PLS2 – MATEMATICA
Dalla MAGIA dei QUADRATI …
alla MAGIA delle IMMAGINI
Dalla MAGIA dei QUADRATI …
alla MAGIA delle IMMAGINI
Quadrati
magici
Matrici e
determinanti
Le
immagini
Secondo una leggenda
cinese, l'imperatore YU
(circa 4000 anni fa)
stava cercando di
arginare una piena del
fiume LO (affluente del
Fiume Giallo) quando vide
uscire dallo stesso fiume
una tartaruga divina con
dei misteriosi segni sul
guscio. Tali segni furono
studiati e, capito il
messaggio, la piena del
fiume fu arginata.
Su quella tartaruga era presente il primo quadrato magico noto.
La storia ci dice in realtà che YU il Grande fu il primo imperatore
a costruire opere di gestione delle acque e fu il primo ad
organizzare la Cina in uno stato diviso in Nove Province (i nove
settori presenti sul carapace della tartaruga).
Molto probabilmente questa serie di simboli è nata molto più tardi
(circa 400 anni prima della nascita di Cristo) e forma quello che
viene definito un quadrato magico 3x3 di grande interesse
matematico e spirituale: il Lo-Shu.
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LO SHU ha le seguenti caratteristiche:
•È un quadrato di numeri con somma costante 15
su ogni riga, colonna o diagonale;
•Il numero centrale, il 5, è la media aritmetica di
tutte le coppie di numeri opposti:
•Se si moltiplica il numero centrale 5 per l’ordine del quadrato,
cioè 3, si ottiene il valore della somma costante, cioè 15. E sempre
il numero centrale moltiplicato per l’ordine, elevato al quadrato, è
uguale alla somma totale dei numeri che compongono il quadrato
magico:
5x3=15
e
5 x 32= 45
(Queste formule valgono per qualsiasi quadrato magico di ordine
dispari e quindi anche per quadrati 5 x 5, 7 x 7 e così via.)
Lo studio dei quadrati magici nell’antichità è legato all’idea che
potessero avere particolari virtù e perciò venivano utilizzati per
costruire, ad esempio dei talismani (incisioni su placche d'oro o
d'argento) impiegati come rimedi per guarire dalla peste … al mal
d'amore.
I quadrati magici erano sicuramente già noti in Cina nei primi secoli
dopo Cristo; nel X secolo i cinesi conoscevano quadrati fino
all'ordine 10.
Quadrati magici si trovano anche nella
cultura indiana. Il primo quadrato magico
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di ordine 4 venne realizzato dall'astrologo
indiano Varahamihira nel VI secolo d.C. Un
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ben noto e antico quadrato magico fu
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trovato nel tempio di Parshvanath Jain a
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Khajuraho; datato X secolo, ha la
particolarità che ogni sottoquadrato
(ovvero ogni quadrato 2x2 in esso
contenuto), ha lo stesso valore della
costante magica, che è 34.
In Mesopotamia i primi quadrati magici di ordini 5 e 6 comparvero
in un'enciclopedia di Baghdad che si fa risalire al 983 a.C., ma pare
che alcuni più semplici fossero conosciuti da parecchi matematici
arabi già in epoca precedente.
La conoscenza di queste strutture
giunsero in Europa relativamente
tardi.
Nel 1300, analizzando il lavoro
dell’arabo Al-Buni, l’erudito
bizantino greco Manuel
Moschopoulos (circa 1265-1316)
scrisse un trattato matematico a
proposito dei quadrati magici,
andando oltre il misticismo dei suoi
Ritratto di Luca Pacioli
predecessori. Si pensa che
Moschopoulos fu il primo
occidentale ad occuparsi
dell‘argomento.
Intorno alla metà del XV secolo l'italiano Luca Pacioli
studiò i quadrati e raccolse tantissimi esempi.
Uno dei più famosi quadrati magici è sicuramente quello che
compare nell’incisione di Dürer, Melancolia I.
Nel 1600
•Frenicle de Bessy (1605- 1665) matematico
francese amico di Cartesio e Fermat calcolò
nel 1663 il numero dei quadrati magici
perfetti del quarto ordine: sono 880, con
somma costante 34, su righe, colonne e
diagonali.
Nel 1973
• - e solo grazie al computer - si riuscì ad
estendere il risultato ai quadrati di ordine 5
che sono 275 305 224.
•Ancora oggi non è noto il numero preciso dei
quadrati magici di ordine 6, ma siamo vicini alla
soluzione. Secondo le più recenti indagini,
dovrebbero essere circa 17 miliardi di miliardi.
