Pasquale Catone
Sezione AIF Caserta
Deviazione minima prodotta da un prisma
Premessa
In questa comunicazione mi soffermo sulle virtù del metodo delle due circonferenze
per interpretare la rifrazione della luce ed applico questo procedimento per spiegare, in
modo didattico e geometrico, il difficile argomento della deviazione luminosa minima
fornita da un prisma, sulla base della costanza della somma degli angoli di rifrazione ed
incidenza entro il poliedro.
Il lavoro è una rielaborazione di alcune mie proposte contenute nella tesina del corso
di perfezionamento in didattica della fisica (1997/98), di un contributo fornito alla sezione scaffali del sito http://scienzapertutti.lnf.infn.it/
(2004) e di successive ricerche didattiche personali.
Rifrazione con due circonferenze
Dati gli indici di rifrazione n, ed n; di due mezzi trasparenti a contatto e l'angolo di incidenza a1 di un raggio luminoso, si può calcolare sen al, ricavare sen az con la legge di
Snell, determinare az con la funzione arcoseno. Questo procedimento trigonometrico
non è proponibile nel biennio della scuola media superiore; in sostituzione si può applicare un metodo grafico immediato (fig. 1): si costruiscono due circonferenze concentriche
e complanari di raggi n, ed nz, il raggio incidente OB di lunghezza n, e formante l'angolo al con la normale alla superficie di separazione dei due mezzi, la parallela per Balla
suddetta normale fino ad incontrare la circonferenza di raggio n, nel punto M. Il raggio
rifratto è dato dal prolungamento
di OM e l'angolo di rifrazione az si può misurare col
goniometro. Quando gli studenti affronteranno lo studio della trigonometria, potranno
velocemente constatare che il procedimento delineato traduce graficamente la legge di
Snell. Infatti, dai due triangoli rettangoli OAB e OAM si ha OA = n, sen al = nzsen az. Tutte le conseguenze teoriche della legge di Snell si estraggono graficamente e pertanto ci si
può sbizzarrire in una varietà di situazioni modificando l'angolo d'incidenza o rifrazione,
andando dal minore al maggiore indice o inversamente, transitando da un indice (una
M
2
Figura 1.
Figura 2.
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La Fisica nella Scuola, XLVI, 1 Supplemento,
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Figura 3.
circonferenza) a più indici (più circonferenze) come nella rifrazione di una sovrapposìzio ne di colori dal vuoto al vetro, passando da un mezzo più rifrangente ad uno con minore indice fino alla posizione dell'angolo limite rilevabile a sua volta col goniometro
(fig.2).
Verifica grafica della legge di Snell
Scaturisce anche l'interessante possibilità di verificare la legge di Snell per via completamente grafica, senza essere costretti a calcolare i seni dell'angolo di incidenza e rifrazione e a controllare la loro proporzionalità. A tal uopo si parte da una circonferenza arbitraria (fig.3), si associano alle coppie sperimentali (al! a2) i punti M, si verifica che tali
punti, entro gli errori di misura, sono situati su una circonferenza. Tramite i raggi delle
due circonferenze si determina il rapporto degli indici: n2/n1 = OQ/OP. Per rendere più
snello il disegno, si possono sopprimere i segmenti OM lasciando soltanto le spezzate
OEM. Si può tener conto delle incertezze di misura di al e a2, riportandole attorno a OE
e OM dal vertice O e completando la costruzione in modo da espandere il punto M in un
piccolo quadrilatero per cui dovrà passare la seconda circonferenza, il cui raggio perciò
può variare tra un minimo e un massimo. Questi due estremi consentono il calcolo della media e dell'errore del rapporto degli indici.
Deviazione luminosa causata dal prisma
Con tali premesse geometriche si è ottenuta un'interpretazione
della deviazione
minima di un raggio luminoso provocata da
un prisma ottico, per esempio di vetro immerso in aria. Se il raggio nel prisma non subisce la riflessione totale, emergerà dal solido con un angolo di deviazione rispetto al
raggio incidente (fig.4). Le formule note del
prisma sono: ()= il + iz - a r tI + r2 = a, dove
il! r1 rappresentano
gli angoli formati dal
raggio luminoso (nell'aria e nel solido) con
la normale al prisma nella prima rifrazione e
Figura 4.
LI Congresso Nazionale AIF, Napoli, 2012
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Figura 5.
iz, Tz individuano gli stessi angoli nella seconda rifrazione; a è l'angolo di apertura del prisma. Al crescere di il, per la prima rifrazione, aumenta anche TI e, poiché TI +'z = a, diminuisce 'z; per la seconda rifrazione consegue il decremento di iz. Dal momento che l'aumento di il induce una decrescita di iz, non si può stabilire facilmente l'andamento di o.
Nell'ultimo paragrafo è riportata una dimostrazione tradizionale del comportamento
di
o. Essa copre i concetti fisici con i molti calcoli e risulta inadeguata per la maggioranza
degli studenti.
Proprietà geometrica
utile
Prima di procedere con la spiegazione semplificata della deviazione minima, si mostra
che il segmento AB (fig.5), perpendicolare all'interfaccia dei due mezzi e con gli estremi
sulle due circonferenze, aumenta quando si allontana dalla normale, come appare chiaro
dal disegno. Se ZV è il diametro per A della circonferenza esterna, per il teorema delle due
secanti si ha: AB x AU = AZ x AV. Poiché AZ e AV sono costanti, risulta che AB e AU sono
inversamente proporzionali, da cui discende l'asserto per l'evidente diminuzione di AU.
