Probabilità e Vincite (Perdite) medie al Lotto
Giuseppe Sanfilippo
1
Lotto
Le giocate Ambo, Terna, Quaterna e Cinquina, sono da intendersi ’secche’. Si
ha
Num. di palline presenti nell’urna
N = 90
Num. di estrazioni (senza restituzione)
n=5
Num. di palline bianche
pN = 
totale numeri giocati
2, Ambo;



3, Terno;
X=Num. di successi
h=
4, Quaterna;



5, Cinquina.
1.1
Ambo
Supponiamo di giocare i numeri {a1 , a2 }, con a1 6= a2 e a1 , a2 ∈ {1, 2, . . . , 90}.
Si ha successo alla i-esima estrazione se si verifica l’evento Ei =’l’i-esimo numero
estratto appartiene a {a1 , a2 }’, i = 1, 2, 3, 4, 5. Il numero aleatorio X= numero
di successi su n = 5 estrazioni senza restituzione, cioè
X = |E1 | + |E2 | + |E3 | + |E4 | + |E5 |,
ha una distribuzione ipergeometrica di parametri (N = 90, n = 5, p =
X ∼ H(N = 90, n = 5, p =
2
90 ).
Cioè
2
)
90
con
P (X = h) =
pN
h
N −pN
n−h
N
n
, h = 0, 1, 2
(1)
Si “ottiene un ambo secco” se si verifica l’evento (X = 2). La probabilità
cercata è quindi data dalla seguente formula
2 88
2
1
2
3 =
P (X = 2) =
=
90
801
400.5
5
1
In altro modo, utilizzando la formula
N −n pN
h
P (X = h) =
equivalente alla (1) si ha
85 5·4
5
P (X = 2) =
2
2−2
90
2
2 ·1
90·89
2
5
2
90
2
=
=
pN −h
N
pN
, h = 0, 1, 2
C5,2
D5,2
5·4
1
25
=
=
=
'
C90,2
D90,2
90 · 89
400.5
1000
La quota di vincita per un ambo secco corrisposta dall’ente che gestisce il
gioco del lotto è pari a qa = 250 (non vengono considerate le tasse sottratte
successivamente alla vincita).
Se indichiamo con r la somma giocata e con V la vincita aleatoria, si ha
qa · r, se (X = 2)
V = qa · r · |X = 2| =
0,
se (X 6= 2)
Il valore atteso di V è
E(V ) = qa · r · P (X = 2) = r ·
250
'= 0.625.
400.5
Il guadagno aleatorio G è la differenza tra la vincita aleatoria V e l’importo
giocato r, cioè
G = V − r = r[qa · |X = 2| − 1],
ovvero
G=
qa · r − r,
−r,
se (X = 2)
se (X =
6 2)
Il valore atteso di G è
E(G) = r[qa · P (X = 2) − 1]
Un gioco si dice EQUO quando il valore atteso del guadagno aleatorio è nullo.
Osserviamo che nel caso in questione il gioco non è equo. Infatti
E(G) ' −0.376 · r .
Vale a dire che giocando 1 euro su un ambo secco (r = 1) si perdono mediamente
37.6 centesimi di euro. (Il banco guadagna mediamente 37.6 centesimi per ogni
euro giocato)
Esercizio. Cosa succede relativamente nel caso in cui si verifica ambo giocando tre numeri?
2
1.2
Terno
Supponiamo di giocare tre numeri {a1 , a2 , a3 } diversi fra loro, con a1 , a2 , a3 ∈
{1, 2, . . . , 90}. Si ha successo alla i-esima estrazione se si verifica l’evento Ei =’l’iesimo numero estratto appartiene a {a1 , a2 , a3 }’, i = 1, 2, 3, 4, 5. Il numero
aleatorio X= numero di successi su n = 5 estrazioni senza restituzione, cioè
X = |E1 | + |E2 | + |E3 | + |E4 | + |E5 |,
ha una distribuzione ipergeometrica di parametri (N = 90, n = 5, p =
3
90 ).
