I numeri
interi relativi
Paperina mi ha
detto che il nostro
rapporto è
RELATIVO. Ma
RELATIVO a che?
Insieme N
I numeri Naturali N sono tutti i numeri interi positivi cioè
l’insieme N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . ,+∞} in cui si
possono
eseguire
le
operazioni
di
addizione,
moltiplicazione e potenza.
N, ,+∞ zzz … zzz …
tutto questo … mi fa
venire il mal di zzz …
testa … Ci penserò
domani …
Spero che Paperino
non stia dormendo
come al solito! Se
scopro che è così mi
sentirà e saranno
NUMERI!
I numeri Interi Relativi sono tutti i numeri interi,
positivi e negativi, preceduti dal segno + o -, che
vanno da -∞ a +∞ essendo infiniti e che permettono
di eseguire sempre anche la sottrazione.
Z={ . . . -2, -1, 0, 1, 2, . . .}
Se cadi, con un sol
boccone, farò una
SOTTRAZIONE di …
Titti! Questa per me è
un’operazione sempre
possibile!
I numeri relativi Z sono numeri interi preceduti dal
segno + o dal segno - .
I numeri Z sono usati per indicare le temperature
sopra o sotto zero, per i conti bancari in attivo o
passivo, per le date avanti o dopo Cristo, per le
altitudini sotto o sul livello del mare, ecc..
Che te ne pare? Faccio delle
piroette tanto perfette da
elevare la mia ALTITUDINE di
… 3 METRI SOPRA AL CIELO.
Resta sempre
l’incredibile
Pippo!
I numeri Razionali Q, sono tutti i numeri, positivi e negativi,
scritti come rapporto fra due numeri interi con il secondo diverso
da zero. I numeri Q sono tutte le frazioni, tutti i numeri interi, i
decimali limitati e gli illimitati periodici. Nell’insieme dei numeri
razionali, oltre all’addizione, alla sottrazione, alla moltiplicazione e
alla potenza, con tali numeri, si può eseguire anche la divisione. Un
numero decimale ILLIMITATO NON PERIODICO, che non può
essere trasformato in frazione, si dice NUMERO IRRAZIONALE.
Ne sono esempi il
e =2,09691... .
π
=3,141592654... oppure il numero di Nepero
Bravo zzz chi
ci capisce zzz
qualcosa …
R+
N
Z
Q+
I+
I numeri N e i relativi interi Z appartengono ai numeri
Q e ne sono sottoinsiemi.
I numeri razionali preceduti dal segno + formano
l’insieme dei numeri razionali positivi che si indica con
Q+.
I numeri razionali preceduti dal segno – formano
l’insieme dei numeri razionali negativi che si indica con
Q-.
I due insiemi Q+ e Q- formano l’insieme dei numeri
razionali che si indica con Q.
Adesso basta! Sono stanco! Sta per
cominciare la partita! Se non ti
decidi a funzionare ogni mia
RAZIONALITÀ scomparirà e tutto
il mio temperamento NEGATIVO
eliminerà ogni mia POSITIVITÀ!
I numeri naturali preceduti dal segno + formano l’insieme dei
numeri interi positivi che si indica con Z+.
I numeri naturali preceduti dal segno meno formano l’insieme dei
numeri interi negativi che si indica con Z-.
I due insieme Z+ e Zcostituiscono l’insieme dei numeri interi
relativi che si indica con Z.
Un numero privo di segno è sempre positivo. Il numero 0 (zero)
appartiene a Z ed è privo di segno.
L’unica Z
che conosco
è quella di …
ZORRO!
Consideriamo due semirette di origine O a cui facciamo
corrispondere il numero 0. Verso destra posizioneremo i
numeri positivi e verso sinistra i numeri negativi.
Fissiamo l’unità di misura e troviamo le immagini dei
numeri sulla retta. A è immagine di -4, B di -3, C di 2, D di -1, O di 0, F di +1, G di +2, H di +3, I di +4.
Sei davvero magnifica! Nessuna
danzatrice HA I NUMERI CHE
HAI TU sia a destra che a
sinistra!
Si
un
se
un
dice valore assoluto (o modulo o intensità) di
numero, e si indica col simbolo x , x stesso
x è un numero positivo o nullo, - x se x è
numero negativo.
Uhm … Devo
riflettere
molto
attentamente!
X =
valore assoluto di x
X = x
se x ≥ 0
X =-x
se x < 0
Ho capito.
È molto
semplice!
numeri negativi -
numeri positivi +
-4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4
Il valore diminuisce
Il valore aumenta
Ogni numero positivo è maggiore di tutti i negativi, per cui
fra due numeri discordi è sempre maggiore il positivo.
Lo zero è minore di tutti i numeri positivi e maggiore di tutti i
negativi.
Fra due numeri concordi positivi è maggiore quello con
maggiore valore assoluto.
Fra due numeri concordi negativi è maggiore quello con minore
valore assoluto.
Posso ballare con te?
Starò alla tua sinistra,
così NON POTRÒ MAI
SUPERARTI!