Pierre De Fermat
Resta comunque da risolvere il problema più generale:
trovare la regola che consenta di determinare il numero di quadrati
magici di un dato ordine n.
Si sa invece come calcolare la somma costante su righe, colonne e
diagonali: essa è data dalla formula
Nel tempo i matematici hanno cercato di
passare alla terza dimensione, occupandosi
di cubi magici perfetti, definiti come i cubi
nei quali ogni quadrato è magico (ogni
diagonale risulta magica e non soltanto le
quattro diagonali principali).
Il primo cubo magico perfetto, di ordine 7,
con i primi 343 numeri disposti in modo
che su ogni possibile riga, colonna o
diagonale la somma è sempre 1204, venne
scoperto soltanto nel 1866 da un
missionario inglese, docente di
matematica, il reverendo Andrew H. Frost.
Andrew H. Frost
(Hull 1819 - Cambridge
1907)
Il metodo per costruire un quadrato magico con n dispari è
abbastanza semplice e viene spiegato qui di seguito.
Si inizia mettendo 1 nella colonna
centrale della fila superiore.
Si compila la colonna seguente
del numero uno (a destra) e ad
una fila superiore.
Se siete già alla fila superiore,
si compila una colonna alla destra
nella fila inferiore.
E se siete nella colonna di estrema
destra, si compila il numero
seguente nella colonna di estrema
sinistra, una fila in su.
Se il quadrato già è occupato da
Un numero più piccolo, si posiziona
Il numero seguente nel quadrato
immediatamente sotto all'ultimo
immesso.
Si procede in tal maniera fino a
comporre tutto il quadrato.
Infine, si verifica che ogni fila,
colonna e diagonale diano come
somma algebrica lo stesso numero,
in questo caso, 65.
La parola matrice deriva dal latino matrix-icis ed il suo
significato è:
“ciò da cui ha origine un fenomeno”, “radice”.
In matematica è una tabella di numeri, ognuno dei quali è
identificato dalla coppia di fattori che indicano rispettivamente
la riga e la colonna della tabella in cui è collocato.
I numeri che compaiono nella tabella si dicono elementi della
matrice. La loro individuazione avviene attraverso la loro
posizione di riga e colonna.
Il primo indice è l'indice di riga mentre il secondo è l'indice di
colonna.
Ad esempio, il quadro di numeri :
disposto su 3 righe e 5 colonne è una matrice 3 x 5.
Anche se il nome matrice è stato introdotto solo nella metà del
1800, i primi approcci con matrici e determinanti,relativi allo
studio di sistemi di equazioni lineari risalgono già ai babilonesi che
studiarono problemi con più equazioni lineari (ne è rimasta traccia
in alcune tavole ritrovate).
Il reperto più antico contenente una matrice come strumento di
risoluzione di sistemi lineari è cinese, scritto tra il 300 a.C e il
200 d.C. Nel testo compare anche il concetto di determinante
(per una matrice 2x2) ed è forse dovuto al matematico cinese
Liu Hui nel 263.
In Occidente questi argomenti riapparvero
e si svilupparono non prima del XVII
secolo con l’apporto di Leibniz e Cramer
che svilupparono la teoria a partire dalla
fine del 1600.
Successivamente vi lavorarono
Gauss e Jordan che definirono
l’algoritmo che prende il loro nome.
Gottfried Wilhelm von Leibniz
(Lipsia, 21 giugno 1646 –
Hannover, 14 novembre 1716)
Carl Friedrich Gauss (Braunschweig,30
aprile 1777 – Gottinga, 23 febbraio
1855)
Camille Jordan (Lione, 5
gennaio 1838 – Milano, 22
gennaio 1922)
Come abbiamo già detto, solo
nella metà del 1800
J. J. Sylvester diede a
questa struttura matematica
il nome di “matrice”, nome
che ritroviamo negli studi
dei matematici che poi
seguirono, tra i quali uno dei
più importanti fu Hilbert
con la sua trattazione
dell'algebra delle matrici
infinite.
James Joseph Sylvester
(Londra, 3 settembre 1814 –
Londra, 15 marzo 1897)
David Hilbert (Königsberg,
23 gennaio 1862 – Gottinga,
14 febbraio 1943)
Operazioni delle matrici
• Due matrici A e B, entrambe di tipo , possono essere sommate.
La loro somma A + B è definita come la matrice i cui elementi
sono ottenuti sommando i corrispettivi elementi di A e B.
Formalmente:
(A + B)i,j: = Ai,j + Bi,j
La moltiplicazione per uno scalare è un'operazione che, data una
matrice A ed un numero c (detto scalare), costruisce una
nuova matrice cA, il cui elemento è ottenuto moltiplicando
l'elemento corrispondente di A per c; la matrice e lo scalare
scelti devono appartenere allo stesso campo. Formalmente:
• (cA)ij: = cAi,j.
