Corso di Ingegneria Sismica - a.a. 2009/10
dott. ing. Isaia Clemente, dott. ing. Chiara Bedon
4. RISPOSTA SISMICA
DI SISTEMI MDOF
Ottobre 2009 – v. 1.0
- Pag. 4.1 -
Risposta sismica di sistemi MDOF
4.1 Fattore di struttura
Secondo le NTC2008, il fattore di struttura q, che tiene conto le non linearità di materiale, può
essere calcolato tramite la seguente espressione:
q q0 ˜KR,
dove:
q0
valore massimo del fattore di struttura, che dipende dal livello di duttilità
attesa, dalla tipologia strutturale e dal rapporto Du/D1 tra il valore dell’azione
sismica per il quale si verifica la formazione di un numero di cerniere
plastiche tali da rendere la struttura labile e quello per il quale il primo
elemento strutturale raggiunge la plasticizzazione a flessione,
KR
fattore riduttivo, che dipende dalle caratteristiche di regolarità in altezza della
costruzione, pari a:
1
per costruzioni regolari in altezza,
0.8
per costruzioni non regolari in altezza.
- Per le costruzioni regolari in pianta, qualora non si proceda ad un’analisi non lineare
finalizzata alla valutazione del rapporto Du/D1, per esso possono essere adottati i valori
indicati nelle NTC2008 per le diverse tipologie costruttive.
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- Pag. 4.2 -
Risposta sismica di sistemi MDOF
- Per le costruzioni non regolari in pianta, si possono invece adottare valori di Du/D1 pari alla
media tra 1.0 ed i valori di volta in volta forniti per le diverse tipologie costruttive.
La scelta del fattore di struttura deve essere in ogni caso adeguatamente giustificata.
Il fattore di struttura q, in particolare, dipende da:
- tipologia strutturale e sovraresistenza
Quanto più una struttura è costituita da elementi con comportamento duttile (strutture a
telaio) ed è iperstatica (telaio multipiano con più campate e più piani) tanto più avrà risorse
in campo anelastico. La sovraresistenza è espressa dal rapporto tra il moltiplicatore di
collasso e quello di snervamento e può essere calcolata mediante un’analisi statica non
lineare con spostamento crescente con legge monotona.
- classe di duttilità
e quindi maggiore o minore rispetto delle gerarchie delle resistenze nella progettazione.
- regolarità strutturale
L’ipotesi di base del metodo della gerarchia delle resistenze è che la formazione di cerniere
plastiche avvenga quasi contemporaneamente nelle diverse parti della struttura
(plasticizzazione simultanea), in modo da massimizzare la dissipazione di energia e la
duttilità globale e, allo stesso tempo, limitare il rischio di danno concentrato.
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- Pag. 4.3 -
Risposta sismica di sistemi MDOF
Dal punto di vista teorico, esistono diversi criteri mediante i quali è possibile determinare il
valore del fattore di struttura q:
1. criterio di uguaglianza degli spostamenti
Per elevati periodi di vibrazione (T > TC), se si considerano un sistema elasto – plastico ed il
sistema elastico lineare (oscillatore semplice omologo al sistema non lineare) ad esso
corrispondente, assoggettati allo stesso sisma, si osserva che questi presentano all’incirca lo
stesso spostamento massimo G al variare di Fy.
Per la similitudine dei triangoli risulta infatti:
q
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Fe
Fy
u max
uy
P
Î
q
P
- Pag. 4.4 -
Risposta sismica di sistemi MDOF
2. criterio di uguaglianza delle energie (Newmark)
Per piccoli periodi strutturali (TB < T < TC) si osserva che al variare di Fy i due sistemi
omologhi (di uguale rigidezza K, quindi di pari periodo proprio T) presentano uno
spostamento tale che l’energia assorbita sotto forma elastica o elasto – plastica può essere
considerata all’incirca la stessa (uguaglianza delle aree).
Risulta infatti:
1
˜ Fe ˜ u e
2
1 Fe
˜
2 Fy
1
˜ F y ˜ u y F y ˜ u max u y 2
·
u
1 §¨ u max
˜ e
1¸
¸
u y 2 ¨© u y
¹
Fe u e
u max
˜
1 2˜
2
Fy u y
uy
q2
1 2 ˜ P
Î
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q
2 ˜ P 1
- Pag. 4.5 -
Risposta sismica di sistemi MDOF
3. metodo di Newmark – Hall
Osservando che il criterio di uguaglianza degli spostamenti (1) è valido nel caso di periodi
di vibrazione alti, mentre il criterio di uguaglianza delle energie (2) è più attendibile nel
caso di periodi di vibrazione più bassi, hanno proposto:
q
P
q
2 ˜ P 1
q 1
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se T ! 0.5 s
se 0.1 s d T d 0.5 s
se T 0.1 s
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Risposta sismica di sistemi MDOF
Generalizzando quanto visto per il sistema SDOF elasto-plastico, il fattore di struttura q di un
sistema MDOF può essere valutato, con riferimento ad una storia in accelerazione, come
rapporto fra il picco di accelerazione relativo al collasso e quello che determina il
raggiungimento del primo snervamento, attraverso un’analisi dinamica incrementale (IDA):
q
PGAu
PGA y ,
oppure, attraverso un’analisi di pushover sotto una distribuzione di forze statiche equivalenti al
sisma, come:
Du
q
Dy .
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Risposta sismica di sistemi MDOF
4.2 Analisi lineare dinamica
Consideriamo un telaio piano ad n gradi di libertà e supponiamo che questo sia soggetto ad un
moto traslazionale del supporto di assegnata accelerazione ug ug t .
I dati sono K, M, [, Sd(T), con K p
12 ˜ EJ p
h3
e K = 3Kp rigidezza di ciascun piano.
Le matrici di rigidezza K e di massa M del sistema sono diagonali, essendo, nell’ipotesi di
traversi infinitamente rigidi, le masse concentrate a livello di impalcato.
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- Pag. 4.8 -
Risposta sismica di sistemi MDOF
ƒ Sovrapposizione modale
Per eseguire l’analisi modale ed applicare la tecnica di sovrapposizione modale, consideriamo la
seguente trasformazione di coordinate:
n
u
) z
¦)
i 1
(i )
zi ,
dove:
)
è la matrice modale,
è il vettore delle nuove coordinate modali (o normali), le cui
componenti zi esprimono ognuna l’ampiezza dell’i-esimo modo di
vibrare.
z
L’analisi modale richiede infatti, assegnate le matrici K ed M, la risoluzione di un problema agli
autovalori e la determinazione degli n modi di vibrare del telaio, ortonormalizzati rispetto alla
matrice delle masse M. Gli n modi di vibrare vengono quindi raccolti nella matrice modale ),
calcolando le frequenze naturali Zi ad essi associate.
Ipotizzando di trascurare eventuali fenomeni dissipativi, data l’equazione del moto del sistema
lineare:
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Risposta sismica di sistemi MDOF
M u C u K u
M r ug ,
con r >1,1,...,1@ vettore di trascinamento (rappresentativo degli spostamenti statici dovuti ad
una forza unitaria applicata alla base del telaio), lo spettro di progetto non è altro che lo spettro
elastico ridotto mediante il fattore di struttura q (indice delle risorse plastiche del telaio sheartype). Sotto questo sisma ridotto, è necessario verificare che la struttura si mantenga elastica e
non raggiunga la soglia plastica.
T
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Risposta sismica di sistemi MDOF
n
L’equazione del moto, effettuando la trasformazione di coordinate u
) z
¦)
(i )
zi
i 1
e
T
moltiplicando per ) , diventa:
T
T
T
T
) M r ug .
) M ) z ) C ) z ) K ) z
T
Si osserva che per l’ortogonalità dei modi di vibrare rispetto K ed M, le quantità ) M ) e
T
) K ) sono diagonali, mentre C* è diagonale solo nel caso di smorzamento “classico”. Allora:
I z C * z : z
T
) M r ug .
Le equazioni del moto possono quindi essere disaccoppiate ipotizzando che lo smorzamento sia
di tipo classico ed introducendo il vettore * (nx1) dei coefficienti di partecipazione (avente
componenti Ji):
I z C * z : z
* ug ,
Essendo infatti le matrici I, C*, : diagonali, l’i-esima equazione disaccoppiata è del tipo:
zi 2[Z i zi Z i2 z i
J i ug ,
per i = 1, 2,…n.
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- Pag. 4.11 -
Risposta sismica di sistemi MDOF
n
Il coefficiente di partecipazione dell’i-esimo modo di vibrare J i
¦)
j 1
(i)
j
m j indica quindi quanto
l’i-esimo modo partecipa al sisma.
