Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni
Anno Accademico 2015/16
www.carminelima.eu – [email protected]
Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni
Anno Accademico 2015/16
Verifiche allo
SLU ed allo SLE.
revisione del 09/11/2015
Materiale didattico di riferimento:
bozza del 11/12/2008 a cura di Enzo Martinelli
A cura di Carmine Lima
[email protected]
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Anno Accademico 2015/16
Verifiche: Prescrizioni Normative
Avendo definito la disposizione delle armature e l’andamento della sezione lungo l’asse del solaio è ora possibile
effettuare le verifiche. Oltre allo SLU, utilizzato come riferimento per la conduzione delle operazioni di progetto, è
necessario considerare anche lo Stato Limite delle Tensioni in Esercizio.
La verifica allo Stato Limite Ultimo per tensioni normali (flessione) consiste nel controllare che in ogni sezione risulti:
MSd  MRd
Parimenti, allo per il soddisfacimento delle verifiche allo stato limite ultimo per taglio deve risultare:
VSd  VRd
Inoltre, allo Stato Limite di Esercizio deve essere controllata l’entità delle tensioni che si hanno nel calcestruzzo e
nell’acciaio. In condizioni ambientali poco o mediamente aggressive possono assumersi i seguenti valori-limite per
le tensioni (D.M. 14/01/2008 – 4.1.2.2.5.1):
- in corrispondenza della Combinazione di Carico Rara si deve avere
 c  0.60  fck
- in corrispondenza della Combinazione di Carico Quasi Permanente si deve avere
 c  0.45  fck
Per l’acciaio vale la seguente limitazione (D.M. 14/01/2008 – 4.1.2.2.5.2):
s  0.80  fsk
Il calcolo delle tensioni può avvenire considerando un comportamento lineare dei materiali e, dunque, adottando
la formula di Navier per le sezioni in c.a.. L’analisi sezionale (ovvero il calcolo dell’asse neutro e del momento
d’inerzia, necessari per l’applicazione della formula di Navier) può essere condotto considerando un coefficiente di
omogeneizzazione acciaio/calcestruzzo n pari a 15 allo SLE in combinazione rara e n pari a 21 allo SLE in
combinazione quasi permanente.
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Verifiche: Osservazioni e Commenti
In merito alle verifiche allo SLU si può introdurre la seguente semplificazione: i momenti resistenti positivi e quelli
negativi che si riferiscono alle sezioni in fascia piena e semipiena possono essere valutati trascurando la eventuale
presenza di armatura in zona compressa.
La verifica allo stato limite di esercizio può essere condotta in termini di momenti resistenti:
- per la combinazione rara:
Mrc 
In
 0.60  fck
yc
Mrs 
In
n   d  yc 
 0.80  fsk
- per la combinazione quasi-permanente:
Mrc 
In
 0.45  fck
yc
Mrs 
In
n   d  yc 
 0.80  fsk
Sebbene la Normativa vigente consenta di utilizzare un valore n=15, nel seguito viene effettuata – per completezza –
una ulteriore differenziazione tra la combinazione rara e quella quasi-permanente.
Poiché un calcestruzzo di classe C20/25 ha un modulo di elasticità Ec pari a
f 8
Ec  22000   ck
 10 


0.3
 20  8 
 22000  

 10 
0.3
 29962 MPa
il coefficiente di omogeneizzazione dovrebbe essere valutato come segue:
Per azioni permanenti (come quelle della combinazione quasi-permanente) si
osservano nel calcestruzzo deformazioni di tipo viscoso che possono essere valutate in
ragione di un modulo di elasticità efficace Eeff=Ec/j da cui:
Per la combinazione rara che vede la presenza di azioni di lunga durata ed azioni
istantanee si può considerare un valore di n intermedio, ponendo:
n0 
nqp 
Es
Ec
Es

Ec,eff
210000
7
29962

210000
 21
29962 3
nr  n  15
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Nota
I calcoli esemplificativi che seguono sono stati condotti assumendo un acciaio FeB38k, un limite di
tensioni in esercizio per l’acciaio ss=0.7 fsk e la formula per il taglio resistente VRd1 prevista nel D.M.
9/01/96.
Pur rimandendo tutto valido in linea di principio, gli studenti dall’a.a. 2008/09 in poi dovranno
seguire le prescrizioni del D.M. 14/01/2008 e dunque assumere:
- Acciaio B450C;
-
s  0.80  fsk
1/3
- VRd 
0.18  k  100  l  fck 
c
Asl
l 
 0.02
bw  d
 bw  d  min  bw  d
k 1
200
2
d
min  0,035  k3/2fck1/2
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Sezione fascia semipiena
10
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40
10
40
Momento negativo: Prima sezione di verifica
Inviluppo allo SLU
yc 
As  fsd
2  339  326

