Dinamica dei corpi in rotazione Le leggi che governano il moto dei corpi in rotazione non sono nuove leggi fisiche, ma derivano matematicamente dalle tre leggi di Newton, quindi sono dei teoremi di meccanica. La derivazione di questi teoremi è a volte complessa e quindi non verrà in generale svolta in un corso elementare Momento angolare: corpo puntiforme r P O Il momento angolare per un corpo puntiforme P di massa m che si muove di moto circolare uniforme con velocità v secondo una circonferenza di raggio r ha una definizione molto semplice L m v r V Unità di misura: Kg∙m2/s Momento angolare Poiché il prodotto m∙v è la quantità di moto p, il momento angolare può anche essere definito in questo modo: r P V O L pr Momento angolare Altrimenti, poiché la velocità lineare v è legata alla velocità angolare ω dalla relazione: v r r P V O Il momento angolare può essere anche così scritto: L m r 2 Momento di inerzia La quantità: I mr 2 Viene definita MOMENTO DI INERZIA del corpo rispetto al centro O della traiettoria. Con questa posizione il momento angolare può anche sinteticamente essere così scritto: L I Momento angolare e quantità di moto Da notare l’analogia formale tra quantità di moto e momento angolare, entrambe date dal prodotto di una velocità (quella lineare nel primo caso, quella angolare nel secondo) per una grandezza legata alla massa del corpo p mv L I Questa analogia formale si traduce in una analogia tra le leggi che presiedono alla variazione di tali grandezze Energia cinetica Anche l’energia cinetica può essere espressa in termini di momento di inerzia e velocità angolare, infatti: 1 2 Ec m v 2 1 2 2 Ec m r 2 I mr 2 v r 1 2 Ec I 2 Energia cinetica Questa espressione dell’energia cinetica in termini del momento di inerzia e della velocità angolare non è molto interessante nella trattazione del corpo puntiforme ma lo diventa nel caso del corpo rigido 1 2 Ec I 2 Vettore momento angolare L r P V O Così come la quantità di moto, anche il momento angolare è in realtà un vettore. Il vettore L è perpendicolare al piano di rotazione del corpo, e il suo verso è dato dal pollice della mano destra, tenuto perpendicolare al palmo, quando le altre dita ruotano accompagnando la rotazione del corpo Definizione generale: raggio vettore O r P Si dice RAGGIO VETTORE di un punto P rispetto al punto O (polo) il vettore che unisce il punto O con il punto P Il verso del raggio vettore è quello che va da O a P Definizione generale: momento angolare O L Si dice MOMENTO ANGOLARE del punto materiale P rispetto al polo O il prodotto vettoriale del raggio vettore per la quantità di moto del corpo P r Lrp P V Definizione generale: momento angolare O L r P V Naturalmente, nel caso del moto circolare uniforme, la definizione generale si riduce a quella particolare L pr Momento di una forza Il momento di una forza rispetto a un fulcro O è il prodotto della forza F per il braccio b, ovvero la distanza tra il fulcro e la retta del vettore forza b O F M F b Momento di una forza: definizione generale Il momento di una forza rispetto a un fulcro O è il prodotto vettoriale del raggio vettore che unisce il fulcro al punto di applicazione della forza e il vettore forza stesso O r F M M r F Variazione del momento angolare Se un corpo è soggetto a una forza F per un tempo t la variazione della quantità di moto del corpo è regolata dalla seconda legge di Newton p F t Analogamente, la variazione del momento angolare di un corpo soggetto a una forza di momento M per un tempo t è: L M t Cenno alla dimostrazione Questa legge è un teorema. La dimostrazione è semplice nel caso del moto circolare, infatti in questo caso vi sono diverse semplificazioni: • le grandezze sono semplici scalari e non vettori • il momento angolare è semplicemente p∙r • la forza agente è perpendicolare al raggio della curva (infatti una componente radiale verrebbe annullata dalla reazione vincolare) • il braccio è uguale al raggio, quindi il momento della forza è semplicemente F∙r Cenno alla dimostrazione L pr O r F M F r Cenno alla dimostrazione Partendo dalla seconda legge di Newton: p F t Si moltiplicano