LA MATEMATICA
EGIZIA
LE FONTI
Uno dei più antichi reperti con
numeri scritti in geroglifici è una
testa di mazza in calcare
decorata, nota come mazza del
faraone Narmer, risalente al 3000
a. C. circa. Sulla testa di mazza
sono incise più immagini, che
hanno avuto varie interpretazioni.
I numeri sono stati recentemente
decifrati come il risultato della
conquista delle regioni del delta
del Nilo, un bottino di guerra di
400.000 bovini, 1422000 capre e
120.000 prigionieri.
I geroglifici sulla mazza
Particolare: 400.000 bovini, 1422000
capre e 120.000 prigionieri.
Il papiro di Kahun
(dodicesima dinastia)
Il papiro di Mosca
Il papiro di Rhind
Fu acquistato, nel 1858, dallo scozzese Hanry Rhind, da cui il nome, a
Luxor, in Egitto, ed oggi si trova al British Museum. Il papiro risale al
1650 a. C., è scritto in ieratico e non in geroglifici, ma, scrive lo stesso
Ahmes, è copiato da un papiro risalente alla fine del Medio Regno.
All'inizio del papiro si legge: “Regole per scrutare la natura e per
conoscere tutto ciò che esiste, ogni mistero, ogni segreto”. Il papiro
contiene tavole di calcolo e 87 problemi ripartiti in vari gruppi di natura
pratica e connessi con le attività di ingegneria edile, di agricoltura, di
amministrazione, di approvvigionamento etc., esposti con intento
didattico.
IL SISTEMA GEROGLIFICO E
IERATICO
Il sistema geroglifico
Esistevano sette simboli per indicare le potenze del
10:
Un bastoncino o breve tratto
di corda per indicare il
numero 1
Un bastone o corda piegata
a forma di “U” rovesciata per
indicare il 10
Una corda arrotolata a
spirale per indicare il 100
Un fior di loto per indicare
1000
Un dito con la punta piegata
per indicare 10000
Un girino in metamorfosi per
indicare 100000
Un uomo inginocchiato con le
braccia levate al cielo per
indicare 1000000
Come tutte le popolazioni antiche, gli egizi non
conoscevano lo zero e usavano una notazione non
posizionale ma additiva, per scrivere 1301 usavano un
fior di loto, tre corde arrotolate e un bastoncino
1301
Quando uno stesso simbolo doveva essere ripetuto
più volte, fino ad un numero di quattro venivano scritti
allineati, altrimenti su due o tre righe
400
50
9
La numerazione ieratica
La numerazione ieratica era una numerazione semplificata, usata in
particolare dai sacerdoti, mercanti e cittadini semplici. Essa non era
presente in nessun documento ufficiale perché non era scrittura sacra. In
essa si utilizzava un solo simbolo per i numeri da 1 a 9, da 10 a 90, da 100 a
900 e da 1000 a 9000. Ecco qua sotto riportata la scrittura ieratica:
LE OPERAZIONI
L’addizione
Per addizionare due numeri si raggruppano i simboli dello stesso
tipo, se la somma contiene dieci simboli uguali, questi vengono
sostituiti dal simbolo con il valore successivo
535
+
Agli undici bastoncini si sostituisce
26
Abbiamo eseguito 535 + 26 ottenendo
561
561
La sottrazione
La sottrazione veniva eseguita con la cancellazione, usando il
cambio, quando necessario . Facciamo due esempi.
ESEMPI O
33-21
Simboli
rimasti
12
Abbiamo eseguito 33 – 21, ottenendo 12
ESEMPIO
213 - 122
Rimane da cancellare un bastoncino
curvo che non è disponibile; sostituiamo
la corda arrotolata con dieci bastoncini
curvi e ne cancelliamo uno.
Simboli
rimasti
91
Abbiamo eseguito 213 – 122,
ottenendo 91
La moltiplicazione
La tecnica egizia per eseguire le moltiplicazioni
non richiede la memorizzazione delle tabelline; è
basata invece su raddoppi successivi. Vediamo
alcuni esempi.
ESEMPIO
Si voglia eseguire 12 x 13=………
L’operazione procede su due colonne dove si eseguono
raddoppi; a sinistra, a partire dall’unità e a destra quelli del
secondo fattore
4 volte 13 (52) e
1
13
8 volte 13 (104)
2
26
danno 12 volte 13
4
52
cioè 156
8
12
104
156
E non
E abbiamo usato
tabelline!!!!
