GRANDEZZE, UNITA’ DI
MISURA E…
I VIAGGI DI GULLIVER
… chissà cosa avrebbe scoperto Cristoforo
Colombo se l’America non gli avesse sbarrato la
strada.
Jonathan Swift
DIALOGO MAESTRO-ALLIEVO
Maestro: ogni paese può avere unità di misura diverse,
sistemi di numerazione diversi e persino modi di
contare diversi
Allievo: questo vuol dire che i popoli sono destinati a non
comunicare fra loro?
Maestro: al contrario! Esiste una scienza, la matematica,
che, rispettando le differenze, dà la possibilità di
comprenderle e metterle in comunicazione.
La matematica unisce i popoli!
Per questo è sempre stata combattuta dai potenti!
L’importanza della misura e dell’unità
di misura.
Problema: vedere se un tavolo entra in un
determinato posto.
Per risolvere il problema bisogna effettuare una
misurazione sia del lato del tavolo che del posto
dove deve entrare
Ma che vuol dire effettuare una
misurazione?
Innanzitutto per effettuare una misurazione
abbiamo bisogno di due cose:
• Un oggetto da misurare
• Un altro oggetto che servirà da unità di misura.
La misura consiste nel numero di volte che
l’oggetto scelto come unità di misura è
contenuto nell’oggetto da misurare.
Ci sono tre problemi …
- Primo: l’errore che si compie effettuando la
misurazione (e questo si può un po’ migliorare
ma è inevitabile)
- Secondo: l’errore dovuto allo strumento che si
usa per misurare (e questo si può migliorare)
- Terzo: il fatto che se due misuratori hanno
unità di misura diverse, otterranno misure
completamente diverse (e questo si può
risolvere)
Cominciamo dal terzo …
È naturale che per misurare non si usano oggetti
qualunque bensì il metro che è l’unità di misura
universalmente riconosciuta.
Ma quanto è lungo un metro?
In altre parole per costruire un metro come
facciamo a sapere quanto deve essere lungo?
Abbiamo bisogno di un altro metro: allora la
domanda è chi ha costruito il primo metro?
Storia del metro
Siamo nell’anno 1791 presso l’Accademia
Francese delle Scienze…
Fuori infuria il vento della Rivoluzione Francese
Storia del metro
Siamo nell’anno 1791 presso l’Accademia
Francese delle Scienze…
Fuori infuria il vento della Rivoluzione Francese
Libertè Egalitè Fraternitè ne è il motto.
Storia del metro
Siamo nell’anno 1791 presso l’Accademia
Francese delle Scienze…
Fuori infuria il vento della Rivoluzione Francese
Libertè Egalitè Fraternitè ne è il motto.
Il trionfo dell’illuminismo.
La lotta contro i tiranni e i privilegi.
… Ed è in questo contesto che viene data la prima
definizione di metro
Nel 1791 …
Il metro corrisponde ad 1/10 000 000
della distanza tra polo nord ed
equatore, lungo la superficie terrestre,
calcolata sul meridiano di Parigi.
Nel 1889 …
L'incertezza nella misurazione della distanza
portò l'Ufficio internazionale dei pesi e delle
misure (BIPM) a ridefinire il metro
come la distanza tra due linee incise su una
barra campione di platino-iridio conservata a
Sèvres presso Parigi
Nel 1960 …
Con la disponibilità dei laser, l'undicesima
Conferenza generale di pesi e misure
cambiò la definizione del metro in: la
lunghezza pari a 1 650 763,73 lunghezze
d'onda nel vuoto della radiazione
corrispondente alla transizione fra i livelli
2p10 e 5d5 dell'atomo di kripton-86.
Nel 1983 …
La XVII Conferenza generale di pesi e misure definì il
metro come la distanza percorsa dalla luce nel vuoto in
1/299 792 458 di secondo.
Poiché si ritiene che la velocità della luce nel vuoto sia la
stessa ovunque, questa definizione è più universale della
definizione basata sulla misurazione della circonferenza
della Terra o della lunghezza di una specifica barra di
metallo.
Inoltre il metro campione può essere riprodotto
fedelmente in ogni laboratorio appositamente attrezzato.
Le potenze e la rappresentazione
scientifica
Sappiamo che per le più varie esigenze, l’uomo
ha avuto bisogno di misurare oggetti estremamente
piccoli (pensiamo alla biologia nello studio delle
cellule, o alla fisica atomica solo per fare due
esempi) o distanze straordinariamente grandi (si
pensi alle distanze fra le stelle, i pianeti, ecc.). Per
descrivere queste grandezze risultano
estremamente utili le potenze. Osserviamo la
seguente tabella:
101  10
10 2  10 10  100
103  10 10 10  1000
10
4
 10 10 10 10  10000
E così via.