Cioè
3
)
90
Pertanto, la probabilità di fare un terno giocando tre numeri è
87
3 87
1
2
3
2
= 90 =
P (X = 3) =
90
11748
5
5
X ∼ H(N = 90, n = 5, p =
La quota di vincita è qt = 4500. Pertanto, giocando un importo r > 0 il valore
atteso di G è
4500
E(G) = r[qt · P (X = 3) − 1] =
r − r ' −0.617r .
11748
Osserviamo che nel caso in questione il gioco non è equo. Giocando 1 euro su
un Terno secco (r = 1) si perdono mediamente 61.7 centesimi di euro.
1.3
Quaterna
Supponiamo di giocare quattro numeri {a1 , a2 , a3 , a4 } diversi fra loro, con a1 , a2 , a3 , a4 ∈
{1, 2, . . . , 90}. Si ha successo alla i-esima estrazione se si verifica l’evento Ei =’l’iesimo numero estratto appartiene a {a1 , a2 , a3 , a4 }’, i = 1, 2, 3, 4, 5. Il numero
aleatorio X= numero di successi su n = 5 estrazioni senza restituzione, cioè
X = |E1 | + |E2 | + |E3 | + |E4 | + |E5 |,
ha una distribuzione ipergeometrica di parametri (N = 90, n = 5, p =
4
90 ).
Cioè
4
)
90
Pertanto, la probabilità di fare quaterna giocando quattro numeri è
4 86
1
4
1 '
P (X = 4) =
90
511038
5
X ∼ H(N = 90, n = 5, p =
La quota di vincita è qq = 120000. Pertanto, giocando un importo r > 0 il
valore atteso di G è
120000
E(G) = r[qq · P (X = 3) − 1] = r[
− 1] ' −0.765r .
511038
Osserviamo che nel caso in questione il gioco non è equo. Giocando 1 euro su
una Quaterna secca (r = 1) si perdono mediamente 76.5 centesimi di euro.
3
1.4
Cinquina
Supponiamo di giocare cinque numeri {a1 , a2 , a3 , a4 , a5 } diversi fra loro, con
a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ∈ {1, 2, . . . , 90}. Si ha successo alla i-esima estrazione se si
verifica l’evento Ei =’l’i-esimo numero estratto appartiene a {a1 , a2 , a3 , a4 , a5 }’,
i = 1, 2, 3, 4, 5. Il numero aleatorio X= numero di successi su n = 5 estrazioni
senza restituzione, cioè
X = |E1 | + |E2 | + |E3 | + |E4 | + |E5 |,
ha una distribuzione ipergeometrica di parametri (N = 90, n = 5, p =
X ∼ H(N = 90, n = 5, p =
5
90 ).
Cioè
5
)
90
Pertanto, la probabilità di fare Cinquina giocando Cinque numeri è
5 85
1
1
5
0 = 90 '=
P (X = 5) =
90
43949268
5
5
La quota di vincita è qc = 6000000. Pertanto, giocando un importo r > 0 il
valore atteso di G è
E(G) = r[qq · P (X = 3) − 1] = r[
6000000
− 1] ' −0.863r .
43949268
Osserviamo che nel caso in questione il gioco non è equo. Giocando 1 euro su
una Cinquina secca (r = 1) si perdono mediamente 86.3 centesimi di euro.
2
Riepilogo
La Tabella seguente mostra una sintesi dei calcoli precedenti per una giocata di
importo pari a 1 euro.
Ambo
Terno
Quaterna
Cinquina
Prob di vincita
1/400.5
1/11748
1/511038
1/43949268
Quota
250
4500
120000
6milioni
Perdita media (in centesimi)
37.6
61.7
76.5
86.3
Table 1: Perdite medie nel gioco del lotto per importi unitari. Quote a partire
dall’anno 2005
N.B. I calcoli sono da ricontrollare.
Dal 2005 le regole del Gioco del Lotto hanno subito le seguenti variazioni:
Aumento dei moltiplicatori di vincita:
4
TERNO, da 4.250 a 4.500 volte la posta
QUATERNA, da 80.000 a 120.000 volte la posta
CINQUINA, da 1.000.000 a 6.000.000 volte la posta.
Esercizio. Calcolare le perdite medie con le quote relative al periodo precedente
l’anno 2005.
5