Il problema 32 del papiro di Rhind
mostra come calcolare 12 x 12
1
2
4
8
12
12
24
48
96
144
Gli unici calcoli effettuati sono il raddoppio e la
somma
ESEMPIO
Si voglia eseguire 67 x 30=………
A volte gli egizi usavano la moltiplicazione per 10
1
2
4
10
20
40
30
60
120
300
600
1200
67
2010
Il problema 6 del papiro di Kahun mostra
come eseguire la moltiplicazione per 5:
moltiplicare per 10 e dividere per 2
Eseguiamo 16 x 16
1
10
5
16
160
80
16
256
OSSERVAZIONE
Il metodo di raddoppiare e sommare funziona sempre?
La questione è:
si può sempre scrivere un fattore come somma di
potenza del 2?
Per esempio
SI
83 = 64 + 19 = 64 +16 +3= 64 +16 +2 +1=
26 + 2 4 + 21 + 2 0
Si potrebbe prendere spunto da questa osservazione per una
lezione sul sistema binario, e sulla forma polinomiale in cui il numero
può essere scritto
Volendo eseguire 79 x 13
1 con il metodo egizio
13
20
1
26
21
2
Le potenze del 2 segnate
52
22
4
in rosso e sommate danno
104
23
8
la forma polinomiale del
4
208
2
16
numero 79 che in base 2
5
416
2
32
diventa:1001111
832
26
64
79
1027
1001111=26+ 0 + 0 + 23 + 22 + 21 + 20
89 x13 e qualcosa in più!!
1
2
5
11 22
1
0
1
1
0
832 416 208 104 52
44
0
26
89
1
13
89 in base 2
1157 la somma
Dietro questo procedimento si nasconde la
moltiplicazione con il metodo del contadino Russo
Il perché 89 x 13 = 1157 è così spiegato:
89 x 13= 44 x 26 +13= 22 x 52 +13=11 x 104 +13=
5 x 208 +104 +13=2 x 416+208+104+13=
832+208+104+13=1157
E ANCORA NIENTE TABELLINE!!!!!!
SUGGERIMENTO
Nella prospettiva di aiutare a comprendere
meglio alcuni aspetti del contare, a mettere a
fuoco e superare certe difficoltà, nascono i
laboratori de “il Giardino di Archimede”,
dedicati ai sistemi di numerazione.
“Quando l’uomo imparò a contare”
Laboratori sui sistemi di numerazione
Il materiale di un laboratorio comprende un CDrom, che fornisce le presentazioni tramite alcune
diapositive, scatole contenenti timbri per
riprodurre le sette forme dei geroglifici, e diverse
schede da stampare.
Come si sviluppa un laboratorio
LIVELLO 2: 8 – 10 anni
• Funzionamento del sistema di scrittura con i
geroglifici e introduzione dei sette simboli. Esercizi
di lettura e di scrittura
• Spiegazione dell’addizione senza e con cambio.
• Spiegazione della sottrazione senza e con cambio.
• Spiegazione della moltiplicazione con il metodo del
raddoppio.
• Spiegazione della divisione.
• Alla fine di ogni fase sono proposi esercizi.
Il problema 79 del papiro di Rhind
I sette gatti di Ahmes
In una proprietà ci sono 7 case.
In ogni casa ci sono 7 gatti.
Ogni gatto acchiappa 7 topi.
Ogni topo mangia 7 spighe.
Ogni spiga dà 7 heqat di grano.
Quante cose ci sono in tutto in questa storia?
Il problema domanda la somma, di nessuna importanza
pratica, tra case, gatti, topi, spighe e misure di grano
case
7
gatti
49
topi
343
1
2801
spighe di grano
2401
2
5602
heqat di grano
16807
4
11204
totale
19607 totale
19607
Nella seconda colonna c'è la sequenza delle prime 5
potenze di 7. Si tratta di una progressione geometrica di
ragione 7. In fondo è scritto il totale.
Qual è la formula che usiamo oggi per calcolare la somma dei
primi n termini di una progressione geometrica di ragione r?
S = r + r2 + ... + rn = r(rn-1)/(r-1)
Nel nostro caso r=7, n=5 quindi: S = 7(75-1)/(7-1) = 19607
Possiamo scrivere la somma anche così: 7 + 7 2 + 73 + 74 + 75
7(1 + 7 + 72 + 73+74) = 7(1 + 7 + 49 + 343 + 2401) = 7 x 2801
Ma che cosa significano i numeri scritti nella terza e nella
quarta colonna?
Ora, se osserviamo attentamente la seconda parte del testo
di Ahmes ci rendiamo conto che è proprio la moltiplicazione di
2801 per 7, eseguita col metodo egizio.