 25.11 mm
  b  f'cd 0.8  1000  11.0
60
MRd    b  yc  f'cd h  d'yc   0.8  1000  25.11  11.0  260  30  0.4  25.11 
 48.63  10 6 Nmm  48.63 kNm
Sezione fascia piena
3f12
1f12
60
SLS – Comb. Rara
yc, r 
In, r 
nr  As  As' 
2  b  As  d  As'd' 
  1  1 
  57.61 mm
b
nr  As  As '


byc, r3
Mrc, r 
Mrs, r 
SLS – Comb. Q.Perm.
3
In, r
yc, r


 nr  As  (d  yc, r )2  As'( yc, r  d')2  3.686  10 8 mm 4
 0.60  fck
In, r
nr  d  yc, r 
3.686  10 8

 0.60  20  76.77  10 8 Nmm  76.77 kNm
57.61
 0.70  fsk 
3.686  10 8
 0.7  375  37.41  10 6 Nmm  37.41 kNm
15  230  36.24
nqp  As  As ' 
2  b  As  d  As'd' 
  1  1 
  65.84 mm
b
nr  As  As'


3
byc, qp
In, qp 
 nqp  As  (d  yc, qp )2  As '( yc, qp  d')2  4.849  10 8 mm 4
3
In, qp
4.849  10 8
Mrc, qp 
 0.45  fck 
 0.45  20  66.29  10 8 Nmm  44.43 kNm
yc, qp
65.84
yc, qp 

Mrs, qp 
In, qp

nqp  d  yc, qp

 0.70  fsk 
40

4.849  10 8
 0.7  375  36.92  10 6 Nmm  36.92 kNm
21  230  39.31
b=100 cm
h=26 cm
d’=3 cm
40
60
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Momento positivo: Prima sezione di verifica
Sezione fascia piena
3f12
Inviluppo allo SLU
1f12
yc 
As  fsd
2  113  326

 8.37 mm
  b  f'cd 0.8  1000  11.0
60
3f12
 16.69  10 6 Nmm  16.69 kNm
1f12
10
yc, r
n  As  As' 
2  b  As  d  As'd' 
 r
  1  1 
  34.95 mm
b
nr  As  As'


In, r 
byc, r3
Mrc, r 
Mrs, r 
SLS – Comb. Q.Perm.
yc, qp 
In, qp 
3
In, r
yc, r


 n  As  (d  yc, r )2  As '( yc, r  d')2  1.435  10 8 mm 4
 0.60  fck 
In, r
nr  d  yc, r 
1.435  10 8
 0.60  20  49.25  10 8 Nmm  49.25 kNm
34.93
 0.70  fsk 
1.431  10 8
 0.7  375  12.92  10 6 Nmm  12.92 kNm
15  230  36.24
nqp  As  As' 
2  b  As  d  As'd' 
  1  1 
  39.31 mm
b
nr  As  As'


byc, qp 3
Mrc, qp 
Mrs, qp 
3
In, qp
yc, qp


 0.45  fck 
1.94  10 8
 0.45  20  44.43  10 8 Nmm  44.43 kNm
39.31
 n  As  (d  yc, qp )2  As '( yc, qp  d')2  1.941  10 8 mm 4
In, qp