Osservazioni
1. L’i-esima equazione disaccoppiata, per i = 1, 2,…n, rappresenta l’equazione del moto di un
oscillatore semplice con massa unitaria m, coefficiente di smorzamento [, frequenza
naturale Zi, soggetto ad un moto del terreno che non è il moto ug cui è associato lo spettro,
ma ad un moto J i ug . In questo senso è quindi possibile determinare quanto l’i-esimo modo
partecipa al moto del terreno. Lo spettro relativo al moto J i ug è noto, perché è ottenuto
moltiplicando per J i volte lo spettro di progetto.
2. Lo spettro rappresenta un’informazione povera rispetto all’accelerogramma, in quanto
rappresentativo dei soli effetti massimi del sisma su determinati oscillatori semplici. Sulla
base di uno spettro non è infatti possibile ricavare la storia della i-esima coordinata modale
zi(t), ma è possibile conoscerne la massima ampiezza zi,max.
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- Pag. 4.12 -
Risposta sismica di sistemi MDOF
3. A partire dallo spettro J i ug , il massimo spostamento zi, max raggiunto da ciascun oscillatore
semplice può essere determinato entrando nello spettro relativo ad un certo smorzamento [
con il valore della frequenza naturale Zi caratteristica del modo di vibrare i-esimo
considerato (essendo Ti = 2S/Zi). In questo modo è possibile infatti risalire alla pseudoaccelerazione Sd,i(Ti), essendo:
z i , max
J i ˜ S d ,i Ti Z i2
(i )
u max
Î
) i z i , max
)i ˜
J i ˜ S d ,i Ti .
Z i2
4. I massimi spostamenti modali zi, max possono essere valutati per i = 1, 2, , n. Si osserva però
che tali spostamenti non si realizzano nello stesso istante, di conseguenza per l’i-esimo
(i )
modo di vibrare è possibile conoscere solo un vettore u max di massimi spostamenti relativi.
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- Pag. 4.13 -
Risposta sismica di sistemi MDOF
ƒ Effetti dell’azione sismica per ciascun modo di vibrare
(i )
Noti i massimi spostamenti u max , si associa ad essi una distribuzione di forze statiche equivalenti
all’i-esimo modo di vibrare, che applicate al telaio shear-type siano in grado di riprodurre
(i )
(i )
l’effetto massimo u max noto. In particolare, si tratta di determinare le incognite F s tali che:
(i )
Fs
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(i )
K u max ,
- Pag. 4.14 -
Risposta sismica di sistemi MDOF
ovvero:
(i )
Fs
K)
(i )
˜
J i ˜ S d ,i Ti Z i2
Z i2 M ) ( i ) ˜
(i )
Fs
Î
M)
J i ˜ S d ,i Ti Z i2
(i )
M)
(i )
˜ J i ˜ S d ,i Ti ˜ J i ˜ S d ,i Ti ,
essendo:
K)
(i )
Z i2 M ) ( i ) ,
con:
)
(i )
i-esima forma modale,
ordinata dello spettro di progetto corrispondente alla frequenza Zi,
moltiplicata per il coefficiente di partecipazione J i .
J i ˜ S d ,i Ti Essendo inoltre:
(i )
Vb
T
1 M)
(i )
˜ J i ˜ S d ,i Ti J i2 ˜ S d ,i Ti ,
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- Pag. 4.15 -
Risposta sismica di sistemi MDOF
risulta:
(i )
Fs
M)
(i )
˜ J i ˜ S d ,i Ti J i2 ˜ S d ,i Ti ˜
M)
T
(i )
1 M)
(i )
Vb( i ) ˜
M)
(i )
n
¦m )
j
(i )
j
.
j 1
(i )
Si osserva quindi che la distribuzione delle forze statiche equivalenti F s dipende dalla forma
(i )
) di ciascun modo di vibrare.
La tecnica della sovrapposizione modale consente infatti di analizzare staticamente la struttura
(i )
(i )
K u max (con i
soggetta ad un sistema di n distribuzioni di forze statiche equivalenti del tipo F s
= 1, 2,…, n), per ciascuna delle quali possono essere valutati separatamente i massimi effetti in
termini di spostamento e caratteristiche della sollecitazione.
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- Pag. 4.16 -
Risposta sismica di sistemi MDOF
ƒ Combinazione dei massimi effetti relativi ai singoli modi di vibrare (CQC)
Una stima dei massimi effetti di un sisma su una struttura, effettuata a partire dagli massimi
(i )
spostamenti relativi u max associati a ciascun modo di vibrare, consiste nel valutare l’effetto
complessivo E mediante una combinazione quadratica completa (CQC):
E
n
T
n
¦¦U
E UE
i 1 j 1
ij
Ei E j ,
con i, j = 1, 2,…, n.
Lo spostamento massimo del 2° piano del telaio, per esempio, sarà quindi dato da:
n
n
¦¦ U
u 2 ,max
i 1 j 1
ij
)
)
u 2( i,max
u 2( ,jmax
,
con i, j = 1, 2,…, n.
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- Pag. 4.17 -
Risposta sismica di sistemi MDOF
Quanti modi di vibrare è necessario considerare?
Le NTC2008 richiedono che nella stima dei massimi effetti di un sisma si considerino:
- Tutti i modi di vibrare con massa partecipante superiore al 5%,
- Un numero di modi di vibrare necessario a raggiungere una massa partecipante superiore
all’85%:
m
¦J
2
i
i 1
M tot
t 0.85
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(troncamento modale).
- Pag. 4.18 -
Risposta sismica di sistemi MDOF
m
Dimostriamo ora che M tot
¦J
2
i
i 1
.
2
Si pensi a J i come i-esima massa modale. Si consideri inoltre:
n
M tot
¦m
m1 m 2 ... m n
i 1
T
i
1 M1.
Nell’ipotesi che il vettore unitario 1 sia un vettore qualsiasi, per esempio 1 ) z ,
premoltiplicando si ottiene:
T
T
) M1
T
ed essendo ) M )
I
z
Î
T
) M )z ,
T
) M1
*.
z
Î
Allora:
1
)z
Î
1
)* ,
) * M *)
* I*
* *
pertanto:
M tot
T
1 M1
T
T
T
T
n
¦J
i 1
2
i
.
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- Pag. 4.19 -
Risposta sismica di sistemi MDOF
ƒ L’analisi lineare dinamica secondo l’Eurocodice 8
L’Eurocodice 8 propone una Modal Response Spectrum Analysis.
Una prima differenza rispetto a quanto indicato dalle NTC2008 riguarda il troncamento modale.
L’Eurocodice 8 richiede infatti di considerare:
- Tutti i modi di vibrare con massa modale superiore al 5% della massa totale della struttura,
- Un numero di modi di vibrare tale che la somma delle masse modali sia almeno pari al 90%
della massa totale della struttura (85% per le NTC2008).
Per quanto concerne invece la combinazione dei modi di vibrare, l’Eurocodice 8 prevede due
diversi metodi per la stima dei massimi effetti dovuti a ciascun modo di vibrare (analogamente a
quanto prevedeva l’OPCM3274/2003)
ƒ SRSS (Square Root Sum Square, radice quadrata della somma dei quadrati)
Applicabile solo quando i modi di vibrare sono sufficientemente disaccoppiati, ovvero quando
ciascun periodo Tj differisce di almeno il 9% rispetto agli altri ( T j d 0.9 ˜ Ti , se T j d Ti ). La SRSS
consente di stimare l’effetto complessivo di una data azione sismica, a patto che i vari modi di
vibrare non siano troppo ravvicinati.
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- Pag. 4.20 -
Risposta sismica di sistemi MDOF
L’effetto complessivo EE può essere valutato come:
¦E
EE
T
2
Ei
EE EE ,
dove:
EE
EEi
effetto complessivo dell’azione sismica considerato (spostamento,
caratteristica della sollecitazione,…),
valore dell’effetto dell’azione sismica associato all’i-esimo modo di vibrare
(contributo dell’i-esimo modo di vibrare).
ƒ CQC (Complete Quadratic Combination, combinazione quadratica completa)
Da applicare quando i modi di vibrare non sono sufficientemente disaccoppiati. L’effetto
complessivo dell’azione sismica può essere stimato, in tal caso, come:
T
EE UEE .
EE
Si può dimostrare che la matrice di combinazione U, quando i modi di vibrare sono tra loro ben
separati, tende a coincidere con la matrice identità I, pertanto la CQC diventa una SRSS.