entrambi i membri per r r p r F t Poiché r è costante può essere portato dentro al segno di Δ (r p) r F t E sostituendo secondo quanto visto nella precedente diapositiva si ha la tesi L M t Conservazione del momento angolare Il momento angolare è una delle grandezze meccaniche soggette a conservazione In un sistema isolato il momento angolare totale è costante Per momento angolare totale si intende, naturalmente, la somma dei momenti angolari di tutti i corpi facenti parte del sistema Momento angolare: corpo rigido Un corpo rigido è un corpo esteso (ovvero che occupa un volume non nullo) e la cui forma non può subire nessuna modifica. I corpi solidi sono in prima approssimazione corpi rigidi. Per prima cosa prenderemo in considerazione un corpo rigido rotante intorno a un asse fisso a, come una ruota, con una data velocità angolare ω Momento angolare: corpo rigido r a Il corpo può essere diviso in un insieme di piccole particelle, ognuna delle quali possa essere considerata un corpo puntiforme. Ognuna di queste particelle descrive una circonferenza di raggio r intorno all’asse di rotazione e ha un suo momento angolare dato dalla formula nota: l m r 2 Momento angolare: corpo rigido r a Da notare che è stata usata, tra le diverse varianti, la formula che contiene la velocità angolare: infatti tutte le particelle che formano il corpo hanno la stessa velocità angolare, ma diverse velocità lineari l m r 2 Momento angolare: corpo rigido r Si dice momento angolare del corpo rigido rispetto all’asse a la somma di tutti i momenti angolari delle particelle che lo compongono L mi ri 2 a Momento di inerzia Poiché ω è una costante possiamo metterla in evidenza e porla fuori dal simbolo di sommatoria L mi ri La quantità: I 2 mi ri 2 Viene detta MOMENTO DI INERZIA del corpo rispetto all’asse a Momento angolare e energia cinetica Il momento angolare del corpo rigido rotante intorno a un asse fisso può quindi essere scritto nella stessa forma di quello del corpo puntiforme L I Allo stesso modo l’energia cinetica 1 2 Ec I 2 Momento angolare: verso L a Per quanto riguarda il verso ci si regola esattamente come per la particella puntiforme: Il verso del vettore momento angolare è quello del pollice della mano destra quando le altre dita della mano girano seguendo la rotazione del corpo Significato del momento di inerzia Così come la massa può essere considerata come la misura della tendenza di un corpo a mantenere il suo stato di quiete o moto rettilineo uniforme (infatti maggiore è la massa, più è difficile modificare il moto) il momento di inerzia può essere considerato come la misura della tendenza di un corpo a mantenere il suo stato di moto circolare uniforme: maggiore è il momento di inerzia, più sarà difficile modificare il moto rotatorio del corpo Volano Nel motore a scoppio sull’albero motore viene applicato un volano, ovvero un disco di elevato momento di inerzia: lo scopo è quello di stabilizzare il moto rotatorio dell’albero stesso, che altrimenti andrebbe a scatti e tenderebbe ad arrestarsi Momenti di inerzia a confronto Il momento di inerzia non dipende solo dalla massa ma, come si nota dalla formula, anche da come essa è distribuita intorno all’asse di rotazione: • se la massa è concentrata intorno all’asse di rotazione r sarà piccolo e quindi I sarà piccolo • se la massa è concentrata lontano dall’asse di rotazione r sarà grande quindi I sarà grande I mi ri 2 Momenti di inerzia a confronto Ad esempio, a parità di massa un anello avrà un momento di inerzia maggiore di un disco, perché la sua massa è concentrata soprattutto alla periferia, quindi lontano dall’asse di rotazione Effetto pattinatore Quando un pattinatore sta ruotando su se stesso può variare la sua velocità angolare allargando o stringendo gli arti: • aprendo gli arti il momento di inerzia aumenta perché la massa è distribuita più lontano dall’asse di rotazione • stringendo gli arti il momento di inerzia diminuisce perché la massa è più concentrata intorno all’asse di rotazione Effetto pattinatore Per il principio di conservazione del momento angolare: • quando il momento di