I SISTEMI DI PRIMO GRADO
MAPPA
TEORIA
METODI DI RISOLUZIONE
RISOLUZIONE DEI PROBLEMI
MAPPA
I SISTEMI
RISOLUZIONE DEI PROBLEMI
TEORIA
METODI DI RISOLUZIONE
EQUAZIONI COME
FUNZIONI
EQUAZIONI IN
GEOMETRIA
ANALITICA
INSIEME DELLE
SOLUZIONI
Sistema indeterminato
STRUTTURA
Confronto
Esempio
geometrico
Sostituzione
Cramer
Riduzione
Sistema determinato
Sistema impossibile
Schema
Esempio
algebrico
TEORIA
Un equazione in due incognite (x e y) come 2x-y=3 è una
proposizione aperta verificata da un’infinità di coppie:
S={(4,5),(1,-1),…}
Le equazioni come funzioni
Le equazioni in geometria analitica
Insieme delle soluzioni
TEORIA
METODI DI
RISOLUZIONE
RISOLUZIONE
DI PROBLEMI
EQUAZIONI COME FUNZIONI
f(x)=2x-3


MAPPA
x
-5
0
1
3
4
5
…
y = 2x-3
-13
-3
-1
3
5
7
…
x
-5
2x-3
-13
-3
0
1
3
3
-1
4
…
TEORIA
METODI DI
RISOLUZIONE
RISOLUZIONE
DI PROBLEMI
MAPPA
EQUAZIONI IN GEOMETRIA
ANALITICA
punto
coppia di reali
retta
equazione
la coppia (a,b) verifica
l’equazione 2x-3=y
il punto P(a,b)  alla retta
di equazione 2x-3=y
TEORIA
METODI DI
RISOLUZIONE
RISOLUZIONE
DI PROBLEMI
MAPPA
INSIEME DELLE SOLUZIONI
Un sistema è un insieme di equazioni, tutte nelle stesse incognite, che
devono essere verificate contemporaneamente.
Risolvere un sistema significa trovare le soluzioni comuni a tutte le
equazioni che lo compongono.
L’insieme delle soluzioni di un sistema è quindi costituito
dall’intersezione degli insiemi soluzione di ciascuna equazione.
ax  by  c

a ' x  b ' y  c '
A seconda del
suo insieme
soluzione un
sistema può
essere:
TEORIA
METODI DI
RISOLUZIONE
RISOLUZIONE
DI PROBLEMI
MAPPA
a b c
 
a ' b' c '
Sistema impossibile S=
TEORIA
METODI DI
RISOLUZIONE
RISOLUZIONE
DI PROBLEMI
MAPPA
a b

a ' b'
Sistema determinato
TEORIA
METODI DI
RISOLUZIONE
RISOLUZIONE
DI PROBLEMI
MAPPA
a b c
 
a ' b' c '
 c  ax 

Sistema indeterminato S   x,
 x  
b 


METODI DI RISOLUZIONE
Elenco dei metodi di risoluzione:
•Metodo del confronto
•Metodo di sostituzione
•Metodo di riduzione
•Metodo di Cramer
TEORIA
METODI DI
RISOLUZIONE
RISOLUZIONE
DI PROBLEMI
MAPPA
Metodo del confronto
Spiegheremo il metodo del confronto con un esempio.
Analizziamo il sistema:
x  y  2  0

 x  2 y  14  0
Esplicitiamo ora le due equazioni rispetto a una delle due variabili, x
ad esempio:
x  2  y

 x  2 y  14
L’incognita x anche se espressa in modi diversi ha lo stesso valore e
potremo quindi scrivere: 2  y  2 y  14
e risolverla come un’ equazione in una incognita. Il valore di y
trovato verrà sostituito in una delle due equazioni. Basterà una
semplice operazione per trovare poi il valore di x.
TEORIA
METODI DI
RISOLUZIONE
RISOLUZIONE
DI PROBLEMI
MAPPA
Metodo di sostituzione
Spiegheremo il metodo del confronto con un esempio.
Analizziamo il sistema:
3x  2 y  1  0

x  4 y  3  0
Esplicitiamo ora una delle due equazioni rispetto a una delle due
variabili, x ad esempio:
3x  2 y  1  0

x  4 y  3
Scrivendo nell’altra equazione al posto di x l’espressione prima
calcolata, svolgeremo l’equazione in y.
34 y  3  2 y 1  0
Una volta calcolato il valore di y sostituiremo di nuovo il suddetto
valore nell’equazione esplicitata in x.
TEORIA
METODI DI
RISOLUZIONE
RISOLUZIONE
DI PROBLEMI
MAPPA
Metodo di riduzione
Spiegheremo il metodo di riduzione con un esempio. Analizziamo il
seguente sistema: 2 x  5 y  6  0


 2 x  4 y  7  0
In questo sistema l’incognita x presenta coefficienti opposti nelle due
equazioni, per cui sommandole membro a membro si riducono ad
un’equazione in y.  2 x  5 y  6  0


 2 x  4 y  7  0
 y 1  0
Moltiplicando per -5 l’equazione in y (per ottenere il monomio +5y,
opposto a quello dell’altra equazione) applicheremo lo stesso
metodo e avremo un’equazione in x.
 2 x  5 y  6  0


