Numero di fotoni
una lampada a vapori di sodio irraggia uniformemente in tutte le direzioni
con una potenza di 1 Watt radiazione elettromagnetica di lunghezza
d’ onda l = 0.589 mm
1) quanti fotoni emette al secondo
2) quanti fotoni emessi dalla lampada giungono su di una superficie di
1 cm2 posta ad 1 m di distanza dalla lampada ? E quanti a 100 m ?
3) la sensibilita’ dell’occhio umano a tale lunghezza d’onda e’ di circa
100 fotoni al secondo, cioe’ bisogna che mediamente entrino nella
pupilla 100 fotoni al secondo affinche’ si possa avere percezione
visiva della luce.
A che potenza corrisponde ?
4) sapendo che il raggio massimo della pupilla e’ di circa 3 mm,
calcolare la massima distanza a cui e’ visibile la lampada.
Si commenti il risultato
l’energia del fotone e’ data da :
E  h 
hc
l
hc  6.63 10 34  3.00 108 
 1.989 10  25 Jm
E
hc
l

1.989 10
l
25
Joule
se la lunghezza d’onda dei fotoni emessi e ’ l = 0.589 10-6 m,
l’energia dei singoli fotoni emessi dalla lampada, che
evidentemente si assume sia monocromatica, sara’ :
1.989 10 25
19
E


3
.
377

10
J
6
l 0.589 10
hc
volendo esprimere l’energia in elettronvolt : dato che 1 eV = 1.6 10-19
Joule ne segue che 1 Joule = 0.625 1019 eV
E
poiche’
hc
l
 3.377 10 19 J  2.111 eV
1Watt  1 Joule
sec
l’energia totale emessa dalla sorgente in un secondo sara’ :
Etot = 1Watt sec = 1 Joule
segue che la quantita’ di fotoni emessi dalla sorgente ogni secondo sara’:
Etot
1
n fotoni 

 2.9611018
E fotone 3.377 10  19
1Watt  1 / 3.377 1019  2.9611018 fotoni s 1
in conclusione la risposta alla prima domanda e’ che la
sorgente emette 2.96 1018 fotoni al secondo
per definizione di angolo solido:
l’angolo solido sotteso da una calotta sferica appartenente ad
una sfera di raggio R si misura come rapporto dell’area, dS,
della calotta sferica sul quadrato del raggio R. Ossia :
dS
d  2
R
la superficie di cui si parla nel testo del problema e’ posta ad una distanza R
dalla sorgente ed e’ una superficie piana, non una calotta sferica
dovremmo quindi proiettare la superficie piana S sulla sfera di raggio R centrata
sulla sorgente e calcolare l’angolo solido come rapporto della superficie S’ sottesa
da S sulla superficie della sfera e il quadrato del raggio R.
pero’ si tratta di una superficie molto piccola posta a grande distanza dalla
sorgente. Dunque si puo’ fare l’approssimazione della superficie piana ad una
calotta sferica , ossia dS = dS’
dS 10 4
d  2 
 104 steradianti
R
1
se la sorgente emette uniformemente in tutte le direzioni, ossia se la
sorgente e’ isotropa la quantita’ di fotoni emessi sara’ distribuita in
modo uniforme su tutta l’angolo solido
la quantita’ di fotoni che raggiungera’ una determinata superficie sferica sara’
proporzionale al rapporto tra l’angolo solido sotteso dalla superficie della calotta
sferica e l’angolo solido totale
l’angolo solido sotteso da tutto lo spazio e’ 4 radianti
quindi il rapporto tra la superficie e l’angolo solido totale sara’:
d 10 4

 7.958 10 6
 tot
4
10  4
(in percentuale :
100 %  7.958 10  4 %)
4
sulla superficie di un cm2 posta ad un metro di distanza incideranno :
# fotoni in d  
dS
(# totale di fotoni emessi)
2
4 R
7.958 106  2.9611018  2.356 1013 fotoni s 1
un calcolo analogo fatto considerando la superficie di un cm2 posta a cento
metri di distanza fornisce il risultato :
dS 10 4
d  2  4  108 steradiant i
R
10
d 10 8

 7.958 10 10
 tot
4
10 8
(in percentuale :
100 %  7.958 10 8%)
4
in conclusione :
7.958 1010  2.9611018  2.356 109 fotoni s 1
quindi la risposta alla seconda domanda e’ che sulla
superficie di un cm2 giungono 2.356 1013 fotoni al secondo,
se la superficie e’ posta ad 1 metro di distanza dalla
sorgente e 2.356 109 fotoni se la superficie e’ posta ad
100 metri di distanza dalla sorgente
3) Risposta alla terza domanda:
se
1 Watt  2.9611018 fotoni s 1
100 fotoni al secondo corrisponderanno a 100/2.961 1018 = 3.377 10-17 Watt
4) Risposta alla quarta domanda: dalla
(# fotoni in d) 
si ricava
dS
(# totale di fotoni emessi )
4R 2
# totale di fotoni emessi dS
R

# fotoni in d
4
imponendo le condizioni che : # fotoni in d  100
dS   r 2 pupilla    (3 10-3 ) 2  2.827 105 m2
si ottiene R = 2.581 105 m = 258 Km
commento :
Si tratta di distanze enormi !!!
E’ chiaro che questo sarebbe possibile nel vuoto. Nella realta’ si sta trascurando
l’assorbimento dell’atmosfera terrestre
per migliorare ci sono due modi possibili:
1) aumentare la superficie dS, ossia aumentare il diametro del
rivelatore  telescopi
2) aumentare la sensibilita’ del rivelatore al limite massimo di poter
rivelare un solo fotone alla volta  fotomoltiplicatori