Deviazione minima
Si riportano con vertice in O e alla destra della normale OD gli angoli relativi alla prima rifrazione (fig.6) in modo che i punti d'intersezione A e B dei raggi incidente e rifratto con la circonferenza interna (minore indice) ed esterna (maggiore indice) abbiano la
stessa proiezione sulla superficie di separazione. La medesima costruzione viene ripetuta
per la seconda rifrazione rappresentando la alla sinistra di OD. L'angolo BOF, essendo
TI + 'z, è uguale all'angolo costante a di apertura del prisma e dunque la corda FB deve rimanere costante. Nel contempo la corda minima EA deve sottendere il minimo angolo,
essendo questo minore di 180°, a cui è associata la deviazione minima AOE = il + iz = ir•
Tale condizione si raggiunge in posizione di simmetria degli angoli rispetto alla normale
(parte sinistra fig.7). La misura di Omin e a permette il calcolo di i ed r (didascalia fig.7).
Se il > i (parte destra fig.7), si ha BA > EF perché BA è a distanza maggiore di EF dalla normale. Quindi il segmento ES, uguale e parallelo a FB, intercetta BA. Poiché EA nel triangolo ESA si oppone ad un angolo ottuso, deriva che EA > ES = E'A'; questo risultato si ottiene anche per il < i. Allora la corda minima e dunque la deviazione minima si verificano nella situazione simmetrica di fig. 7.
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AOC=il
BOD=r
l
COE=i2
DOF=r2
AOE=il +i2 =tBOF=r l +r2 =a
FB = costante
0= iT-a
Figura 6.
~ >i
(oppure z <i)
::::>
EA>E'A'
::::>
i1=i2=i;
°min=2i-a::::>i=(°min+a)/2
I)=r2=r;
2r=a;
O>0rrJn
::::>r=a/2
Figura 7.
Comportamento monotono della deviazione prima e dopo il minimo
Oltre al risultato sul minimo assoluto si può dimostrare che <5è monotona per il > i e il
< i nell'ambito dei valori di il permessi. Infatti incrementando il! il lato SA = BA - EF aumenta per la crescenza di BA e la decrescenza di EF. In aggiunta, si amplia anche l'angolo
ottuso ESA perché F si innalza e B si abbassa. Se ESA e GHK
sono i triangoli che si formano per l'angolo il ed un angolo
E~S
più elevato (fig.8), si ha ES = GH, HK > SA, lÌ> S. Per HT = SA,
si ricava GK > GT perché GK si oppone ad un angolo ottuso.
Poi i triangoli ESA e GHT hanno due lati uguali che racchiudono angoli diversi. Ma essendo H> S, si deduce che GT >
EA e quindi GK > EA, da cui si stabilisce la stretta crescenza
di <5per il > i. Con un discorso analogo si può ottenere la
stretta decrescenza di <5per il < i. Questo comportamento
è
un'altra conferma dell'esistenza del minimo di <5per il = i. Figura 8.
G~i
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Misura dell'indice di rifrazione del prisma
L'angolo di deviazione minima viene solitamente misurato con uno spettro metro e
utilizzato per determinare l'indice di rifrazione del prisma. In un approccio didattico, si
può inviare un raggio laser ortogonalmente
allo spigolo del prisma posto al centro di un
goniometro girevole (fig.9), aumentare l'angolo d'incidenza ruotando il goniometro fino
ad osservare la deviazione minima, segnare su una parete gli spot del laser relativi alla deviazione minima e alla rimozione del prisma, misurare i lati del triangolo avente come
vertici gli spot e il centro del goniometro, riportare il triangolo in scala su un foglio, misurare con un goniometro Dmin sul suddetto foglio. L'angolo di apertura a del prisma viene stimato a volte con metodi ottici, ma qui può essere misurato con un goniometro.
Questi due dati consentono la misura indiretta, mediante le formule della fig. 7, degli angoli di incidenza e rifrazione corrispondenti alla deviazione minima, che riportati sul piano carte siano, in modo da formare la stessa proiezione sulla superficie di separazione,
conducono al rapporto degli indici di rifrazione nz / n, = OM/OB (fig. lO), da cui discende nz approssimando all'unità l'indice n, dell'aria.
M
B
o
Figura 9.
Figura 10.
Dimostrazione
tradizionale della deviazione minima
(l-sen' r,)(l-sen' i,) < (l-sen' i,)(l-sell' 'i)
,
,
seni! = n2 sen1j;
n1
(1-nl; sen' iJ(l- sen' il) < (l-sen' i,)(l- n~sen' i,)
senr2 = ~seni2
~
n',!
~
2
cos., di, = ", cos'i
nl
d'l; COS" d"
= ~COSi, di,;
n2
dr;
di = n, cosr, dr. = _ n, cosr, dr ='_ cosr, cosi, di
z n, cosi,'
Il, cosi,'
cosr, cos q '
do
sen-I,(l-,)
seni,
21'
nl
n2
nl2
2.
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n2
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~
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il
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r2 < rl
r
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il
»i
= 1- cosr, cosi, > O
di,
cos/, cos'i
cosz, cosr, < cosr, cos'i
cos'
= -d'i
'l.
"COS' i, < cos' i, cos' 'i
(o
crescente)
(o
decrescente)
)
il = i
(6
minimo)