Quindi, ad esempio abbiamo che 1.000.000
(un milione, cioè un uno con 6 zeri dopo)
6
può essere scritto come 10 , oppure 1.000.000.000
(un miliardo, cioè un uno con 9 zeri dopo)
9
10
può essere scritto come
Molto utili, e lo vedremo in seguito, anche le
Potenze con esponente negativo, utili per
rappresentare, anziché numeri grandi, numeri
molto
piccoli:
1
10  1  0,1
10
1
2
10  2  0,01
10
1
3
10  3  0,001
10
1
4
10  4  0,0001
10
1
E così via
Quindi, ad esempio abbiamo che 0,000001
(un milionesimo, cioè l’uno è al sesto posto
6
dopo la virgola) può essere scritto come 10 ,
oppure abbiamo che 0,000000001
(un miliardesimo, cioè l’uno è al nono posto
9
dopo la virgola) può essere scritto come 10 .
Esempi: distanza Terra-Proxima Centauri
• La stella Proxima Centauri è la stella più vicina alla terra: la sua
distanza è all’incirca 40000000000000000 metri (16 zeri dopo il 4!).
• Tale enorme numero si rappresenta con difficoltà.
Ma noi sappiamo che
40000000000000000=4×10000000000000000
• Ma 10000000000000000 si può scrivere come
• Distanza Terra-Proxima Centauri=
16
4x 10
16
10
pertanto:
metri.
• Tale modo di scrivere i numeri si chiama rappresentazione scientifica.
• 16 è l’ordine di grandezza.
Osservazione importantissima …
Il numero che moltiplica la potenza del 10
(quindi il 4 nell’esempio precedente) deve
essere compreso fra 1 e 10!
Raggio medio della terra
• Il raggio medio della terra è all’incirca
6000000 metri.
Sappiamo che
6000000=6×1000000
• Ma 1000000 cioè uno con 6 zero dopo si può
6
scrivere come 10 pertanto:
6
• raggio medio della terra = 6x 10 metri.
• 6 è l’ordine di grandezza.
Diametro di un globulo rosso
• il diametro di un globulo rosso è 0,000008 metri.
Noi sappiamo che
0,000008=8×0,000001
• Ma 0,000001 cioè uno al sesto posto dopo la
virgola si può scrivere come 10 6
pertanto:
6
• Diametro di un globulo rosso = 8x 10
metri.
• -6 è l’ordine di grandezza.
Distanza Firenze-Sidney
• La distanza Firenze-Sidney è 16000000 di metri.
• Rispetto agli esempi precedenti il problema è che ci sono
due cifre diverse da zero (1 e 6).
• Ovviamente risulta che 16000000 è maggiore di 10000000
che è uguale a 1x 107
Allo stesso tempo 16000000 è minore di 20000000 che è
uguale a 2x 107
• Appare naturale quindi che 16000000=1,6x 10
• 7 è l’ordine di grandezza.
7
LE EQUIVALENZE
Torniamo al secondo problema: l’errore dovuto
allo strumento usato per misurare.
Per limitarlo nascono i multipli e i sottomultipli
del metro
Sottomultipli del metro
• il millimetro (simbolo mm)= un millesimo di
un metro (quindi in un metro ci sono 1000
millimetri)
• il centimetro (simbolo cm)= un centesimo di
un metro (quindi in un metro ci sono 100
centimetri)
• il decimetro (simbolo dm)= un decimo di un
metro (quindi in un metro ci sono 10
decimetri)
Multipli del metro
• il decametro (simbolo dam)= 10 metri
• l’ettometro (simbolo hm)= 100 metri
• il chilometro (simbolo Km)= 1000 metri
Appare chiaro che …
•
•
•
•
•
•
in un centimetro ci sono 10 millimetri,
in un decimetro ci sono 10 centimetri,
in un metro ci sono 10 decimetri,
in un decametro ci sono 10 metri,
in un ettometro ci sono 10 decametri,
in un chilometro ci sono 10 ettometri,
Quindi …
• Se passo da un’unità di misura inferiore ad
una superiore dividerò la misura per 10
• Se passo da un’unità di misura superiore ad
una inferiore moltiplicherò la misura per 10
Esempio
Scriviamo 127 dam in tutti multipli e
sottomultipli del metro:
Metri:
m 12700
dam 127 dm
Decimetri
Esempio
Scriviamo 127 Dm in tutti multipli e
sottomultipli del metro:
Centimetri:
cm 1270000
dam 127 mm
Millimetri
Esempio
Scriviamo 127 dam in tutti multipli e
sottomultipli del metro:
Ettometri:
dam 127  Km
Hm 112
,7
,27
Chilometri
Le misure di peso
Ovviamente le misure di peso sottostanno alle
stesse regole delle misure di una lunghezza.