• La moltiplicazione tra due matrici A e B è un'operazione più
complicata delle precedenti. A differenza della somma, non è
definita sommando semplicemente gli elementi aventi lo stesso
posto.
• La moltiplicazione è definita soltanto se le matrici A e B sono
rispettivamente di tipo mxn e nxp : in altre parole, il numero di
righe di B deve coincidere con il numero n di colonne di A. Il
risultato è una matrice di tipo mxp . Si possono ad esempio
moltiplicare una matrice3x4 e una 4x2, ed il risultato è una
matrice . Non si possono moltiplicare una 3x3 e una 4x3.
• Il prodotto di A e B è la matrice C = AB di dimensione mxp , il cui
elemento di posizione (i,j) è dato dalla somma
PROPRIETA’
• Le operazioni di somma e prodotto di matrici soddisfano tutte le
proprietà usuali della somma e del prodotto di numeri, ad
eccezione, nel caso del prodotto di matrici, della proprietà
commutativa.
• Sia 0 la matrice nulla, fatta di soli zeri (e della stessa taglia di
A). Sia inoltre − A = ( − 1)A la matrice ottenuta moltiplicando A
per lo scalare − 1. Valgono le relazioni seguenti, per ogni A,B,C
matrici per cui queste operazioni hanno senso.
• A + 0 = 0 + A = A (la matrice nulla è l'elemento neutro della
somma)
• A + ( − A) = 0 (esistenza di un inverso per la somma)
• (A + B) + C = A + (B + C) (proprietà associativa della somma)
• A + B = B + A (proprietà commutativa della somma)
• (AB)C = A(BC) (proprietà associativa del prodotto)
• (A + B)C = AC + BC (proprietà distributiva)
• C(A + B) = CA + CB (proprietà distributiva)
• Le prime 4 proprietà affermano che le matrici formano un
gruppo abeliano rispetto all'operazione di somma. Come mostrato
sopra, il prodotto non è commutativo in generale.
MATRICI QUADRATE
•
Fra le matrici, occupano un posto di rilievo le matrici quadrate, cioè le
matrici nxn , che hanno lo stesso numero n di righe e di colonne.
• La più importante matrice è forse la matrice identità In: è una
matrice avente 1 su ogni elemento della diagonale e 0 altrove.
La matrice è importante perché rappresenta l'elemento neutro
rispetto al prodotto: infatti le matrici possono essere
moltiplicate fra loro, e vale (oltre a quelle scritte sopra) la
proprietà seguente per ogni A:
– AIn = InA = A (elemento neutro del prodotto)
• Nello spazio delle matrici sono quindi definiti una somma ed
un prodotto, e le proprietà elencate fin qui asseriscono che
l'insieme è un anello, simile all'anello dei numeri interi, con
l'unica differenza che il prodotto di matrici non è commutativo.
DETERMINANTI
• In algebra lineare, il determinante è una funzione che associa ad
ogni matrice quadrata A uno scalare che ne sintetizza alcune
proprietà algebriche.
• Esso viene generalmente indicato con det(A) e a volte con | A | .
• Il determinante è un potente strumento usato in vari settori
della matematica: innanzitutto nello studio dei sistemi di
equazioni lineari, quindi nel calcolo infinitesimale a più dimensioni
(ad esempio nel Jacobiano), e poi nel calcolo tensoriale, nella
geometria differenziale, nella teoria combinatoria, etc.
LE IMMAGINI
Il calcolo matriciale, ovvero
l'insieme delle operazioni che
possono essere eseguite sulle
matrici, è oggi utilizzato nello
studio di molti problemi complessi
soprattutto legato all’uso
dell’informatica ed è fondamentale
nella gestione della grafica digitale.
L’icona di questo nuovo utilizzo delle matrici è la foto di Lena
Sjööblom (31 marzo 1951) che non è una studiosa, ma
semplicemente un'ex modella svedese, playmate del mese di
novembre 1972 della rivista Playboy.
Nel Maggio del 1997 è stata la madrina della conferenza indetta per
i 50 anni di attività della Society for Imaging Science and
Technology (IS&T).
Ma come nasce questa nuova storia legata alle matrici.
Prendiamo, ad esempio, questa matrice quadrata 16x16 formata da numeri
compresi tra 0 (nero) e 255 (bianco). Che cosa può rappresentare ? Se
legata a problemi di grafica, può semplicemente indicare le tonalità di
grigio presenti in una fotografia in bianco e nero. I numeri definiscono
pixel per pixel la tonalità di grigio necessaria con 0corrispondente al nero
e 255 al bianco. Questa matrice (anch’essa un quadrato magico nel suo
genere) è in realtà la riproduzione di un’ opera di Escher.
