Ruote Dentate
Università degli Studi di Bologna
Scuola di Ingegneria e Architettura
Dipartimento di Ingegneria Industriale
Corso di Laurea Magistrale in INGEGNERIA MECCANICA – sede di Forlì
Il rapporto di trasmissione e’ costante e dipende dal
rapporto tra i raggi base delle ruote
O2
MECCANICA APPLICATA
ALLE MACCHINE LM
ρ2
γ2
prof. Alessandro RIVOLA
Tel. 0543.374441
[email protected]
K2
L2
L'2
M'
M
RUOTE DENTATE
L'1
L1
γ1
K1
ρ1
O1
K 1 M = K 1 L1
K 2M = K 2 L 2
K 1M' = K1 L1 '
K 2 M' = K 2 L 2 '
MM' = L1 L1 '
MM' = L2 L 2 '
L1 L1 ' = ρ1 γ 1
L2 L 2 ' = ρ 2 γ 2
Meccanica applicata alle Macchine LM
τ=
Ω2
ρ
= 1
Ω1 ρ 2
2
Ruote Dentate
Ruote Dentate
Dente in due posizioni corrispondenti ad
una rotazione γ della ruota
H'
γ
L'
γ
Due denti contigui
O2
H
ρ2
L
K2
ρ
θ2
L'2
M'
M
L'1
R
L1
θ1
O
K1
ρ1
O1
L1L1 ' = L2 L 2 '
LL ' = ρ γ
HH ' = R γ
ρ1 ϑ1 = ρ 2 ϑ2
HH ' R
1
= =
LL ' ρ cos α
Meccanica applicata alle Macchine LM
L2
Passo base
3
Meccanica applicata alle Macchine LM
2π
2π
ρ1 =
ρ2
Z1
Z2
2π
pb =
ρ
Z
4
Ruote Dentate
Ruote Dentate
Due denti contigui
O2
SEGMENTO DI AZIONE N1N2 e
ARCO DI AZIONE A1B1 = A2B2
K2
ρ2
θ2
N2
B2 C
K2
H2
H'2
H1
H'1
B1
K1
θ1
A2
A1
N1
K1
ρ1
R
O1
H 1 H 1' = H 2 H 2'
R1 ϑ1 = R2 ϑ2
p=
Passo
2π
R
Z
Meccanica applicata alle Macchine LM
2π
2π
R1 =
R2
Z1
Z2
pb =
ρ
R
p = p cos α
5
Meccanica applicata alle Macchine LM
6
Ruote Dentate
Segmento di azione e arco di azione (fase di recesso)
Ruote Dentate
Calcolo del segmento di azione N1N2
(Carnot ai triangoli CO2N1 e CO1N2)
N
O2
C
B
L' L
ϕ
ϕ
K
R2
R
ρ
R2 + e2
K2
N2
O
C
A1
N1
B1
CN = LL ' = ρ ϕ
CB = R ϕ
R1 + e1
R1
O1
CN
CN
CB = R ϕ = R
=
ρ
cos α
Meccanica applicata alle Macchine LM
K1
7
Meccanica applicata alle Macchine LM
8
Ruote Dentate
Segmento di azione nell’ingranamento
rocchetto – dentiera
Ruote Dentate
Fattore di Ricoprimento (Arco di azione / passo)
Nel caso di ingranamento tra due Ruote Normali uguali, risulta:
ε=
Z 2 sin( α ) 2 + 4 + 4 Z − Z sin( α )
π cos ( α )
Segmento di azione per un ingranaggio interno
Z = 25
Meccanica applicata alle Macchine LM
9
Meccanica applicata alle Macchine LM
alpha = 20°
10
Ruote Dentate
Ruote Dentate
DENTIERA NORMALIZZATA
INTERFERENZA
p0 = πm0
=
=
linea di riferimento
=
h = 2.5 m0
=
Ruote NORMALI
Esempio:
interferenza nel taglio di un pignone con 8 denti
Ruote CORRETTE
Meccanica applicata alle Macchine LM
11
Meccanica applicata alle Macchine LM
12
Ruote Dentate
La condizione di non interferenza è più critica
al crescere del numero di denti della ruota.
Ruote Dentate
Calcolo del numero minimo di denti
per evitare interferenza
(Carnot al triangolo O2CK1)
R2
R2 + e2 lim
K2
O2
N2
e2 lim
C
R2
K1
R2 + e2
K2
La condizione di non interferenza è più critica
al diminuire del numero di denti del pignone.
R2
K2
R2 + e2 lim
C
N2
B1
e2 lim
C
A1
B1
K1
O'1
A1
K1
Per evitare interferenza deve essere: C N1 < C K1 e C N2 < C K2
Se R1<R2, risulta: CK1<CK2 e CN2<CN1
pertanto la (a) implica la (b), cioè la condizione più gravosa è la (a).
La (a) impone un valore massimo dell’addendum e, quindi, una
condizione minima sul numero di denti. Infatti, è:
R1
e=m=
O1
Meccanica applicata alle Macchine LM
N2
13
Meccanica applicata alle Macchine LM
2R
z
14
Ruote Dentate
Ruote Dentate
Numero minimo di denti per evitare interferenza