inerzia aumenta la velocità angolare diminuisce • quando il momento di inerzia diminuisce la velocità angolare aumenta L I Effetto pattinatore Lo stesso effetto è utilizzato anche nei tuffi e nella danza Collasso gravitazionale Durante il collasso gravitazionale di una stella che ha esaurito il suo combustibile nucleare il momento di inerzia diminuisce, perché la massa si concentra verso il centro, e quindi la velocità angolare aumenta. Le stelle di neutroni, ultima fase del collasso per stelle di massa non troppo grande, ruotano su se stesse molto rapidamente Collasso gravitazionale Il momento angolare posseduto dal sole e dai pianeti del sistema solare è quello che aveva la nebulosa originaria. La velocità di rotazione doveva essere all’inizio molto piccola, ma man mano che le masse si concentravano diveniva sempre più grande Momento di inerzia dei corpi Come si nota dalla formula il momento di inerzia non dipende solo dalla forma del corpo ma anche dall’asse di rotazione: per ogni asse di rotazione esiste un diverso momento di inerzia, per cui i momenti di inerzia di un corpo sono infiniti. E’ però possibile dimostrare che per ogni corpo rigido esistono tre assi, detti assi principali di inerzia, e che tutti i momenti di inerzia relativi a qualsiasi altro asse sono una combinazione dei momenti di inerzia relativi ai tre assi principali Momento di inerzia dei corpi Giroscopio Si dice giroscopio un corpo rigido (solitamente un disco) libero di ruotare nello spazio. Nella pratica il disco deve essere montato su un supporto: perché il disco sia libero di ruotare si adotta un particolare montaggio che prende il nome di sospensione cardanica Giroscopio L Per la conservazione del momento angolare, quando un giroscopio viene orientato verso una direzione, ad esempio verso la stella polare, esso tende a mantenere fissa questa direzione anche quando viene spostato in altri punti Bussola giroscopica Questo effetto oggi è utilizzato per sostituire le bussole magnetiche (che non indicano il nord geografico, ma quello magnetico) con le più efficienti bussole giroscopiche Moto di precessione Quando un giroscopio viene sottoposto ad una forza avente un dato momento, l’effetto è quello di spostare l’asse di rotazione in direzione del momento torcente stesso L M Moto di precessione Infatti, per la legge del moto: ΔL L M t L L’ M Come si vede dal disegno, se si aggiunge al vettore L il vettore ΔL si ottiene un nuovo vettore L’, che rappresenta il momento angolare modificato, spostato nella direzione di M Moto di precessione Se questo avviene in modo continuo, anche il vettore momento angolare, e quindi l’asse di rotazione si spostano di continuo, e ciò provoca un moto detto di precessione. Nel moto di precessione la punta del vettore L descrive un cono Trottola ΔL L r M O F=mg Questo moto lo si osserva nella trottola: la forza che genera il momento torcente è la forza peso, il punto O è il punto di contatto della trottola col piano di appoggio, supposto fisso a causa della reazione vincolare, il raggio vettore va da O al baricentro della trottola Ruota M L ΔL r O F=mg Lo stesso effetto si ha quando una ruota rotola sul terreno: la stabilità giroscopica impedisce che la ruota cada (come succederebbe se la ruota fosse ferma) facendo invece curvare la traiettoria (infatti la ruota nel suo percorso procede sempre perpendicolarmente al vettore L) Precessione degli equinozi ΔL L M La Terra può essere considerata un grande giroscopio. A causa del suo rigonfiamento equatoriale le forze combinate di sole e luna producono una forza di momento non nullo che provoca un moto di precessione dell’asse di rotazione, proprio come una trottola Precessione degli equinozi ΔL L M Questo fa sì che nel corso dei secoli l’asse di rotazione non sia volto verso lo stesso punto della volta celeste e che i punti di intersezione tra il piano di rotazione e quello di rivoluzione (che corrispondono agli equinozi) si spostino nella fascia dello zodiaco con un periodo di circa 25.800 anni Moto traslatorio e rotatorio Fino ad ora sono stati studiati separatamente il moto di un corpo puntiforme