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- Pag. 4.21 -
Risposta sismica di sistemi MDOF
4.3 Analisi lineare statica
E’ applicabile se la struttura è regolare in altezza e se T1, ovvero il periodo del modo di vibrare
principale della struttura nella direzione in esame, è tale che:
T1 d 2.5 ˜ TC
T1 d TD
In tal caso, i dati disponibili sono la matrice delle rigidezze K, il periodo proprio di vibrazione
T1, il coefficiente di smorzamento [1 e l’ordinata spettrale espressa in termini di accelerazione
Sd(T1).
L’analisi si esegue applicando staticamente alla struttura le forze F s relative al primo modo di
vibrare. Appare quindi evidente che l’analisi lineare statica non è altro che un’analisi modale
approssimata, arrestata al primo modo di vibrare ed eseguita assumendo una forma modale ad
andamento lineare con l’altezza. Le forze statiche equivalenti al primo modo di vibrare risultano
infatti:
(1)
(1)
Fs
M ) ˜ J 1 ˜ S d T1 ,
essendo il taglio alla base relativo alle forze statiche equivalenti al primo modo di vibrare pari a:
V (1)
T
(1)
1 Fs
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T
1 M)
(1)
˜ J 1 ˜ S d T1 J 12 ˜ S d T1 .
- Pag. 4.22 -
Risposta sismica di sistemi MDOF
Le NTC2008 propongono per il calcolo del taglio alla base Fh la seguente espressione:
Fh
S d T1 ˜ W ˜ O
,
g
da ripartire lungo l’altezza dell’edificio a livello dell’i-esimo piano come:
Fi
Fh ˜
zi ˜ W ˜ i
n
¦z
j
˜W j
.
j 1
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- Pag. 4.23 -
Risposta sismica di sistemi MDOF
(1)
T
(1)
Si può dimostrare che Fh | 1 F s , cioè Fi | F s ,i (il che equivale ad assumere una forma modale
(1)
del primo modo di vibrare ad andamento lineare, confondendo le ) i con le z i ).
Infatti si ha:
M)
(1)
Fs
(1)
˜ J 12 ˜ S d T1 J1
M)
(1)
˜ V0(1)
n
¦)
(1)
j
˜mj
,
j 1
con:
V0(1)
costante
n
¦)
(1)
j
˜mj
)
(1) T
,
j 1
J1
n
M1
¦)
j 1
M)
(1)
ª m1
«
«
«
«
¬
m2
(1)
j
˜mj
costante ,
º ­) 1(1) ½
» ° (1) °
» °®) 2 °¾
» ° ... °
...
»
m n ¼ °¯) (n1) °¿
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­ m1 ˜ ) 1(1) ½
°
(1) °
°m 2 ˜ ) 2 °
®
¾
° ... ° .
°¯m n ˜ ) (n1) °¿
- Pag. 4.24 -
Risposta sismica di sistemi MDOF
(1)
Di conseguenza, la i-esima componente F s ,i delle forze statiche equivalenti al primo modo di
(1)
vibrare F s è:
m i ˜ ) i(1)
(1)
F s ,i
n
¦)
(1)
j
˜ V0(1) | Fi
˜mj
.
j 1
(1)
(1)
Si osserva che F s ,i { Fi solo se ) j { z j , essendo zj l’altezza del piano j misurata rispetto al
piano di fondazione.
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- Pag. 4.25 -
Risposta sismica di sistemi MDOF
ƒ L’analisi lineare statica secondo l’Eurocodice 8
Come già accennato, l’OPCM prima e le NTC2008 successivamente hanno recepito quanto
indicato dall’Eurocodice 8, pertanto non vi sono differenze significative tra quanto imposto dalle
norme, almeno per quanto riguarda le indicazioni a carattere generale.
L’analisi equivalente alla lineare statica è presentata, nell’Eurocodice 8, come Lateral Force
Method of Analysis. Può essere applicata ad edifici la cui risposta non sia influenzata in maniera
significativa dai contributi dei modi di vibrare superiori al primo, in ogni direzione principale
(nel caso di analisi spaziale).
Requisiti fondamentali delle strutture per poterle verificare mediante il Lateral Force Method of
Analysis sono:
- Regolarità in elevazione,
­4 ˜ TC
T
d
®
1
.
- Periodo proprio della struttura tale che
¯ 2 .0 s
Il taglio sismico alla base Fb associato a ciascuna delle direzioni in cui si intende analizzare la
struttura deve essere determinato mediante la seguente espressione:
Fb
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S d T1 ˜ m ˜ O ,
- Pag. 4.26 -
Risposta sismica di sistemi MDOF
dove:
S d T1 T1
m
O
è l’ordinata dello spettro di progetto corrispondente al periodo T1,
è il periodo di vibrazione fondamentale della struttura, nella direzione
considerata,
è la massa totale della costruzione,
è un fattore di correzione, pari a
0.85
se T1 d 2 ˜ TC e l’edificio ha almeno due piani,
1.00
negli altri casi.
Per quanto riguarda la distribuzione del taglio alla base Fb a livello di ciascun piano e la stima del
periodo di vibrazione fondamentale T1 della struttura non vi è alcuna differenza con quanto già
osservato in riferimento alle NTC2008:
Fi
Fb ˜
zi ˜ mi
n
¦z
j
˜ mj
,
j 1
3
T1
C1 ˜ H 4
(H < 40 m),
con:
C1
=
0.085 per telai in acciaio,
0.075 per telai in c.a.,
0.050 per qualsiasi altro tipo di struttura.
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- Pag. 4.27 -
Risposta sismica di sistemi MDOF
4.4 Tipologie strutturali in zona sismica – Edifici multipiano
La Normativa (NTC2008), con riferimento alle costruzioni in zona sismica, si pone l’obiettivo di
conseguire una protezione “adeguata” nei confronti di quattro situazioni limite:
- due Stati Limite Ultimi, con danno strutturale accentuato
o SLC, che prelude al collasso sotto un sisma con probabilità di superamento del 5%
nella vita di riferimento della struttura
o SLV, sotto un sisma con probabilità di superamento del 10% nella vita di riferimento
della struttura
- due Stati Limite di Esercizio, con danno agli elementi non strutturali, le cui conseguenze
sono di natura essenzialmente economica
o SLD, sotto un sisma con probabilità di superamento del 63% nella vita di riferimento
della struttura
o SLO, con PVR 81%.
L’elemento caratterizzante il sisma è uno spettro elastico relativo alla componente orizzontale di
accelerazione Se(T), dal quale si passa allo spettro di progetto Sd(T) attraverso un fattore di
riduzione q t 1 (fattore di struttura).
Esiste ampia evidenza che le strutture progettate secondo le normative di nuova generazione
posseggano ampi margini di resistenza che consentono loro di sopportare senza collasso azioni
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- Pag. 4.28 -
Risposta sismica di sistemi MDOF
sismiche di livello ben superiore a quello di progetto. Questi margini derivano da regole
supplementari di buona progettazione.
1. Il primo e fondamentale criterio (gerarchia delle resistenze) è quello di assegnare, in fase di
progetto, una resistenza differenziata ai vari elementi strutturali, in modo che il cedimento
di alcuni preceda e quindi prevenga quello di altri.
Questi ultimi, ossia quelli da proteggere, sono gli elementi il cui cedimento è critico nei
confronti del collasso globale della struttura (pilastri di un edificio). Il cedimento dei pilastri
viene impedito fornendo ad essi una resistenza (di poco) superiore a quella delle travi che su
di essi si innestano. Il criterio si estende a tutti gli elementi e meccanismi il cui cedimento è
necessario evitare.
2. Il secondo criterio è quello di incrementare la duttilità degli elementi strutturali il cui
cedimento è accettato, anzi voluto.
Per cedimento si intende il raggiungimento e il superamento, da parte di un elemento
elastico, della fase elastica e quindi reversibile, per entrare in quella delle deformazioni
cicliche ripetute e di grande ampiezza in campo anelastico. L’obiettivo delle regole di
dimensionamento è quello di consentire che tali deformazioni siano sopportate dagli
elementi strutturali senza che essi perdano la loro integrità e la loro funzione statica.
La capacità di deformazione anelastica si indica col termine “duttilità”. Le regole di duttilità
contenute nella norma consentono di graduare con continuità questa caratteristica da
conferire agli elementi strutturali, nella misura richiesta a ciascuno di essi dal suo ruolo nel
meccanismo di deformazione globale della struttura.
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- Pag. 4.29 -
Risposta sismica di sistemi MDOF
I procedimenti di gerarchia delle resistenze e le regole di duttilità sono i cardini principali che
consentono, a parità di azione sismica di progetto, di raggiungere livelli di protezione molto
elevati, attraverso una visione globale ed una possibilità di controllo della risposta delle strutture.
