IL CALCOLO COMBINATORIO
• Il calcolo combinatorio ha come obiettivo il calcolo dei
vari modi con i quali possono essere associati gli
elementi di due o più insiemi o di uno stesso insieme,
dopo aver prefissato delle regole precise.
• I raggruppamenti possono essere fatti in diversi modi: a
volte bisogna tener conto dell’ordine con il quale gli
elementi vengono scelti, a volte bisogna tener conto
della natura degli elementi, altre volte invece interessa
sia la natura che l’ordine degli elementi.
• GLI ARGOMENTI TRATTATI DAL
CALCOLO COMBINATORIO
ARGOMENTI TRATTATI DAL
CALCOLO COMBINATORIO
•
•
•
•
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DISPOSIZIONI
PERMUTAZIONI
COMBINAZIONI
PROPRIETA’ DEI COEFFICIENTI BINOMIALI
SVILUPPO DELLA POTENZA DI UN BINOMIO
CRITERIO DI SCELTA TRA I DIVERSI ALLINEAMENTI DEL
CALCOLO COMBINATORIO
DISPOSIZIONI
• Dato un insieme A di n elementi,si definiscono disposizioni di
classe k quei raggruppamenti di k elementi che vengono
scelti fra gli elementi dell’insieme A. n rappresenta il numero
totale degli elementi, mentre k rappresenta la classe, cioè il
numero di elementi di ciascun raggruppamento. Ogni
raggruppamento differisce dagli altri o per natura (A diverso
B) o per l’ordine (AB diverso da BA) degli elementi. Le
disposizioni possono essere semplici o con ripetizione; Per
avere la visione dei raggruppamenti si utilizza il diagramma
ad albero. Con esso i raggruppamenti si leggono da sinistra
verso destra, o dall’alto verso il basso. Nei diagrammi ad
albero ci sono dei nodi; ogni nodo si può diramare. I risultati
si leggono sui rami.
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DISPOSIZIONI
SEMPLICI
• Si dicono disposizioni semplici quei raggruppamenti di elementi
distinti tra di loro. Si indicano con D n,k
• D n,k = è uguale al prodotto di k fattori interi decrescenti a
partire da n.Esempio: D 4,2 = 4*3=12. Si usano solo due
fattori perché k è uguale a 2. Se k fosse stato 3 si sarebbe
fatto 4*3*2.
• Se si hanno quattro elementi: A,B,C,D, quante sigle di due
elementi si possono formare?
•
A
B
C
b c d
a c d
a b d
ab ac ad ba bc bd ca cb cd
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D
a b c
da db dc
DISPOSIZIONI CON
RIPETIZIONE
• Si dicono disposizioni con ripetizioni quei
raggruppamenti di elementi che compaiono più di una
volta. E si indicano con D’n,k .
• D’n,k = è la potenza di n elementi elevati a k. Esempio:
D’4,2 =4^2=16
• Se si hanno quattro elementi:A,B,C,D quante sigle di
due elementi si possono formare?(ricordandosi che si
ripetono)
•
A
B
C
D
a b c d a b c d a b c d a b c d
aa ab ac ad ba bb bc bd ca cb cccd da db dc dd
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PERMUTAZIONI
• Dato un insieme A di n elementi, si definiscono
permutazioni di n elementi (diversi fra loro) i
raggruppamenti formati dagli n elementi presi in un
ordine qualsiasi. I raggruppamenti contengono tutti gli
elementi dell’insieme e ogni raggruppamento differisce
dagli altri soltanto per l’ordine degli elementi.
• Le permutazioni possono essere semplici o con
ripetizione.
• Anche questi raggruppamenti possono essere
rappresentati con i diagrammi ad albero.
• La permutazione si può pensare come una disposizione
di n elementi di classe n.
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PERMUTAZIONI
SEMPLICI
• Le permutazioni semplici si indicano con Pn = n!, dove il
! rappresenta il fattoriale, cioè si pone:
1* 2 * 3....... * (n  1) * n  n!
• Un semplice esempio sulle permutazioni è dato dagli
anagrammi,anche senza significato, che si possono
ottenere partendo da una parola qualsiasi. Ad esempio
gli anagrammi della parola “ROMA” sono dati dalle
permutazioni di 4 elementi, quindi si avrà:
P4  4! 4 * 3 * 2 *1  24
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PERMUTAZIONI CON
RIPETIZIONE
Data una parola di n lettere nella quale una lettera è ripetuta a
volte, un’altra b volte il numero delle permutazioni distinte
con elementi ripetuti si possono ottenere risulta:
Pn
( ,  ....)
n!

