5.80. URTO DI UN MANUBRIO ??
5.80. Urto di un manubrio ??
m1
v0
ℓ1
P
ℓ2
v0
m2
Figura 5.66.: Il manubrio considerato nell’esercizio e il perno P contro il quale urta.
Il manubrio in Figura 5.66 è costituito da due masse puntiformi m1 e m2 , unite da una
barra di lunghezza ` = `1 + `2 di massa trascurabile. Inizialmente si muove traslando
rigidamente con velocità v0 , urta quindi un perno P posto a una distanza `1 dalla massa
superiore, e vi rimane attaccato, libero però di ruotare. Calcolare la velocità angolare
finale del manubrio e l’energia dissipata nell’urto.
Soluzione
Vale la conservazione del momento angolare ~L rispetto al perno, dato che le uniche forze
esterne sono applicate in esso al manubrio, e quindi hanno braccio nullo. Consideriamo in particolare la componente di ~L normale al piano in cui si muove il manubrio.
Inizialmente questa vale
− m1 v0 `1 + m2 v0 `2
(5.80.1)
ed alla fine
m1 ω `21 + m2 ω `22
(5.80.2)
dove ω è la velocità angolare finale. Equagliando queste due espressioni si ottiene
ω=
( m2 `2 − m1 `1 ) v0
.
m1 `21 + m2 `22
(5.80.3)
Quindi il manubrio ruoterà in senso antiorario se m2 `2 > m1 `1 , in senso orario se
m2 `2 < m1 `1 e non ruoterà affatto se m1 `1 = m2 `2 . Queste alternative corrispondono ad
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versione del 13 marzo 2015
5.80. URTO DI UN MANUBRIO ??
un urto del perno sopra, sotto o in corrispondenza del centro di massa del manubrio.
L’energia dissipata si calcola come differenza tra energia cinetica iniziale e finale:
∆E =
1
1
1
(m1 + m2 ) v20 − m1 `21 ω 2 − m2 `22 ω 2
2
2
2
(5.80.4)
ossia,
1
1 ( m2 `2 − m1 `1 )2 2
v
(m1 + m2 ) v20 −
2
2 m1 `21 + m2 `22 0
1 (m1 + m2 ) m1 `21 + m2 `22 − (m2 `2 − m1 `1 )2 2
=
v0
2
m1 `21 + m2 `22
∆E =
ed infine
∆E =
1 m1 m2 (`1 + `2 )2 2
v .
2 m1 `21 + m2 `22 0
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(5.80.5)
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