MATEMATICA E STATISTICA CORSO A
SCIENZE BIOLOGICHE MOLECOLARI
I PROVA IN ITINERE RECUPERO
8 gennaio 2009
TEMI 2 E 4 ESERCIZI SVOLTI
OSSERVAZIONE PRELIMINARE: Premesso che per il corretto
svolgimento di questo compito di recupero sarebbe stata sufficiente una
revisione accurata e critica della I Prova in itinere svolta a novembre,
segnaliamo in particolare per ogni esercizio il materiale didattico in rete
(home page docente) dove si sarebbero potuti trovare la parte teorica
necessaria e gli esercizi svolti della stessa tipologia.
1.(4punti) Indichiamo con IMC= m/h2 l’indice biometrico di massa
corporea, dove m indica la massa misurata in kg (chilogrammi), ed h
indica l’altezza misurata in m (metri).
VERSIONE TEMA 2: E’ noto che Maria ha IMC=20 ± 2, ed h=1.50 ±
0.03 m, determina valore stimato, errore relativo ed errore assoluto della
sua massa.
SOLUZIONE: Dalla relazione IMC= m/h2 si ricava
m=IMC·h2 =IMC·h·h
Gli errori relativi di IMC e di h sono ≤1/10 , dunque possiamo procedere
con le approssimazioni consuete (vedi il materiale didattico in rete
Lez2, Esercitaz2, Esercizio 1 della I prova in itinere, EsRECSOL…):
il valore stimato VS di m è dato dal prodotto dei valori stimati
VS = 20(1.50)2 = 45 kg
L’errore relativo ER di m è dato dalla somma degli errori relativi dei
fattori IMC, h, e ancora h
ER= 2/20 + 0.03/1.50 + 0.03/1.50 = 7/50=0.14
L’errore assoluto EA di m è dato dal prodotto di VS per ER
EA= VS·ER= 45(7/50)=6.3 kg
VERSIONE TEMA 4: E’ noto che Maria ha IMC=21 ± 3, ed h=1.50 ±
0.03 m, determina valore stimato, errore relativo ed errore assoluto della
sua massa.
SOLUZIONE: Si procede come per TEMA 2, ottenendo:
VS= 21(1.50)2 = 47.25 kg
ER= 3/21 + 0.03/1.50 + 0.03/1.50 =96/525 ≈ 0.183
EA= 47.25(96/525) = 8.64 kg
Per gli esercizi 2, 3 e 5, Vedi tra gli altri: Lez7, Esercitaz4 e
Esercitaz6, Prova1Sol, Prova2Sol. Per la binomiale, in particolare,
vedi Lez 9.
2. (4 punti)VERSIONE TEMA 2: In un sacchetto ci sono 5 biglie
verdi, 3 gialle e 4 blu. Calcolare la probabilità di estrarre esattamente 3
blu, in:
a) cinque estrazioni senza rimessa;
b) cinque estrazioni con rimessa
SOLUZIONE: a) utilizzando il calcolo combinatorio
48
  
   
32
 12 


 5 


Oppure, utilizzando la legge del prodotto
5
 
  (4/12)(3/11)(2/10)(8/9)(7/8)
3
b)per le estrazioni con rimessa dobbiamo utilizzare la legge binomiale
5
 
  (4/12)3(8/12)2
3
2. (4 punti)VERSIONE TEMA 4: In un sacchetto ci sono 4 biglie
verdi, 2 gialle e 6 blu. Calcolare la probabilità di estrarre esattamente 3
blu, in:
a) cinque estrazioni senza rimessa;
b) cinque estrazioni con rimessa
SOLUZIONE: a) utilizzando il calcolo combinatorio
66
  
   
32
 12 


 5 
Oppure, utilizzando la legge del prodotto
5
 
  (6/12)(5/11)(4/10)(6/9)(5/8)
3
b)per le estrazioni con rimessa dobbiamo utilizzare la legge binomiale
5
 