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- Pag. 4.30 -
Risposta sismica di sistemi MDOF
La presenza di azioni orizzontali negli edifici multipiano (o edifici alti) condiziona
sostanzialmente, ma in maniera diversa in relazione al materiale impiegato, la tipologia
strutturale.
Nel calcolo delle strutture in acciaio, infatti, corretti criteri di progettazione suggeriscono, anche
in assenza di azioni orizzontali reali, l’introduzione di forze fittizie orizzontali, allo scopo di
saggiare la deformabilità laterale della struttura come verifica indiretta nei riguardi
dall’instabilità globale. Si può quindi affermare che la presenza di azioni orizzontali reali (sisma,
vento), nel caso delle strutture in acciaio non modifica qualitativamente la tipologia strutturale, in
quanto gli elementi controventanti sono comunque presenti per esigenze di elevata deformabilità
laterale.
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- Pag. 4.31 -
Risposta sismica di sistemi MDOF
Per gli edifici in c.a. in zona sismica, invece, la tipologia strutturale risente in maniera
determinante della presenza di azioni orizzontali, che in strutture non sismiche sono trascurabili
per la già scarsa deformabilità in senso trasversale.
Ne deriva la necessità di assorbire le azioni sismiche orizzontali attraverso idonee strutture di
controventamento sia orizzontali che verticali. Quindi parleremo di strutture in c.a. antisismiche.
Per tali strutture è quindi possibile operare una classificazione che prevede essenzialmente due
categorie di schemi per i controventi verticali:
a) strutture resistenti a telaio,
b) strutture controventate con mensole.
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- Pag. 4.32 -
Risposta sismica di sistemi MDOF
Telai e mensole sono elementi resistenti verticali, cui è necessario accoppiare sistemi irrigidenti
orizzontali (impalcati) qualitativamente simili nei due casi.
E’ però indispensabile che gli impalcati siano sufficientemente rigidi nel loro piano. Solo se è
soddisfatta tale ipotesi, infatti, il diaframma può essere immaginato come una trave orizzontale
appoggiata su elementi resistenti verticali.
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- Pag. 4.33 -
Risposta sismica di sistemi MDOF
Al caso a (strutture resistenti a telaio) appartengono:
1. schemi a telaio spaziale, con travi alte o in spessore e solai orditi a scacchiera o a piastra, in
modo da ottenere un impalcato isotropo,
2. schemi con telai principali con travi alte in una direzione e telai secondari, con collegamenti
in spessore. L’orditura più razionale dei solai è parallela ai telai secondari, che risultano così
alleggeriti delle forze verticali, conservando la sola funzione di irrigidimento trasversale.
L’orientamento in pianta dei pilastri viene effettuato con l’intento di evitare disomogeneità nella
ripartizione delle azioni orizzontali, con conseguente irrazionalità del contributo statico delle
varie parti. La sezione più razionale per i pilastri di un impalcato isotropo è quella che presenta la
stessa rigidezza flessionale in tutte le direzioni (sezione quadrata, circolare o a croce)
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- Pag. 4.34 -
Risposta sismica di sistemi MDOF
Il caso b comprende strutture costituite sia da telai che da elementi verticali ad elevata rigidezza.
Tali elementi hanno schema statico a mensola, elasticamente collegata agli schemi telaio, la cui
sezione trasversale caratterizza i seguenti tipi:
1. mensole lamellari a sezione rettangolare (pareti o diaframmi o shear walls).
Si tratta del tipo più semplice di mensola. Le pareti di
taglio hanno pianta rettangolare allungata, incastrata alla
base, e si sviluppano lungo tutta l’altezza dell’edificio.
Possono avere o meno aperture. Gli elementi di questo
tipo, collegati a livello di piano ad impalcati che
generalmente possono essere considerati infinitamente
rigidi nel loro piano, presentano una sola rigidezza
flessionale (EJn), pertanto funzionano come vincolo solo
nella direzione del proprio asse principale. Al contrario,
nella direzione ortogonale la loro rigidezza flessionale
(EJmin) è pressoché nulla, pertanto non è possibile farvi
affidamento. Per questo motivo, tenendo presente che
l’azione sismica può essere comunque diretta rispetto
agli assi planimetrici della costruzione, al fine di
conferire alla struttura la necessaria resistenza alle azioni
orizzontali secondo le diverse direzioni in pianta, è
fondamentale disporre correttamente i controventi.
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- Pag. 4.35 -
Risposta sismica di sistemi MDOF
Considerando una parete di taglio avente spessore G = 25 - 30 cm e lunghezza B da
definire, si osserva che:
Jn
J min
B3 ˜ G
12
B ˜G 3
12
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è l’unica rigidezza flessionale significativa,
al pari della rigidezza torsionale, è trascurabile.
- Pag. 4.36 -
Risposta sismica di sistemi MDOF
Essendo:
V ˜ h3
V ˜h
12 ˜ EJ n GA
G
V
U,
F
la rigidezza U della parete, trascurando la deformabilità a taglio rispetto a quella
flessionale, risulta:
U
1
3
h
h
GA
12 ˜ EJ n
1
h3
12 ˜ EJ n
12 ˜ EJ n
h3 ,
F
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- Pag. 4.37 -
Risposta sismica di sistemi MDOF
dove:
h
E
Jn
G
A
F
altezza della parete,
modulo di elasticità normale,
momento d’inerzia della sezione trasversale della parete, valutato
rispetto l’asse neutro,
modulo di elasticità tangenziale,
area della sezione trasversale della parete,
fattore di taglio (F = 1.2 per sezioni rettangolari).
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- Pag. 4.38 -
Risposta sismica di sistemi MDOF
La disposizione dei vincoli deve essere tale che il sistema risulti quantomeno isostatico, meglio
se iperstatico.
1)
R1 = R2 = fy*Lx/2
R3 = R4 = 0
2)
R1 = R2 = 0
R3 = R4 = fx*Ly/2
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- Pag. 4.39 -
Risposta sismica di sistemi MDOF
3)
R1 = R2 = (fx*Ly)*(Ly/2)/Lx
(equilibrio alla rotazione attorno ad O)
R3 = fx*Ly
4)
Le tre condizioni di equilibrio non
sono più sufficienti per determinare Ri
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- Pag. 4.40 -
Risposta sismica di sistemi MDOF
2. mensole a sezione aperta in parete sottile, dotate di rigidezza flessionale nelle due
direzioni principali, ma di trascurabile rigidezza torsionale primaria, alla de Saint Venant.
Questo tipo di elementi controventanti non è dotato di rigidezza torsionale (<<<), ma
offre il vantaggio di possedere opportuna rigidezza flessionale nelle due direzioni
ortogonali. Rispetto alle mensole di tipo (1), sono pertanto in grado di riprendere forze
orizzontali provenienti da qualsiasi direzione. Possono infatti essere considerate come
mensole lamellari di tipo (1) tra loro ortogonali, con rigidezze flessionali confrontabili
nelle due direzioni principali.
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- Pag. 4.41 -
Risposta sismica di sistemi MDOF
3. mensole a sezione chiusa (nuclei o core), dotate di rigidezze flessionali e torsionali.
Rispetto alle mensole di tipo (1) e (2), oltre ad essere in grado di riprendere forze
orizzontali provenienti da qualsiasi direzione, sono in grado di riprendere anche momenti
torcenti.
Coesistono quindi nello stesso organismo strutturale elementi atti a sopportare prevalentemente i
carichi verticali (pilastri) ed elementi che assorbono quasi per intero le azioni orizzontali
(mensole). Al variare dei rapporti fra le rigidezze dei pilastri e quelle degli elementi a mensola, si
può ottenere una vasta gamma di schemi, che conducono al caso limite di pilastri labili nei
riguardi delle azioni orizzontali e sollecitati esclusivamente a sforzo normale. Tale soluzione
offre notevoli vantaggi dal punto di vista distributivo perché la pilastratura occupa il minor
spazio possibile, mentre le mensole possono trovare un’ubicazione razionale nelle testate
dell’edificio o nel vano scale.
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- Pag. 4.42 -
Risposta sismica di sistemi MDOF
ƒ Problemi connessi alla distribuzione in pianta degli elementi verticali di controvento.
La distribuzione in pianta dei controventi verticali condiziona la sollecitazione dell’impalcato nei
confronti delle azioni orizzontali. Considerando gli impalcati come travi orizzontali
elasticamente vincolate alle strutture verticali, la concentrazione di elementi a mensola ne riduce
il grado di vincolo, con conseguente aggravio delle condizioni di lavoro dell’impalcato.