nqp  d  yc, qp

 0.70  fsk 
40
Sezione fascia corrente
MRd    b  yc  f'cd h  d'yc   0.8  1000  8.37  11.0  260  30  0.4  8.37  
SLS – Comb. Rara
40
1.941  10 8
 0.7  375  12.72  10 6 Nmm  12.72 kNm
21  230  39.31
40
10
40
Sezione fascia semipiena
b=100 cm
h=26 cm
60
d’=3
cm
40
Sezione fascia piena
60
40
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Anno Accademico 2015/16
Ulteriori osservazioni
Per ogni tratto a sezione costante (o caratterizzato da variazioni di armatura o di sezioni non rilevanti
rispetto alla valutazione del momento ultimo e dei momenti resistenti in corrispondenza delle tensioni
limite) si possono valutare le caratteristiche resistenti.
Per i tratti a momento positivo e, in generale, nei casi in cui la larghezza della sezione resistente è
elevata, il momento resistente del calcestruzzo risulta assai maggiore delle corrispondenti
caratteristiche della sollecitazione, sia per la combinazione di carico rara che quasi-permanente.
Per questo motivo, se ne può omettere la rappresentazione.
Si sottolinea, ancora, che la scelta di due valori diversi per il coefficiente di omogeneizzazione
utilizzato nei calcoli per la combinazione rara e per quella quasi-permanente, benché giustificata
dal punto di vista meccanico (e per questo riportata per completezza in questo esempio) può
essere omessa assumendo n=15
Bozza del 11/12/2008
a cura di Enzo Martinelli
Anno Accademico 2015/16
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Momenti resistenti negativi
SLS – Comb. Rara
Inviluppo allo SLU
Sezioni
z
b
h
As '
2
As
yc
2
MRd
[m]
[mm]
[mm]
[mm ]
[mm ]
[mm]
[kNm]
yc,r
In,r
4
Mrc,r
[mm]
[mm ]
[kNm]
SLS – Comb. Q.Perm.
Mrs,r
yc,qp
In,qp
4
Mrc,qp
Mrs,qp
[kNm]
[mm]
[mm ]
[kNm]
[kNm]
1
0.00
1000
260
226
678
25.1
48.63
57.61
3.686E+08
76.77
37.41
65.84
4.849E+08
66.29
36.92
2
0.75
600
260
226
678
41.9
47.15
70.39
3.344E+08
57.00
36.66
79.68
4.346E+08
49.09
36.14
3
1.00
200
260
226
678
125.6
39.74
102.51
2.549E+08
29.84
34.99
112.88
3.238E+08
25.82
34.56
4
1.15
200
260
226
452
83.7
28.96
87.70
1.935E+08
26.48
23.80
97.11
2.501E+08
23.18
23.52
5
1.50
200
260
226
226
41.9
15.72
65.92
1.147E+08
20.89
12.24
73.34
1.517E+08
18.62
12.10
6
4.50
200
260
226
452
83.7
28.96
87.70
1.935E+08
26.48
23.80
97.11
2.501E+08
23.18
23.52
7
5.05
600
260
226
678
41.9
47.15
70.39
3.344E+08
57.00
36.66
79.68
4.346E+08
49.09
36.14
8
5.30
1000
260
226
678
25.1
48.63
57.61
3.686E+08
76.77
37.41
65.84
4.849E+08
66.29
36.92
Bozza del 11/12/2008
a cura di Enzo Martinelli
Anno Accademico 2015/16
Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni
Momenti resistenti positivi
SLS – Comb. Rara
Inviluppo allo SLU
SLS – Comb. Q.Perm.
b=100 cm
h=26 cm
i momenti resistenti positivi possono essere valutati trascurando la
eventuale presenza di armatura in zona compressa.
d’=3 cm
Sezioni
z
b
h
As'
2
As
yc
2
MRd
yc,r
In,r
4
Mrc,r
Mrs,r
yc,qp
In,qp
4
Mrc,qp
Mrs,qp
[m]
[mm]
[mm]
[mm ]
[mm ]
[mm]
[kNm]
[mm]
[mm ]
[kNm]
[kNm]
[mm]
[mm ]
[kNm]
[kNm]
1
1.40
1000
260
226
226
8.4
16.70
35.75
1.433E+08
48.09
12.91
41.09
1.708E+08
37.40
11.30
2
1.60
1000
260
226
452
16.7
32.91
48.90
2.624E+08
64.39
25.35
57.09
2.888E+08
45.53
20.88
Anno Accademico 2015/16
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Verifica allo SLU per Taglio
In corrispondenza delle stesse sezioni per le
quali sono stati calcolati i valori del momento
resistente
negativo
possono
essere
determinati i valori del taglio VRd1 e vanno
confrontati con i corrispondenti valori del
taglio sollecitante allo SLU:
VEd  VRd
1/3
Sezioni
z
b
h
As '
2
As
2
VRd
VSd
[m]
[mm]
[mm]
[mm ]
[mm ]
[kN]
[kN]
1
0.00
1000
260
226
678
91.29
36.01
2
0.75
600
260
226
678
59.46
27.67
3
1.00
200
260
226
678
27.64
24.89
4
1.15
200
260
226
452
23.73
23.22
5
1.50
200
260
226
226
19.82
19.33
6
4.50
200
260
226
452
23.73
17.58
7
5.05
600
260
226
678
59.46
23.69
8
5.30
1000
260
226
678
91.29
26.47
9
6.10
1000
260
226
678
91.29
35.37
VRd 
0.18  k  100  l  fck 
c
 bw  d  min  bw  d
Note integrative per la verifica
a flessione e taglio
Bozza del 13/11/2011
a cura di Enzo Martinelli
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Anno Accademico 2015/16
