Teorema
f : U x 0   R derivabile almeno n volte (con n maggiore o
uguale a 2) in x0 e sia x0 un punto stazionario per f tale che:
f x 0   f x 0   ....  f n 1x 0   0; e f n x 0   0
allora:
se n è pari e f n x 0   0  x0 è un pto di minimo relativo forte per f

se n è pari e f n x 0   0  x0 è un pto di massimo relativo forte per f
se n è dispari  x0 non è un pto estremante per f

Esercizio
Si studi la natura del punto stazionario x  0
per funzione
f x   x 2  cos2 x
La funzione è derivabile infinitevolte in R
f x   2x  2cos x sin x  f 0  0

f x   2  2sin x  sin x 2cos x cos x
f x   2  2 sin 2 x  2cos2 x  f 0  0


f x   4 sin x cos x 4 cos x sin x
x cos x  f 0  0
f 
x

8
sin



 

f x   8cos x cos x  8 sin x sin x 
2 x  4 sin2 x  f 0  8  0
f x 
 8cos

se n è pari
e f n 0  0  x  0 è punto di minimo per f
Esercizio
Si studi la natura del punto stazionario x  0
1
1
1 4
per funzione f x   e x  x  x 2  x 3 
x
2
6
24
La funzione è derivabile infinitevolte in R
1 2 1 3
x
f x   e 1  x  x  x  f 0  0
2
6

1 2
x
f x   e 1  x  x  f 0  0
2
f x   e x 1  x 
 f 0  0
f x   e x 1  f 0  0
f v x   e x  f v 0 1 0
 e f n 0  0  x  0 non è punto di estremo per f
se n è dispari

Funzioni convesse e concave
f : I R f si dice convessa se il suo grafico ha la seguente
proprietà: ogni segmento avente estremi su di esso non ha
alcun punto al di sotto del grafico stesso
convessa in senso stretto
convessa in senso lato
Funzioni convesse e concave
f : I R f si dice concava se il suo grafico ha la seguente
proprietà: ogni segmento avente estremi su di esso non ha
alcun punto al di sopra del grafico stesso
concava in senso stretto
convessa in senso lato
Funzioni convesse e concave
f : I R f si dice convessa se
f x 2   f x1 
f x  f x1 
x  x1

x 2  x1
f x 2 



f x1 
x1
equazione della retta
passante per x1 e x2

x2

f x 2   f x1
y  f x1 
x  x1

x 2  x1
Funzioni convesse e concave
f : I R f si dice concava in (x1; x2) se
f x 2   f x1 
f x  f x 2 
x  x 2  x  x1; x 2 

x 2  x1

x1
equazione della retta
passante per x1 e x2

x2

f x 2   f x1
y  f x 2  
x  x2 

x 2  x1

Funzione convessa
a
Funzione concava
a
b


b

Funzione convessa
f x   f x 0   0
f x   f x 0   0
x  x0  0
x  x0  0
f x   f x 0 
  0
x  x0

f x   f x 0 
0
x  x0
f x 

f x 0 

a x x0

 
x
f x   f x 0 
f :x
x  x0


b
f x  x 2
x0 1
f x   f x 0 
f : x 

x  
x0
3 3 1  2
2 2 1 1
2 2 1  3
3 3 1  4

f x   f x 0  x 2  x 02

x  x0
x  x0
x 2  x 02 x  x 0 x  x 0 
f :x

 x  x0
x  x0
x  x0
 f x   f x 0 
f :x
x  x0
È una funzione crescente qualsiasi
sia x0
Teorema:
f : I R è convessa (concava) se e solo se x0  I
f x   f x 0 
la funzione x 
definita x  I \ x 0
x  x0

è crescente (decrescente)
Implicazioni:
 ogni funzione convessa (concava) è continua in ogni
intervallo I;
ogni funzione convessa (concava) in un intervallo chiuso e
limitato è limitata; se l’intervallo non è chiuso non si può dire
nulla;
nei punti di frontiera è possibile che la funzione presenti delle
discontinuità;

a
b
Possibile presenza di
discontinuità alla frontiera


a
b
Se l’intervallo non è chiuso
ma solo limitato la funzione
potrebbe non
 essere limitata
f : I R se è convessa in x0 I
f x 0   f x 0 

Non è detto però che esista f x 0 

Se però f è derivabile in x0 allora:
f x  f x 0 
 f x 0  x  x 0
x  x0


f x   f x 0 
 f x 0  x  x 0
x  x0
 f x   f x 0  f x 0 x  x 0  x  I
f x   f x 0  f x 0 x  x 0  x  I

a
b
Implicazioni:
se f è convessa (concava) e derivabile e x0 è stazionario
 di minimo (massimo)
allora è un punto
globale per f;

se f è strettamente convessa (concava) l’eventuale punto di
minimo (massimo) globale è unico;
se la funzione non è strettamente convessa (concava)
potrebbe presentare infiniti punti di minimo (massimo);
Teorema (condizione del primo ordine)
f : I R è convessa (concava) se e solo se la sua funzione
derivata prima è crescente (decrescente) nell’intervallo.
Inoltre la convessità (concavità) è stretta se e solo se la
monotonia della derivata prima è stretta.
Teorema (condizione del secondo ordine)
f : I R se f è due volte derivabile in I, condizione
necessaria e sufficiente affinchè f sia convessa (concava) in I
è che:
f x   0 x  I
f x   0 x  I


Definizione:
 
f : a; b R una funzione derivabile in x0 appartenente
all’intervallo (a; b); tale punto è detto di flesso della funzione f
se:
f è convessa in a; x e concava in x ; b
 
 
f è concava in a; x  e convessa in x ; b
0
0


x0

0
0
Osservazione importante:
f : I R
è convessa (concava) se e solo se la sua derivata prima è
crescente (decrescente); quindi se f è derivabile due volte in I
e x0 è punto di flesso,
 allora x0 sarà punto di massimo
(minimo) per la funzione derivata prima; in tali ipotesi il
teorema di Fermat applicato alla funzione derivata prima
garantisce che
f x 0   0
Teorema: f : I R derivabile due volte in I
se x 0  I è punto di flesso  f x 0   0

Nota bene: tale condizione non è sufficiente:

f x  x 4 f x 12x 2  f 0  0
ma x  0 non è punto di flesso per f

Teorema
 
f : a; b R derivabile almeno n volte (con n maggiore o
uguale a 2) in x0, punto interno all’intervallo; se
f x 0   f x 0   ....  f n 1x 0   0; e f n x 0   0
allora: se n è dispari  x0 è un punto di flesso per f

Teorema

 
f : a; b R derivabile almeno 2 volte.

se f x   0 per x  a; x 0

 x 0 punto di flesso per f



e se f x   0 per x  x 0 ; b