Si riportano in figura gli andamenti dei momenti flettenti per tre diverse disposizioni dei
controventi verticali.
a)
b)
c)
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- Pag. 4.43 -
Risposta sismica di sistemi MDOF
a) mensole lamellari di controvento. L’impalcato si comporta come una lastra vincolata alle
due pareti cedevoli, le quali riprendono l’azione sismica ma cedono elasticamente.
L’impalcato si comporta quindi come una trave appoggiata-appoggiata che si inflette.
b) Mensole lamellari di controvento con elemento irrigidente a nucleo. L’impalcato è
assimilabile, in tal caso, ad una trave continua su più appoggi. Rispetto al caso (a), l’entità
del momento sollecitante appare notevolmente ridotta.
c) Telai controventanti. L’impalcato si comporta come una trave continua a molte campate.
Esso è quindi sollecitato pressoché in modo uniforme, perché i telai di controvento sono
molto ravvicinati. Di conseguenza, le sollecitazioni sull’impalcato appaiono
significativamente più piccole rispetto a quelle dei casi (a) e (b).
Per quanto visto, nella progettazione di costruzioni antisismiche è quindi bene rispettare:
- Criteri generali: forme semplici, simmetriche, con organismi strutturali iperstatici e
“regolari”
- Regolarità strutturale:
o in pianta: forma compatta, simmetrie di masse e rigidezze
o in altezza:
1. elementi resistenti alle azioni orizzontali estesi a tutta l’altezza
2. variazione graduale di massa e rigidezza con l’altezza
3. rapporto tra resistenza di piano effettiva e resistenza richiesta uguale a tutti i piani
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- Pag. 4.44 -
Risposta sismica di sistemi MDOF
Esempi di irregolarità strutturale
1. Discontinuità delle pareti di taglio
2. Piano soffice
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- Pag. 4.45 -
Risposta sismica di sistemi MDOF
3. Distribuzione irregolare degli elementi irrigidenti
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- Pag. 4.46 -
Risposta sismica di sistemi MDOF
4.5 Analisi spaziale del complesso strutturale
Si è visto come l’effetto del sisma sull’edificio possa essere ricondotto a quello di opportune
forze orizzontali applicate ai baricentri delle masse degli impalcati.
Queste forze orizzontali vengono assorbite dalle strutture resistenti verticali, che possono essere
telai, pareti taglianti,.... (ripartizione delle forze di piano fra gli elementi di controvento verticali)
e che devono essere disposte in modo da fornire una sufficiente resistenza al complesso
strutturali in tutte le direzioni.
Il problema della determinazione del regime di sollecitazione nell’organismo strutturale sotto le
forze sismiche convenzionali comporta l’analisi rigorosa dell’intero sistema tridimensionale in
una complessa interazione di flessione e torsione fra i vari elementi resistenti.
Nella maggior parte dei casi si opera una semplificazione del problema, sulla base di alcune
ipotesi:
- L’organismo strutturale viene schematizzato come un insieme spaziale di elementi di
controvento verticali (telai, pareti,…) collegati ai vari piani da impalcati rigidi nel loro
piano (ipotesi di indeformabilità piana degli impalcati),
- Un’ulteriore ipotesi riguarda la trascurabilità delle deformazioni assiali delle travi e dei
pilastri. Le deformazioni assiali delle travi vengono eliminate con l’ipotesi di impalcati
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- Pag. 4.47 -
Risposta sismica di sistemi MDOF
infinitamente rigidi. Relativamente alle deformazioni assiali dei pilastri; si osserva che nei
telai piani queste acquistano rilevanza statica solo nel caso di edifici molto alti.
Il problema tridimensionale si riconduce così all’analisi di un complesso spaziale di sistemi piani
di controvento (telai o pareti) collegati ai piani da diaframmi orizzontali rigidi, i solai.
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- Pag. 4.48 -
Risposta sismica di sistemi MDOF
ƒ Analisi lineare statica del modello spaziale
Supponiamo che la struttura, ad n piani, sia provvista di m elementi di controvento, di tipo piano
(mensola). Se si considera, a livello dell’i-esimo impalcato, il generico elemento di controvento,
questo ha una propria traccia rettilinea nel piano dell’edificio.
Assumendo un sistema di riferimento globale con origine in O, definiamo ui gli spostamenti in
direzione X, vi gli spostamenti in direzione Y, Ti le rotazioni torsionali dell’i-esimo impalcato.
La posizione dell’i-esimo impalcato, a deformazione avvenuta, è quindi definita dai tre parametri
T
di spostamento: U i >u i , vi ,T i @ . Di conseguenza, se n è il numero dei piani della struttura, questa
possiede 3n gradi di libertà ed il vettore che ne descrive gli spostamenti è U
>U 1 , U 2 ,..., U n @T .
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- Pag. 4.49 -
Risposta sismica di sistemi MDOF
La costruzione delle matrice di rigidezza K della struttura può essere effettuata a partire dalle
matrici di rigidezza k’(j) degli m elementi (controventi verticali piani) nel riferimento locale:
Q '( j )
k '( j ) q '( j ) ,
j = 1, 2,…m,
( j)
essendo q ' (n) il vettore degli spostamenti del j-esimo controvento a livello di ciascun piano,
( j)
sotto l’azione di Q ' (n).
La struttura può infatti essere vista come un insieme di
controventi piani connessi ad impalcati infinitamente rigidi
nel proprio piano, i quali, muovendosi rigidamente,
vincolano e condizionano gli spostamenti mutui dei
controventi verticali.
Lo spostamento del j-esimo controvento dovuto allo
spostamento rigido (ui, vi, Ti) dell’i-esimo impalcato risulta
(Dj: inclinazione del j-esimo controvento, dj: distanza del jesimo controvento dall’origine O del sistema di
riferimento):
q 'i( j )
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u i ˜ cos D j vi ˜ sin D j T i ˜ d j .
- Pag. 4.50 -
Risposta sismica di sistemi MDOF
Noti gli spostamenti del j-esimo controvento a livello di ogni i-esimo impalcato, è quindi
( j)
(n) in funzione degli
possibile esprimere gli spostamenti del singolo controvento q '
spostamenti U (3n) della struttura. A tal fine, si introduce la matrice C(j) di congruenza o di
connettività del j-esimo elemento di controvento verticale (nx3n):
( j)
q '( j )
C U,
essendo:
C
( j)
ªcos D j
« 0
«
« 0
«
¬« 0
sin D j
dj
0
0
0
0
...
0
0
0
0
0
0
cos D j
0
sin D j
0
dj
0
0
cos D j
...
...
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
... cos D j
sin D j
0º
0 »»
0»
»
d j ¼»
La matrice C(j) esprime il legame, valido per qualsiasi elemento di controvento, tra gli
spostamenti del j-esimo controvento verticale e gli spostamenti della struttura.
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- Pag. 4.51 -
Risposta sismica di sistemi MDOF
Assemblaggio di K
La matrice delle rigidezze K della struttura può essere assemblata utilizzando il Principio dei
Lavori Virtuali.
Detto F s il vettore delle n forze statiche equivalenti al sisma applicate alla struttura, la
componente F s ,i rappresenta la forza applicata a livello dell’impalcato i-esimo. Dal momento
che l’azione sismica può avere una direzione qualsiasi, la generica F s ,i risulterà applicata al
baricentro Gi dell’i-esimo impalcato secondo una retta d’azione assegnata. Di conseguenza,
volendo ridurre F s ,i con polo l’origine O del sistema di riferimento, sarà necessario considerarne
le componenti:
F s ,i
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­ Fs ,i , x ½
° F
°
s
® Fs ,i , y ¾ ,
°
°
¯ M T ,i ¿
­ F s ,1 ½
°
°
°F s,2 °
°
°
®... ¾
°... °
°
°
°¯ F s ,n °¿
- Pag. 4.52 -
Risposta sismica di sistemi MDOF
Il problema statico:
Fs
KU
può essere risolto determinando K per assemblaggio delle k’(j), essendo noto per ciascun
( j)
k '( j ) q '( j ) .
elemento di controvento il legame Q '
Per il Principio dei Lavori Virtuali, in particolare, si considerano:
- forze sul sistema reale
F s (forze statiche equivalenti applicate alla struttura)
Q ' ( j ) , per j = 1, 2,…m (forze di piano riprese dal j-esimo
controvento)
GU
G q '( j )
- sistema di spostamenti virtuali
(struttura)
(j-esimo controvento)
Risulta:
m
Lve
GU T F s ,
¦ G q'
Lvi
( j )T
j 1
Q '( j ) ,
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- Pag. 4.53 -
Risposta sismica di sistemi MDOF
da cui:
m
GU T F s
¦ G q'
( j )T
j 1
Q '( j ) ,
con:
m
¦ G q ' ( j )T Q ' ( j )
j 1
m
¦ G q ' ( j )T k ' ( j ) q ' ( j )
j 1
m
m
¦ G q ' ( j )T k ' ( j ) C ( j ) U
¦C
j 1
( j )T
j 1
G U T k '( j ) C ( j ) U .
