Moneta
testa croce
Lancio moneta casuale (1 = testa T, 2 = croce C)
Nel lancio casuale di una moneta si possono avere due esiti
testa T o croce C
La probabilità per uscita testa pT è uguale alla probabilità uscita croce pC
pT = 1 / 2 = 0.5
pC = 1 /2 = 0.5
Lanciando poche volte una moneta, gli esiti T o C possono non rispettare
le probabilità teoriche: aumentando il numero di lanci anche gli esiti
risultanti si avvicinano alle probabilità teoriche ( legge grandi numeri)
Lancio moneta per 20 volte (4 prove)
Lancio moneta per 20 volte (3 prove)
Lancio moneta per 200 volte (3 prove)
Esiti possibili con tre lanci di unica moneta
TTT, TTC, TCT, TCC, CTT, CCT, CTC, CCC
T,C
T,C
T,C
Esiti possibili con un lancio di tre monete
TTT, TTC, TCT, TCC, CTT, CCT, CTC, CCC
T, C
T, C
T, C
Esempi con calcolo probabilità teorico e concreto in funzione del
numero di prove
Una moneta lanciata 3 volte : esiti possibili per ogni lancio (T,C)
Esiti possibili con tre lanci (8)
TTT, TTC, TCT, TCC, CTT, CCT, CTC, CCC
Calcola probabilità di uscita di solo 2 teste
E1 = uscita solo di 2 teste (TTC, TCT, CTT) = 3
E1 = Dn,k =n^k = 2^3 =8
P(E1)= 3 / 8 = 0.37
Disposizioni
con ripetizione
TTC,TCT,CTT
Una moneta lanciata 3 volte ( 20 prove)
Solo 2 teste : 7 / 20 = 0.35 ≠ 0.37
Lancio contemporaneo di 3 monete (T,C)
Calcolare probabilità uscita 1 croce 2 teste
2 oggetti (T,C) classe tre a tre, con ripetizione Dn.k = 2^3 = 8
Esiti possibili con tre lanci (8)
TTT, TTC, TCT, TCC, CTT, CCT, CTC, CCC
E1 = uscita 1 C, 2 T
P(E1)= 3 / 8 = 0.37
TTC, TCT, CTT
Lancio contemporaneo di tre monete (testa,croce)
E1 = uscita una croce e due teste
Calcolare probabilità di E1
Eventi possibili = disposizioni con ripetizione Dn,k = D 2,3 = 2^3 = 8
Eventi favorevoli TTC, CTT, TCT = 3
p(E1) = Ef / Ep = 3 /8
Tre monete lanciate insieme (20 prove)
1 C e 2 T = 7 /20 = 0.35 ≠ 0.37
1^
2^
3^
Lancio contemporaneo di 3 monete (T,C)
Calcolare probabilità uscita di almeno una testa
2 oggetti (T,C) classe tre a tre, con ripetizione Dn.k = 2^3 = 8
Esiti possibili lancio tre monete (8)
TTT, TTC, TCT, TCC, CTT, CCT, CTC, CCC
P(E1)= 7 / 8 = 0.87
E1 = uscita
almeno una testa
Tre monete insieme (20 prove)
Almeno 1 testa : 18 /20 =0,9 # 0.87
Lancio moneta per 4 volte: S = (T,C) = 2
Calcolare probabilità uscita di solo 2 teste
TTTT
TTTC
TTCC
TCCC
CCCC
CCCT
CCTT
CTTT
TCTC
TCCT
CTCT
CTTC
TCTT
TTCT
CTCC
CCTC
E1 = solo 2 teste
P(E1) = 6 /16 = 3 / 8 = 0.37
Eventi possibili (disposizioni con ripetizione)
Dn,k = 2^4 = 16
Una moneta e 4 lanci ( o 4 monete e unico lancio):20 prove
Solo 2 teste : 8 / 20 = 0.4 ≠ 0.37
Lancio di due monete in successione (s)
lancio di due monete insieme (i)
può uscite testa T o croce C
Campioni T, C
esiti possibili TT, TC , CT, CC
spazio esiti per una sola moneta S1 = [T,C]
spazio esiti Ss = [TT,TC, CT, CC]
spazio esiti Si = [TT,TC,CC]
Lancio prima moneta
Diagramma ad albero Ss
Lancio seconda moneta
TT
P(TT)=1/4
T
T
TC
P(TC)=1/4
C
T
CT
C
CC
P(CT)=1/4
C
P(CC) = 1/4
Lancio di due monete in successione (s)
lancio di due monete insieme (i)
può uscite testa T o croce C
Campioni T, C