Io vado a
sinistra …
Io vado a
destra ...
ADDIZIONE
Per addizionare due numeri relativi
basta contare, dopo il primo, le
unità del secondo, verso destra se il
numero da addizionare è positivo,
verso sinistra se è negativo.
Io sono
troppo
stanca e
resto ferma!
(+ 6) + (+ 3) = +9
Infatti, partendo da + 6 contando verso destra
tre unità, si arriva a + 9.
u
(+ 6) + (+ 3) = +9
0
+3
+6
+9
Pinocchio! Aspettami! Sono stanco! Ti
stai allontanando troppo dal punto di
partenza! Non da quella parte! Finirai
in … un mare di GUAI!
(- 4) + (- 6) = - 10
Partiamo da – 4 e contiamo verso sinistra sei
unità fino al numero – 10.
u
(- 4) + (- 6) = - 10
-6
-10
+
-4
0
(+ 6) + (- 2) = + 4
Partiamo da + 6 e andiamo indietro di due unità fino a
+ 4.
(+ 6) + (- 2 ) = + 4
u
-2
0
+4
+
+6
Devo assolutamente
aiutare questo povero
gattino a liberarsi. Domani
spiegherò alla maestra che
non ho proprio avuto
tempo per fare i compiti
sui numeri relativi!
(- 7) + (+ 2) = - 5
Partiamo da – 7 e spostiamoci verso destra di due
unità fino a – 5.
-
-7
(- 7) + (+ 2) = - 5
u
+
+2
-5
Quel fannullone di Paperino mi
sentirà! Gli avevo chiesto di farmi
la spesa e non lo perdonerò se non
sarà qui entro cinque minuti!
0
Mi sembrava … zzz di aver
promesso qualcosa zzz a
Paperina … Chissà … Spero
che una buona zzz dormita mi
faccia ricordare …
La somma di due numeri concordi è un numero concorde
ad essi che ha per valore assoluto la somma dei valori
assoluti.
(+ 5) + (+ 3) = + 8
(- 2) + ( - 4) = - 6
La somma di due numeri discordi è un numero concorde
all’addendo che ha maggior valore assoluto e per valore
assoluto la differenza dei valori assoluti.
(- 5) + ( + 7) = + 2
(+ 4) + (- 11)= - 7
Sommando due numeri opposti si ottiene zero.
(- 10) + (+10) = 0
Ma gli opposti non
si annullano? Che
storia è che si
attraggono? Che
gran confusione!
Differenza
La differenza fra due numeri interi relativi si ottiene
addizionando al primo l’opposto del secondo.
(+ 10) - ( + 7) = +10-7=+ 3
(+ 11) - ( - 4) = +11+4= 15
(- 4) - (+ 3) = -4 -3 = - 7
(- 5) - (- 3) = -5 +3= - 2
Il mio tesoruccio
da grande capirà
subito la
DIFFERENZA tra
me e le altre
mamme!
L’addizione algebrica è la successione di addizioni e di
sottrazioni fra numeri relativi. Il risultato si dice somma
algebrica.
Le parentesi possono essere eliminate trascrivendo il
secondo numero con lo stesso segno nell’addizione e con
segno opposto nella sottrazione.
(+ 8) + (- 2) = + 8 – 2 = + 6
(+ 12) - (- 7) = + 12 + 7 = + 19
Clarabella dice che la
sua casa è più splendente
della mia e che è un vero
gioiello. Secondo me
tutto è RELATIVO.
Penso che non sia
tutt’oro quello
che riluce!
Per l’addizione algebrica valgono le
proprietà commutativa e associativa per
cui si possono addizionare prima tutti i
numeri positivi, poi tutti i numeri
negativi e quindi addizionare i due
numeri relativi ottenuti.
(+ 5) - (+ 4) - (- 2) + (+ 10) + (-3) =
+ 5 - 4 + 2 + 10 – 3 = + 17 – 7 = + 10
Non vedo l’ora di
“ASSOCIARE” le
nostre vite!
Moltiplicazione
Per moltiplicare due numeri relativi si devono moltiplicare i loro valori
assoluti, mentre il segno sarà + se i due numeri sono concordi, sarà - se i
due numeri sono discordi. Il segno di moltiplicazione si può anche
omettere.
(+ 7) ∙ (+ 3) = +21
( + 7) ∙ (+ 3) = ( + 7)+ ( + 7)+ ( + 7) = + 7 + 7 + 7 = + 21
(- 5) ∙ ( + 4) = -20
(- 5) ∙ ( + 4) = - 5 - 5 - 5 - 5 = - 20
( + 3) ∙ ( - 5) = - 15
( + 3) ∙ ( - 5) = - 5 - 5 - 5 = - 15
Vorrei tanto
poter
“MOLTIPLICARE”
le mie vacanze!
Per il prodotto di due numeri relativi è utile anche la
regola dei segni.
Tabella dei segni
x
+·+ = +
+·- = -
-·+ = Aspetto il
principe azzurro!