Se sostituiamo il simbolo g al simbolo m
otteniamo tutti i multipli e sottomultipli del
grammo.
Per oggetti “pesanti” si usa anche il quintale
(simbolo q) che corrisponde a 100 kg, e la
tonnellata (simbolo t) che corrisponde a 1000 kg.
Per la tonnellata si usa anche il simbolo Mg che significa
un milione di grammi cioè 1000 chilogrammi.
Le misure di superfici
È naturale che se vogliamo misurare l’ampiezza
di un tavolo, il metro non è più lo strumento
adatto (provate a misurare la cattedra con uno
spillo!).
Nasce quindi l’unità di misura di superficie:
Si definisce metro quadrato (simbolo mq oppure
m²), un quadrato di lato un metro
Multipli e sottomultipli del metro
quadrato
Il metro quadrato ha gli stessi multipli e
sottomultipli del metro.
Sappiamo che nelle misure delle lunghezze si
passa da un’unità di misura ad un’altra
immediatamente superiore (inferiore), togliendo
(aggiungendo) un solo zero, o spostando a
sinistra (destra) la virgola di un solo posto.
Sarà così anche per le misure di superfici?
Vediamolo con un esempio …
Consideriamo un quadrato di lato un metro. La
sua area (superficie) è ovviamente di un metro
quadrato.
1m
2
Vediamolo con un esempio …
Ma un lato di un metro è equivalente a 10
decimetri, pertanto l’area del quadrato è anche:
10 dm  10 dm  100 dm
2
100 dm
2
Vediamolo con un esempio …
I due quadrati sono ovviamente uguali, quindi
deve risultare:
1 m  100 dm
2
2
Quindi possiamo concludere …
Nelle misure di superfici si passa da un’unità di
misura ad un’altra immediatamente superiore
(inferiore), togliendo (aggiungendo) due zeri, o
spostando a sinistra (destra) la virgola di due
posti.
Esempio
Scriviamo 157 m² in tutti multipli e
sottomultipli del metro:
decimetri quadrati:
m 157  dm 157 00
2
2
Esempio
Scriviamo 157 m² in tutti multipli e
sottomultipli del metro:
centimetri quadrati:
m 157  cm 157 00 00
2
2
Esempio
Scriviamo 157 m² in tutti multipli e
sottomultipli del metro:
millimetri quadrati:
m 157  mm 15700 00 00
2
2
Esempio
Scriviamo 157 m² in tutti multipli e
sottomultipli del metro:
Decametri quadrati:
m 157  dam 1,57
2
2
Esempio
Scriviamo 157 m² in tutti multipli e
sottomultipli del metro:
Ettometri quadrati:
m 157  hm 0,0157
2
2
Esempio
Scriviamo 157 m² in tutti multipli e
sottomultipli del metro:
Chilometri quadrati:
m 157  Km 0,000157
2
2
Le misure di volume
È naturale che se vogliamo misurare quanto può
essere contenuto in una scatola, nemmeno il
metro quadrato è più lo strumento adatto.
Nasce quindi l’unità di misura di volume:
Si definisce metro cubo (simbolo mc oppure
m³), un cubo di lato (o spigolo) un metro.
Multipli e sottomultipli del metro cubo
Il metro cubo ha gli stessi multipli e
sottomultipli del metro e del metro quadrato.
Come varierà la misura, passando da un’unità di
misura di volume ad una immediatamente
superiore o inferiore?
Osserviamolo in figura
Notiamo che il cubo ha volume 1 m³, infatti:
Volume di un cubo = lato x lato x lato
E dato che lato = 1m risulta:
Volume cubo = 1m x 1m x 1m = 1m³
Ma vale anche che lato = 10 dm. Quindi
Volume cubo = 10dm x 10dm x 10dm = 1000dm³
Da cui:
m 1  dm 1000
3
3
Quindi possiamo concludere …
Nelle misure di volume si passa da un’unità di
misura ad un’altra immediatamente superiore
(inferiore), togliendo (aggiungendo) tre zeri, o
spostando a sinistra (destra) la virgola di tre
posti.