Quindi:
GU T F s
m
( j )T
( j)
T
¦ G U C k '( j ) C U
j 1
Fs
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m
·
©
j 1
¹
G U ,
§ m ( j )T ( j ) ( j ) ·
¨¦C
k ' C ¸¸U ,
¨
j
1
¹
©
m
Î
§
G U T ¨¨ ¦ C ( j )T k ' ( j ) C ( j ) ¸¸U
K
¦C
j 1
( j )T
( j)
k' C
( j)
.
- Pag. 4.54 -
Risposta sismica di sistemi MDOF
K, ottenuta per assemblaggio, tiene conto dei contributi dei j = 1, 2,…m elementi di controvento,
noti ciascuno in termini di k’(j).
Nota K, è immediato valutare:
U
1
K Fs,
da cui:
Q '( j )
k '( j ) q '( j )
( j)
k '( j ) C U
j 1,2,..., m .
( j)
La conoscenza delle forze di piano Q ' agenti sul j-esimo controvento è detta ripartizione delle
forze di piano tra gli elementi di controvento verticali.
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- Pag. 4.55 -
Risposta sismica di sistemi MDOF
ƒ Analisi lineare dinamica del modello spaziale
Per poter condurre un’analisi lineare dinamica del modello spaziale della struttura la conoscenza
di K non è sufficiente, essendo necessario esprimere le frequenze naturali ed i modi di vibrare
della struttura:
K uˆ Z 2 M uˆ .
È infatti necessario introdurre la matrice delle masse M della struttura.
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- Pag. 4.56 -
Risposta sismica di sistemi MDOF
Con riferimento all’i-esimo impalcato (nell’ipotesi di densità di massa uniforme) siano
T
U i >u i , v i , T i @ le componenti di spostamento in un riferimento globale con origine in O.
La matrice M può essere definita costruendo il legame fra le componenti di accelerazione
T
T
U i >ui , vi , Ti @ e le componenti di forza d’inerzia Q i >Q x ,i , Q y ,i , M T ,i @ .
Consideriamo ora il punto P di coordinate (x, y), appartenente all’i-esimo impalcato. Gli
spostamenti e le accelerazioni del punto P nelle direzioni X ed Y sono date rispettivamente da:
uP
ui T i ˜ y ,
uP
ui Ti ˜ y ,
vP
vi T i ˜ x ,
vP
vi Ti ˜ x .
A livello dell’i-esimo piano vale la relazione:
­Q x ,i ½
°
°
®Q y ,i ¾
°
°
¯ M T ,i ¿
­ui ½
° °
m i ®vi ¾
,
° °
T
¯ i¿
FI
cioè
M U ,
dove mi (3x3) è la matrice di massa relativa all’i-esimo impalcato, mentre M (3nx3n) è la
matrice di massa della struttura.
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- Pag. 4.57 -
Risposta sismica di sistemi MDOF
Le componenti di forza d’inerzia che nascono in corrispondenza del punto P per effetto
dell’accelerazione associata alla massa elementare dm possono essere espresse come
(d’Alambert):
f I ,x
PuP dA
P ui Ti ˜ y dA ,
f I,y
PvP dA
P vi Ti ˜ x dA .
Ciò è vero per ogni punto appartenete all’i-esimo impalcato. Allora si può pensare di esprimere
la risultante delle forze d’inerzia agenti nell’impalcato. Tale risultante ha componenti Qx,i, Qy,i,
MT,i (con polo O).
Q x ,i
ui ˜ m i Ti ˜ S x ,i ,
vi ˜ m i Ti ˜ S y ,i ,
³ P ui Ti ˜ y dA
³ f I , y
³ PvP dA
³ P vi Ti ˜ x dA
A
M T ,i
³ PuP dA
A
Q y ,i
³ f I ,x
f I ,x ˜ y f I , y ˜ x
A
A
³ >Py u
i
A
A
@
Ti ˜ y Px vi Ti ˜ x dA
ui ˜ S x ,i Ti ˜ I x ,i vi ˜ S y ,i Ti ˜ I y ,i
A
Î
M T ,i
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ui ˜ S x ,i vi ˜ S y ,i Ti ˜ I 0 ,i .
- Pag. 4.58 -
Risposta sismica di sistemi MDOF
In forma matriciale:
­Q x ,i ½
°
°
®Q y ,i ¾
°
°
¯ M T ,i ¿
ª mi
«
« 0
« S x ,i
¬
­Q x ,i ½
°
°
®Q y ,i ¾
°
°
¯ M T ,i ¿
ªmi
«
« 0
«¬ 0
0
mi
S y ,i
S x ,i º ­ui ½
»° °
S y ,i » ®vi ¾
I 0 ,i »¼ °¯Ti °¿
0 º ­ui ½
»° °
0 » ®vi ¾
I 0 ,i »¼ °¯Ti °¿
0
mi
0
se O z G i
se O { G i
,
.
Ricordando che F I M U , dalla matrice di massa mi (3x3) relativa all’i-esimo impalcato si
esprime la matrice di massa M della struttura, avente dimensione (n colonne 3x3)x(n righe 3x3):
M
ªm1
«0
«
«0
«
«0
«0
¬
0
m2
0
0
0
0
0
0 º
0 0 0 »»
... 0 0 »
»
0 ... 0 » .
0 0 m n »¼
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- Pag. 4.59 -
Risposta sismica di sistemi MDOF
Osservazioni:
1. La matrice di massa relativa all’i-esimo piano mi (3x3) fornisce il legame tra le componenti
delle forze d’inerzia e le accelerazioni di piano. Non essendoci alcuna iterazione tra gli
impalcati della struttura, questa deve essere determinata separatamente per gli n piani.
2. Dalla (1), la matrice di massa della struttura M risulta essere “diagonale”.
3. Solo se il sistema di riferimento è tale che O = Gi, la matrice M diventa effettivamente
diagonale (Sx,i = Sy,i = 0).
Per quel che riguarda l’analisi modale (determinazione delle frequenze naturali e dei modi di
vibrare della struttura), il problema assume la forma:
M U CU K U
M rug ,
dove:
M
K
U
(3nx3n) è la matrice di massa della struttura (nota),
(3nx3n) è la matrice di rigidezza della struttura (nota, ottenuta per assemblaggio),
(3n) è il vettore degli spostamenti della struttura,
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- Pag. 4.60 -
Risposta sismica di sistemi MDOF
ug
r
C
rappresenta l’input sismico (terremoto di progetto ridotto di q),
(3n) è il vettore di trascinamento (spostamenti statici dei piani conseguenti ad uno
spostamento unitario della base),
(3nx3n) è la matrice di smorzamento della struttura (non nota). Nelle ipotesi di
smorzamento classico, C (diagonale) è tale che:
T
) C)
con [ 1 [
ª 2[ 1Z1
«
« 0
« 0
«
« 0
« 0
¬
0
2[ 2Z 2
0
0
0
º
»
0 0
0 »
... 0
0 »
»,
0 ...
0 »
0 0 2[ nZ n »¼
0
0
0
cost .
Per effetto dell’azione sismica, il sistema strutturale presenterà in generale tre gruppi di modi
propri di vibrare:
- uno è costituito da vettori con le componenti di spostamento lungo X molto maggiori di
quelle lungo Y,
- il secondo è costituito da vettori che presentano il comportamento opposto,
- il terzo costituito da vettori le cui componenti più significative sono quelle di rotazione.
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- Pag. 4.61 -
Risposta sismica di sistemi MDOF
E’ evidente che se, per esempio, il moto del terreno è diretto secondo X, i modi di vibrare più
eccitati saranno quelli del primo gruppo, che occuperanno, nella successione dei modi, una
posizione non prevedibile a priori. Per questo tipo di moto del terreno il vettore di trascinamento
r (3n) sarà:
r
­1 ½
°0 °
° °
°0 °
° °
°1 °
° °
®0 ¾
°0 °
° °
°1 °
°0 °
° °
°¯0°¿
Sisma in direzione X
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r
­0 ½
°1 °
° °
°0 °
° °
°0 °
° °
®1 ¾
°0 °
° °
°0 °
°1 °
° °
°¯0 °¿
Sisma in direzione Y
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Risposta sismica di sistemi MDOF
4.6 Ripartizione delle forze di piano tra gli elementi di controvento
Il problema della ripartizione delle forze di piano fra gli elementi di controvento verticali può
essere affrontato in maniera rigorosa solo considerando il comportamento spaziale dell’edificio.