Sarà un SEGNO
del destino …
-·- = +
(+ 6) (+ 3) = +18
( + 7) (+ 5) = +35
(- 15) (+ 4) = -60
(- 5) (+ 4) (+2) = -40
(+ 7) (- 5) (-3) = +105
(- 3) ( - 5) (- 2) ( - 4) = -120
Che gran fatica far
capire la moltiplicazione
ai nipotini! Non c’è
peggior sordo di chi non
vuol sentire!
DIVISIONE
Per dividere due numeri relativi (con il secondo diverso
da 0) si devono dividere i loro valori assoluti. Il segno
sarà + se i due numeri sono concordi, sarà - se i due
numeri sono discordi.
(+15) : (+3) = +5
(+16) : (-2) = -8
(-21) : (-7) = +3
(-56) : (+8) = -7
Non vedevo
l’ora di
partire!
Non sopporto di
essere lontana da
Topolino! Non
possiamo stare
DIVISI neanche
per un minuto!
Per calcolare il quoziente di due numeri relativi si può
usare la regola dei segni.
Ho sempre sognato di
girare il mondo e non
di farlo girare sulla
mia mano! Avrei voluto
lasciare un SEGNO
del mio passaggio in
ogni paese visitato!
+:+ = +
+:- = -
-:+ = -:- = +
Riassumendo …
Uffa …
Ancora non
basta!
Sbrigati Paperino!
È importante
conoscere i numeri
relativi!
Povera me!
Non si
smentisce
mai!
Il NUMERO
RELATIVO
è formato da
segno positivo (+) o
negativo (-)
parte numerica che è
detta valore assoluto o
modulo
Paperino non sa
che, nonostante
tutto, il mio
amore per lui è …
ASSOLUTO!
NUMERI RELATIVI
Concordi: stesso segno
Discordi: segno diverso
Opposti: discordi con uguale valore assoluto
Su una retta orientata il numero più a
destra è più grande.
Il tuo numero
è davvero
grande!
Certo! Sono il
più grande,
perché sto a
destra!
POTENZE
DI NUMERI RELATIVI
Potenze con
Potenze con
esponente pari
esponente dispari
Il risultato è sempre
positivo
Il risultato può essere
positivo o negativo
Esponente
pari
Sono davvero
una POTENZA
nel ballo!
POTENZE
di NUMERI RELATIVI
Esponente
dispari
Il risultato è positivo
se la base è positiva
è negativo se la base
è negativa
Le regole
matematiche
sono necessarie
anche nella vita
quotidiana …
Uffa! Non
me ne
importa un
bel niente!
Potenze con uguale base con
moltiplicazione e divisione
Il prodotto di due o più potenze
con uguale base è una potenza
che ha per base la stessa base e
per esponente la somma degli
esponenti.
Il quoziente di due potenze con
uguale base è una potenza che ha
per base la stessa base e per
esponente
la
differenza
degli
esponenti.
(-2)3 x (-2)4 = (-2)3+4 = (-2)7
(-4)6 : (-4)5 = (-4)6-5 = (-5)1 = -5
Minnie ha detto
che sono ancora in
tempo per una
divisione … Ma
che avrà voluto
dire?
Potenze con uguale esponente con
moltiplicazione e divisione
Il prodotto di due o più potenze che
hanno uguale esponente è una potenza
che ha per base il prodotto delle basi
e per esponente lo stesso esponente.
(-2)3 x (+3)3 = [(-2) x (+3)]3 = =(-6)3
Il quoziente di due potenze che hanno
lo stesso esponente è una potenza
che ha per base il quoziente delle
basi e per esponente lo stesso
esponente.
(+6)4 : (-2)4 = [(+6) : (-2)]4 = =(-3)4
Uguale base, uguale esponente, non ci ho capito niente!
Chi mi potrebbe aiutare a fare i compiti?
Potenze di potenze
La potenza di una potenza è una potenza che ha per
base la stessa base e per esponente il prodotto degli
esponenti.
[(-2)3 ]2 = (-2)3x2=(-2)6
Spero che sia
tanto grande
da comprarmi il
diamante per il
nostro
fidanzamento!
Caro, qual è la
POTENZA del tuo
amore per me?
RADICE DI NUMERI RELATIVI
Indice pari
2
 121  11
Indice dispari
3
 8  2
4
 81  3
5
 1  1
6
 64  2
3
 8  2
2
 4 
La radice con indice pari di
un numero negativo non
esiste perché moltiplicando
tra loro due, quattro, sei,
ecc.
numeri
negativi
si
ottiene sempre un numero
positivo.
5
1  1
SE IL RADICANDO È POSITIVO
IL RISULTATO È POSITIVO,
SE IL RADICANDO È NEGATIVO
IL RISULTATO È NEGATIVO
Non essere triste, in
classe penserò io a
suggerirti la lezione!
Evviva! È finita la
presentazione! Finalmente mi
sento felice! Ehi! Tu che sei
un mago, perché non fai
SPARIRE TUTTE LE
SCUOLE DEL MONDO?
Spero di non
diventare mai
come mio
fratello!
Vedo nella mia
sfera che fare
sparire le
scuole è una
magia
impossibile!