Un’altra misura di volume: il litro
Spesso, soprattutto per i liquidi, si usa come
unità di misura di volume il litro.
Si definisce un litro la quantità di acqua
contenuta in un decimetro cubo
Multipli e sottomultipli di un litro
I multipli e sottomultipli del litro sono uguali a
quelli del metro, sostituendo la parola litro alla
parola metro.
Per passare da un’unità di misura ad un’altra
immediatamente superiore (inferiore), si toglie
(aggiunge) uno zero, o si sposta a sinistra (destra) la
virgola di un posto.
Esempio
hl 3,5 = dl?
Fra hl e dl ci sono: dal, l, dl. Cioè 3 posti.
L’unità di misura diminuisce quindi la misura
aumenta. Spostiamo a destra la virgola di un
posto e aggiungiamo due zeri (uno più due =
tre). Quindi:
hl 3,5 = dl 3500
E se volessimo passare dai litri ai metri
cubi o viceversa?
Se abbiamo la misura in un multiplo o
sottomultiplo di un litro, la trasformiamo in litri.
Per definizione avremo tanti decimetri cubi
quanti sono i litri.
Una volta passati ai decimetri cubi si passa
al multiplo o sottomultiplo di metro cubo
desiderato.
Chiariamo con un esempio
hl 25,8 = m³ ?
Da ettolitri si passa a litri (ci sono due posti):
hl 25,8= l 2580
Ma 2580 litri sono 2580 decimetri cubi.
Da decimetri cubi si passa a metri cubi (c’è un
posto)
dm³ 2580= m³ 2,58
L’equivalenza si risolve quindi:
Hl 25,8 = m³ 2,58
Altro esempio
cm³ 1237 = dl ?
Da centimetri cubi si passa a decimetri cubi (c’è
un posto)
cm³ 1237 = dm³ 1,237
Ma 1,237 decimetri cubi sono 1,237 litri. E:
l 1,237= dl 12,37
L’equivalenza si risolve quindi:
cm³ 1237=dl 12,37
Viaggiatori come Gulliver …
Un viaggiatore si può imbattere in paesi dove ci
sono unità di misura diverse da quelle del
proprio. L’importante non è sapere a memoria
tutte le unità di misura del mondo (sarebbe
impossibile), bensì sapersi “muovere” da
un’unità di misura all’altra.
Affrontiamo qualche problema …
Problema 1: Il sistema anglosassone
Sapendo che uno Yard (Y) corrisponde a 0,9144
metri, un piede (ft) corrisponde ad un terzo
dello Yard, ed un pollice (in) corrisponde ad un
dodicesimo del piede, si dica a quanti centimetri
corrisponde un piede e a quanti centimetri
corrisponde un pollice. Si dica poi a quanti
metri corrisponde la distanza 8 Yard, 3 piedi e 5
pollici
Soluzione:
Un piede è uguale ad un terzo di uno Yard, quindi:
1
1
1 ft  Y   0,9144 m  0,3048 m
3
3
m 0,3048 = cm 30,48. Quindi 1 ft = 30,48 cm
Un pollice è un dodicesimo del piede quindi:
1
1
1 in 
ft 
 30,48 cm  2,54 cm
12
12
Quindi 1 in = 2,54 cm
Soluzione:
Calcoliamo l’equivalente in metri di 8 Yard, 3
piedi e 5 pollici:
8 Y  8  0,9144 m  7,3152 m
3 ft  3  0,3048 m  0,9144 m
5 in  5  2,44 cm  12,2 cm  0,122 m
Mettendo tutto insieme si ottiene:
7,3152 m + 0,9144 m + 0,122 m= 8,3516 m
Problema 2: scaricare un file
Sappiamo che:
un chilobyte (Kb) = 1000 byte
un Megabyte (Mb) = 1000 Kb
un Gigabyte (Gb) = 1000 Mb
Quanto tempo ci vuole per scaricare un file da
1,5 Gb alla velocità di 125 kb al secondo?
1,5 Gb = 1500 Mb = 1500000 kb.
1500000:125=12000 secondi
12000:60=200 minuti
3 ore e 20 minuti
Gulliver a Lilliput
I matematici di sua maestà avendo scoperto che
la statura di Gulliver eccedeva la loro nella
proporzione 12 a 1 e, considerando che i loro
corpi erano simili al suo, inferirono che doveva
contenere 1728 corpi loro e quindi aver bisogno,
per conseguenza, di altrettanto cibo quanto
bastasse a nutrire il predetto numero di
Lillipuziani.
Qual è stato il ragionamento dei Lillipuziani?