Ne potremo prescindere solo in casi particolari (costruzioni a pianta regolare, senza sensibili
cambiamenti nella distribuzione delle rigidezze e delle masse da un piano all’altro).
La ripartizione delle forze di piano è già stato analizzato nel caso di strutture di controvento
piane (pareti di taglio). Estendiamo ora la trattazione ad altre tipologie di controventatura
verticale.
ƒ Elementi di controvento piane (telai)
Consideriamo un edificio di n piani con orizzontamenti rigidi e telai orientati nelle direzioni X ed
Y. La distribuzione di masse e rigidezze è considerata, per ipotesi, simmetrica rispetto X ed Y.
Supponiamo che lì edificio sia soggetto a un moto del terreno in direzione X.
Analogamente a quanto fatto nei confronti della parete di taglio, si individuano un angolo Dj ed
una distanza dj che definiscano rispettivamente l’inclinazione del j-esimo telaio e la sua distanza
rispetto all’origine O del sistema di riferimento adottato a livello dell’i-esimo impalcato.
Per il j-esimo telaio orientato in direzione X, vale la relazione:
Q ' (x j )
k ' (x j ) q ' (x j ) .
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Risposta sismica di sistemi MDOF
Dato che gli orizzontamenti sono stati ipotizzati infinitamente rigidi nel proprio piano si osserva
infatti che:
q ' (x j ) u x .
Di conseguenza, una volta costruita la matrice K per assemblaggio, l’analisi sismica dell’edificio
soggetto ad un moto del terreno in direzione X può essere condotta ponendo il problema nella
forma:
m
F s,x
Ku x
¦ k'
j 1
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( j)
x
ux .
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Risposta sismica di sistemi MDOF
ƒ Elementi di controvento a nucleo
In presenza di elementi di controvento verticale più complessi rispetto a quelli di tipo piano, per
esempio elementi di tipo nucleo caratterizzati da resistenza flessionale nelle due direzioni e
resistenza torsionale, la matrice di rigidezza della struttura K viene definita in modo analogo a
quanto già visto.
In particolare, si osserva che il singolo elemento di controvento presenta una rigidezza
flessionale dello stesso ordine di grandezza in due direzioni ortogonali, ed una non trascurabile
rigidezza torsionale. Conviene pertanto introdurre per ogni elemento di controvento tre vettori di
spostamento nel riferimento locale (spostamenti secondo X’, spostamenti secondo Y’, rotazioni
torsionali). Nella relazione:
Q'( j ) k '( j ) q'( j ) ,
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Risposta sismica di sistemi MDOF
si considerano quindi:
Q'( j )
­Q ( j ) ½
° x' °
° ( j) °
®Q y ' ¾
° ( j) °
°¯ M T ' °¿
k '( j )
q'( j )
vettore (3n) delle forze riprese dal j-esimo elemento di controvento a
nucleo, a livello degli n piani,
matrice di rigidezza del j-esimo elemento di controvento a nucleo,
­q ( j ) ½
° x' °
° ( j) °
®q y ' ¾
° ( j) °
°¯q T ' °¿
vettore (3n) degli spostamenti del j-esimo elemento di controvento a
nucleo, a livello degli n piani.
( j)
La matrice k ' può essere definita assimilando il controvento a nucleo a due mensole flessionali
e ad una mensola dotata di rigidezza torsionale.
Per quanto riguarda la rigidezza torsionale del nucleo, in particolare, è necessario determinare la
( j)
matrice k T ' imprimendo rotazioni torsionali a livello di ciascun impalcato (sezioni della
mensola).
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- Pag. 4.66 -
Risposta sismica di sistemi MDOF
( j)
In realtà, si osserva che è più semplice calcolare k T ' (definita in funzione dei momenti torcenti
che nascono a livello di ciascun impalcato quando si applica una rotazione torsionale unitaria ad
uno di essi) come inversa della matrice di flessibilità:
( j)
kT'
1
F ,
essendo:
( j)
M T'
( j)
k T ' T '( j ) ,
T '( j )
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F
( j)
( j)
M T' .
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Risposta sismica di sistemi MDOF
(i )
Per costruire la prima colonna della matrice di flessibilità F :
Per le altre colonne si procede in modo analogo.
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Risposta sismica di sistemi MDOF
( j)
La matrice di rigidezza k ' (3nx3n) del j-esimo elemento di controvento a nucleo assume quindi
la forma:
k '( j)
ªk ( j )
« x'
« 0
«
¬« 0
0
( j)
k y'
0
ª ( j)
«k x '
« 0
«
« 0
¬
0 º
»
0 »
( j) »
k T ' ¼»
0
( j)
k y'
0
º
»
0 »
».
( j ) 1
»
F
¼
0
ƒ Elementi di controvento a sezione sottile aperta
Rispetto al caso precedente, in tale circostanza la rigidezza torsionale dell’elemento di
( j)
controvento verticale è nulla. La matrice di rigidezza k ' del j-esimo controvento a sezione
sottile aperta può quindi essere ottenuta assimilando l’elemento controventante a due diaframmi
piani (tra loro ortogonali), dotati ciascuno di una sola rigidezza flessionale significativa.
( j)
In tal caso, la matrice k ' assume quindi la forma:
k '( j )
ªk ( j )
« x'
« 0
« 0
¬
0
( j)
k y'
0
0º
»
0»
.
0»
¼
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Risposta sismica di sistemi MDOF
4.7 Metodi approssimati per la ripartizione delle forze di piano tra gli elementi di
controvento
Al fine di esaminare alcuni aspetti del comportamento delle strutture soggette ad azioni sismiche,
facciamo riferimento a un edificio ad n piani, con solai infinitamente rigidi, tali che gli
spostamenti degli impalcati consistano in moti piani di corpo rigido. Si ipotizza che l’edificio sia
controventato con elementi irrigidenti verticali di tipo piano (parete, parte e telaio, telaio). Sia
inoltre F s la forza statica equivalente all’azione sismica.
Quando la distribuzione delle rigidezze e delle masse è
uniforme o varia linearmente sull’altezza dell’edificio, è
possibile ripartire le forze a livello dell’i-esimo piano.
Indichiamo con F s ,i la componente di F s applicata all’iesimo piano. F s ,i ha una propria direzione e passa per il
baricentro delle masse Gi dell’impalcato. Fissando un
sistema di riferimento cartesiano con origine O, F s ,i può
essere rappresentata come F s ,i
>F
sx ,i
, Fsy ,i , M T ,i
@
T
.
Lo spostamento rigido dell’i-esimo impalcato è invece dato da U i
>u i , vi , T i @T .
Costruiamo quindi la matrice di rigidezza della struttura K (metodo delle rigidezze). L’inversa di
K , premoltiplicata per il vettore delle forze statiche equivalenti F s , fornisce infatti il moto
dell’impalcato U .
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- Pag. 4.70 -
Risposta sismica di sistemi MDOF
( j)
Indichiamo con U i la rigidezza relativa al piano i-esimo della j-esima struttura piana di
controvento. Nell’ipotesi che gli impalcati abbiano rigidezza sufficiente a impedirne le rotazioni
di estremità:
U i( j )
1
h
h ,
1 .2 ˜ i
12 ˜ EJ
GA
3
i
( j)
mentre trascurando la deformabilità a taglio del controvento: U i
12 ˜ EJ
hi3 . In presenza di più
elementi di controvento piano a livello dell’i-esimo impalcato risulta inoltre (m elementi
controventanti):
m
U i( j )
¦U
l 1
( j)
il
.
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- Pag. 4.71 -
Risposta sismica di sistemi MDOF
Rigidezza del singolo controvento:
U i( j )
Parete
Telaio
U i( j )
12 ˜ EJ
hi3
12 ˜ E J 1 J 2 ... J p hi3
(telaio a p pilastri)
Parete e telaio
U i( j )
12 ˜ E J parte J telaio hi3
U i( j ) rappresenta quindi la forza che è necessario applicare al j-esimo controvento (a livello
dell’i-esimo impalcato), affinché questo subisca uno spostamento unitario. Essendo la posizione
nel piano del j-esimo controvento definita da Dj e dj (distanza dall’origine O), lo spostamento Gj
in direzione Dj del j-esimo controvento, conseguente ad uno spostamento rigido dell’i-esimo
impalcato, risulta:
G j u i ˜ cos D j v i ˜ sin D j T i ˜ d j ,
pertanto la forza ripresa dal j-esimo controvento è:
Fj
U i( j ) ˜ G j
U i( j ) ˜ u j ˜ cos D j v i ˜ sin D j T i ˜ d j .