nello spazio (moto di traslazione) e la rotazione di un corpo esteso intorno a un asse fisso. In realtà di solito anche i corpi estesi, oltre al moto rotatorio, compiono un moto traslatorio, come ad esempio la Terra Moto traslatorio e rotatorio Nella Terra separiamo il moto traslatorio che la Terra compie intorno al sole in un anno (moto di rivoluzione) da quello di rotazione della Terra intorno al proprio asse in un giorno (moto di rotazione) Moto traslatorio e rotatorio In realtà questo è sempre possibile; il moto di un corpo rigido può essere separato in: • Moto traslatorio del baricentro, equivalente a quello di un punto materiale, con massa pari alla massa del corpo, una data velocità v, e regolato dalla legge: p F t • Moto rotatorio, equivalente a quello di un corpo rigido intorno a un asse passante per il baricentro, con momento di inerzia dato I e, una data velocità angolare ω, regolato dalla legge: L M t Moto traslatorio e rotatorio Un esempio è dato dal moto della ruota di un’automobile: V V ω • il centro della ruota trasla parallelamente al terreno con velocità pari a quella dell’automobile • la ruota gira intorno a tale centro con moto circolare Moto traslatorio e rotatorio V ω E’ da notare che in questo caso moto rotatorio e traslatorio sono sincronizzati. Infatti, in assenza di slittamento il punto della ruota a contatto col terreno è fermo, quindi è necessario che la velocità periferica di rotazione della ruota sia uguale e contraria a quella di traslazione. Se R è il raggio della ruota tra velocità di traslazione e velocità angolare sussiste pertanto la relazione: v R Terra e luna Anche il moto di rotazione della luna su se stessa è sincronizzato con quello di rivoluzione intorno alla Terra, per cui la luna rivolge sempre la stessa faccia alla Terra. Ciò è dovuto a una complessa interazione gravitazionale che ha trasferito energia e momento angolare tra Terra e luna. Terra e sole Al contrario, il moto di rotazione della Terra su se stessa non è sincronizzato con quello di rivoluzione intorno al sole perché le forze agenti sono risultate troppo deboli Moto traslatorio e rotatorio Il momento angolare complessivo del corpo può essere separato in due componenti: • Momento angolare del punto materiale, dovuto al moto traslatorio rispetto a un polo O • Momento angolare intrinseco, dovuto alla rotazione del corpo rigido intorno all’asse di rotazione Moto traslatorio e rotatorio Nella fisica atomica e subatomica queste due componenti hanno un nome particolare: • Il momento angolare dovuto alla traslazione della particella (ad esempio la rotazione di un elettrone intorno al nucleo atomico) si chiama momento angolare orbitale • Il momento angolare intrinseco dovuto alla rotazione della particella su se stessa si chiama spin Energia cinetica Anche l’energia cinetica può essere separata in due componenti: • Quella dovuta alla traslazione del punto materiale, detta energia cinetica traslazionale • Quella dovuta alla rotazione del corpo rigido su se stesso, detta energia cinetica rotazionale Energia cinetica L’energia cinetica di un corpo rigido può quindi essere scritta in questa forma: 1 2 1 2 Ec m v I 2 2 Dove v è la velocità di traslazione del punto materiale e ω la velocità angolare di rotazione del corpo rigido intorno all’asse Lo yoyo Lo yoyo fornisce un semplice esempio di come l’energia cinetica in un corpo rigido si suddivide tra traslazionale e rotazionale. Se si lascia cadere lo yoyo come se fosse un sasso l’energia potenziale della forza peso si trasforma in energia cinetica traslazionale, come in caduta libera Lo yoyo Se invece lo yoyo viene lasciato tenendo la cordicella, l’attrito della corda mette in rotazione il disco e l’energia potenziale si trasforma in gran parte in energia cinetica rotazionale, per cui lo yoyo scende più lentamente aumentando progressivamente la velocità di rotazione Lo yoyo Quando lo yoyo giunge a fine corsa, sempre grazie al filo la rotazione si inverte e il disco comincia a risalire man mano che l’energia cinetica rotazionale si ritrasforma in energia potenziale (salvo la parte persa per attrito)