Z min =
Funzione evolvente
M
2τ
− 1 + 1 + τ ( 2 + τ ) sin 2 α
W
Q
rM
KM
αM
β
ρ
O
tau = 1/2
β = tan α M − α M = invα M
Spessore di dentatura
alpha = 20°
sM
M
s
δ
R
rM
ρ
inv αM
inv α
O
Meccanica applicata alle Macchine LM
15
Meccanica applicata alle Macchine LM
16
Ruote Dentate
Misura Wildhaber
Ruote Dentate
TAGLIO DELLE RUOTE DENTATE
Fusione
Stampaggio
Estrusione
Lavorazioni alla macchina utensile
Brocciatura
Frese modulari
Generazione per Inviluppo
Generazione per Inviluppo
Meccanica applicata alle Macchine LM
17
Meccanica applicata alle Macchine LM
18
Ruote Dentate
Macchine dentatrici
Dentatrici con moto di taglio rotatorio
(Dentatrici a creatore)
Dentatrici – stozzatrici (moto di taglio traslatorio alterno)
Meccanica applicata alle Macchine LM
Ruote Dentate
19
Meccanica applicata alle Macchine LM
20
Ruote Dentate
Ruote NORMALI
Ruote Dentate
Ruote CORRETTE
v = Spostamento della linea di riferimento della dentiera
generatrice dalla linea primitiva di taglio
Sulla primitiva di taglio
Spessore = Vano = Passo / 2 = π m0 / 2
Addendum = Modulo m0
Sulla primitiva di taglio
Passo = π m0
Spessore ≠ Vano
Dedendum = 1.25 m0
Addendum = m0 + v
Altezza del dente = 2.25 m0
Dedendum = 1.25 m0 - v
Raggio primitivo di taglio R = m0 Z / 2
Altezza del dente = 2.25 m0
Raggio primitivo di taglio R = m0 Z / 2
Meccanica applicata alle Macchine LM
21
Meccanica applicata alle Macchine LM
22
Ruote Dentate
INTERASSE di RIFERIMENTO
a = somma dei raggi primitivi di taglio
a = R1 + R2 = m0
Se l’interasse di lavoro coincide con quello di riferimento
(le primitive di lavoro coincidono con quelle di taglio)
( Z1 + Z 2 )
2
a’ = a = R1 +R2
per avere un funzionamento corretto deve essere
INTERASSE di lavoro
a’ = somma dei raggi primitivi di lavoro
S1’ + S2’ = S1 + S2 = passo = π m0
a’= R1’+R2’
S1 e S2 sono gli spessori dei denti delle due ruote
misurati sulla primitiva di taglio
Quando
S1 + S2 ≠ π m0
l’interasse di lavoro differisce da quello di riferimento
Per un funzionamento corretto, lo spessore
di un dente della ruota 1 deve coincidere
con quello del vano di un dente della ruota 2
(e viceversa)
Spessore1’=Vano2’
Ruote Dentate
Spessore2’=Vano1’
Ruote NORMALI
(gli apici indicano le primitive di lavoro)
Spessore = Vano = passo / 2 = π m0 / 2
S1 + Vano1 = passo = π m0
S2 + Vano2 = passo = π m0
Spessore’ + Vano’ = Passo di lavoro = p’ = π m’
Spessore1’ + Spessore2’ = π m’
S1 + S2 = passo = π m0
per un corretto funzionamento l’interasse di lavoro
deve coincidere con quello di riferimento
Meccanica applicata alle Macchine LM
23
Meccanica applicata alle Macchine LM
24
Ruote Dentate
Ruote Dentate
Dentature Corrette SENZA variazione di interasse
CORREZIONE di Dentatura
Convenzione
Correzione POSITIVA se la linea di riferimento della
dentiera generatrice è esterna alla primitiva di taglio della
ruota.
In figura la correzione è positiva
Definizioni
Spostamento di profilo v
scostamento della linea di
riferimento della dentiera
generatrice
rispetto
alla
primitiva di taglio
S1 = AC = BC
S2 = CD = CE
Coefficiente di spostamento
Meccanica applicata alle Macchine LM
x = v / m0
25
Meccanica applicata alle Macchine LM
26
Ruote Dentate
Ruote Dentate
Esempio
Variazione forma dei denti a seguito
di correzione con v1 = -v2 = v = 0.5 m0
π m0