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- Pag. 4.72 -
Risposta sismica di sistemi MDOF
Se all’i-esimo piano sono presenti m elementi di controvento, la risultante delle F j sarà quindi
uguale all’i-esima componente F s ,i di F s :
Per l’equilibrio:
m
¦ U i( j ) ˜ G j ˜ cos D j
Fx ,i
j 1
m
F y ,i
¦ U i( j ) ˜ G j ˜ sin D j
j 1
m
M T ,i
¦U
m
¦F
j
˜ cos D j ,
j
˜ sin D j ,
j 1
m
¦F
j 1
m
( j)
i
˜G j ˜ d j
j 1
¦F
j
j 1
˜dj ,
cioè:
m
Fx ,i
¦ U
( j)
i
j 1
˜ u i ˜ cos 2 D j U i( j ) ˜ v i ˜ sin D j ˜ cos D j U i( j ) ˜ T i ˜ d j ˜ cos D j ,
m
F y ,i
¦ U
( j)
i
j 1
˜ u i ˜ sin D j ˜ cos D j U i( j ) ˜ v i ˜ sin 2 D j U i( j ) ˜ T i ˜ d j ˜ sin D j ,
m
M T ,i
¦ U
j 1
( j)
i
˜ u i ˜ d j ˜ cos D j U i( j ) ˜ v i ˜ d j ˜ sin D j U i( j ) ˜ T i ˜ d 2j .
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- Pag. 4.73 -
Risposta sismica di sistemi MDOF
In forma matriciale:
­ Fx ,i ½
°
°
® F y ,i ¾
°
°
¯ M T ,i ¿
m
ª
( j)
2
« ¦ U i ˜ cos D j
j 1
«
« m ( j)
«¦ U i ˜ cos D j ˜ sin D j
« j 1m
«
U i( j ) ˜ d j ˜ cos D j
« ¦
¬ j1
m
¦ U i( j ) ˜ sin D j ˜ cos D j
j 1
m
¦U
( j)
i
˜ sin 2 D j
j 1
m
¦U
( j)
i
˜ d j ˜ sin D j
j 1
º
˜ d j ˜ cos D j »
j 1
» ­u i ½
m
»° °
( j)
U i ˜ d j ˜ sin D j » ®v i ¾
¦
j 1
» °¯T i °¿ ,
m
( j)
2
»
Ui ˜ d j
¦
»
j 1
¼
m
¦U
( j)
i
cioè:
F s ,i
Ui ˜G i ,
per i = 1, 2,…,n
Î
Fs
K ˜U .
Per quanto detto, una volta calcolati gli spostamenti rigidi U degli impalcati soggetti ad una
distribuzione F s di forze statiche equivalenti al sisma, è quindi possibile determinare la forza F j
ripresa dal singolo elemento di controvento, a livello dell’i-esimo impalcato, essendo:
Fj
U i( j ) ˜ G j
U i( j ) ˜ u i ˜ cos D j v i ˜ sin D j T i ˜ d j .
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- Pag. 4.74 -
Risposta sismica di sistemi MDOF
4.8 Baricentro delle rigidezze
Si consideri un sistema spaziale ad un solo piano, caratterizzato da elementi di controvento piani
diretti secondo le due direzioni principali:
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- Pag. 4.75 -
Risposta sismica di sistemi MDOF
Direzione X
I tre telai diretti secondo l’asse X (mx = 3) sono equivalenti ad un unico telaio, di rigidezza
risultante pari a (U 1,x + U 2,x + U3,x), posto ad una distanza dy dall’asse X definita come:
mx
¦U
U
1, x
U 2 , x U 3, x ˜ d y
U 1, x ˜ d 1 U 2 , x ˜ d 2 U 3, x ˜ d 3
dy
Î
j,x
˜dj
j 1
mx
¦U
.
j,x
j 1
Ciò significa, nell’ipotesi di impalcato rigido infinitamente rigido nel proprio piano, che se si
applica una forza F con retta d’azione la retta dy, l’impalcato trasla in direzione X di una quantità
dx. La forza F viene infatti ripresa dai tre controventi secondo una quantità proporzionale alle
rispettive rigidezze:
F ˜ U 3, x
dx
U 3, x
¦U
j 1
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F
F
mx
mx
j,x
¦U
U 1, x U 2, x U 3, x
j,x
j 1
- Pag. 4.76 -
Risposta sismica di sistemi MDOF
Direzione Y
Supponendo che ci siano cinque telai diretti secondo l’asse Y (my = 5), la posizione dx del
baricentro delle rigidezze Ci è definita come (Varignon):
my
¦U
j, y
˜dj
j 1
dx
my
¦U
j, y
j 1
F
dy
U 1, y U 2 , y U 3, y U 4, y U 5, y
Ciò significa che una forza F applicata in Ci con retta d’azione la retta dx, l’impalcato trasla in
direzione Y di una quantità dy e la forza F viene ripartita tra i cinque controventi secondo
F ˜ U j, y
.
quantità proporzionali alla rigidezza degli stessi, del tipo m
¦ U j, y
y
j 1
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- Pag. 4.77 -
Risposta sismica di sistemi MDOF
Osservazione:
Ci è il baricentro delle rigidezze (o centro di torsione) dell’i-esimo impalcato.
Nell’ipotesi che le masse siano distribuite sull’impalcato in modo uniforme, il baricentro delle
masse Gi si troverà al centro dell’impalcato stesso.
Essendo l’azione sismica una forza orizzontale applicata in Gi, se i due baricentri non coincidono
( Gi z C i ) l’impalcato trasla e ruota torsionalmente. Affinché l’azione sismica venga ripartita tra
gli elementi controventanti è infatti necessario che questa sia applicata in Ci. Di conseguenza, il
trasporto da Gi a Ci implica che i controventi stessi debbano riprendere anche un momento di
trasporto. Il problema, che non sussiste quando Gi { C i , permette di comprendere perché sia
preferibile realizzare, per quanto possibile, strutture simmetriche e regolari.
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- Pag. 4.78 -
Risposta sismica di sistemi MDOF
Per quanto riguarda la previsione del comportamento strutturale sotto sisma, la condizione
ottimale è quella che prevede uniformità e simmetria delle masse e delle rigidezze rispetto ai due
assi principali d’inerzia dell’impalcato. In tal caso infatti Gi { C i .
In tale circostanza, le azioni riprese dai singoli controventi possono essere valutate in modo
immediato, mentre l’impalcato compie una semplice traslazione.
I due controventi in direzione X riprendono
ciascuno metà dell’azione sismica Ax.
I controventi in direzione Y non risultano
invece sollecitati.
Si osserva che una distribuzione di rigidezze non uniforme ( Gi z C i ) comporta un aggravio dei
contributi sollecitanti di tutti i controventi (in entrambe le direzioni, per effetto del momento di
trasporto). Tali contributi possono assumere entità piuttosto rilevanti, soprattutto negli elementi
irrigidenti perimetrali.
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Risposta sismica di sistemi MDOF
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- Pag. 4.80 -
Risposta sismica di sistemi MDOF
Esempio
Si consideri un impalcato soggetto ad una forza Ay eccentrica rispetto al baricentro delle
rigidezze Ci.
Il momento di trasporto Mi, derivante dall’azione sismica Ay applicata in Gi e trasposta in Ci,
provoca una rotazione torsionale T (incognita) dell’impalcato.
Si osserva che mentre Ay è ripresa dai soli controventi aventi la stessa direzione dell’azione
sismica, Mi comporta delle forze aggiuntive (Fi) in tutti i controventi, a prescindere dalla loro
direzione rispetto l’azione sismica. Di conseguenza, sarà possibile individuare controventi nei
quali l’effetto di Mi aggrava lo stato di sollecitazione (si sommano i contributi di Ay ed Mi) e
controventi nei quali, per effetto di Mi, le sollecitazioni si riducono (contributi di segno opposto).
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Risposta sismica di sistemi MDOF
Le forze indotte in ciascun controvento possono essere determinate una volta nota la rotazione
rigida T dell’impalcato. Per l’equilibrio alla rotazione attorno a Ci:
Mi
U
Î
1, x
˜ T ˜ d 1 ˜ d 1 U 2 , x ˜ T ˜ d 2 ˜ d 2 U 1, x ˜ T ˜ d 3 ˜ d 3 U 2 , x ˜ T ˜ d 4 ˜ d 4 ,
T
U
1, x
˜ ˜d
2
1
U
Î
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2, x
˜T ˜ d
F1
2
2
Mi
U 1, x ˜ T ˜ d 32 U 2 , x ˜ T ˜ d 42 ,
U 1, x ˜ T ˜ d 1 ,…
- Pag. 4.82 -