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Escher – Drawing Hands, 1948
Certo la foto è molto più bella ma sicuramente la matrice potrebbe risultare
molto più affascinante… Se impariamo a modificare il valore numerico
corrispondente al singolo pixel possiamo ottenere la modificazione
dell’immagine
Escher – Drawing Hands, 1948
Semplicemente (!)
agendo sui valori
numerici presenti
nella matrice che
la rappresenta si
può passare da
questa foto…
…a quest’altra!
Sempre variando i valori numerici relativi ai pixel che
formano un’immagine possiamo deformarla,
capovolgerla, distorcerla.
Se da questa foto vogliamo estrarre
solo la parte a destra (fare uno zoom
solo sugli occhi) basta agire sui
numeri della matrice per creare delle
maschere che permettono di far
vedere solo la parte che ci interessa
Le seguenti operazioni logiche AND e OR permettono di costruire la
maschera voluta
Per avere una maschera nera
Valore pixel AND 11111111 (bianco)= valore pixel
Valore pixel AND 00000000(nero) = nero
Per avere una maschera bianca
Valore pixel OR 11111111 (bianco) = bianco
Valore pixel OR 00000000 (nero) = valore pixel
(per la zona da ritagliare)
(per la zona da nascondere)
Matrice di trasformazione
1
1
-1
2
punti del piano
punti
x
y
O
0
0
A
0,5
B
C
trasformati
x'
y'
O
0
0
0
A'
0,5
-0,5
1
0
B'
1
-1
1
1
2
1
0
1
1
2
0
0,2
0,2
0,4
0
0,4
0,4
0,8
0
0
0
0
C'
Mediante la matrice
di trasformazione la
figura a fondo giallo
si trasforma in quella
a fondo verde… basta
una matrice per
deformare la figura.
Partendo da questa
idea si sono costruiti
tutti i software di
gestione e modifica
delle immagini.
E se la foto è a colori?
Ritroviamo qualcosa di simile ai cubi magici infatti…
Nel 1931, una apposita commissione CIE (Commission Internationale
dell’Eclairage) ha proceduto ad una standardizzazione dei tre colori
primari, fissando i seguenti valori:
B= 435.8 nm
G= 546.1 nm
R= 700 nm
E quindi: Questa
immagine a colori è
rappresentata mediante
la sovrapposizione di tre
matrici nelle quali sono
codificati i livelli di
luminosità dei tre colori
fondamentali rosso,
verde, blu (RGB)
Infine i colori primari possono essere sommati a due a due in
modo da produrre i cosiddetti colori secondari:
il magenta (M), rosso + blu =
=
+
il ciano (C), verde + blu
=
+
il giallo (Y), rosso + verde
=
+
Hanno partecipato:
•
•
•
•
•
•
•
•
Bossa Aniello(5BL)
Cozzolino Jessica(5BL)
Cuciniello Maria(5BL)
Giampaglia Laura(5BL)
Iarrobino Antonella(5BL)
Lisita Emanuela(5BL)
Oliviero Pasquale(5BL)
Tammaro Gennaro(5BL)
Con la collaborazione di:
Prof.ssa Norina Di Fiore
Prof.ssa Rita Punzo
• Cataldo Vittoria(4BL)
• Cimmino Filomena
Chiara(4BL)
• Niglio Vincenzo(4BL)
• Nocerino Filippo(4BL)
• Pignalosa Leopoldo(4BL)
• Maddaloni Laura(3BL)
• Esposito Valerio(4AL)
• Sannino Gianmauro(4AL)
• Maddaloni Rosario(3AL)
• Sorrentino Vincenzo(3AL)
Sitografia e Bibliografia
•
•
•
•
•
Italo Ghersi, Matematica dilettevole e curiosa: Problemi bizzarri Paradossi algebrici e meccanici - Moto perpetuo - Grandi numeri - Curve e
loro tracciamento meccanico - ecc., Hoepli - Milano, 1978. pp. 776 ISBN
8820304694
http://it.wikipedia.org/
http://www.matematicamente.it/
Autore Coautore: Lamberti Lamberto, Mereu Laura, Nanni Augusta, Corso
di matematica uno, due, tre - Editore: ETAS (RCS LIBRI) Codice ISBN:
884506199
Autore: Prof. Salvatore Cuomo: Lezioni del corso PLS2 e SICSI
(www.dma.unina.it)