esiti possibili TT, TC , CT, CC
spazio esiti per una sola moneta S1 = [T,C]
spazio esiti Ss = [TT,TC, CT, CC]
spazio esiti Si = [TT,TC,CC]
Lancio prima moneta
Diagramma ad albero Ss
Lancio seconda moneta
TT
P(TT)=1/4
T
T
TC
P(TC o CT)=1/2
C
T
CT
C
CC
P(CT o TC)=1/2
C
P(CC) = 1/4
lancio di due monete insieme (i)
può uscite testa T o croce C
Campioni T, C
esiti possibili TT, TC , CC
spazio esiti per una sola moneta S1 = [T,C]
spazio esiti Si = [TT,TC,CC]
Diagramma ad albero Si
TT
TC
CC
Lancio monete insieme
P(TT)=1/3
P(TC ))=1/3
P(CC) = 1/3
Lancio di tre monete in successione
Spazio campioni per una moneta S1 = (T,C)
TTT
P(nessuna C)
=1/8
TTC
P(almeno 1 C)
= 7/8
TCT
P(almeno 2 C)
TCC
=4/8=1/2
CTT
CTC
P(nessuna T)
=1/8
CCT
CCC
P(almeno 1 T)
= 7/8
Prima moneta
Seconda moneta
Terza moneta
Spazio campioni
S=[TTT.TTC.TCT.TCC.CTT.CTC.CCT.CCC]
Esiti possibili 8
Lancio di tre monete insieme
Spazio campioni per una moneta S1 = (T,C)
TTT
P(nessuna C)
=1/6
TTC
P(almeno 1 C)
= 5/6
TCT
P(almeno 2 C)
TCC
=3/6=1/2
CTC
CCC
P(nessuna T)
=1/6
P(almeno 1 T)
= 5/6
Prima moneta
Seconda moneta
Terza moneta
Spazio campioni S=[TTT.TTC.TCT.TCC.CTC.CCC]
Esiti possibili 6
In un contenitore, opaco, ci sono 10 monete:
sette da 100 lire, due da 50 lire , una da 20 lire
È sempre certa la estrazione di una moneta
è decrescente la probabilità di estrarre una
determinata moneta P100 > P 50 > P20
manca la possibilità che venga estratta una
moneta diversa da 100, 50, 20
PC = 10/10 = 1 massima probabilità
P100 = 7/10 = 0.7
P50 = 2/10 = 0.2
P20 =
Px
= 0/10 = 0
Lancio contemporaneo di tre monete (testa/croce)
Probabilità che escano insieme almeno 2 croci ?
testa
croce
TTT
CCC
TCT
CTC
TCC
CTT
Eventi possibili = 8
eventi favorevoli
(CC, CCC) = 4
probabilità = 4 /8 = 0.5
TTC
CCT
Una moneta (testa T, croce C) viene lanciata per tre volte
eventi possibili (TTT,CCC, TTC,TCT,CTT, TCC,CCT, CTC) = 8
E1 =(CCC,CTT,CCT, CTC) = 4
E2 =(TTT, TTC,CTT, TCT) = 4
E =(CTT) = 1
pE = 1 /8
E1 = C ( il primo lancio mostra croce)
E2 = TT?( si mostrano almeno 2 testa)
E = E1 ∩ E2
Primo lancio C e si presentano almeno 2 T
pE1 = 4 /8 = 1/2
pE2 = 4 / 8 = 1 /2
pE1 * pE2 = ¼ <> 1/8 : gli eventi non sono indipendenti
Rapporto tra probabilità composta e condizionata
p (A ∩ B ) = p(A) * p(B | A) segue p(B |A) = p(A ∩ B) / p(A)
p(B ∩ A) = p(B)*p(A | B) segue p(A | B) = p(B ∩ A) / p(B)
Con S al quale appartengono A, B è equiprobabile e finito, risulta anche
p(B | A) = ((A ∩ B) / S)/( A/S) = (A ∩ B) / A
p(A | B) = ((A ∩ B)/ S)/ (B/S) = (A ∩ B) / B
Esempio di applicazione
Lanciare per tre volte una moneta (testa, croce):
evento B = primo lancio = testa T : verificato
evento A = esca almeno una croce (2 o terzo lancio)
B =(TTT, TTC, TCT, TCC) = 4
A =(TCT, TTC, CTT, CCT, CTC, TCC,CCC) =
(A ∩ B ) = (TTC, TCT, TCC) = 3
p(A | B) = (A ∩ B) / B = 3 / 4
Eventi correlati
Lancio consecutivo di due monete: S = 4
B :prima moneta croce C
A :probabilità seconda moneta , almeno una testa
B = (CT, CC): 2 eventi prima moneta > croce
A = ( TC, CT, TT) :3 eventi seconda moneta, almeno una testa
A ∩ B = (CT) 1 evento prima moneta C e seconda T