π
+ 2v1 tgα 0 = m0  + 2 x1 tgα 0 
2

2
π m0

π
− 2 v2 tgα 0 = m0  + 2 x2 tgα 0 
S2 =
2

2
S1 =
S1 + S2 = m0[π + 2 tgα 0 ( x1 + x2 )]
L’interasse di lavoro coincide con quello di riferimento se:
S1 + S2 = m0π
cioè solo se
Dentatura corretta con
x1 + x2 = 0
v1 = -v2 = v
Pignone
Ruota
Addendum
e1 = m0 + v
e2 = m0 - v
Dedendum
i1 = 1.25 m0 - v
i2 = 1.25 m0 + v
Interasse
a’ = a =m0 (Z1+Z2)/2
Angolo di pressione
α’ = α0
Meccanica applicata alle Macchine LM
27
Meccanica applicata alle Macchine LM
28
Ruote Dentate
Dentature Corrette CON variazione di interasse
x1 + x2 > 0
x1 + x2 < 0
S1 + S2 > m0π
S1 + S2 < m0π
Ruote Dentate
Con l’interasse a1 non si ha contatto tra i denti.
E’ necessario avvicinare le due ruote.
a' > a
a' < a
a1>a’
La variazione di interasse a seguito di correzione è
sempre minore della somma degli spostamenti di profilo.
a'−a < v1 + v2 = m0 ( x1 + x2 )
Determinazione dell’interasse di lavoro a’
Sulle primitive di lavoro gli spessori valgono:
S

S1 ' = R1 '  1 + 2(invα 0 − invα ' )
 R1

S

S2 ' = R2 '  2 + 2(invα 0 − invα ' )
 R2

Sulle circonferenze primitive di taglio si ha:
m0 Z1
2
mZ
R2 = 0 2
2
R1 =
Inoltre:
π

