2   u2  u2  p1 

k 
2
2
 1
1 1
1
p


u

u

p
1
1
2u1
 1
2
 
 p1   1 u 1  u 2  p1 u 2
2
2
1
 2
2
k








99
 2
dH 2  2
2
1 2
2 
p


p1   u1  u1   p2 u1 
1



dx1
dH 2 

2

p2  
 
 
dx
 p 2   dH 2  p 2   1 u 2  u 2  p 2 u2 
2
2
2
1
 2

dx2
k 
2

2
 2
1 2
2


p


u

u

p
1
1
2 u1
 1
2
 
 p 2   1 u 2  u 2  p 2 u2
2
2
1
 2
2
k
100


dH1
u2
x1 
 x1   x2  m  n 
dp1
k


dH 2
x2 
 x 2  u1 x1  S 0  m 
dp2
101
Per ottenere informazioni più dettagliate circa le strategie dei
giocatori nel tempo, si immagini di portare il tempo a più infinito.
Così facendo si ottiene un unico extremal steady state (ESS),
che è soluzione stazionaria dell’equazione canonica
Hamiltoniana.
Per fare questo è necessario dapprima riorganizzare le variabili
aggiuntive sostituendo in ciascuna espressione i valori delle
variabili di controllo ottimale. Successivamente, si pongono
uguali a zero le derivate della variabili aggiuntive e di quelle di
stato e si ricavano le corrispondenti strategie di controllo
ottimale.
102

1


1 1 1
1 2
p1   u1  u1  p2  p12 u11  p12
2
1 1 2
1 1
1 2
  p2  p2u1  p2
2
 1

 p12  p12  u11  p12 
 2

p12
1
1
1
 p2  
 p2  u1 
 2

 

 
 
 p12
1
 p   u1 
2

1 1 2
 p2  u11 p12
2
1
2
 
103

 2


1 2 2
2
p1   u1  2u12u1  u1   p22u1
2
2
1
1
2
  u12  u12u1  u1   p22u1
2
2
 1

1

 u12   u12  u1   u1  u1  p22 
 2

2

 


1 1
 1 2

1
1
1
1 1 1
 u   u1  u1  p2   u1  p2  u1  p2  p22 
2
 2

2

2
2
2
1
1
1

  u12  u12u11  u12 p12   u11  u11 p12  u11 p22  p12  p12 p22 
2
2
2

2
2
2
1
1
1
  u12  u12u11  u11  u12 p12  u11 p12  u11 p22  p12 p22  p12
2
2
2
2
2
1
1
  u11  u12  p12 u11  u12  p12  u11 p22  p12 p22
2
2
2
1
 
 
 

 


 
 
  
104

1


1 12
1
2
u2  2u12u2  u2   p11u2
2
k
1 2
1
1
2
  u12  u12u2  u2   p11u2
2
2
k
1 
 1

1
 u12   u12  u2   u2  u2  p11 
k 
 2

2
p2  
 
1  
1  1
1
1 
 1
 u12   u12  u22  p12    u22  p12  u22  p12  p11 
k  
k  2
2k
k 
 2
2
2
1 2
1
1
1
1
1
1
1

  u12  u12u22  u12 p12   u22  u22 p12  u22 p11  u22 p12  2 p12  2 p11 p12 
2
k
2k
k
2k
2k
k
2

2
2
1 2
1
1
1
1
1
1
  u12  u12u22  u22  u12 p12  u22 p12  2 p12  u22 p11  2 p12 p11
2
2
k
k
2k
k
k
105
1 1 22 1 2 2 1
1 22 1 2 1 1 2 1
  u2  u2  p1 u2  u2  2 p1  u2 p1  2 p1 p1
2
k
2k
k
k
 
 
 

 
 


 

 
2
1 2
1 2
1 2
2
2 1 2
p 2    u 2  u 2  p1   p1  u 2  p1 
2
k
k
k


 2
2
 
1 1 2
1 2
2 1 2
    p1   p1 u 2  2 p1
2 k
k
k

1 2 1 2
1 2
2
 p1 
p1  u 2  p1 
k  2k
k 
1 2 1 2

 p1 
p1  u 22 
k  2k

1
1 2 2
2 2
 2 p1  u 2 p1
2k
k
 
2
106
Alla luce della definizione di extremal steady state, ovvero di punto di
equilibrio stazionario per le variabili di stato e aggiuntive, si pongono
uguali a zero le derivate rispetto al tempo.
 