  (6/12)3(6/12)2
3
3. (4 punti) VERSIONE TEMA 2: Considerate due eventi A e B tali che
P(A)=1/4, P(B|A)=1/4, P(A|B)=3/4. Stabilire quali delle seguenti
affermazioni sono vere e quali invece sono false (giustificare le
risposte!):
a) A e B sono eventi indipendenti;
b) P(A) = P(B)
SOLUZIONE: a) Se A e B fossero indipendenti si dovrebbe avere P(A)=
P(A|B), ma P(A)= 1/4, mentre P(A|B)=3/4, quindi A e B sono dipendenti
b)ricaviamo P(B) dalla relazione P(A)P(B|A)= P(B)P(A|B), dunque
P(B)=[P(A)P(B|A)]/P(A|B)=(1/4)(1/4)/(3/4) =1/12 , dunque A e B
non hanno la stessa probabilità P(A)≠ P(B)
3. (4 punti)VERSIONE TEMA 4: Considerate due eventi A e B tali che
P(A)=1/3, P(B|A)=1/4, P(A|B)=3/4. Stabilire quali delle seguenti
affermazioni sono vere e quali invece sono false (giustificare le
risposte!):
a) A e B sono eventi indipendenti;
b) P(A) = P(B)
SOLUZIONE: a) Se A e B fossero indipendenti si dovrebbe avere P(A)=
P(A|B), ma P(A)= 1/3, mentre P(A|B)=3/4, quindi A e B sono dipendenti
b)ricaviamo P(B) dalla relazione P(A)P(B|A)= P(B)P(A|B), dunque
P(B)=[P(A)P(B|A)]/P(A|B)=(1/3)(1/4)/(3/4) =1/9 , dunque A e B non
hanno la stessa probabilità P(A)≠ P(B)
Per l’esercizio 4 vedi Lez3, Prova1Sol, Prova2Sol, EsVari27-11,
EsRECSOL
4. (4 punti)VERSIONE TEMA 2: Se la popolazione di una data città è
diminuita del 15% nel 2007, in quale percentuale sarebbe dovuta
aumentare nel 2008 per tornare alla numerosità di partenza?
SOLUZIONE: Indichiamo con N il numero iniziale di individui se la
popolazione nel 2007 è diminuita del 15%, il numero di individui della
popolazione è diventato N- 15/100N = 85/100N; quest’ultimo numero
deve essere aumentato di un certo p% affinchè il numero totale di
individui della popolazione torni ad essere N, dunque
(85/100)N + (p/100)(85/100) N = N
moltiplichiamo per 100 e dividiamo per N la precedente uguaglianza, si
ha
85 + 85 p/100 = 100, da cui
p=300/17≈17.65 %
4. (4 punti)VERSIONE TEMA 4: Se la popolazione di una data città è
diminuita del 6% nel 2007, in quale percentuale sarebbe dovuta
aumentare nel 2008 per tornare alla numerosità di partenza?
SOLUZIONE: Si procede come nella versione Tema 2 e si ottiene la
relazione 94 + 94 p/100= 100, da cui p=600/94 ≈ 6.38%
5. (6 punti)VERSIONE TEMA 2: Un lucchetto è formato da un cilindro
di sei anelli rotanti. Ogni anello è marcato con le 26 lettere dell’alfabeto
latino.
a) Quante combinazioni si possono avere?
b) Quante combinazioni contengono la sequenza abcd? (Per esempio,
la combinazione cabcdf contiene la sequenza abcd)
c) Calcolare la probabilità che, scegliendo a caso una combinazione
qualsiasi, la lettera b compaia esattamente due volte.
SOLUZIONE: a) 266
b) la sequenza abcd si può inserire in 3 modi nella combinazione e per
ognuno di questi ci sono 262 possibili completamenti del codice per
quanto riguarda i due posti rimanenti, in tutto quindi sono 3·262
c)possiamo utilizzare la legge binomiale considerando che in tutto si
devono sorteggiare 6 lettere, la probabilità di sorteggiare la lettera b è
1/26, dunque la probabilità richiesta è
6
 
  (1/26)2 (25/26)4
2
5. (6 punti)VERSIONE TEMA 4: Un lucchetto è formato da un cilindro
di sei anelli rotanti. Ogni anello è marcato con le 26 lettere dell’alfabeto
latino.
a) Quante combinazioni si possono avere?
b) Quante combinazioni contengono la sequenza acab? (Per esempio,
la combinazione bacabf contiene la sequenza acab)
c) Calcolare la probabilità che, scegliendo a caso una combinazione
qualsiasi, la lettera b compaia esattamente quattro volte.
SOLUZIONE: a) 266; b) 3·262 ;
6
 