5
y

5

0

2 x  11  0
Risolvendo le due semplici equazioni ottenute avremo i valori delle
incognite in questo sistema.
ASPETTO
TEORICO
METODI DI
RISOLUZIONE
RISOLUZIONE
DI PROBLEMI
MAPPA
Metodo di Cramer
Questo non è un modo di risoluzione dei problemi ma un modo
schematico di rappresentare le soluzioni. Questo metodo utilizza il
principio di riduzione, ma per capirlo analizziamo l’esempio:
ax  by  c

a ' x  b ' y  c '
Applichiamo quindi il metodo di riduzione; se vogliamo eliminare x
moltiplichiamo la prima equazione per a’ e la seconda per a. Otterremo il
sistema:
a' ax  a' by  a' c

aa' x  ab' y  ac'
Utilizzando il metodo di riduzione avremo l’equazione:
ab'ba' y  ac'ca'
continua…
ASPETTO
TEORICO
METODI DI
RISOLUZIONE
RISOLUZIONE
DI PROBLEMI
MAPPA
Ripetiamo l’operazione per eliminare y trovando la seconda equazione:
ab'ba' x  ac'ca'
Potremo quindi riscrivere il sistema nel seguente modo:
ab'ba'  x  cb'bc'
e quindi

ab'ba'  y  ac'ca'

x



y 


cb'bc '
ab'ba '
ac 'ca '
ab'ba '
Scriviamo ora i coefficienti di x e y in una schema detto matrice:
 a b  E con questo ricaviamo il
 a 'b'




: 
a
a'
b
 ab'ba'
b'
(La linea indica la moltiplicazione)
Poi cerchiamo il x sostituendo nella matrice i coefficienti di x (quelli
della prima colonna) con i termini noti dell’equazione:
c
x 
c'
b
 cb'bc'
b'
continua…
ASPETTO
TEORICO
METODI DI
RISOLUZIONE
RISOLUZIONE
DI PROBLEMI
MAPPA
Ora per  y faremo la stessa cosa sostituendo però ai coefficienti di y
(seconda colonna) con i termini noti e lasciando quelli di x nella prima
colonna:
y 
a
a'
Avremo quindi:
c
 ac'ca '
c'

x



y 


x

y

Bisognerà poi discutere sul valore del

per poter dar la soluzione.
ASPETTO
TEORICO
METODI DI
RISOLUZIONE
RISOLUZIONE
DI PROBLEMI
MAPPA
Schema
Rette incidenti
a
b

a'
b'
0
DETERMINATO
Rette parallele
a
b
c
 
a ' b' c '

Rette corrispondenti

a b c
 
a ' b' c '
  0  x  0   y  0   0  x  0  y  0
IMPOSSIBILE
INDETERMINATO
(Cliccando su una delle tre possibilità la si può visualizzare graficamente)
RISOLUZIONE DI PROBLEMI
Le equazioni sono usate per risolvere alcuni problemi:
Metodo per la risoluzione
Esempio in geometria
Esempio pratico
ASPETTO
TEORICO
METODI DI
RISOLUZIONE
RISOLUZIONE
DI PROBLEMI
MAPPA
Metodo per la risoluzione
1. Determinare l’obiettivo del problema
2. Individuare i dati e trovare le eventuali relazioni fra essi
3. Scegliere le incognite opportune e determinarne il
dominio
4. Elaborare e risolvere il sistema
5. Controllare che i dati ottenuti corrispondano all’obiettivo
del problema
ASPETTO
TEORICO
METODI DI
RISOLUZIONE
RISOLUZIONE
DI PROBLEMI
MAPPA
Esempio geometrico
TESTO: Un trapezio isoscele ha perimetro 32a.
Ciascuno dei lati obliqui è 5/6 della somma delle basi; la
differenza fra il doppio della base maggiore e la base
minore è 12a. Calcola le misure dei lati del trapezio.
DISEGNO:
D
C
A
B
OBIETTIVO: misure dei lati AD, AB, DC .
DATI E RELAZIONI: 2 AB  DC  12a
e visto che il trapezio è isoscele: 32a  AB  DC
continua…
2


5
AB  DC
6

ASPETTO
TEORICO
METODI DI
RISOLUZIONE
RISOLUZIONE
DI PROBLEMI
INCOGNITE:
MAPPA
SISTEMA:
AB  x
DC  y

 32a  AB  DC 5
 AB  DC

2
6

2 AB  DC  12a



 32a  x  y 5
 x  y 

2
6

2 x  y  12a
x  8a
Applicando i sistemi di risoluzione troviamo: y  4a
CONTROLLO:
AB  8a  DC  4a
32a  4a  8a
p  32a  AD 
 10a
2
SOLUZIONE: AB  8a
DC  4a
AD  10a
ASPETTO
TEORICO
METODI DI
RISOLUZIONE
RISOLUZIONE
DI PROBLEMI
MAPPA
Esempio algebrico
In un numero di 3 cifre la prima supera di 3 la metà della
seconda; quest’ultima è il doppio della terza, che, a sua
volta, supera di 5 la differenza fra le prime due. Qual è il
numero?
OBIETTIVO: numero x
DATI E RELAZIONI: prima cifra=metà della seconda+3
seconda cifra= 2 volte la terza
terza cifra=prima-seconda+5
INCOGNITE: seconda cifra=x
1
1
SISTEMA
x  3 x 5  x
2
2
x8
continua…
ASPETTO
TEORICO
METODI DI
RISOLUZIONE
RISOLUZIONE
DI PROBLEMI
MAPPA
CONTROLLO: prima cifra= 8:2+3=7
seconda cifra=8
terza cifra=7-8+5=4
SOLUZIONE: il numero è 784
FINE!