2801 x 7 = 19607
1
2801
2
5602
4
11204
totale
19607
1
2
4
2801
5602
11204
Le frazioni egizie
Gli egizi sono stati fra i primi popoli ad aver utilizzato la
nozione di frazione, da essi sempre usata con numeratore
uguale ad uno (frazioni unitarie).
Nel Papiro di Rhind sono magistralmente esposte le
regole per il calcolo delle frazioni unitarie, comunemente
chiamate "frazioni egiziane", con cui essi avevano risolto il
problema dell'espressione di parti decimali di un numero
non intero.
Le iscrizioni geroglifiche egiziane presentano una notazione
speciale per le frazioni aventi come numeratore l'unità. Il reciproco
di un qualsiasi intero veniva indicato collocando al di sopra del
segno indicante il numero, un ovale allungato.
Nella notazione ieratica, l'ovale allungato veniva sostituito da un
puntino.
Un esempio di frazioni in geroglifico è:
(l'equivalente del nostro 1/2).
La frazione 2/3 era l'unica frazione composta rappresentata
da un apposito geroglifico. Tutte le altre frazioni conosciute e
usate nella matematica egizia erano unitarie.
L'occhio di Horus
Gli antichi egizi usavano le parti del simbolo dell'Occhio di
Horus per descrivere le frazioni.
L’importanza delle frazioni
2 argomentazioni
•Una società in cui gli scambi venivano effettuati
in natura, aveva bisogno di fare calcoli precisi.
•Il procedimento di divisione per 2 comportava
l'uso di frazioni.
Il problema 25 del papiro di Rhind
Dividere 16 per 3
Il procedimento è simile a quello della moltiplicazione
1
2
4
2/3
1/3
3
6
12
2
1
1 + 4 + 1/3
16
Risultato 5 + 1/3
La distribuzione dei pani
L’uso di frazioni unitarie nella matematica egizia ha
anche un fondamento pratico.
I primi sei problemi del Papiro di Ahemes riguardano la
divisione di n pani tra 10 uomini con n=1,2,6,7,8,9.
Il problema 6 riguarda la divisione di 9 pani tra
10 uomini
L’approccio moderno darebbe a nove uomini un pane privato
di una decima parte, e le nove decime parti andrebbero ad un
altro uomo. Nove uomini avrebbero un pezzo unico, un uomo
avrebbe nove pezzetti di pane.
La soluzione egizia
9/10 = 2/3 +1/5 +1/30
2/3
2/3
2/3
2/3
2/3
2/3
2/3
1/3
1/3
1/3
1/5
1/5
1/5
1/5
1/5
1/5
1/5
1/3
1/3
1/3
1/30
1/30
1/30
1/30
1/30
1/30
1/30
1/5 1/30
1/5 1/30
1/5 1/30
uomo 1
uomo 2
uomo 3
uomo 4
uomo 5
uomo 6
uomo 7
uomo 8
uomo 9
uomo 10
Perché le frazioni egizie sono utili
anche oggi
1. La prima ragione è pratica: supponiamo di voler dividere 5
sacchi di grano tra 8 persone; teoricamente ciascuna persona
deve ricevere 5/8 di sacco di grano, ma praticamente prendere
in modo esatto 5/8 di sacco di grano non è facile. Il problema
si semplifica notevolmente usando le frazioni egiziane.
2. La seconda è poter confrontare in modo molto preciso le
frazioni usando proprio quelle egiziane.
Si potrebbe proporre, in una scuola elementare, il seguente
problema: dividere 5 tavolette di cioccolato
tra 8 bambini.
L’approccio moderno ci farebbe dividere ogni tavoletta in otto
parti e distribuirne cinque ad ogni bambino
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
8
Cosa facevano gli egizi
5:8
1
1/2
1/8
1/2 + 1/8
8
4
1
Usando le frazioni
unitarie 5/8 diventa
la somma tra 1/2 e 1/8
5
Vantaggio: quattro tavolette le divido a metà
e una soltanto in otto parti
Ecco la divisione
1
3
5
7
2
4
6
8
1
2
3
4
5
6
7
8
Confrontare le frazioni
4/5
Metodo dei decimali:
3/4 = 0,75
4/5 = 0,8
3/4
Metodo frazioni equivalenti:
3/4 = 15/20
4/5 = 16/20
E gli Egizi?
Usando le frazioni unitarie:
3/4 = 1/2 +1/4
4/5 = 1/2 +1/4 +1/20
4/5 è 1/20 più di 3/4
OSSERVAZIONE
Trovo un po’ azzardato usare il metodo egizio
per confrontare le frazioni ma ritengo che potrebbe
essere un ottimo esercizio di calcolo per imparare
le tabelline, le operazioni con le frazioni e avvicinarsi
a culture diverse dalla nostra.