La scomposizione in fattori di un
polinomio. Le frazioni algebriche.
Che cosa significa scomporre un
polinomio?
Scomporre in fattori un polinomio
significa determinare opportuni
polinomi, diversi da 1, che,
moltiplicati tra loro, diano come
prodotto il polinomio stesso.
La scomposizione di un polinomio in
fattori è un’operazione del tutto
simile alla scomposizione in fattori
di un numero naturale. Osserva le
analogie.
Scomporre in fattori un numero
significa scriverlo come prodotto di
altri numeri.
Per esempio:
15 = 5 * 3
Scomporre in fattori un polinomio
significa scriverlo come prodotto di
polinomi aventi grado inferiore.
Per esempio:
X2 – 1 = (x – 1 )(x + 1)
fattori
5 * 3 è una scomposizione in fattori di 15
fattori
(x – 1 )(x + 1) è una scomposizione in
fattori di X2 – 1
Polinomi riducibili e polinomi irriducibili.
Un polinomio in una o più variabili è riducibile
quando può essere scomposto nel prodotto di
polinomi, tutti di grado minore.
Un polinomio non riducibile si dice irriducibile.
Teorema fondamentale
dell’aritmetica.
Ogni numero naturale maggiore di
1 o è primo, oppure può scriversi
in un unico modo come prodotto
di numeri primi
( a meno dell’ordine dei fattori).
Teorema di scomposizione
per i polinomi.
Ogni polinomio a coefficiente in Q
(o in R) o è irriducibile oppure può
scriversi in un unico modo
prodotto di fattori irriducibili
(a meno dell’ordine dei fattori o di
fattori numerici).
I metodi per la scomposizione dei polinomi .
(Purtroppo non esiste un metodo generale per ottenere
la scomposizione di un polinomio riducibile ma studiamo
quelli più comuni). I metodi sono:
•
•
•
•
Raccogliere a fattore comune;
Raccogliere parzialmente;
Individuare i prodotti notevoli;
Riconoscere particolari trinomi di
secondo grado;
• Individuare la somma o la differenza di
un binomio con lo stesso esponente
naturale.
• Utilizzare la regola di Ruffini.
Il raccoglimento totale.
Per moltiplicare un monomio per un polinomio,
applichiamo la proprietà distributiva e moltiplichiamo
il monomio per ciascun termine del polinomio.
Se tutti i termini di un polinomio hanno un fattore in
comune, possiamo scomporre il polinomio applicando
la proprietà distributiva “al contrario”. Quando si
applica questo procedimento, detto raccoglimento
totale, si dice che il fattore comune è stato raccolto
o messo in evidenza.
Esempio :
Moltiplicazione
2x(3x+1)=
=2x*3x+2x*1=
6x2+2x
Scomposizione
6x2+2x=
=2x*3x+2x*1=
=2x(3x+1)
Una tecnica base per scomporre un
polinomio è quella di raccogliere il
massimo comune divisore fra i termini del
polinomio ed utilizzando la proprietà
distributiva della moltiplicazione rispetto
all’addizione lo mettiamo in evidenza.
Per mettere in evidenza il M.C.D. procediamo
in questo modo:
- lo portiamo fuori dalla parentesi;
- dividiamo per esso ogni monomio
dell’espressione, ottenendo così una nuova
espressione in parentesi.
Scomponiamo in fattori i seguenti polinomi
effettuando dei raccoglimenti totali .
• 18x2y+12x =
=6x(3xy+2)
•
Il M.C.D. (18x2y ; 12x)è 6x ora
mettiamo il M.C.D. in evidenza e
lo dividiamo per ogni termine del
polinomio .
• 20x4+30x2y3-40x3y=
=10x2(2x2 +3y3 -4xy)
•
Il M.C.D.(20x4;30x2y3 - 40x3y)è
10x2 ora mettiamo il M.C.D. in
evidenza e lo dividiamo per ogni
termine del polinomio .
• 4ab-4a-8ab3=
=4a(b–1–2b3)
•
Il M.C.D.(4ab ;- 4a ; - 8ab3)è 4a
ora mettiamo il M.C.D. in
evidenza e lo dividiamo per ogni
termine del polinomio .
Negli esempi precedenti abbiamo raccolto
fra i termini del polinomio originario, un
monomio; a volte può capitare di raccogliere
anche un polinomio. Come per esempio:
• x(2a-3b)-4y(2a-3b)=
(2a-3b)(x-4y)
• I due termini del polinomio
hanno in comune il fattore
(2a-3b) raccogliendo (2a-3b)
• 15xy2(4a-3b)-20xz3(4a-3b)=
5x(4a-3b)(3y2-4z3)
• I due termini del polinomio
hanno in comune il fattore
5x(4a-3b) raccogliendolo
Mettere in evidenza per parti.
Consideriamo ora il polinomio :
ax+ay+2x+2y=
Non c’è un divisore (diverso dall’unità) comune a tutti i suoi termini,
quindi non è possibile effettuare un raccoglimento totale. Possiamo,
però, osservare che i primi due termini hanno in comune il fattore a
e gli ultimi due hanno in comune il fattore 2.
Possiamo quindi operare un raccoglimento tra i primi due termini e
tra gli ultimi due:
a(x+y)+2(x+y)=
Questi raccoglimenti non essendo stati effettuati fra tutti i
termini del polinomio ma solo fra alcuni, vengono chiamati
raccoglimenti parziali .
Nel polinomio ottenuto, tra i due termini c’è ancora un fattore in
comune (x+y) quindi dobbiamo effettuare un raccoglimento
totale :
(x+y)(a+b)
Attenzione!
• Non ci sono regole precise per
scegliere fra quali termini eseguire
i raccoglimenti parziali ma bisogna
sempre tener presente l’obiettivo
finale:i raccoglimenti parziali vanno
effettuati in modo da consentire,
successivamente, un raccoglimento
totale.
Scomponiamo i seguenti polinomi:
• x2-xy+5x-5y=
= x(x-y)+5(x-y)=
= (x-y)(x+5)
• x2-2x-x+2=
= x(x-2)-1(x-2)=
= (x-2)(x-1)
•
I primi due termini hanno in
comune il fattore x e gli ultimi
due il fattore 5
•
Dopo aver fatto i raccoglimenti
parziali è necessario il
raccoglimento totale del fattore
(x-y)
•
I primi due termini hanno in
comune il fattore x e gli ultimi
due sembrerebbe che a priva
vista non abbiano in comune nulla
se noi raccogliamo il fattore -1
possiamo fare il raccoglimento
totale del fattore (x-2)
Scomponiamo il polinomio:
xa+ya+xb+yb+za+zb
Come tentativo di scomposizione viene naturale eseguire i seguenti
raccoglimenti tra il primo e il secondo termine mettere in
comune il fattore a; tra il terzo e il quarto termine il fattore b e
tra il quinto e sesto termine il fattore z
a(x+y)+b(x+y)+z(a+b)
Ma a questo punto , però, non possiamo proseguire nella
scomposizione per aver un raccoglimento totale perché i termini
del polinomio non hanno fattori in comune quindi dobbiamo
cambiare la messa in evidenza parziale:
xa+ya+xb+yb+za+zb=
x(a+b)+y(a+b)+z(a+b)=
(a+b)(x+y+z)
Fine
Realizzato da Loredana Ettorre
Con la collaborazione tecnica di Elisa De Giorgio