c)  2  (1/26)4 (25/26)2
Per l’esercizio 6 Vedi in particolare Lez8 ed Esercitaz5
6. (6 punti) VERSIONE TEMA 2: In una popolazione, che soddisfa le
ipotesi della legge di Hardy-Weinberg, una certa caratteristica C è
determinata geneticamente da un gene con due possibili alleli: l’allele A
dominante e l’allele a recessivo. Si presenta la caratteristica C se si è del
genotipo AA oppure Aa. Sapendo che l’allele A ha frequenza 0.8 nella
popolazione, calcola:
a) la probabilità che, prendendo un individuo a caso nella
popolazione, l’individuo sia ¬C , vale a dire NON presenti la
caratteristica C;
b) la probabilità che nasca un figlio C, sapendo che la madre è C ed il
padre è ¬C;
c) la probabilità che almeno uno dei due genitori sia ¬C, sapendo che
il figlio è C.
SOLUZIONE: a) Indichiamo con P(A)=0.8 la frequenza dell’allele A
nella popolazione, dunque la frequenza dell’allele a è P(a)=0.2. Si è ¬C
se si è aa, in una popolazione che soddisfa alla legge di H-W si ha
P(aa)= P(a)P(a)=0.22 =0.04, questa è la probabilità richiesta.
Si osserva inoltre che
P(AA)= P(A)P(A)=0.82 =0.64
P(Aa)= 2P(A)P(a)= 2(0.8)(0.2)=0.32
b)Si tratta di calcolareP(FC|MC ∩P¬C), dove F sta per figlio, M sta per
madre, P sta per padre. Poiche il padre non presenta la caratteristica C,
egli è certamente aa, mentre la madre, che presenta C, può essere AA, ed
in tal caso il figlio presenta sicuramente C, oppure la madre può essere
Aa ed in tal caso il figlio potrà risultare C con probabilità 1/2, dunque
avremo
P(FC|MC ∩P¬C)= P(FC∩MC ∩P¬C)/ P(MC ∩P¬C)= [0.64 + 0.32(1/2)]/[0.64
+0.32] = 0.8/0.96 = 5/6
c) Conviene il calcolo diretto dell’evento richiesto, in quanto i genitori
non possono essere entrambi privi di C, altrimenti anche il figlio
risulterebbe privo di C, quindi o il padre presenta C e la madre non
presenta C, oppure viceversa, dunque la probabilità dell’evento richiesto
è data da
P(MC ∩P¬C| FC) + P(PC ∩M¬C| FC) = 2P(MC ∩P¬C| FC), essendo
P(MC ∩P¬C| FC) = P(PC ∩M¬C| FC), calcoliamo dunque 2 P(MC ∩P¬C| FC)
2 P(MC ∩P¬C| FC)=2[(0.04)(0.32)(1/2) + (0.04)(0.64)]/ 0.96 = 0.064/0.96
= 1/15
VERSIONE TEMA 4: Basta sostituire nella precedente soluzione
P(A)=0.6 e, dunque, P(a)= 0.4, ottenendo
a) 0.16; b) P(FC|MC ∩P¬C)= 6/21; c) 2P(MC ∩P¬C| FC)= 0.192/0.84= 8/35
Per l’esrcizio 7, vedi in particolare Lez11 ed Esercitaz7
7. (6 punti)VERSIONE TEMA 2: In una data popolazione il numero di
individui N(t) dipende con continuità dal tempo nel modo seguente:
per t<10 la popolazione è costantemente formata da 50 individui
per 10≤t≤30 la popolazione cresce linearmente
per t>30 la popolazione è costantemente formata da 100 individui
a) determina l’espressione analitica di N(t)
b) disegna il grafico di N(t)
SOLUZIONE:
a) N(t) deve essere lineare per 10≤t≤30, dovendo passare, per la
continuità, per i punti (10, 50) e per (30,100), otteniamo dunque
N(t)= 2.5 t + 25 per 10≤t≤30, quindi
50 per t<10
N(t)= 2.5 t + 25 per 10≤t≤30
100 per t>30
7. (6 punti)VERSIONE TEMA 4: In una data popolazione il numero di
individui N(t) dipende con continuità dal tempo nel modo seguente:
per t<10 la popolazione è costantemente formata da 100 individui
per 10≤t≤40 la popolazione cresce linearmente
per t>40 la popolazione è costantemente formata da 200 individui
a) determina l’espressione analitica di N(t)
b) disegna il grafico di N(t)
SOLUZIONE:
a)N(t) deve essere lineare per 10≤t≤40, dovendo passare, per la
continuità, per i punti (10, 100) e per (40,200), otteniamo dunque
N(t)= 10/3 t + 200/3 per 10≤t≤40, quindi
100 per t<10
N(t)= 10/3 t + 200/3 per 10≤t≤40
200 per t>40