p(A | B ) = (A ∩ B ) / B = 1 / 2
p(A) = 3/4
p(A | B ) < p(A) … (1 / 2 ) < ( 3 / 4)
A correlato negativamente a B, riduce la sua probabilità
Se risulta
p(A | B ) > p(A) si ha correlazione positiva di A rispetto a B
p(A | B ) < p(A) si ha correlazione negativa di A rispetto a B
P(A | B ) = p(A) non esiste correlazione: sono indipendenti
Terminologia essenziale: es. lancio di una moneta, dado
spazio campionario Sm = (T,C) con 2 campioni :T, C
spazio campionario Sd = (1,2,3,4,5,6) con 6 campioni: 1,2,3,4,5,6
Lancio di una moneta tre volte :
spazio campionario S = Sm * Sm * Sm
=(TTT,TTC,TCT,TCC,CTT,CTC,CCT,CCC): 8 campioni
Lancio di una moneta tre volte :
spazio campionario S = Sm * Sm * Sm
=(TTT,TTC,TCT,TCC,CTT,CTC,CCT,CCC): 8 campioni
evento A : uscita consecutiva di 2 teste
A = (TTT,TTC,CTT)
evento B : uscita croce (3 lancio)
B =(TTC,TCC,CTC,CCC)
Evento C :uscita consecutiva di 2 teste e uscita croce al 3 lancio
C = A U B (unione eventi): (TTT,TTC,CTT,TCC,CCC,CTC)
Lancio di una moneta tre volte :
spazio campionario S = Sm * Sm * Sm
=(TTT,TTC,TCT,TCC,CTT,CTC,CCT,CCC): 8 campioni
evento A : uscita consecutiva di 2 teste
A = (TTT,TTC,CTT)
evento B : uscita croce (3 lancio)
B =(TTC,TCC,CTC,CCC)
Evento C :uscita consecutiva di 2 teste e uscita croce al 3 lancio
C = A U B (unione eventi): (TTT,TTC,CTT,TCC,CCC,CTC)
D =uscita consecutiva di 2 teste, uscita croce al 3 lancio
D = A ∩ B (intersezione eventi) : (TTC)
Lancio di una moneta tre volte :
spazio campionario S = Sm * Sm * Sm
=(TTT,TTC,TCT,TCC,CTT,CTC,CCT,CCC): 8 campioni
evento A : uscita consecutiva di 2 teste
A = (TTT,TTC,CTT)
G =uscita consecutiva di 2 croci
G = (TCC, CCT, CCC)
H = A ∩ G (intersezione eventi) = Ø
Essendo A e G disgiunti( senza campioni in comune)
gli eventi A e G sono incompatibili, la intersezione è insieme vuoto
Lanciare tre monete (testa, croce) e descrivere le varie configurazioni
che si possono verificare
1^moneta
2^moneta
3^moneta
T
T
T
T
T
C
T
C
T
T
C
C
C
T
T
Esiti = 8
C
T
C
C
C
T
C
C
C
Lanciare tre monete (testa, croce) e descrivere le varie configurazioni
che si possono verificare
1^moneta
2^moneta
3^moneta
T
T
T
T
T
C
T
C
T
T
C
C
C
T
T
C
T
C
C
C
T
Esiti = 8
Probabilità che escano
almeno 2 teste ? = 4 /8 = ½
tre croci ? = 1 /8
due teste e una croce ? 2 / 8 = 1/4
C
C
C
TTTT
TTTC
TTCT
TTCC
CTTT
CTTC
CTCT
CTCC
TCTT
TCTC
TCCT
TCCC
CCTT
CCTC
CCCT
CCCC
Lanciare quattro monete (testa, croce) e descrivere le varie
configurazioniche si possono verificare
probabilità almeno 2 teste ? 11/16
due teste e due croci CCTT ? 6/16 = 3/8
Una urna contiene 3000 sferette, rosse e azzurre: come determinare in
modo approssimato il numero di sferette rosse e azzurre ?
Si estraggono , una alla volta 120 sferette e si rimettono ogni volta
nell’urna: risultano 85 rosse e 35 azzurre:la frequenza calcolata
fornisce
Fr = 85 /120 = 17/24
Fa = 35/120 = 7/24
Legge empirica del caso
17 rosse / 24 sferette = xRosse / 3000 sferette : x = 17 * 3000 / 24 =2125
7 azzurre / 24 sferette = xAzzurre / 3000 sferette : x= 7 *3000 / 24 = 875
O per differenza : azzurre = totale – rosse = 3000 – 2125 = 875