!  !....
Ad esempio gli anagrammi distinti della parola MAMMA sono:
P5
( 3, 2 )
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5! 5 * 4 * 3 * 2 *1


 10
3!2! 3 * 2 *1* 2 *1
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COMBINAZIONI
Dato un insieme A di n elementi, si definiscono combinazioni
degli n elementi di classe k i raggruppamenti di k elementi tali
che ogni raggruppamento differisca dagli altri solo per la
natura degli elementi ( senza considerare quindi l’ordine degli
elementi).
Le combinazioni possono essere semplici o con ripetizione.
n
k

I raggruppamenti si possono indicare anche con
.
Questo simbolo è detto coefficiente binomiale per il suo uso
nello sviluppo delle potenze di un binomio
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COMBINAZIONI
SEMPLICI
Le combinazioni semplici si indicano con:
Cn , k 
Esempio:
C3, 2 
D3, 2
P2
Dn ,k
Pk
3* 2

3
2 *1
Le combinazioni semplici si usano quando gli elementi dei
raggruppamenti non si ripetono e sono distinti fra di loro
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COMBINAZIONI CON
RIPETIZIONE
Le combinazioni con ripetizione si indicano con:
C'n,k  Cnk 1,k 
Esempio: C '
3, 2
C4 , 2
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 
n  k 1
k
 C3 21, 2
D4, 2
4*3


6
P2
2 *1
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Le combinazioni
con ripetizione si
usano quando gli
elementi dei
raggruppamenti si
ripetono.
PROPRIETA’ DEI
COEFFICIENTI BINOMIALI
1) La legge dei tre fattoriali
Si utilizza quando si ha a
disposizione la calcolatrice
2) Proprietà simmetrica
3)

n
n
n!

1
n!

n
k
n!

k!(n  k )!
   
n
 1  1
n
k
n
0
n
nk
n 0
Queste due proprietà rappresentano due
sottoproprietà della prima
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SVILUPPO DELLA
POTENZA DI UN BINOMIO
Come applicazione dei coefficienti binomiali, calcoliamo
( a  b) 5
La prima lettera decresce, la seconda cresce
. (a  b)5  1a 5b 0  5a 4b1  10a 3b 2  10a 2b3  5a1b 4  1a 0b5
I coefficienti dei monomi rappresentano i numeri che si
ottengono dal triangolo di tartaglia del numero 5.
      
5
0
5
1
5
2
5
3
5
4
5
5
1
5
10
10
5
1
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avanti
Sviluppo della potenza di un binomio parte 2
Alla fine si ottiene:
(a  b)  a  5a b  10a b  10a b  5ab  b
5
5
4
3 2
2 3
4
5
Polinomi di questo tipo hanno varie proprietà:
1) sono ordinati secondo le potenze decrescenti in a e crescenti in b.
2) Sono composti da n+1 termini.
3) Sono omogenei, cioè ogni monomio è dello stesso grado.
4) Sono completi, cioè ogni polinomio è presente con ogni grado.
Lo sviluppo della potenza di un binomio si esprime in
generale con la formula di Newton:
k n
n
n
nk k
k
k 0
indietro
(a  b)    a
b
CRITERIO DI SCELTA FRA I DIVERSI
ALLINEAMENTI DEL CALCOLO
COMBINATORIO
DISPOSIZIONI:
Ogni raggruppamento differisce dagli altri o per natura (A
diverso da B) o per l’ordine (AB diverso da BA) degli elementi.
PERMUTAZIONI:
Ogni raggruppamento differisce dagli altri soltanto per l’ordine
degli elementi (AB diverso da BA).
COMBINAZIONI:
Ogni raggruppamento differisce dagli altri soltanto per la
natura degli elementi (A diverso da B).
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A CURA DI:
BAGGI MARCO
PALLOTTA VALENTINA
CLASSE 4Ai