Momento resistente negativo
La verifica viene condotta (sia allo SLU che agli SLE) costruendo diagrammi che
rappresentano la variazione dei valori di progetto della resistenza a flessione
(diagrammi dei «momenti resistenti»)
La costruzione di tali diagrammi si fonda sull’individuazione dei tratti di solaio di
proprietà uniformi (in termini di sezione e di armatura) e sulla quantificazione dei valori
di calcolo dei momenti resistenti (allo SLU ed agli SLE) in funzione di tali proprietà (b, h,
As,inf e As,sup).
Il diagramma della slide seguente, mettendo in evidenza le sezioni di discontinuità
dell’armatura o della sezione trasversale, mostra una possibile scelta dei suddetti tratti
di proprietà uniformi. Nel caso in esempio sono state trascurate le variazione della
sola armatura compressa (inferiore).
Dal punto di vista grafico:
sezioni in cui varia l’armatura;
sezioni in cui varia la sezione di calcestruzzo.
Bozza del 13/11/2011
a cura di Enzo Martinelli
Momento resistente negativo
Trascuriamo l’effetto di eventuali
travetti rompitratta e di chiusura
sulla resistenza a taglio e momento
1 10
1 10
1 10
* I due ferri superiori
hanno diversa
distanza dal lembo
compresso
1 10
1 10
Tratti
1
2
3
4
5
b [cm]
20
20 100 100 20
h [cm]
20
20
As,sup [mm2]
157
As,inf [mm2]
0
6
7
8
9
20
20 60 100
22* 22 *
24
24 24 24
314 314 314 314
157
314 314 314
314
157 157 157
0
20
0
314 314
Momento resistente negativo
SLU
-1,50
A
1
2
3
B
4
5
6
7
8
9
Momento resistente negativo
SLE – Combinazione Rara
ACCIAIO
CALCESTRUZZO
8,02
1,00
A
1
2
3
B
4
5
6
7
8
9
Momenti resistenti negativi
SLE – Combinazione Quasi
Permanente
A
1
2
3
B
4
5
6
7
8
9
Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni
Anno Accademico 2011/12
Momento resistente positivo
Il diagramma della slide seguente, mettendo in evidenza le sezioni
di discontinuità dell’armatura o della sezione trasversale, mostra una
possibile scelta dei suddetti tratti di proprietà uniformi. Nel caso in
esempio sono state trascurate le variazioni della sola armatura
compressa (superiore) ed è stata assunta per semplicità l’invarianza
della sezione trasversale (in fascia «corrente»).
Dal punto di vista grafico:
sezioni in cui varia l’armatura;
sezioni in cui varia la sezione di calcestruzzo.
Bozza del 13/11/2011
a cura di Enzo Martinelli
Momento resistente positivo
1 10
1 10
1 10
1 10
1 10
Tratti
1
2
b [cm]
100
100
h [cm]
24
24
As,sup [mm2]
157
314
As,inf [mm2]
314
157
Momento resistente positivo
SLU
-1,50
A
B
14.75
1
2
Momento resistente positivo
SLE – Combinazione Rara
8,02
1,00
A
Non è necessario
riportare il momento
resistente positivo del
calcestruzzo.
B
1
2
Momento resistente positivo
SLE – Combinazione Quasi
Permanente
A
Non è necessario
riportare il momento
resistente positivo del
calcestruzzo.
B
1
2
Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni
Anno Accademico 2011/12
Taglio resistente
Il diagramma della slide seguente, mettendo in evidenza le sezioni di
discontinuità dell’armatura o della sezione trasversale, mostra una possibile
scelta dei suddetti tratti di proprietà uniformi. Nel caso in esempio si
focalizza l’attenzione sulle variazioni della larghezza bw della sezione
resistente a taglio che rappresenta il parametro-chiave nella valutazione
del taglio resistente allo SLU:
1/3
VRd 
0.18  k  100  l  fck 
c
 bw  d  min  bw  d
Il valore della Asl viene assunto tratto per tratto considerando
l’armatura prevalentemente tesa presente nella sezione resistente.
Nei casi in cui non è possibile stabilire quale tra As,inf ed As,sup sia
l’armatura tesa si assume: Asl=max(As,inf;As,sup).
Bozza del 13/11/2011
a cura di Enzo Martinelli
Trascuriamo l’effetto di eventuali
travetti rompitratta e di chiusura
sulla resistenza a taglio e momento
1 10
Taglio resistente
1 10
1 10
* I due ferri superiori
hanno diversa
distanza dal lembo
compresso
1 10
1 10
Tratti
1
6
7
20
60 100
19* 19*
21
21 21
314 314 314 314
314
314 314
2
3
4
5
b [cm]
20
20 100 100 20
d [cm]
17
17
Asl [mm2]
157
17
8
Taglio resistente
Tratti
Disegnare per
simmetria dalla parte
del taglio negativo
1
2
3
4
5
6
7
8