S1 = m0  + 2 x1 tgα0 
2


π
S2 = m0  + 2 x2 tgα 0 

2
ρ = R cosα0 = R' cosα '
Inoltre
S1 '+ S2 ' = π m' = π m0
a1 = R1 + R2 + m0 ( x1 + x2 ) = a + m0 ( x1 + x2 )
Meccanica applicata alle Macchine LM
2π R1 ' 2π R2 '
=
Z1
Z2
cosα 0
R' = R
cosα '
S1 '+ S2 ' = passo di lavoro = π m' =
29
Meccanica applicata alle Macchine LM
cosα 0
cosα '
30
Ruote Dentate
2 tgα 0 ( x1 + x2 ) + (Z1 + Z 2 )(invα 0 − invα ' ) = 0
invα ' = invα 0 + 2 tgα 0
a' = a
Ruote Dentate
Correzione di dentatura per evitare interferenza
x1 + x2
Z1 + Z 2
cosα 0
cosα '
Problema diretto
Dati
In condizioni di riferimento
Trovare
• Numeri di denti Z1 e Z2
• Modulo e angolo di
pressione della dentiera
generatrice m0 e α0
• Somma degli spostamenti
x1+x2
Z ≥ Z lim rif =
• Interasse di lavoro a’
• Angolo di pressione di
lavoro α’
2
Z lim rif = Z 0 = 2
sin α 0
e0 Z0 sin 2 α 0
=
2
m0
Se si effettua uno spostamento di profilo
2
e
Z ≥ Z lim = 2
sin α 0 m0
Problema inverso
Dati
Trovare
• Numeri di denti Z1 e Z2
• Modulo e angolo di
pressione della dentiera
generatrice m0 e α0
• Assegnato l’interasse di
lavoro a’
• Angolo di pressione di
lavoro α’
• Somma degli spostamenti
x1+x2
Meccanica applicata alle Macchine LM
e0
2
2
=
sin 2 α 0 m0 sin 2 α 0
31
Meccanica applicata alle Macchine LM
e Z sin 2 α 0
≤
2
m0
32
Ruote Dentate
Se lo spostamento di profilo è pari a v = x m0, si ha
(v = e0 - e):
Ruote Dentate
Esempio
v
e0
e
e0 Z sin 2 α 0
=
−
≥
−
2
m0 m0 m0 m0
v Z 0 sin 2 α 0 Z sin 2 α 0
sin 2 α 0 Z 0 − Z
≥
−
= (Z0 − Z )
=
m0
2
2
Z0
2
v
Z −Z
=x≥ 0
m0
Z0
x1 ≥
Z0 − Z1
Z0
x2 ≥
Z0 − Z 2
Z0
x1 + x2 ≥
2Z 0 − ( Z1 + Z 2 )
Z0
Si hanno due casi:
1)
Z1 + Z 2 ≥ 2Z 0
x1 + x2 = 0
x1 + x2 ≠ 0
x1 = − x 2
2)
Z1 + Z 2 < 2Z0
x1 + x2 ≠ 0
( x1 + x 2 ) > 0
Meccanica applicata alle Macchine LM
33
Meccanica applicata alle Macchine LM
34
Ruote Dentate
Modifica della forma dei denti a seguito di correzione
Ruote Dentate
Ruote dentate cilindriche a DENTI ELICOIDALI
Nota: in tabella x indica lo spostamento di profilo (non il coefficiente di spostamento).
Una correzione positiva:
• allontana dalla condizione di interferenza
• migliora la resistenza a flessione al piede
• riduce le pressioni di contatto (aumenta la curvatura
del profilo al piede)
• il dente ha forma più appuntita
Meccanica applicata alle Macchine LM
35
Meccanica applicata alle Macchine LM
36
Ruote Dentate
Ruote Dentate
I fianchi dei denti della dentiera generatrice sono piani
Meccanica applicata alle Macchine LM
37
Meccanica applicata alle Macchine LM
38
Ruote Dentate
Ruote Dentate
(a) elica destra, (b) elica sinistra.
Meccanica applicata alle Macchine LM
39
Meccanica applicata alle Macchine LM
40
Ruote Dentate
Ruote Dentate
Ruote dentate CONICHE
Meccanica applicata alle Macchine LM
41
Meccanica applicata alle Macchine LM
42
Ruote Dentate
Ruote Dentate
Ruote Dentate Coniche a Denti curvi
Meccanica applicata alle Macchine LM
43
Meccanica applicata alle Macchine LM
44
Ruote Dentate
Trasmissione del moto tra assi SGHEMBI
con Ruote Dentate
Ruote Dentate
Ingranaggio Vite senza fine – Ruota elicoidale
i
τ=
Z
Meccanica applicata alle Macchine LM
45
Meccanica applicata alle Macchine LM
46