1 1 2
1 1
0  p2  u1 p2
2
1 1
1
1
0  p2  p2  u1 
2

1
p2  0
 
1
1 2 2
2 2
0  2 p1  u2 p1
2k
k
1 2
2 1
2
0  p1  2 p1  u2 
k 
 2k
2
p1  0
107



  



  
1 1 2 2
1 1 2 1 2
1 1
2
0   u1  u1  p2 u1  u1  p2  u1 p2  p12 p22
2
2
1 1 2 2
1 1 2
1 1
2
2 1
1
0   u1  u1  p2 u1  u1  p2  p2 u1  p2
2
2
1 1 22
1 1 2
2 1
1
1 1
2
p2 u1  p2   u1  u1  p2 u1  u1  p2
2
2
1
Dato p2  0 si ha






  

1 1
2 2 1
p   u1  u1
1
2
u1
2
2


108
1 2 1 2 1 2 2 1
1
1 2 1 1 2 1
2 2
0   u2  u2   p1 u2  u2   2  p1   u2 p1  p1 p1
2
k
2k
k
k
1 2 1 2 1 2 2 1
1
1 1 2
2 2
0   u2  u2   p1 u2  u2   2  p1   p1 u2  p12 
2
k
2k
k
1 1 2
1 2 1 2 1 2 2 1
1
2
2 2
p1 u2  p1    u2  u2   p1 u2  u2   2  p1 
k
2
k
2k
Dato
p12  0
si ottiene


k 2 1 2 1
p  u2  u2
2
2
u2
1
1
109
u2
0   x2  m  n 
k
u2
x2  m  n 
k
k m  n 
x2 
2
u2
0  u1 x1  S 0  m 
S0  m
x1 
u1
110
Le corrispondenti strategie di controllo ottimo sono quindi

1
1
1

1
1
1
u u  p
u u
1
2
1 2
u  u  p1
k

2
u2  u2

2
2
2
Si nota che la strategia di ciascun giocatore coincide con lo stato
di equilibrio desiderato: infatti richiamando quanto detto in
precedenza,u11 rappresenta il valore di S desiderato dai
lavoratori e u 22 il valore di s desiderato dai capitalisti.
111
Le coordinate del punto di equilibrio con t che tende a infinito, G 
sono così determinate in parte dai lavoratori e in parte dai
capitalisti, ciascuno dei quali interviene sulla variabile sotto il suo
controllo – rispettivamente S e s – in modo tale da essere
parzialmente soddisfatto dell’equilibrio ottenuto.
v

G’’
G’

G


112
u
Si può dimostrare che l’equilibrio ottenuto in G* non è globalmente e
asintoticamente stabile: risulta quindi razionale che il sistema si porti in
G*, ma le fluttuazioni dello stesso non saranno annullate, bensì
continueranno in un intorno di G*.
Infatti il sistema ottenuto sostituendo le strategie ottime alle variabili
strategiche dei due giocatori è lineare e la traccia della matrice dei
coefficienti è nulla. La dinamica del sistema, anche riformulato con
le strategie ottime, conserva quindi le caratteristiche del modello
originale: oscillante, costante e anticiclica. La lotta tra classi non
sarà dunque eliminata, ma continuerà in un intorno di G*.

1 2
x1   u2 x2  m  n 
k

x 2  u11 x1  S 0  m 
113